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Vérification au voilement d’une âme de poutre métallique

Vérification au Voilement d'une Âme de Poutre Métallique

Vérification au voilement d’une âme de poutre métallique

Contexte : La stabilité des poutres métalliques.

En construction métallique, les poutres en I ou en H sont optimisées pour résister à la flexion. Cependant, leur âmePartie verticale d'un profilé en I ou H qui relie les deux semelles (parties horizontales). Elle reprend principalement l'effort tranchant., souvent très mince, est susceptible de se déformer localement sous l'effet de l'effort tranchant : c'est le phénomène de voilementPhénomène d'instabilité d'une plaque mince qui perd sa forme plane sous l'effet de contraintes de compression ou de cisaillement, sans que le matériau n'ait atteint sa limite d'élasticité.. Cet exercice vous guide à travers la vérification de la résistance au voilement par cisaillement d'une âme de poutre selon la norme Eurocode 3Ensemble de normes européennes pour le calcul des structures en acier. La partie 1-5 traite spécifiquement du calcul des plaques planes, incluant le voilement..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour tout ingénieur en structure métallique. Il illustre un concept clé de la stabilité des structures : une pièce peut rompre non pas par dépassement de la résistance du matériau, mais par perte de sa forme géométrique. Vous apprendrez à appliquer une méthode réglementaire complexe pour garantir la sécurité d'un élément structural.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le phénomène de voilement par cisaillement.
  • Identifier les paramètres géométriques et matériels qui influencent la stabilité.
  • Calculer l'élancementRapport entre la hauteur et l'épaisseur d'une plaque (l'âme). Un élancement élevé indique une âme mince et donc plus sensible au voilement. d'une âme de poutre.
  • Déterminer la résistance au voilement selon la méthode de l'Eurocode 3.
  • Vérifier la sécurité de la poutre et conclure sur la nécessité d'ajouter des raidisseursPlaques d'acier soudées sur l'âme pour augmenter sa rigidité et empêcher le voilement..

Données de l'étude

On étudie une poutre métallique de profilé IPE 400 en acier S235, soumise à un effort tranchant de calcul \(V_{\text{Ed}} = 350 \, \text{kN}\). On souhaite vérifier si l'âme de cette poutre résiste au voilement par cisaillement sans avoir besoin de raidisseurs.

Section transversale du profilé IPE 400
h = 400 mm b = 180 mm tw = 8.5 mm tf = 13.5 mm
Visualisation 3D du voilement (exagéré)
Paramètre Description Symbole Valeur Unité
Profilé Type de poutre - IPE 400 -
Hauteur totale Hauteur de la section \(h\) 400 mm
Épaisseur de l'âme Épaisseur de la partie verticale \(t_{\text{w}}\) 8.5 mm
Épaisseur de la semelle Épaisseur des parties horizontales \(t_{\text{f}}\) 13.5 mm
Nuance d'acier Qualité du matériau - S235 -
Limite d'élasticité Résistance de l'acier \(f_{\text{y}}\) 235 MPa
Effort tranchant Sollicitation de calcul \(V_{\text{Ed}}\) 350 kN
Coefficient partiel Coefficient de sécurité matériau \(\gamma_{\text{M1}}\) 1.0 -

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur de l'âme droite \(h_{\text{w}}\).
  2. Vérifier si l'âme est sensible au voilement en calculant son élancement \(h_{\text{w}} / t_{\text{w}}\).
  3. Calculer l'élancement relatif \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\) de l'âme.
  4. Déterminer le facteur de réduction pour le voilement \(\chi_{\text{w}}\).
  5. Calculer la résistance de calcul au voilement par cisaillement \(V_{\text{b,Rd}}\) et conclure.

Les bases du voilement selon l'Eurocode 3

Avant de commencer les calculs, comprenons la logique de la vérification au voilement.

1. Le Voilement : une instabilité de forme
Contrairement à la rupture par plasticité (où le matériau "casse"), le voilement est une défaillance par instabilité. Une plaque mince (l'âme) soumise à des contraintes de cisaillement peut "gondoler" bien avant que l'acier n'atteigne sa limite d'élasticité. La vérification vise à s'assurer que cela ne se produise pas sous les charges de service.

2. Le critère de vérification
La règle fondamentale de l'Eurocode 3 est simple : l'effort appliqué doit être inférieur à la résistance. Pour le voilement par cisaillement, cela se traduit par : \[ V_{\text{Ed}} \le V_{\text{b,Rd}} \] Où \(V_{\text{Ed}}\) est l'effort tranchant de calcul et \(V_{\text{b,Rd}}\) est la résistance de calcul au voilement.

3. La résistance au voilement \(V_{\text{b,Rd}}\)
La résistance dépend de la résistance plastique au cisaillement, mais elle est réduite par un facteur \(\chi_{\text{w}}\) qui tient compte de la sensibilité de l'âme au voilement. \[ V_{\text{b,Rd}} = \frac{\chi_{\text{w}} f_{\text{yw}} h_{\text{w}} t_{\text{w}}}{\sqrt{3} \gamma_{\text{M1}}} \] Plus l'âme est élancée (grande hauteur \(h_{\text{w}}\) pour une faible épaisseur \(t_{\text{w}}\)), plus le facteur de réduction \(\chi_{\text{w}}\) sera faible, et donc plus la résistance au voilement diminuera.

Correction : Vérification au voilement d’une âme de poutre métallique

Question 1 : Calculer la hauteur de l'âme droite \(h_{\text{w}}\)

Principe (le concept physique)

La hauteur de l'âme à considérer pour le calcul du voilement n'est pas la hauteur totale du profilé. Il s'agit de la hauteur "libre" de l'âme, c'est-à-dire la distance entre les semelles, qui sont les éléments rigides qui la maintiennent.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les semelles, beaucoup plus rigides que l'âme, agissent comme des appuis qui empêchent les bords supérieur et inférieur de l'âme de se déplacer. Le phénomène d'instabilité (voilement) se développe donc uniquement sur la hauteur non-raidie, que l'on appelle la hauteur d'âme droite \(h_{\text{w}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape de tout calcul de structure est de bien définir la géométrie du problème. Ici, isoler la "plaque" pertinente, c'est-à-dire l'âme droite, est crucial. Une erreur sur cette dimension faussera tous les calculs suivants.

Normes (la référence réglementaire)

La définition de \(h_{\text{w}}\) comme la distance entre les congés de raccordement (ou la hauteur totale moins deux épaisseurs de semelle pour les profilés soudés) est une convention standard de l'Eurocode 3 (EN 1993-1-1).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hauteur de l'âme droite :

\[ h_{\text{w}} = h - 2 \times t_{\text{f}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige les congés de raccordement entre l'âme et les semelles. Cette simplification est courante et légèrement conservative (elle augmente un peu la hauteur calculée de l'âme).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur totale, \(h = 400 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de la semelle, \(t_{\text{f}} = 13.5 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les profilés normalisés (IPE, HEA, etc.), cette valeur est souvent directement donnée dans les catalogues de produits, ce qui évite de la recalculer à chaque fois.

Schéma (Avant les calculs)
Isolation de la hauteur d'âme droite
hhw = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} h_{\text{w}} &= 400 \, \text{mm} - 2 \times 13.5 \, \text{mm} \\ &= 400 \, \text{mm} - 27 \, \text{mm} \\ &= 373 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur de la hauteur d'âme droite
hw = 373 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 373 mm représente la hauteur de la plaque qui va être étudiée pour sa stabilité au voilement. C'est cette dimension, et non les 400 mm totaux, qui gouverne le phénomène.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre l'épaisseur de l'âme (\(t_{\text{w}}\)) et l'épaisseur de la semelle (\(t_{\text{f}}\)) lors de la lecture des données. Une inversion conduirait à une valeur de \(h_{\text{w}}\) complètement erronée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La hauteur de calcul pour le voilement est la hauteur "libre" de l'âme, notée \(h_{\text{w}}\).
  • Elle est obtenue en soustrayant l'épaisseur des deux semelles de la hauteur totale du profilé.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premiers profilés en "I" ont été développés au 19ème siècle pour les chemins de fer. Leur forme est une optimisation remarquable : elle place un maximum de matière loin de l'axe neutre (dans les semelles) pour maximiser l'inertie et la résistance à la flexion, tout en utilisant un minimum de matière pour relier ces semelles (l'âme).

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on prendre en compte les congés de raccordement ?

Pour un calcul manuel, on les néglige généralement. La formule \(h - 2t_{\text{f}}\) est une simplification acceptée. Les logiciels de calcul plus avancés peuvent les prendre en compte pour une plus grande précision, mais la différence est souvent minime.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La hauteur de l'âme droite est \(h_{\text{w}} = 373 \, \text{mm}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un profilé IPE 300 (h=300 mm, t_f=10.7 mm), quelle serait la valeur de \(h_{\text{w}}\) en mm ?

Question 2 : Vérifier si l'âme est sensible au voilement en calculant son élancement \(h_{\text{w}} / t_{\text{w}}\)

Principe (le concept physique)

L'élancement géométrique \(h_{\text{w}} / t_{\text{w}}\) est le rapport entre la hauteur et l'épaisseur de l'âme. Il mesure à quel point l'âme est "mince". L'Eurocode 3 définit une limite : en dessous, l'âme est considérée comme "trapue" et ne voilera pas avant de plastifier ; au-dessus, elle est "élancée" et une vérification au voilement est obligatoire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La limite de 72\(\varepsilon\) n'est pas arbitraire. Elle correspond à la frontière où la contrainte critique de voilement élastique (calculée par la théorie des plaques) devient inférieure à la limite d'élasticité en cisaillement de l'acier (\(f_{\text{y}} / \sqrt{3}\)). C'est le point de bascule entre un mode de ruine par plasticité et un mode de ruine par instabilité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette vérification préliminaire est un "filtre" très important. Elle permet d'éviter des calculs longs et complexes pour une grande majorité de profilés laminés courants, qui sont conçus pour ne pas être sensibles au voilement dans des conditions normales d'utilisation.

Normes (la référence réglementaire)

Selon l'EN 1993-1-5, §5.1(2), la vérification au voilement par cisaillement est requise si :

\[ \frac{h_{\text{w}}}{t_{\text{w}}} > 72 \frac{\varepsilon}{ \eta} \]

Avec \(\varepsilon = \sqrt{235/f_{\text{y}}}\) et \(\eta = 1.0\) pour les aciers laminés.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Élancement :

\[ \frac{h_{\text{w}}}{t_{\text{w}}} \]

Limite :

\[ 72 \frac{\varepsilon}{\eta} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère une âme sans raidisseurs transversaux. La présence de raidisseurs changerait la condition limite.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur de l'âme, \(h_{\text{w}} = 373 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de l'âme, \(t_{\text{w}} = 8.5 \, \text{mm}\)
  • Limite d'élasticité, \(f_{\text{y}} = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un acier S235, le facteur \(\varepsilon\) vaut toujours 1.0. Pour un acier S355, \(\varepsilon\) vaut \(\sqrt{235/355} = 0.81\). Connaître ces valeurs par cœur peut accélérer les vérifications.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison de l'élancement à la limite
hw / tw = ?Limite = 72ε / η?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'élancement de l'âme :

\[ \begin{aligned} \frac{h_{\text{w}}}{t_{\text{w}}} &= \frac{373 \, \text{mm}}{8.5 \, \text{mm}} \\ &= 43.88 \end{aligned} \]

2. Calcul de la limite :

\[ \begin{aligned} \varepsilon &= \sqrt{\frac{235}{235}} \\ &= 1.0 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 72 \frac{\varepsilon}{\eta} &= 72 \times \frac{1.0}{1.0} \\ &= 72 \end{aligned} \]

3. Comparaison :

\[ 43.88 \le 72 \Rightarrow \text{OK} \]
Schéma (Après les calculs)
Conclusion de la vérification
43.88 ≤ 72 ✔️ Pas de voilement
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'élancement de l'âme est bien inférieur à la limite fixée par la norme. Cela signifie que l'âme est considérée comme "trapue" et ne risque pas de voiler. Sa résistance sera donc gouvernée par la plastification de l'acier, qui est un mode de ruine ductile et prévisible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur \(\varepsilon\). Pour des aciers de plus haute résistance (S355, S460), \(\varepsilon\) est inférieur à 1, ce qui rend la limite plus sévère. Une âme qui passe en S235 pourrait nécessiter une vérification au voilement en S355.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Une âme n'est pas toujours sensible au voilement.
  • La première étape est de comparer son élancement \(h_{\text{w}}/t_{\text{w}}\) à la limite normative \(72\varepsilon/\eta\).
  • Si l'élancement est inférieur à la limite, la vérification au voilement n'est pas nécessaire.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans l'aéronautique, les ingénieurs travaillent souvent avec des panneaux très élancés pour minimiser le poids. Ils utilisent le concept de "champ de tensions diagonales", où l'on accepte que l'âme voile, mais on calcule la résistance post-voilement de la structure, qui se comporte alors comme un treillis.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette règle s'applique-t-elle aussi aux profilés soudés ?

Oui, mais le facteur \(\eta\) peut être différent de 1.0 en fonction des procédés de fabrication et des contraintes résiduelles, ce qui peut légèrement modifier la limite. Pour les profilés reconstitués soudés (PRS), on utilise généralement \(\eta = 1.2\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Puisque \(43.88 \le 72\), l'âme n'est pas sensible au voilement. La vérification pourrait s'arrêter ici, la résistance étant égale à la résistance plastique.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Une âme de 600 mm de haut et 8 mm d'épaisseur en acier S355 (\(\varepsilon=0.81\)) est-elle sensible au voilement ? (Limite = \(72 \times 0.81 = 58.32\))

Note Pédagogique : Pour les besoins de l'exercice, nous allons continuer le calcul comme si l'âme était élancée (en supposant que la limite était de 40 au lieu de 72), afin de dérouler la méthode complète.

Question 3 : Calculer l'élancement relatif \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\) de l'âme

Principe (le concept physique)

L'élancement relatif \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\) est un nombre sans dimension qui normalise l'élancement géométrique. Il met en relation la résistance du matériau (\(f_{\text{y}}\)) et la contrainte critique de voilement élastique (théorie d'Euler pour les plaques). C'est le paramètre fondamental qui sera utilisé dans les formules de résistance au voilement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Conceptuellement, l'élancement relatif est défini comme :

\[\bar{\lambda}_{\text{w}} = \sqrt{\frac{f_{\text{yw}}}{\tau_{\text{cr}}}}\]

où \(f_{\text{yw}}\) est la résistance plastique en cisaillement et \(\tau_{\text{cr}}\) est la contrainte critique de voilement élastique. La formule de l'Eurocode est une forme simplifiée de cette définition fondamentale. Un \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\) faible indique un comportement plastique, un \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\) élevé indique un comportement élastique instable.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne soyez pas intimidé par la complexité apparente de la formule. Chaque terme a une signification physique : \(h_{\text{w}}/t_{\text{w}}\) pour la géométrie, \(\varepsilon\) pour la nuance d'acier, et \(k_{\tau}\) pour les conditions d'appui de la plaque (ici, une âme sans raidisseurs).

Normes (la référence réglementaire)

La formule de l'élancement relatif pour le cisaillement est donnée à l'article 5.2 de l'EN 1993-1-5.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'élancement relatif est donné par :

\[ \bar{\lambda}_{\text{w}} = \frac{h_{\text{w}}}{37.4 \cdot t_{\text{w}} \cdot \varepsilon \cdot \sqrt{k_{\tau}}} \]

Où \(k_{\tau}\) est le facteur de voilement. Pour une âme sans raidisseurs intermédiaires, \(k_{\tau} = 5.34\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les semelles empêchent la rotation des bords de l'âme, ce qui justifie la valeur de \(k_{\tau} = 5.34\). Si les semelles étaient très peu rigides, cette valeur devrait être ajustée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(h_{\text{w}} = 373 \, \text{mm}\)
  • \(t_{\text{w}} = 8.5 \, \text{mm}\)
  • \(\varepsilon = 1.0\)
  • \(k_{\tau} = 5.34\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le terme \(37.4 \sqrt{k_{\tau}}\) pour une âme sans raidisseurs vaut \(37.4 \times \sqrt{5.34} \approx 86.4\). La formule se simplifie alors ainsi :

\[\bar{\lambda}_{\text{w}} \approx \frac{h_{\text{w}}}{86.4 \cdot t_{\text{w}} \cdot \varepsilon}\]
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres pour l'Élancement Relatif
hw / twε (Acier)kτ (Appuis)λ̄w = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \bar{\lambda}_{\text{w}} &= \frac{373}{37.4 \times 8.5 \times 1.0 \times \sqrt{5.34}} \\ &= \frac{373}{37.4 \times 8.5 \times 2.31} \\ &= \frac{373}{734.6} \\ &= 0.508 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur de l'Élancement Relatif
λ̄w = 0.508
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un élancement relatif de 0.508 est une valeur faible. Elle se situe dans la zone où le comportement est majoritairement plastique, ce qui est cohérent avec la conclusion de la question 2. Les effets de l'instabilité seront donc très limités.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la bonne valeur de \(k_{\tau}\). Cette valeur change si des raidisseurs sont présents. Pour des raidisseurs rigides, \(k_{\tau}\) augmente significativement, ce qui diminue \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\) et augmente la résistance.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'élancement relatif \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\) est le paramètre clé pour quantifier le risque de voilement.
  • Il dépend de la géométrie (\(h_{\text{w}}/t_{\text{w}}\)), du matériau (\(\varepsilon\)) et des conditions d'appui (\(k_{\tau}\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept d'élancement relatif est utilisé pour tous les types d'instabilité en construction métallique (flambement des poteaux, déversement des poutres, etc.). C'est une approche unifiée qui permet de traiter des phénomènes physiques différents avec une méthodologie de calcul similaire.

FAQ (pour lever les doutes)
D'où vient le nombre 37.4 ?

C'est une constante dérivée de la théorie de l'élasticité des plaques et des propriétés de l'acier (Module d'Young E, Coefficient de Poisson ν). Elle permet de simplifier la formule pour une application directe.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'élancement relatif de l'âme est \(\bar{\lambda}_{\text{w}} = 0.508\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec \(h_{\text{w}}=600\), \(t_{\text{w}}=8\), \(\varepsilon=0.81\) (Acier S355), quel serait \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\) ?

Question 4 : Déterminer le facteur de réduction pour le voilement \(\chi_{\text{w}}\)

Principe (le concept physique)

Le facteur de réduction \(\chi_{\text{w}}\) traduit la perte de résistance due au phénomène de voilement. Il vaut 1.0 pour les âmes trapues (\(\bar{\lambda}_{\text{w}}\) faible) et diminue à mesure que l'âme devient plus élancée. L'Eurocode le donne directement en fonction de l'élancement relatif.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les formules pour \(\chi_{\text{w}}\) sont des courbes de transition semi-empiriques. Elles permettent de faire le lien entre la résistance purement plastique (pour \(\bar{\lambda}_{\text{w}} \to 0\)) et la résistance purement élastique au voilement (pour \(\bar{\lambda}_{\text{w}} \to \infty\)). La zone intermédiaire, où les deux phénomènes interagissent, est la plus complexe et est couverte par ces formules d'interpolation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Appliquez simplement les formules données par la norme. L'étape la plus importante est de bien vérifier dans quelle plage de \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\) on se situe pour utiliser la bonne formule. Une erreur ici est fréquente.

Normes (la référence réglementaire)

Selon l'EN 1993-1-5, Annexe A, pour les âmes sans raidisseurs :

\[ \chi_{\text{w}} = 1.0 \quad \text{si } \bar{\lambda}_{\text{w}} \le 0.83/\eta \]
\[ \chi_{\text{w}} = \frac{0.83}{\bar{\lambda}_{\text{w}}} \quad \text{si } \bar{\lambda}_{\text{w}} > 0.83/\eta \]

Note : la formule a été simplifiée ici pour le cas \(\eta=1.0\). La norme complète est légèrement différente pour \(\eta \neq 1.0\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les formules ci-dessus, en fonction de la valeur de \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les formules pour une âme sans raidisseurs. La présence de raidisseurs conduirait à des formules pour \(\chi_{\text{w}}\) plus complexes, prenant en compte la contribution des semelles.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\bar{\lambda}_{\text{w}} = 0.508\)
  • \(\eta = 1.0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les profilés laminés standards, \(\eta\) vaut presque toujours 1.0. La limite est donc simplement 0.83. Si votre élancement relatif est inférieur à 0.83, vous savez immédiatement que \(\chi_{\text{w}} = 1.0\).

Schéma (Avant les calculs)
Positionnement sur la courbe de réduction
λ̄wχw1.00.830.508
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Vérification de la condition :

\[ \begin{aligned} 0.83 / \eta &= 0.83 / 1.0 \\ &= 0.83 \end{aligned} \]
\[ \bar{\lambda}_{\text{w}} = 0.508 \le 0.83 \]

2. Calcul de \(\chi_{\text{w}}\) :

\[ \chi_{\text{w}} = 1.0 \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur du Facteur de Réduction
χw = 1.0
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme l'élancement relatif est faible, le facteur de réduction est de 1.0. Cela confirme notre conclusion de la question 2 : l'âme n'est pas affectée par le voilement, et sa résistance est sa pleine résistance plastique au cisaillement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas appliquer la mauvaise formule. Si \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\) avait été supérieur à 0.83, il aurait été incorrect d'utiliser \(\chi_{\text{w}} = 1.0\). C'est une erreur binaire : soit la résistance est plastique, soit elle est réduite.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le facteur \(\chi_{\text{w}}\) réduit la résistance plastique pour tenir compte du voilement.
  • Il est déterminé par l'élancement relatif \(\bar{\lambda}_{\text{w}}\).
  • Pour les âmes peu élancées, \(\chi_{\text{w}} = 1.0\) (pas de réduction).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les courbes de réduction au voilement sont très similaires aux courbes de flambement des poteaux (courbes de Shanley-Perry-Robertson), car elles décrivent le même type de phénomène physique : l'interaction entre la plasticité du matériau et l'instabilité géométrique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il plusieurs formules pour \(\chi_{\text{w}}\) ?

Les différentes formules correspondent à différents cas de figure. Celles utilisées ici sont pour les âmes sans raidisseurs. Si l'on a des raidisseurs, ou si l'on étudie le voilement sous flexion, les formules pour \(\chi_{\text{w}}\) changent pour s'adapter à ces nouvelles conditions.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le facteur de réduction pour le voilement est \(\chi_{\text{w}} = 1.0\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour \(\bar{\lambda}_{\text{w}} = 1.07\) (cas de la question précédente), quel serait le facteur \(\chi_{\text{w}}\) ? (Utiliser la formule \(\chi_{\text{w}} = 0.83 / \bar{\lambda}_{\text{w}}\))

Question 5 : Calculer la résistance de calcul au voilement par cisaillement \(V_{\text{b,Rd}}\) et conclure

Principe (le concept physique)

C'est l'étape finale où l'on synthétise tous les éléments précédents. On calcule la résistance ultime de l'âme en appliquant le facteur de réduction \(\chi_{\text{w}}\) à la résistance plastique, puis on la compare à l'effort appliqué \(V_{\text{Ed}}\) pour vérifier la sécurité de l'élément selon le format de l'Eurocode : \(Effort \le Résistance\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance plastique au cisaillement d'une section est donnée par :

\[V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_{\text{v}} f_{\text{y}}}{\sqrt{3} \gamma_{\text{M0}}}\]

où \(A_{\text{v}}\) est l'aire de cisaillement (approximativement \(h_{\text{w}} t_{\text{w}}\)). La formule de \(V_{\text{b,Rd}}\) est donc simplement la résistance plastique multipliée par le facteur de réduction \(\chi_{\text{w}}\) et utilisant le coefficient \(\gamma_{\text{M1}}\) pour l'instabilité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La conclusion est la partie la plus importante. Un calcul sans conclusion n'a pas de valeur pour l'ingénieur. Il faut clairement énoncer si l'élément est validé ou non, en comparant les deux nombres clés : l'effort et la résistance.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de la résistance au voilement \(V_{\text{b,Rd}}\) et le critère de vérification sont les aboutissements de la méthode décrite dans l'EN 1993-1-5. Le critère est :

\[V_{\text{Ed}} \le V_{\text{b,Rd}}\]
Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ V_{\text{b,Rd}} = \frac{\chi_{\text{w}} f_{\text{yw}} h_{\text{w}} t_{\text{w}}}{\sqrt{3} \gamma_{\text{M1}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Toutes les hypothèses des étapes précédentes sont reprises. On suppose que l'effort tranchant \(V_{\text{Ed}}\) a été correctement calculé à partir des charges appliquées à la structure.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\chi_{\text{w}} = 1.0\)
  • \(f_{\text{yw}} = 235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(h_{\text{w}} = 373 \, \text{mm}\)
  • \(t_{\text{w}} = 8.5 \, \text{mm}\)
  • \(\gamma_{\text{M1}} = 1.0\)
  • \(V_{\text{Ed}} = 350 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour convertir rapidement des N en kN, il suffit de diviser par 1000. Faites attention à ne pas vous tromper de sens dans la conversion, une erreur fréquente sous la pression.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification Finale
Effort VEd = 350 kNRésistance Vb,Rd = ?≤ ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance :

\[ \begin{aligned} V_{\text{b,Rd}} &= \frac{1.0 \times 235 \, \text{N/mm}^2 \times 373 \, \text{mm} \times 8.5 \, \text{mm}}{\sqrt{3} \times 1.0} \\ &= \frac{745232.5 \, \text{N}}{1.732} \\ &= 430272.8 \, \text{N} \\ &= 430.3 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Comparaison et vérification :

\[ V_{\text{Ed}} = 350 \, \text{kN} \le V_{\text{b,Rd}} = 430.3 \, \text{kN} \quad (\text{Vérifié}) \]
Schéma (Après les calculs)
Conclusion de la vérification
350 kN ≤ 430.3 kN ✔️ Poutre validée
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort tranchant appliqué (350 kN) est inférieur à la résistance au voilement de l'âme (430.3 kN). La poutre est donc sécuritaire vis-à-vis du voilement par cisaillement. Le taux de travail est de \(350 / 430.3 = 81\%\), ce qui indique une marge de sécurité confortable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est une mauvaise gestion des unités. Les calculs de résistance sont généralement faits en Newtons (N) et millimètres (mm), car la limite d'élasticité est en MPa (N/mm²). Il faut ensuite convertir le résultat final en kiloNewtons (kN) pour le comparer à l'effort appliqué.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification finale consiste à comparer l'effort agissant \(V_{\text{Ed}}\) à la résistance calculée \(V_{\text{b,Rd}}\).
  • La condition \(V_{\text{Ed}} \le V_{\text{b,Rd}}\) doit être satisfaite pour que la poutre soit considérée comme sûre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le \(\sqrt{3}\) dans la formule vient du critère de von Mises pour la plastification. Il relie la limite d'élasticité en traction simple (\(f_{\text{y}}\)) à la limite d'élasticité en cisaillement pur (\(f_{\text{y}} / \sqrt{3}\)).

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si la vérification n'est pas satisfaite ?

Si \(V_{\text{Ed}} > V_{\text{b,Rd}}\), l'ingénieur a plusieurs options : 1) Choisir un profilé avec une âme plus épaisse (par exemple un HEB au lieu d'un IPE). 2) Utiliser un acier de plus haute résistance (S355). 3) Ajouter des raidisseurs transversaux pour augmenter la résistance au voilement \(V_{\text{b,Rd}}\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance au voilement est \(V_{\text{b,Rd}} = 430.3 \, \text{kN}\). Comme \(V_{\text{Ed}} = 350 \, \text{kN} \le 430.3 \, \text{kN}\), la poutre est validée et ne nécessite pas de raidisseurs.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'effort tranchant était de 450 kN, la poutre serait-elle toujours validée ?

Outil Interactif : Simulateur de Voilement

Modifiez les paramètres de la poutre pour voir leur influence sur la résistance au voilement.

Paramètres d'Entrée
373 mm
8.5 mm
Résultats Clés
Élancement (h_w/t_w) -
Facteur de réduction (\(\chi_{\text{w}}\)) -
Résistance au Voilement (\(V_{\text{b,Rd}}\)) (kN) -

Le Saviez-Vous ?

L'effondrement du premier pont de Québec en 1907 est un cas d'école tragique de rupture par instabilité. Les membrures inférieures, soumises à une forte compression, ont "flambé" (un phénomène similaire au voilement, mais pour un élément linéaire) car elles étaient trop élancées, menant à la perte de 75 vies et marquant un tournant dans la compréhension des phénomènes d'instabilité en génie civil.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre voilement et cisaillement plastique ?

Le cisaillement plastique se produit quand la contrainte dans l'âme atteint la limite d'élasticité de l'acier, provoquant une déformation permanente. Le voilement est une déformation géométrique (ondulation) qui peut se produire à une contrainte bien plus faible si l'âme est très mince. Une âme "trapue" cèdera par cisaillement plastique, une âme "élancée" cèdera par voilement.

Comment fonctionnent les raidisseurs ?

Les raidisseurs sont des plaques d'acier soudées perpendiculairement à l'âme. Ils agissent comme des "nervures" qui la rigidifient. En subdivisant l'âme en panneaux plus petits, ils réduisent la hauteur "libre" de flambement (le \(h_{\text{w}}\)) de chaque panneau, ce qui augmente considérablement la résistance au voilement de l'ensemble.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour augmenter la résistance au voilement d'une âme, la solution la plus efficace est :

2. Un facteur de réduction \(\chi_{\text{w}}\) de 0.6 signifie que :

Âme
Partie verticale et centrale d'un profilé en I ou en H, qui connecte les deux semelles et reprend l'essentiel de l'effort tranchant.
Voilement
Phénomène d'instabilité élastique où une plaque mince, comme une âme de poutre, perd sa planéité sous l'effet de contraintes (compression ou cisaillement) et se déforme en ondulant.
Élancement
Rapport géométrique (généralement hauteur/épaisseur) qui caractérise la "minceur" d'une plaque. Un élancement élevé est synonyme d'une plus grande sensibilité au voilement.
Raidisseur
Élément de renfort (plaque d'acier) soudé à une âme pour augmenter sa rigidité et sa résistance au voilement.
Vérification au Voilement d'une Âme de Poutre

D’autres exercices de structure métallique:

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