Études de cas pratique

EGC

Expansion Isotherme d’un Gaz Parfait

Expansion Isotherme d’un Gaz Parfait

Expansion Isotherme d’un Gaz Parfait

Comprendre l'Expansion Isotherme

Une expansion isotherme est un processus thermodynamique au cours duquel un gaz se détend (augmente de volume) tout en maintenant sa température constante. Pour un gaz parfait, cela implique que l'énergie interne reste constante. Selon le premier principe de la thermodynamique, toute la chaleur absorbée par le gaz pendant une expansion isotherme réversible est convertie en travail effectué par le gaz sur son environnement. Cet exercice explore les calculs associés à une telle transformation.

Données de l'étude

Deux moles d'hélium (considéré comme un gaz parfait monoatomique) subissent une expansion isotherme réversible.

Conditions initiales et paramètres du gaz :

Paramètre Valeur Symbole
Quantité de matière 2 \(\text{mol}\) \(n\)
Température constante du processus 300 \(\text{K}\) (27 °C) \(T\)
Pression initiale 500 \(\text{kPa}\) \(P_1\)
Pression finale 100 \(\text{kPa}\) \(P_2\)
Constante des gaz parfaits 8.314 \(\text{J/(mol} \cdot \text{K)}\) \(R\)

Hypothèses : L'hélium se comporte comme un gaz parfait. L'expansion est isotherme et réversible.

Schéma : Expansion isotherme d'un gaz parfait
État Initial (P1, V1, T) V1 État Final (P2, V2, T) V2 W_par_gaz Q T = constante

Schéma d'une expansion isotherme d'un gaz dans un cylindre-piston, avec apport de chaleur.

Questions à traiter

  1. Calculer le volume initial (\(V_1\)) du gaz en \(\text{m}^3\).
  2. Calculer le volume final (\(V_2\)) du gaz en \(\text{m}^3\).
  3. Calculer le travail (\(W\)) effectué par le gaz lors de cette expansion isotherme réversible, en Joules (J).
  4. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz pendant cette transformation.
  5. Calculer la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée par le gaz avec l'extérieur pendant cette expansion. Indiquer si la chaleur est absorbée ou cédée par le gaz.

Correction : Expansion Isotherme d’un Gaz Parfait

Question 1 : Calcul du volume initial (\(V_1\))

Principe :

On utilise l'équation d'état des gaz parfaits : \(P V = n R T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = \frac{n R T}{P_1}\]
Données spécifiques :
  • Quantité de matière (\(n\)) : \(2 \, \text{mol}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Température (\(T\)) : \(300 \, \text{K}\) (en supposant 27°C \(\approx\) 300K pour simplifier, ou utiliser 300.15K pour plus de précision)
  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(500 \, \text{kPa} = 500 \times 10^3 \, \text{Pa}\)
Calcul (avec \(T=300.15 \, \text{K}\)):
\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{2 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300.15 \, \text{K}}{500 \times 10^3 \, \text{Pa}} \\ &= \frac{4990.8942 \, \text{J}}{500000 \, \text{N/m}^2} \\ &\approx 0.0099817 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le volume initial est \(V_1 \approx 0.00998 \, \text{m}^3\).

Question 2 : Calcul du volume final (\(V_2\))

Principe :

Pour une transformation isotherme d'un gaz parfait, \(P_1 V_1 = P_2 V_2\). On peut aussi utiliser \(V_2 = nRT/P_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_2 = \frac{P_1 V_1}{P_2} \quad \text{ou} \quad V_2 = \frac{n R T}{P_2}\]
Données spécifiques :
  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(500 \times 10^3 \, \text{Pa}\)
  • Volume initial (\(V_1\)) : \(\approx 0.0099817 \, \text{m}^3\)
  • Pression finale (\(P_2\)) : \(100 \, \text{kPa} = 100 \times 10^3 \, \text{Pa}\)
  • \(n=2 \, \text{mol}\), \(R=8.314 \, \text{J/(mol K)}\), \(T=300.15 \, \text{K}\)
Calcul (avec la première formule) :
\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{500 \times 10^3 \, \text{Pa} \times 0.0099817 \, \text{m}^3}{100 \times 10^3 \, \text{Pa}} \\ &= 5 \times 0.0099817 \, \text{m}^3 \\ &\approx 0.0499085 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Vérification avec la deuxième formule :

\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{2 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol K)} \times 300.15 \, \text{K}}{100 \times 10^3 \, \text{Pa}} \\ &= \frac{4990.8942 \, \text{J}}{100000 \, \text{N/m}^2} \\ &\approx 0.049909 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le volume final est \(V_2 \approx 0.04991 \, \text{m}^3\).

Question 3 : Travail (\(W\)) effectué par le gaz

Principe :

Pour une expansion isotherme réversible d'un gaz parfait, le travail effectué PAR le gaz est donné par \(W = nRT \ln(V_2/V_1)\) ou \(W = nRT \ln(P_1/P_2)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = nRT \ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\]
Données spécifiques :
  • \(n = 2 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T = 300.15 \, \text{K}\)
  • \(P_1 = 500 \, \text{kPa}\)
  • \(P_2 = 100 \, \text{kPa}\)
Calcul (en utilisant les pressions) :
\[ \begin{aligned} W &= 2 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol K)} \times 300.15 \, \text{K} \times \ln\left(\frac{500 \, \text{kPa}}{100 \, \text{kPa}}\right) \\ &= 4990.8942 \, \text{J} \times \ln(5) \\ &\approx 4990.8942 \, \text{J} \times 1.609438 \\ &\approx 8032.16 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le travail est positif, ce qui signifie qu'il est effectué par le gaz sur l'extérieur.

Résultat Question 3 : Le travail effectué par le gaz est \(W \approx 8032 \, \text{J}\) (ou \(8.032 \, \text{kJ}\)).

Question 4 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un gaz parfait, l'énergie interne (\(U\)) ne dépend que de la température. Lors d'une transformation isotherme, la température est constante, donc la variation d'énergie interne est nulle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U = n C_v \Delta T\]

Puisque \(\Delta T = 0\) pour un processus isotherme :

\[\Delta U = 0\]
Calcul :
\[ \Delta U = 0 \, \text{J} \]
Résultat Question 4 : La variation d'énergie interne du gaz est \(\Delta U = 0 \, \text{J}\).

Question 5 : Quantité de chaleur (\(Q\)) échangée

Principe :

D'après le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = Q - W\) (où \(W\) est le travail effectué PAR le système). Puisque \(\Delta U = 0\) pour une expansion isotherme d'un gaz parfait, on a \(Q = W\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q = W\]
Données spécifiques :
  • Travail effectué par le gaz (\(W\)) : \(\approx 8032.16 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= W \\ &\approx 8032.16 \, \text{J} \end{aligned} \]

Puisque \(Q > 0\), la chaleur est absorbée par le gaz depuis l'extérieur pour maintenir sa température constante pendant l'expansion.

Résultat Question 5 : La quantité de chaleur échangée est \(Q \approx 8032 \, \text{J}\). Cette chaleur est absorbée par le gaz.

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'une expansion isotherme réversible d'un gaz parfait, si le volume double, la pression :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans une transformation isotherme d'un gaz parfait, quelle grandeur reste constante ?

2. Pour un gaz parfait subissant une expansion isotherme réversible, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) est :

3. Le travail effectué PAR un gaz parfait lors d'une expansion isotherme réversible est :

Glossaire

Gaz Parfait (ou Idéal)
Modèle théorique d'un gaz dont les molécules sont supposées ponctuelles et sans interactions mutuelles à distance (sauf lors des collisions). Son comportement est décrit par l'équation d'état \(PV=nRT\).
Processus Isotherme
Transformation thermodynamique qui se produit à température constante (\(\Delta T = 0\)).
Processus Réversible
Transformation thermodynamique idéale qui peut être inversée en ramenant le système et l'environnement à leurs états initiaux sans laisser de changement net. Elle se déroule par une succession d'états d'équilibre infiniment proches.
Équation d'État des Gaz Parfaits
\(PV = nRT\), où \(P\) est la pression, \(V\) le volume, \(n\) la quantité de matière (moles), \(R\) la constante des gaz parfaits, et \(T\) la température absolue (en Kelvin).
Énergie Interne (\(U\))
Énergie totale contenue dans un système thermodynamique. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température (\(\Delta U = n C_v \Delta T\)).
Travail (\(W\))
Transfert d'énergie résultant d'une force agissant sur une distance. Pour une expansion ou compression d'un gaz, \(W = \int P dV\). Si \(W > 0\), le travail est effectué par le système ; si \(W < 0\), le travail est effectué sur le système (convention de l'ingénieur).
Chaleur (\(Q\))
Transfert d'énergie thermique entre un système et son environnement dû à une différence de température. Si \(Q > 0\), la chaleur est absorbée par le système ; si \(Q < 0\), la chaleur est cédée par le système.
Premier Principe de la Thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie pour un système thermodynamique : \(\Delta U = Q - W\) (si \(W\) est le travail fait PAR le système) ou \(\Delta U = Q + W\) (si \(W\) est le travail fait SUR le système).
Expansion Isotherme d’un Gaz Parfait - Application

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