EGC

Vérification de la Section de Précontrainte

Vérification d'une Section en Béton Précontraint

Vérification d'une Section en Béton Précontraint

Contexte : Qu'est-ce que le béton précontraint ?

Le béton précontraint est un matériau de construction "intelligent". Avant même qu'il ne soit soumis à des charges, on lui applique une compression interne à l'aide de câbles en acier tendus. Cette compression initiale est conçue pour compenser les tractions qui apparaîtront plus tard sous l'effet des charges d'exploitation (poids des véhicules sur un pont, par exemple). En "pré-comprimant" le béton, on évite sa fissuration et on peut franchir de très grandes portées avec des poutres plus élancées que pour le béton armé classique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans la vérification des contraintes dans une section de poutre en béton précontraint à l'État Limite de Service (ELS). C'est la vérification fondamentale qui garantit que la poutre se comporte comme prévu et ne fissure pas en conditions normales d'utilisation.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les caractéristiques géométriques d'une section en T.
  • Déterminer les contraintes générées par l'effort de précontrainte seul.
  • Calculer les contraintes de flexion dues aux charges extérieures (permanentes et variables).
  • Superposer les contraintes et les vérifier par rapport aux limites admissibles de l'Eurocode 2.
  • Comprendre la différence entre les combinaisons d'actions Caractéristique et Fréquente à l'ELS.

Données de l'étude

On étudie une poutre en T en béton précontraint par post-tension, simplement appuyée. On s'intéresse à la section à mi-travée, la plus sollicitée.

Schéma de la section en T
Câble P 800 mm 180 520 200 mm y_g e

Caractéristiques des matériaux, charges et précontrainte :

  • Béton : Classe C40/50 (\(f_{\text{ck}} = 40 \, \text{MPa}\))
  • Précontrainte : Effort moyen \(P_{\text{m}} = 1500 \, \text{kN}\) après pertes.
  • Excentricité du câble à mi-travée : \(e = 250 \, \text{mm}\) (par rapport au centre de gravité de la section).
  • Moments de flexion à l'ELS à mi-travée :
    • Moment dû au poids propre et charges permanentes : \(M_{\text{G}} = 450 \, \text{kN.m}\).
    • Moment dû à la charge d'exploitation : \(M_{\text{Q}} = 350 \, \text{kN.m}\).
  • Limites de contrainte en service (combinaison fréquente) :
    • Compression : \(\sigma_{\text{c,max}} \le 0.6 \cdot f_{\text{ck}}\)
    • Traction : Le béton ne doit pas être tendu (classe d'exposition agressive).
  • Coefficient pour la valeur fréquente d'une action variable : \(\psi_1 = 0.75\).

Questions à traiter

  1. Calculer les caractéristiques géométriques de la section : aire \(A\), position du centre de gravité \(y_{\text{g}}\) et moment d'inertie \(I_{\text{g}}\).
  2. Déterminer la distribution des contraintes dues à la précontrainte seule.
  3. Déterminer les contraintes maximales de flexion dues aux charges \(M_{\text{G}}\) et \(M_{\text{Q}}\).
  4. Vérifier les contraintes à l'ELS sous la combinaison d'actions fréquente.

Correction : Vérification d'une Section en Béton Précontraint

Question 1 : Caractéristiques géométriques de la section

Principe avec image animée (le concept physique)
A, y_g, I_g = ?

Avant tout calcul de contrainte, il est indispensable de connaître parfaitement la géométrie de la section. On la décompose en formes simples (rectangles) pour calculer son aire totale, la position de son centre de gravitéLe point d'application de la résultante des forces de pesanteur. Pour une section, c'est le barycentre géométrique, qui correspond à l'axe neutre en flexion simple. (qui est l'axe neutre pour la flexion), et son moment d'inertieUne caractéristique géométrique qui mesure la résistance d'une section à la flexion. Plus l'inertie est grande, plus la section est rigide., qui représente sa capacité à résister à la flexion.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une section composée, le centre de gravité est trouvé en utilisant le théorème des moments statiques : la somme des moments statiques des parties (\(A_{\text{i}} \cdot y_{\text{i}}\)) est égale au moment statique du tout (\(A_{\text{tot}} \cdot y_{\text{g}}\)). L'inertie totale est ensuite calculée avec le théorème de HuygensThéorème qui permet de calculer le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe, à partir de son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par son centre de gravité., qui additionne l'inertie propre de chaque partie à un terme de transport (\(A_{\text{i}} \cdot d_{\text{i}}^2\)) qui dépend de la distance entre le centre de gravité de la partie et le centre de gravité global.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Prenez votre temps sur cette étape. Une erreur ici se propage dans tous les calculs suivants. Double-vérifiez toujours le théorème de Huygens, c'est une source d'erreur classique.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des caractéristiques géométriques des sections est une application directe de la Résistance des Matériaux, une base fondamentale du génie civil dont les principes sont repris dans l'annexe A de l'Eurocode 2.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section de béton est homogène et non fissurée. On néglige la surface des gaines de précontrainte dans ce calcul initial, une simplification courante pour le pré-dimensionnement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Position du centre de gravité :

\[ y_{\text{g}} = \frac{\sum (A_{\text{i}} \cdot y_{\text{i}})}{\sum A_{\text{i}}} \]

Moment d'inertie (Théorème de Huygens) :

\[ I_{\text{g}} = \sum (I_{\text{gi}} + A_{\text{i}} \cdot d_{\text{i}}^2) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On décompose la section en deux rectangles : la table (1) et l'âme (2). On prend l'origine des \(y\) à la base de la section.

  • Rectangle 1 (Table) : \(b_1=800 \, \text{mm}\), \(h_1=180 \, \text{mm}\).
  • Rectangle 2 (Âme) : \(b_2=200 \, \text{mm}\), \(h_2=520 \, \text{mm}\).
Calcul(s) (l'application numérique)

Aires et positions des centres de gravité partiels :

  • Rectangle 1 (Table) : \(A_1 = 144000 \, \text{mm}^2\). \(y_1 = 700 - 180/2 = 610 \, \text{mm}\).
  • Rectangle 2 (Âme) : \(A_2 = 104000 \, \text{mm}^2\). \(y_2 = 520/2 = 260 \, \text{mm}\).

Inerties propres de chaque rectangle :

  • \(I_{\text{g1}} = \frac{800 \cdot 180^3}{12} = 3.888 \cdot 10^8 \, \text{mm}^4\).
  • \(I_{\text{g2}} = \frac{200 \cdot 520^3}{12} = 2.343 \cdot 10^9 \, \text{mm}^4\).

Aire totale :

\[ \begin{aligned} A &= A_1 + A_2 \\ &= 144000 + 104000 \\ &= 248000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Position du centre de gravité global (depuis la base) :

\[ \begin{aligned} y_{\text{g}} &= \frac{144000 \cdot 610 + 104000 \cdot 260}{248000} \\ &= \frac{87840000 + 27040000}{248000} \\ &= 463.2 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Distances pour le théorème de Huygens :

  • \(d_1 = |y_1 - y_{\text{g}}| = |610 - 463.2| = 146.8 \, \text{mm}\)
  • \(d_2 = |y_2 - y_{\text{g}}| = |260 - 463.2| = 203.2 \, \text{mm}\)

Moment d'inertie total :

\[ \begin{aligned} I_{\text{g}} &= (I_{\text{g1}} + A_1 d_1^2) + (I_{\text{g2}} + A_2 d_2^2) \\ &= (3.888 \cdot 10^8 + 144000 \cdot 146.8^2) + (2.343 \cdot 10^9 + 104000 \cdot 203.2^2) \\ &= (3.888 \cdot 10^8 + 3.10 \cdot 10^9) + (2.343 \cdot 10^9 + 4.29 \cdot 10^9) \\ &= 1.012 \cdot 10^{10} \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La position du centre de gravité (463.2 mm) est bien plus proche de la table supérieure que de la base. C'est logique car la table a une grande surface. Cela signifie que la fibre supérieure sera moins sollicitée en flexion que la fibre inférieure, car elle est plus proche de l'axe neutre.

Point à retenir : Le calcul des caractéristiques géométriques est l'étape fondamentale qui définit la "carte d'identité" de la section pour résister aux efforts.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le point de départ obligatoire. Sans l'aire, le centre de gravité et l'inertie, aucune contrainte ne peut être calculée. C'est la base de toute l'analyse qui suit.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à l'origine des axes ! Tous les calculs de moments statiques et du théorème de Huygens doivent être faits par rapport à un axe de référence commun (ici, la base de la section) avant de tout ramener au centre de gravité global.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'ingénieur Eugène Freyssinet, pionnier de la précontrainte, a compris que pour optimiser une poutre, il fallait concentrer la matière loin de l'axe neutre, d'où la forme efficace des poutres en I ou en T qui maximisent le moment d'inertie pour une quantité de béton donnée.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on prendre en compte les aciers passifs dans ce calcul ?

Non, à ce stade on calcule les caractéristiques de la section de béton seule (section brute). L'influence des aciers est généralement négligée pour le calcul des contraintes en service, car leur surface est faible par rapport à celle du béton.

Résultat Final : \(A = 248000 \, \text{mm}^2\), \(y_{\text{g}} = 463.2 \, \text{mm}\) (depuis la base), \(I_{\text{g}} = 1.012 \cdot 10^{10} \, \text{mm}^4\).

À vous de jouer : Si la table faisait 200 mm de haut au lieu de 180, le centre de gravité...

Question 2 : Contraintes dues à la précontrainte seule

Principe avec image animée (le concept physique)
P = -P/A + M=P.e

L'effort de précontrainteLa force de traction appliquée aux câbles d'acier, qui se transmet au béton sous forme de compression. \(P_{\text{m}}\) est appliqué avec une excentricitéDistance entre la position du câble de précontrainte et le centre de gravité de la section en béton. C'est cette distance qui crée le moment de flexion interne. \(e\) par rapport au centre de gravité. Il a donc un double effet : un effort de compression centré (\(N = -P_{\text{m}}\)) et un moment de flexion (\(M_{\text{p}} = P_{\text{m}} \cdot e\)). On calcule les contraintes générées par chacun de ces deux efforts et on les additionne.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de contrainte \(\sigma = N/A + M \cdot y / I\) est la formule de Navier pour la flexion composéeSollicitation combinée d'un effort normal (compression ou traction) et d'un moment fléchissant.. Elle est fondamentale en résistance des matériaux. Elle montre que la contrainte en un point est la somme d'une contrainte uniforme (due à l'effort normal N) et d'une contrainte variant linéairement avec la distance à l'axe neutre (due au moment M).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Visualisez bien les deux effets : la compression uniforme (-P/A) qui "décale" tout le diagramme de contraintes vers la gauche (compression), et la flexion (due à 'e') qui le fait "pivoter" autour du centre de gravité. La somme des deux donne la distribution finale.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 (section 5.10) définit les principes de calcul pour la précontrainte. La formule de contrainte utilisée est une application directe de la théorie des poutres et de la RDM.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'effort de précontrainte \(P_{\text{m}}\) est déjà net des pertes (immédiates et différées). On considère que le câble est parfaitement adhérent au béton (cas d'une post-tension avec injection de coulis de ciment).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte due à la précontrainte excentrée :

\[ \sigma_{\text{p}}(y) = \frac{-P_{\text{m}}}{A} + \frac{(P_{\text{m}} \cdot e) \cdot y}{I_{\text{g}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(P_{\text{m}} = 1500 \, \text{kN} = 1.5 \cdot 10^6 \, \text{N}\)
  • \(e = 250 \, \text{mm}\)
  • \(A = 248000 \, \text{mm}^2\)
  • \(I_{\text{g}} = 1.012 \cdot 10^{10} \, \text{mm}^4\)
  • Fibres extrêmes : \(y_{\text{sup}} = +236.8 \, \text{mm}\) ; \(y_{\text{inf}} = -463.2 \, \text{mm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Contrainte de compression uniforme :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{N}} &= \frac{-1500 \cdot 10^3 \, \text{N}}{248000 \, \text{mm}^2} \\ &= -6.05 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Moment de flexion dû à l'excentricité :

\[ \begin{aligned} M_{\text{p}} &= P_{\text{m}} \cdot e \\ &= 1500 \cdot 10^3 \cdot 250 \\ &= 3.75 \cdot 10^8 \, \text{N.mm} \end{aligned} \]

Contraintes de flexion dues à ce moment :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{M,sup}} &= \frac{M_{\text{p}} \cdot y_{\text{sup}}}{I_{\text{g}}} \\ &= \frac{3.75 \cdot 10^8 \cdot 236.8}{1.012 \cdot 10^{10}} \\ &= +8.79 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{M,inf}} &= \frac{M_{\text{p}} \cdot y_{\text{inf}}}{I_{\text{g}}} \\ &= \frac{3.75 \cdot 10^8 \cdot (-463.2)}{1.012 \cdot 10^{10}} \\ &= -17.16 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Contraintes totales dues à la précontrainte :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{p,sup}} &= \sigma_{\text{N}} + \sigma_{\text{M,sup}} \\ &= -6.05 + 8.79 \\ &= +2.74 \, \text{MPa} \quad (\text{Traction}) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{p,inf}} &= \sigma_{\text{N}} + \sigma_{\text{M,inf}} \\ &= -6.05 - 17.16 \\ &= -23.21 \, \text{MPa} \quad (\text{Compression}) \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le but est atteint : on a créé une forte compression à la base (-23.21 MPa) là où les charges vont créer de la traction. C'est une "réserve de compression". En haut, on a même une légère traction, qui sera (on l'espère) annulée et inversée par la compression due aux charges.

Point à retenir : La précontrainte excentrée génère à la fois une compression uniforme et un moment de flexion interne.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape quantifie l'effet bénéfique de la précontrainte. C'est le point de départ de notre état de contrainte avant même d'appliquer la moindre charge extérieure. On crée un état de contrainte "favorable" a priori.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes ! Une compression est négative. Une excentricité 'e' vers le bas (sous le centre de gravité) crée un moment positif qui tend la fibre inférieure (y<0) et comprime la fibre supérieure (y>0). La cohérence des signes est cruciale.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les pertes de précontrainte peuvent atteindre 20 à 30% de la tension initiale ! Elles sont dues au frottement dans les gaines, au recul d'ancrage, au retrait et au fluage du béton, et à la relaxation des aciers. L'ingénieur doit les estimer avec précision.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'effort est-il \(P_{\text{m}}\) (moyen) et non \(P_0\) (initial) ?

On vérifie les contraintes en service, c'est-à-dire après un certain temps (souvent noté t=∞). L'effort initial \(P_0\) a donc déjà diminué à cause des pertes pour atteindre sa valeur à long terme, \(P_{\text{m}}\).

Résultat Final : La précontrainte seule génère une traction de \(+2.74 \, \text{MPa}\) en fibre supérieure et une compression de \(-23.21 \, \text{MPa}\) en fibre inférieure.

À vous de jouer : Si l'excentricité 'e' était nulle (câble centré), quelle serait la contrainte (en MPa) dans la section ?

Question 3 : Contraintes dues aux charges

Principe avec image animée (le concept physique)
Charges (G+Q) -σ (comp.) +σ (trac.)

Les charges permanentes (poids propre) et d'exploitation créent un moment de flexion positifPar convention, un moment qui tend la fibre inférieure et comprime la fibre supérieure de la poutre (la poutre "sourit"). (qui tend la fibre inférieure et comprime la fibre supérieure). On calcule les contraintes générées par ces moments en utilisant la formule de flexion classique de Navier.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(\sigma = M \cdot y / I\) indique que pour un moment donné, la contrainte est maximale aux fibres les plus éloignées de l'axe neutre (y max). C'est pourquoi on vérifie toujours les contraintes en fibre supérieure et inférieure. La contrainte est nulle sur l'axe neutre (y=0).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Notez que les charges (poids propre, exploitation) créent un diagramme de contraintes opposé à celui du moment de précontrainte. C'est tout le principe de la précontrainte : les contraintes "favorables" de la précontrainte viennent annuler les contraintes "défavorables" des charges.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des contraintes de flexion est basé sur la théorie des poutres (RDM) et est formalisé dans l'Eurocode 2, section 6.1 pour le calcul à l'ELU, et section 7.2 pour les vérifications de contraintes à l'ELS.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On reste dans le domaine élastique et linéaire du béton. On considère la section de béton comme non fissurée pour ce calcul de contraintes à l'ELS, ce qui est l'objectif de la précontrainte.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte de flexion (Formule de Navier) :

\[ \sigma_{\text{M}}(y) = \frac{-M \cdot y}{I_{\text{g}}} \]

Note : Le signe '-' vient de la convention où un moment positif (poutre qui "sourit") crée de la compression (contrainte négative) pour y > 0 (fibre supérieure).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{G}} = 450 \, \text{kN.m} = 4.5 \cdot 10^8 \, \text{N.mm}\)
  • \(M_{\text{Q}} = 350 \, \text{kN.m} = 3.5 \cdot 10^8 \, \text{N.mm}\)
  • \(I_{\text{g}} = 1.012 \cdot 10^{10} \, \text{mm}^4\)
  • Fibres extrêmes : \(y_{\text{sup}} = +236.8 \, \text{mm}\) ; \(y_{\text{inf}} = -463.2 \, \text{mm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Contraintes dues à \(M_{\text{G}}\) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{G,sup}} &= \frac{-4.5 \cdot 10^8 \cdot 236.8}{1.012 \cdot 10^{10}} \\ &= -10.54 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{G,inf}} &= \frac{-4.5 \cdot 10^8 \cdot (-463.2)}{1.012 \cdot 10^{10}} \\ &= +20.59 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Contraintes dues à \(M_{\text{Q}}\) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{Q,sup}} &= \frac{-3.5 \cdot 10^8 \cdot 236.8}{1.012 \cdot 10^{10}} \\ &= -8.20 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{Q,inf}} &= \frac{-3.5 \cdot 10^8 \cdot (-463.2)}{1.012 \cdot 10^{10}} \\ &= +16.02 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme attendu, les moments de flexion dus aux charges créent de la compression en haut et de la traction en bas. La traction due au poids propre (+20.59 MPa) est très importante et serait inacceptable pour du béton non précontraint.

Point à retenir : Les charges de service (poids propre, exploitation) génèrent des contraintes de flexion qui s'opposent à celles créées par le moment de précontrainte.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape quantifie les contraintes "défavorables" que la précontrainte doit combattre. Sans ce calcul, on ne peut pas vérifier si la précontrainte choisie est suffisante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Incohérence des unités : C'est l'erreur la plus commune. Assurez-vous que toutes vos unités sont cohérentes (par exemple, N et mm) avant d'appliquer la formule. Convertir les kN.m en N.mm est une étape cruciale.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les ponts construits par encorbellements successifs, les contraintes changent de signe pendant la construction. La section au-dessus de la pile est en console (fibre supérieure tendue), puis devient une section de travée (fibre inférieure tendue) une fois le pont terminé. La gestion de la précontrainte doit s'adapter à ces phases.

FAQ (pour lever les doutes)
Le poids propre est-il toujours une charge permanente ?

Oui, le poids propre de la structure est la charge permanente par excellence. Il est toujours présent et son intensité est connue avec une grande certitude. C'est la première charge à considérer dans tout calcul de structure.

Résultat Final : \(M_{\text{G}}\) crée \(-10.54 / +20.59 \, \text{MPa}\) et \(M_{\text{Q}}\) crée \(-8.20 / +16.02 \, \text{MPa}\) (contraintes sup / inf).

À vous de jouer : Si le moment d'inertie \(I_{\text{g}}\) était plus grand, la contrainte de flexion due aux charges serait...

Question 4 : Vérification à l'ELS sous combinaison fréquente

Principe avec image animée (le concept physique)
σ_p σ_G σ_Q = σ_tot

Le principe de superpositionPrincipe valable en comportement élastique linéaire, qui stipule que l'effet de plusieurs charges agissant simultanément est la somme des effets que chaque charge produirait si elle agissait seule., valable dans le domaine élastique, nous permet d'additionner simplement les contraintes calculées à chaque étape (précontrainte, charges permanentes, charges variables) pour obtenir la contrainte finale. Cette contrainte totale est ensuite comparée aux limites admissibles pour valider ou non le dimensionnement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'Eurocode définit plusieurs combinaisons d'actions à l'ELS. La combinaison "fréquente"Combinaison de charges utilisée pour les vérifications à l'ELS. Elle représente une situation de chargement qui se produit souvent dans la vie de l'ouvrage (ex: trafic dense). (\(G + P + \psi_1 Q\)) est utilisée pour les vérifications de fissuration et de compression. Le coefficient \(\psi_1\) réduit la charge variable pour représenter une valeur qui a une forte probabilité d'être dépassée pendant une courte durée (ex: trafic dense mais pas exceptionnel sur un pont).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : C'est l'étape de vérité. On voit ici si notre conception (géométrie de la poutre, force et position de la précontrainte) est adéquate pour résister aux charges. Si la vérification ne passe pas, il faut modifier un des paramètres : augmenter la précontrainte, changer son excentricité, ou redimensionner la poutre.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification des contraintes à l'ELS est régie par la section 7.2 de l'Eurocode 2. Les limites de contrainte (ex: \(0.6 f_{\text{ck}}\) en compression) sont données dans le tableau 7.1N de la norme.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique la combinaison fréquente comme demandé. On considère que les limites de contraintes données sont applicables à notre cas (classe d'exposition, etc.).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de superposition des contraintes :

\[ \sigma_{\text{tot}} = \sigma_{\text{p}} + \sigma_{\text{G}} + \psi_1 \cdot \sigma_{\text{Q}} \le \sigma_{\text{limite}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contraintes de précontrainte : \(\sigma_{\text{p,sup}} = +2.74\) MPa ; \(\sigma_{\text{p,inf}} = -23.21\) MPa
  • Contraintes de charges permanentes : \(\sigma_{\text{G,sup}} = -10.54\) MPa ; \(\sigma_{\text{G,inf}} = +20.59\) MPa
  • Contraintes de charges variables : \(\sigma_{\text{Q,sup}} = -8.20\) MPa ; \(\sigma_{\text{Q,inf}} = +16.02\) MPa
  • \(\psi_1 = 0.75\)
  • Limites : \(\sigma_{\text{c,lim}} = -24\) MPa ; \(\sigma_{\text{t,lim}} = 0\) MPa
Calcul(s) (l'application numérique)

Contrainte en fibre supérieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{sup}} &= \sigma_{\text{p,sup}} + \sigma_{\text{G,sup}} + \psi_1 \cdot \sigma_{\text{Q,sup}} \\ &= 2.74 - 10.54 + 0.75 \cdot (-8.20) \\ &= -7.8 - 6.15 \\ &= -13.95 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Contrainte en fibre inférieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{inf}} &= \sigma_{\text{p,inf}} + \sigma_{\text{G,inf}} + \psi_1 \cdot \sigma_{\text{Q,inf}} \\ &= -23.21 + 20.59 + 0.75 \cdot (16.02) \\ &= -2.62 + 12.02 \\ &= +9.40 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Vérification :

  • Compression : \(|\sigma_{\text{sup}}| = 13.95 \, \text{MPa} \le 24 \, \text{MPa}\) (VÉRIFIÉ)
  • Traction : \(\sigma_{\text{inf}} = +9.40 \, \text{MPa} > 0 \, \text{MPa}\) (NON VÉRIFIÉ)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La poutre est correctement dimensionnée pour la compression en fibre supérieure. Cependant, la précontrainte n'est pas suffisante pour compenser la traction générée par les charges en fibre inférieure. La poutre va donc se fissurer en service, ce qui n'est pas acceptable pour la classe d'expositionClassification des conditions environnementales auxquelles le béton est exposé (ex: humidité, gel, agents chimiques). Elle détermine les exigences de durabilité, comme l'enrobage et la limitation de la fissuration. visée. Il faudrait augmenter la force de précontrainte ou l'excentricité.

Point à retenir : La vérification finale consiste à superposer tous les états de contrainte et à les comparer aux limites admissibles pour chaque fibre.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est l'aboutissement de l'étude. Cette étape permet de conclure sur la validité du dimensionnement de la section pour les conditions de service normales.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier le coefficient \(\psi_1\) : Appliquer la totalité de la charge d'exploitation dans une combinaison fréquente est une erreur. Cela conduit à un surdimensionnement et ne reflète pas la réalité du comportement de la structure.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour optimiser une poutre, on ne vérifie pas qu'une seule section. On vérifie plusieurs sections critiques (sur appui, à mi-travée) et à plusieurs moments de la vie de l'ouvrage (à la mise en tension, en service). Le tracé du câble de précontrainte est souvent parabolique pour suivre au mieux le diagramme du moment fléchissant.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si la vérification n'est pas satisfaite ?

Plusieurs solutions : 1) Augmenter la force de précontrainte \(P_{\text{m}}\). 2) Augmenter l'excentricité \(e\) (si possible). 3) Augmenter les dimensions de la section (hauteur, largeur de la table) pour augmenter son inertie. 4) Utiliser un béton de classe de résistance supérieure. Le choix dépend des contraintes du projet.

Résultat Final : La contrainte de compression est vérifiée (\(-13.95 \, \text{MPa}\)), mais la contrainte de traction en fibre inférieure (\(+9.40 \, \text{MPa}\)) dépasse la limite de 0 MPa. La section n'est pas validée.

À vous de jouer : Pour annuler la traction en fibre inférieure, faudrait-il augmenter ou diminuer la force de précontrainte \(P_{\text{m}}\) ?

Mini Fiche Mémo : Vérification d'une Section Précontrainte

Étape Formule Clé & Objectif
1. Géométrie \( y_{\text{g}} = \frac{\sum A_i y_i}{A} \) ; \( I_{\text{g}} = \sum (I_{\text{gi}} + A_i d_i^2) \)
Déterminer les propriétés de la section pour les calculs de contraintes.
2. Contraintes (Précontrainte) \( \sigma_{\text{p}} = -P/A \pm (P \cdot e \cdot y)/I_{\text{g}} \)
Calculer l'effet de "mise en compression" de la poutre.
3. Contraintes (Charges) \( \sigma_{\text{M}} = \mp (M \cdot y)/I_{\text{g}} \)
Calculer l'effet de flexion dû aux charges extérieures.
4. Vérification (ELS) \( \sigma_{\text{tot}} = \sigma_{\text{p}} + \sigma_{\text{G}} + \psi \cdot \sigma_{\text{Q}} \le \sigma_{\text{limite}} \)
Combiner tous les effets et comparer aux limites réglementaires.

Outil Interactif : Analyse de Contraintes

Modifiez la précontrainte et les charges pour voir comment les contraintes évoluent.

Paramètres
1500 kN
350 kN.m
Résultats (Combinaison Fréquente)
Contrainte Supérieure -
Contrainte Inférieure -

Le Saviez-Vous ?

Le viaduc de Millau, un des ponts les plus hauts du monde, est un chef-d'œuvre de l'ingénierie du béton précontraint. Ses haubans (câbles extérieurs) agissent comme une précontrainte externe qui aide le tablier à supporter son propre poids et celui du trafic sur des portées de plus de 340 mètres.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la traction est-elle si limitée en béton précontraint ?

L'objectif principal de la précontrainte est de maintenir le béton en compression pour éviter l'apparition de fissures. La fissuration peut exposer les aciers (classiques et de précontrainte) à la corrosion, ce qui met en danger la durabilité de l'ouvrage. Pour les structures dans des environnements agressifs (marins, gel/dégel), on impose souvent une décompression totale (aucune traction admise).

Quelle est la différence entre pré-tension et post-tension ?

En pré-tension, les câbles sont tendus sur un banc de préfabrication *avant* que le béton ne soit coulé. Une fois que le béton a durci, on relâche les câbles, et leur tendance à se raccourcir met le béton en compression. En post-tension, on coule le béton en laissant des gaines vides. Une fois le béton durci, on enfile les câbles dans les gaines, on les tend avec des vérins, puis on les ancre aux extrémités de la poutre.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente l'effort de précontrainte \(P_{\text{m}}\), la compression en fibre inférieure va :

2. L'objectif principal de la précontrainte est de :

Post-tension
Technique de précontrainte où les câbles sont tendus après que le béton a atteint une résistance suffisante.
Excentricité (e)
Distance entre le point d'application d'une force (ici, le câble de précontrainte) et le centre de gravité de la section sur laquelle elle s'applique.
Combinaison fréquente (ELS)
Combinaison d'actions utilisée pour les vérifications relatives au confort des usagers et à la durabilité (fissuration, déformation). Elle considère les charges permanentes et la partie "fréquente" des charges variables.
Fibre supérieure / inférieure
Points les plus hauts et les plus bas d'une section de poutre, là où les contraintes de flexion sont maximales.
Fondamentaux du Génie Civil : Vérification d'une Section en Béton Précontraint

D’autres exercices de béton précontraint:

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