Études de cas pratique

EGC

Vérification de l’équilibre des forces verticales

Vérification de l’Équilibre des Forces Verticales

Vérification de l’Équilibre des Forces Verticales

Comprendre l'Équilibre Statique

En statique, un corps est dit en équilibre si la somme vectorielle de toutes les forces externes qui lui sont appliquées est nulle, et si la somme vectorielle de tous les moments externes par rapport à n'importe quel point est également nulle. Pour des problèmes plans impliquant uniquement des forces verticales, la condition d'équilibre se simplifie à la somme des forces verticales doit être égale à zéro. Cet exercice se concentre sur l'application de ce principe pour déterminer une force inconnue ou vérifier l'équilibre d'un système simple.

Données de l'étude

Une poutre horizontale AB de longueur \(L = 5 \, \text{m}\) repose sur deux appuis simples : un appui articulé en A et un appui à rouleau en B. La poutre est soumise à plusieurs charges verticales :

  • Une charge ponctuelle \(P_1 = 10 \, \text{kN}\) appliquée vers le bas à \(1 \, \text{m}\) de A.
  • Une charge ponctuelle \(P_2 = 15 \, \text{kN}\) appliquée vers le bas à \(3 \, \text{m}\) de A.
  • Le poids propre de la poutre, \(P_p = 5 \, \text{kN}\), est considéré comme une charge uniformément répartie, mais pour simplifier cet exercice sur l'équilibre vertical strict, nous le traiterons comme une force ponctuelle appliquée au centre de la poutre (à \(2.5 \, \text{m}\) de A).

Les réactions d'appui verticales sont \(R_A\) en A et \(R_B\) en B.

Schéma : Poutre sur Appuis Simples avec Charges Verticales
A B R_A R_B P1=10kN Pp=5kN P2=15kN 1m 2m 2m L = 5 m

Poutre sur appuis simples avec charges ponctuelles verticales.

Questions à traiter

  1. Identifier toutes les forces verticales agissant sur la poutre (charges appliquées et réactions d'appui).
  2. Dessiner le Diagramme de Corps Libre (DCL) de la poutre, en indiquant toutes les forces verticales avec leur direction.
  3. Écrire l'équation d'équilibre des forces verticales (\(\sum F_y = 0\)).
  4. Sachant que pour cette configuration, \(R_A = 13.5 \, \text{kN}\) et \(R_B = 16.5 \, \text{kN}\) (ces valeurs seraient normalement calculées en utilisant aussi l'équilibre des moments), vérifier si la poutre est en équilibre vertical.

Correction : Vérification de l’Équilibre des Forces Verticales

Question 1 : Identification des Forces Verticales

Principe :

Il s'agit de lister toutes les forces qui agissent selon l'axe vertical sur la poutre. Cela inclut les charges externes appliquées et les forces de réaction générées par les appuis.

Forces identifiées :
  • Charge ponctuelle \(P_1 = 10 \, \text{kN}\) (vers le bas)
  • Charge ponctuelle \(P_2 = 15 \, \text{kN}\) (vers le bas)
  • Poids propre de la poutre \(P_p = 5 \, \text{kN}\) (vers le bas)
  • Réaction d'appui en A, \(R_A\) (vers le haut)
  • Réaction d'appui en B, \(R_B\) (vers le haut)
Résultat Question 1 : Les forces verticales sont \(P_1, P_2, P_p, R_A, R_B\).

Question 2 : Diagramme de Corps Libre (DCL)

Principe :

Le Diagramme de Corps Libre (DCL) est une représentation schématique de l'objet isolé (ici, la poutre) montrant toutes les forces externes qui agissent sur lui. Les forces sont représentées par des vecteurs indiquant leur point d'application, leur direction et leur sens.

Diagramme de Corps Libre de la Poutre
A B RA RB P1 Pp P2

Le DCL montre la poutre isolée avec toutes les forces externes (charges et réactions) appliquées.

Résultat Question 2 : Le DCL est présenté ci-dessus.

Question 3 : Équation d'Équilibre des Forces Verticales

Principe :

Pour qu'un corps soit en équilibre statique, la somme vectorielle de toutes les forces externes qui lui sont appliquées doit être nulle. Pour les forces verticales, cela signifie que la somme des forces dirigées vers le haut doit être égale à la somme des forces dirigées vers le bas.

Convention de signe : Forces vers le haut positives (+), forces vers le bas négatives (-).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_y = 0 \]
Établissement de l'équation :
\[ R_A + R_B - P_1 - P_p - P_2 = 0 \]
Résultat Question 3 : L'équation d'équilibre des forces verticales est \(R_A + R_B - P_1 - P_p - P_2 = 0\).

Question 4 : Vérification de l'Équilibre Vertical

Principe :

On substitue les valeurs connues des forces (charges et réactions données) dans l'équation d'équilibre vertical. Si la somme est égale (ou très proche de) zéro, l'équilibre est vérifié.

Données spécifiques :
  • \(P_1 = 10 \, \text{kN}\)
  • \(P_p = 5 \, \text{kN}\)
  • \(P_2 = 15 \, \text{kN}\)
  • \(R_A = 13.5 \, \text{kN}\) (donnée)
  • \(R_B = 16.5 \, \text{kN}\) (donnée)
Calcul :

Somme des forces vers le haut :

\[ \sum F_{\uparrow} = R_A + R_B = 13.5 \, \text{kN} + 16.5 \, \text{kN} = 30 \, \text{kN} \]

Somme des forces vers le bas :

\[ \sum F_{\downarrow} = P_1 + P_p + P_2 = 10 \, \text{kN} + 5 \, \text{kN} + 15 \, \text{kN} = 30 \, \text{kN} \]

Vérification de \(\sum F_y = 0\) :

\[ \begin{aligned} \sum F_y &= (R_A + R_B) - (P_1 + P_p + P_2) \\ &= 30 \, \text{kN} - 30 \, \text{kN} \\ &= 0 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Puisque la somme des forces verticales est nulle, la poutre est en équilibre vertical.

Résultat Question 4 : La poutre est en équilibre vertical car \(\sum F_y = 0 \, \text{kN}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(R_A + R_B > P_1 + P_p + P_2\), la poutre aurait tendance à :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour qu'un corps soit en équilibre statique, la somme des forces externes :

2. Un Diagramme de Corps Libre (DCL) montre :

Glossaire

Équilibre Statique
État d'un corps au repos où la résultante de toutes les forces externes et la somme de tous les moments externes sont nulles. Le corps ne subit ni translation ni rotation.
Force Verticale
Force agissant le long de l'axe vertical (généralement l'axe y). Dans les problèmes de poutres, cela inclut les charges appliquées vers le bas et les réactions d'appui vers le haut.
Diagramme de Corps Libre (DCL)
Représentation schématique d'un corps (ou d'une partie d'un corps) isolé de son environnement, montrant toutes les forces et moments externes qui agissent sur lui.
Réaction d'Appui
Force (ou moment) exercée par un support (appui) sur une structure pour la maintenir en équilibre sous l'effet des charges appliquées.
Charge Ponctuelle
Force considérée comme agissant en un seul point sur une structure.
Vérification de l’Équilibre des Forces Verticales - Exercice d'Application

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