Vérification de l’équilibre des forces verticales
📝 Situation du Projet et Enjeux Architecturaux
Le projet concerne la construction du nouveau Complexe Aquatique Municipal "L'Odyssée", un ouvrage d'envergure combinant des espaces ludiques, des bassins de compétition et des zones de bien-être. Ce bâtiment se distingue par une architecture audacieuse favorisant la lumière naturelle et les volumes ouverts. Cependant, cette conception architecturale impose des contraintes structurelles sévères, notamment au niveau du R+1, zone des Vestiaires VIP et de l'Espace Détente.
Vous intervenez en tant qu'Ingénieur Structure Expert au sein du bureau d'études "Omega Structure". Votre attention se porte spécifiquement sur la Poutre de Reprise PR-102. Cette poutre maîtresse en béton armé est un élément clé de la stabilité globale : elle assure la transition des charges entre la toiture végétalisée (via un poteau supérieur) et la structure porteuse inférieure. Située au-dessus du grand hall d'accueil, elle ne tolère aucune flèche excessive ni fissuration, pour des raisons esthétiques évidentes mais surtout pour garantir l'intégrité de l'étanchéité des bassins situés à proximité.
Votre mission consiste à effectuer la vérification de l'équilibre statique externe de la poutre PR-102. Vous devez modéliser le système mécanique, calculer précisément les réactions aux appuis (les efforts transmis aux poteaux \( A \) et \( B \)) et démontrer formellement que le système est à l'équilibre strict sous les charges pondérées (ELU). Ce calcul est la première étape indispensable avant tout dimensionnement du ferraillage.
"La poutre est située au-dessus d'une zone recevant du public (ERP). Le coefficient de sécurité sur les charges doit être strictement respecté. De plus, ne négligez pas l'excentricité de la charge P2 qui induit une forte dissymétrie dans la réaction des appuis. Un calcul erroné ici compromettrait la sécurité de tout le hall d'accueil."
Pour mener à bien cette vérification, vous disposez des données issues du Cahier des Clauses Techniques Particulières (CCTP) et des plans de coffrage. Ces valeurs sont les entrées non négociables de votre modèle de calcul.
📚 Référentiel Normatif Applicable
Le dimensionnement doit respecter les standards européens de la construction :
Eurocode 0 (EN 1990) : Bases de calcul des structures Eurocode 2 (EN 1992-1-1) : Calcul des structures en bétonLa poutre PR-102 est une poutre en béton armé de section rectangulaire (30x60 cm). Elle repose sur deux appuis (poteaux) distants de 8 mètres.
- Charge Linéique \( q \) : Elle correspond à l'accumulation de plusieurs charges : le poids propre de la poutre en béton armé (25 kN/m³), le poids de la dalle de compression, le revêtement de sol épais (carrelage piscine) et les surcharges d'exploitation liées à la présence de public.
- Charge Ponctuelle \( F \) : Elle provient directement de la descente de charge du poteau P2. Ce poteau reprend une partie de la toiture végétalisée du complexe, qui est saturée en eau, ce qui explique l'intensité élevée de cette force ponctuelle.
| PARAMÈTRES GÉOMÉTRIQUES | |
| Portée utile de la poutre \( L \) | 8.00 m |
| Position de la charge ponctuelle \( a \) | 2.00 m (Mesuré depuis l'appui gauche \( A \)) |
| ACTIONS MÉCANIQUES (ELU - État Limite Ultime) | |
| Charge linéique répartie \( q \) | 35 kN/m |
| Charge ponctuelle concentrée \( F \) | 120 kN |
E. Protocole de Résolution
Pour garantir la stabilité de l'ouvrage, nous allons suivre une méthode rigoureuse issue de la Résistance des Matériaux (RDM). Cette approche séquentielle permet de valider chaque hypothèse avant de passer à la suivante.
Bilan des Forces et Modélisation
Inventaire complet des actions mécaniques s'exerçant sur la poutre et conversion de la charge répartie en résultante équivalente pour simplifier les calculs globaux.
Calcul des Réactions d'Appuis
Application du Principe Fondamental de la Statique (PFS), et plus spécifiquement du Théorème des Moments, pour déterminer les forces de réaction en \( A \) et \( B \).
Vérification de l'Équilibre Vertical
Contrôle final par la somme des forces verticales (\( \sum F_y = 0 \)). C'est la "preuve" mathématique que le système ne s'effondre pas.
Conclusion & Validation
Synthèse des résultats et validation du dimensionnement vis-à-vis de l'équilibre statique.
Vérification de l’équilibre des forces verticales
🎯 Objectif Pédagogique
La première étape cruciale en Résistance des Matériaux consiste à simplifier le modèle de chargement. Ici, nous sommes confrontés à une charge linéique \( q \) qui est distribuée uniformément sur toute la longueur de la poutre. Bien que physiquement cette charge appuie partout, pour écrire nos équations d'équilibre global (réactions d'appuis), nous devons la modéliser mathématiquement par une force unique équivalente, appelée "résultante".
📚 Référentiel Théorique
Statique des Solides BarycentresImaginez la charge répartie comme un rectangle posé sur la poutre. La hauteur du rectangle est l'intensité de la charge \( q \) et sa base est la longueur de la poutre \( L \). La force totale est simplement l'aire de ce rectangle. Pour l'équilibre statique, tout se passe comme si cette force totale s'appliquait au centre de gravité de ce rectangle, c'est-à-dire exactement au milieu de la poutre.
SCHÉMA EXPLICATIF : PRINCIPE D'ÉQUIVALENCE
Une charge répartie (ou distribuée) est une force qui s'applique sur une surface ou une longueur, contrairement à une force ponctuelle qui s'applique en un point unique. Son unité est généralement le Newton par mètre (N/m) en 1D. Pour les calculs de statique externe (réactions d'appuis), on peut remplacer une charge répartie uniforme par une force ponctuelle équivalente égale à l'aire du diagramme de charge et située à son barycentre géométrique.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Charge linéique | \( q \) | 35 kN/m |
| Longueur totale | \( L \) | 8.00 m |
Vérifiez toujours l'homogénéité des unités. Si \( q \) était donné en N/cm et \( L \) en mètres, le calcul serait faux. Ici, kN/m multiplié par m donne bien des kN. C'est cohérent.
📝 Calcul Détaillé
1. 🔍 Détail des Manipulations (Calcul de la Résultante) :
Pour calculer la force totale équivalente à la charge répartie, nous effectuons une simple opération de surface. Géométriquement, la charge est représentée par un rectangle de hauteur \( q \) et de largeur \( L \). L'aire de ce rectangle correspond à la force totale.
Explication du résultat : Nous obtenons 280 kN. Cette valeur représente le poids total de la charge répartie sur toute la poutre.
La charge totale équivalente qui pèse sur la poutre (hors charge ponctuelle) est de 280 kN. Cette force fictive s'applique géométriquement au centre de la poutre, soit à 4,00 m de l'origine \( A \).
280 kN correspond environ à 28 tonnes. Pour une poutre de 8m supportant un étage de bâtiment public, cet ordre de grandeur est tout à fait réaliste.
Ne confondez pas cette résultante avec une charge concentrée réelle. Elle ne modifie pas le diagramme des efforts tranchants de la même manière. C'est une simplification valable uniquement pour l'équilibre global externe.
🎯 Objectif Pédagogique
C'est le cœur de l'exercice. Nous devons calculer avec précision les forces de réaction \( R_{\text{A}} \) et \( R_{\text{B}} \). Ce sont les forces que les poteaux exercent vers le haut pour empêcher la poutre de s'enfoncer dans le sol. Comme le chargement n'est pas symétrique (la force \( F \) est décalée vers la gauche), nous nous attendons à ce que l'appui \( A \) porte plus de charge que l'appui \( B \).
📚 Référentiel Théorique
PFS (Principe Fondamental de la Statique) Théorème des MomentsLe système a deux inconnues verticales : \( R_{\text{A}} \) et \( R_{\text{B}} \). L'équation de la somme des forces \( \sum F_y = 0 \) nous donnerait \( R_{\text{A}} + R_{\text{B}} = \text{Total} \), ce qui ne suffit pas à trouver chaque valeur individuellement. La méthode standard est d'utiliser l'Équation des Moments. En calculant la somme des moments par rapport au point \( A \), la force \( R_{\text{A}} \) (dont le bras de levier est nul) disparaît de l'équation. Il ne reste que l'inconnue \( R_{\text{B}} \), que l'on peut alors isoler et calculer. Nous répétons ensuite le processus en prenant le point \( B \) comme pivot pour trouver \( R_{\text{A}} \).
Le moment d'une force par rapport à un point est la capacité de cette force à faire tourner le système autour de ce point. Il se calcule par la formule suivante :
où \( d \) est la distance perpendiculaire (bras de levier) entre la ligne d'action de la force et le point de pivot.
Pour qu'un solide soit à l'équilibre, la somme des moments de toutes les forces extérieures par rapport à n'importe quel point doit être nulle.
Convention : Rotation anti-horaire positive (+).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Charge Ponctuelle | \( F \) | 120 kN |
| Résultante Charge Répartie | \( P_{\text{rep}} \) | 280 kN |
| Position de F (depuis A) | \( a \) | 2.00 m |
| Position de \( P_{\text{rep}} \) (depuis A) | \( L/2 \) | 4.00 m |
| Portée Totale | \( L \) | 8.00 m |
Dessinez toujours le bras de levier. C'est la distance horizontale entre la force verticale et le point de pivot. Pour la réaction B calculée depuis \( A \), le bras de levier est \( L \). Pour \( F \) depuis \( A \), c'est \( a \).
📝 Calcul Détaillé 1 : Réaction à l'Appui B (\( R_{\text{B}} \))
SCHÉMA EXPLICATIF : MOMENTS AUTOUR DE A
1. 🔍 Détail des Manipulations (Construction de l'équation des moments en A) :
Nous utilisons le Théorème des Moments par rapport au point \( A \). Nous identifions trois moments distincts :
- Le moment de la force \( R_{\text{B}} \) : Force \( R_{\text{B}} \) à une distance \( L=8\text{m} \). Il fait tourner dans le sens anti-horaire (positif). Son moment est \( + R_{\text{B}} \times 8 \).
- Le moment de la charge ponctuelle \( F \) : Force \( 120 \) à une distance \( a=2\text{m} \). Il fait tourner dans le sens horaire (négatif). Son moment est \( - 120 \times 2 \).
- Le moment de la résultante \( P_{\text{rep}} \) : Force \( 280 \) à une distance \( L/2=4\text{m} \). Il fait tourner dans le sens horaire (négatif). Son moment est \( - 280 \times 4 \).
L'équation d'équilibre s'écrit donc : Somme des moments = 0.
2. 🔍 Détail des Manipulations (Résolution algébrique) :
Nous isolons le terme inconnu (\( R_{\text{B}} \)) en passant les termes négatifs de l'autre côté de l'égalité.
3. Résultat final pour \( R_{\text{B}} \) :
Nous divisons par 8 pour obtenir la valeur de la réaction.
Interprétation : L'appui de droite (\( B \)) doit pousser vers le haut avec une force de 170 kN.
📝 Calcul Détaillé 2 : Réaction à l'Appui A (\( R_{\text{A}} \))
SCHÉMA EXPLICATIF : MOMENTS AUTOUR DE B
1. 🔍 Détail des Manipulations (Construction de l'équation des moments en B) :
Nous changeons de pivot pour le point \( B \). Attention, les distances (bras de levier) changent car nous mesurons depuis la droite :
- Le moment de la force \( R_{\text{A}} \) : Force \( R_{\text{A}} \) à une distance \( L=8\text{m} \). Il fait tourner dans le sens horaire (négatif selon notre convention, mais ici nous égalisons moments moteurs et résistants).
- Le moment de la charge ponctuelle \( F \) : Force \( 120 \) à une distance \( L-a = 8-2 = 6\text{m} \).
- Le moment de la résultante \( P_{\text{rep}} \) : Force \( 280 \) à une distance \( L/2 = 4\text{m} \).
2. 🔍 Détail des Manipulations (Résolution algébrique) :
Nous calculons les produits partiels.
3. Résultat final pour \( R_{\text{A}} \) :
On effectue la division finale par la portée totale.
Interprétation : L'appui \( A \) exerce une force de 230 kN vers le haut.
Nous avons trouvé \( R_{\text{A}} = 230 \text{ kN} \) et \( R_{\text{B}} = 170 \text{ kN} \). L'appui \( A \) est nettement plus chargé que l'appui \( B \) (230 vs 170). C'est physiquement logique et attendu car la charge ponctuelle massive \( F \) est située beaucoup plus près de \( A \) (à 2m) que de \( B \) (à 6m).
La somme des réactions est \( 230 + 170 = 400 \text{ kN} \). C'est un chiffre rond et cohérent avec les charges d'entrée (120 + 280). L'ordre de grandeur est correct.
L'erreur classique est de se tromper dans le bras de levier de la force \( F \) lors du calcul de \( R_{\text{A}} \). N'utilisez pas la distance \( a \) (distance à \( A \)), mais bien la distance \( L-a \) (distance à \( B \)) !
🎯 Objectif Pédagogique
En ingénierie, on ne livre jamais un résultat sans le vérifier par une méthode indépendante. Cette étape, souvent appelée "la preuve par neuf", consiste à vérifier que la somme de toutes les forces verticales est strictement nulle. Si ce n'est pas le cas, la poutre ne serait pas à l'équilibre statique (elle bougerait verticalement), ce qui signifierait une erreur grave dans nos calculs précédents.
📚 Référentiel Théorique
Loi de Newton Équilibre de TranslationNous allons simplement faire le bilan comptable des forces. D'un côté les "Dépenses" (Charges descendantes), de l'autre les "Recettes" (Réactions ascendantes). Le bilan doit être nul. Si vous trouvez une différence, même minime (hors arrondis), c'est qu'il y a une erreur dans l'étape 2.
SCHÉMA EXPLICATIF : BILAN DES FORCES VERTICALES
Pour qu'un objet soit immobile, la somme vectorielle des forces extérieures qui s'appliquent sur lui doit être nulle. Ici, comme toutes les forces sont verticales, cela se résume à une simple addition algébrique.
La somme des forces ascendantes doit être égale à la somme des forces descendantes.
📋 Données d'Entrée (Récapitulatif)
| Type | Nom | Valeur |
|---|---|---|
| Charge | \( F \) | 120 kN |
| Charge | \( P_{\text{rep}} \) | 280 kN |
| Réaction | \( R_{\text{A}} \) | 230 kN (Calculé) |
| Réaction | \( R_{\text{B}} \) | 170 kN (Calculé) |
Si la somme n'est pas nulle, vérifiez vos calculs de bras de levier dans l'étape précédente. C'est la source d'erreur n°1.
📝 Calcul Détaillé
1. 🔍 Détail des Manipulations (Somme des Actions Descendantes)
Nous additionnons toutes les charges appliquées sur la poutre (poids propre, exploitation, charge concentrée).
2. 🔍 Détail des Manipulations (Somme des Forces Ascendantes)
Nous additionnons les réactions d'appuis que nous venons de calculer.
3. Comparaison et Conclusion (Le Delta)
Nous effectuons la soustraction pour vérifier la nullité parfaite.
Interprétation : Le delta est nul. L'équilibre est parfait.
Le système mécanique que nous avons modélisé est stable. Les fondations recevront exactement la charge qu'elles doivent supporter, sans reste.
0 = 0. La cohérence mathématique est absolue.
Attention, cette vérification ne valide que l'équilibre statique global. Elle ne dit rien sur la résistance interne de la poutre (flexion, cisaillement) qui devra faire l'objet d'une note de calcul séparée.
🎯 Objectif Pédagogique
La dernière étape consiste à communiquer les résultats. Un ingénieur ne livre pas seulement des chiffres, il livre une interprétation visuelle qui servira aux dessinateurs-projeteurs pour réaliser les plans d'exécution. Ce schéma récapitule toutes les forces en présence et montre visuellement l'asymétrie de la répartition.
1. Fondations : Le poteau en \( A \) reprend 57.5% de la charge totale, contre 42.5% pour le poteau \( B \). Les semelles de fondations sous \( A \) devront être plus larges pour limiter la contrainte au sol.
2. Ferraillage : L'effort tranchant sera maximal au niveau de l'appui \( A \) (230 kN). Il faudra resserrer les cadres (étriers) dans cette zone pour éviter la rupture brutale par cisaillement du béton.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 24/10/2024 | Vérification Statique Initiale | Ing. T. Martin |
- Eurocode 0 (Bases de calcul des structures)
- Eurocode 2 (Calcul des structures en béton)
| Charge Permanente + Exploitation (\( q \)) | 35.00 kN/m |
| Charge Concentrée P2 (\( F \)) | 120.00 kN |
| Portée entre nus d'appuis (\( L \)) | 8.00 m |
Calcul des réactions d'appuis par la méthode des moments statiques.
Ing. T. Martin
Dir. J. Dupont
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