Études de cas pratique

EGC

Transformation isochore pour un gaz idéal

Transformation Isochore d’un Gaz Idéal

Transformation Isochore d’un Gaz Idéal

Comprendre les Transformations à Volume Constant

Une transformation isochore est un processus thermodynamique au cours duquel le volume du système reste constant (\(\Delta V = 0\)). Pour un gaz parfait subissant une telle transformation, si de la chaleur est fournie au système, sa température et sa pression augmentent. Inversement, si de la chaleur est retirée, sa température et sa pression diminuent. Puisqu'il n'y a pas de changement de volume, aucun travail de type pression-volume n'est effectué (\(W=0\)). Toute la chaleur échangée se traduit donc par une variation de l'énergie interne du gaz. Cet exercice explore ces concepts.

Données de l'étude

Un récipient rigide et fermé contient 0.5 mole d'argon (considéré comme un gaz parfait monoatomique).

Conditions initiales et paramètres du gaz :

Paramètre Valeur Symbole
Quantité de matière 0.5 \(\text{mol}\) \(n\)
Température initiale 20 °C \(T_1\)
Volume du récipient (constant) 5 \(\text{Litres}\) \(V\)
Capacité thermique molaire à volume constant (pour gaz monoatomique) \(\frac{3}{2}R\) \(C_v\)
Constante des gaz parfaits 8.314 \(\text{J/(mol} \cdot \text{K)}\) \(R\)

Hypothèses : L'argon se comporte comme un gaz parfait. Le récipient est indéformable.

Schéma : Chauffage d'un gaz à volume constant
Récipient Rigide (V=cste) Gaz (n, T, P) Q (Chaleur) P T

Schéma d'un gaz parfait chauffé à volume constant dans un récipient rigide.

Questions à traiter

  1. Convertir la température initiale \(T_1\) en Kelvin (K) et le volume \(V\) en \(\text{m}^3\).
  2. Calculer la pression initiale (\(P_1\)) du gaz en Pascals (Pa).
  3. On fournit \(2000 \, \text{J}\) de chaleur au gaz. Calculer la température finale (\(T_2\)) du gaz en Kelvin et en °C.
  4. Calculer la pression finale (\(P_2\)) du gaz en Pascals (Pa) et en bars.
  5. Calculer le travail (\(W\)) effectué pendant cette transformation.
  6. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz.

Correction : Transformation Isochore d’un Gaz Idéal

Question 1 : Conversion des unités initiales

Principe :

La température doit être en Kelvin pour les calculs thermodynamiques (\(T(\text{K}) = T(°\text{C}) + 273.15\)). Le volume doit être en \(\text{m}^3\) (\(1 \, \text{Litre} = 10^{-3} \, \text{m}^3\)).

Données spécifiques :
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(20 \, °\text{C}\)
  • Volume (\(V\)) : \(5 \, \text{Litres}\)
Calculs :

Température initiale en Kelvin :

\[ \begin{aligned} T_1 (\text{K}) &= 20 + 273.15 \\ &= 293.15 \, \text{K} \end{aligned} \]

Volume en \(\text{m}^3\) :

\[ \begin{aligned} V &= 5 \, \text{L} \times 10^{-3} \, \text{m}^3\text{/L} \\ &= 0.005 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(T_1 = 293.15 \, \text{K}\) et \(V = 0.005 \, \text{m}^3\).

Question 2 : Calcul de la pression initiale (\(P_1\))

Principe :

On utilise l'équation d'état des gaz parfaits : \(PV = nRT\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_1 = \frac{n R T_1}{V}\]
Données spécifiques :
  • Quantité de matière (\(n\)) : \(0.5 \, \text{mol}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(293.15 \, \text{K}\)
  • Volume (\(V\)) : \(0.005 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= \frac{0.5 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 293.15 \, \text{K}}{0.005 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{1218.51755 \, \text{J}}{0.005 \, \text{m}^3} \\ &\approx 243703.51 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La pression initiale est \(P_1 \approx 243704 \, \text{Pa}\) (ou \(243.7 \, \text{kPa}\)).

Question 3 : Température finale (\(T_2\)) après apport de chaleur

Principe :

Pour une transformation isochore d'un gaz parfait, la chaleur échangée est \(Q = n C_v \Delta T = n C_v (T_2 - T_1)\). On peut donc calculer \(T_2\). Pour un gaz parfait monoatomique, \(C_v = \frac{3}{2}R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q = n C_v (T_2 - T_1) \Rightarrow T_2 = T_1 + \frac{Q}{n C_v}\]
\[C_v = \frac{3}{2}R\]
Données spécifiques :
  • Chaleur fournie (\(Q\)) : \(+2000 \, \text{J}\)
  • Quantité de matière (\(n\)) : \(0.5 \, \text{mol}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(293.15 \, \text{K}\)
Calcul :

Calcul de \(C_v\) :

\[ \begin{aligned} C_v &= \frac{3}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol K)} \\ &= 12.471 \, \text{J/(mol K)} \end{aligned} \]

Calcul de \(T_2\) :

\[ \begin{aligned} T_2 &= 293.15 \, \text{K} + \frac{2000 \, \text{J}}{0.5 \, \text{mol} \times 12.471 \, \text{J/(mol K)}} \\ &= 293.15 \, \text{K} + \frac{2000 \, \text{J}}{6.2355 \, \text{J/K}} \\ &\approx 293.15 \, \text{K} + 320.728 \, \text{K} \\ &\approx 613.878 \, \text{K} \end{aligned} \]

Conversion de \(T_2\) en °C :

\[ \begin{aligned} T_2(°\text{C}) &= 613.878 - 273.15 \\ &\approx 340.73 \, °\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La température finale est \(T_2 \approx 613.9 \, \text{K}\) (soit environ \(340.7 \, °\text{C}\)).

Question 4 : Pression finale (\(P_2\)) du gaz

Principe :

Pour une transformation isochore d'un gaz parfait, la loi de Charles (ou Gay-Lussac pour P et T à V constant) s'applique : \(P_1/T_1 = P_2/T_2\). On peut aussi utiliser l'équation d'état des gaz parfaits \(P_2 = nRT_2/V\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_2 = P_1 \frac{T_2}{T_1}\]
Données spécifiques :
  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(\approx 243703.51 \, \text{Pa}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(293.15 \, \text{K}\)
  • Température finale (\(T_2\)) : \(\approx 613.878 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= 243703.51 \, \text{Pa} \times \frac{613.878 \, \text{K}}{293.15 \, \text{K}} \\ &\approx 243703.51 \, \text{Pa} \times 2.0939 \\ &\approx 509831.5 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Conversion en bars (\(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\)) :

\[ P_2 \approx \frac{509831.5 \, \text{Pa}}{10^5 \, \text{Pa/bar}} \approx 5.098 \, \text{bar} \]
Résultat Question 4 : La pression finale est \(P_2 \approx 509832 \, \text{Pa}\) (soit environ \(5.10 \, \text{bar}\)).

Question 5 : Travail (\(W\)) effectué pendant la transformation

Principe :

Dans une transformation isochore, le volume reste constant (\(\Delta V = 0\)). Le travail des forces de pression est défini par \(W = -\int P_{\text{ext}} dV\). Si la transformation est réversible, \(P_{\text{ext}} = P_{\text{système}}\). Dans tous les cas, si \(dV = 0\), alors \(W = 0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W = 0 \quad (\text{car } \Delta V = 0)\]
Calcul :
\[ W = 0 \, \text{J} \]
Résultat Question 5 : Le travail effectué pendant cette transformation isochore est \(W = 0 \, \text{J}\).

Question 6 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

D'après le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = Q + W\). Pour un processus isochore, \(W=0\), donc \(\Delta U = Q\). Alternativement, pour un gaz parfait, \(\Delta U = n C_v (T_2 - T_1)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U = Q\]
Données spécifiques :
  • Chaleur fournie (\(Q\)) : \(+2000 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &= 2000 \, \text{J} \end{aligned} \]

Vérification avec \(\Delta U = n C_v (T_2 - T_1)\) :

\[ \begin{aligned} \Delta U &= 0.5 \, \text{mol} \times 12.471 \, \text{J/(mol K)} \times (613.878 \, \text{K} - 293.15 \, \text{K}) \\ &= 0.5 \times 12.471 \times 320.728 \, \text{J} \\ &\approx 1999.99 \, \text{J} \approx 2000 \, \text{J} \end{aligned} \]

(La petite différence est due aux arrondis).

Résultat Question 6 : La variation d'énergie interne du gaz est \(\Delta U = 2000 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'un chauffage isochore d'un gaz parfait, si la température double, la pression :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une transformation isochore se produit à :

2. Le travail effectué par un gaz parfait lors d'une transformation isochore réversible est :

3. Pour un gaz parfait, la capacité thermique molaire à volume constant (\(C_v\)) est liée à la capacité thermique molaire à pression constante (\(C_p\)) par la relation de Mayer :

Glossaire

Gaz Parfait (ou Idéal)
Modèle théorique d'un gaz dont les molécules sont supposées ponctuelles et sans interactions mutuelles à distance (sauf lors des collisions). Son comportement est décrit par l'équation d'état \(PV=nRT\).
Transformation Isochore
Processus thermodynamique qui se déroule à volume constant (\(V = \text{cste}\), donc \(\Delta V = 0\)).
Équation d'État des Gaz Parfaits
\(PV = nRT\), où \(P\) est la pression, \(V\) le volume, \(n\) la quantité de matière (moles), \(R\) la constante des gaz parfaits, et \(T\) la température absolue (en Kelvin).
Énergie Interne (\(U\))
Énergie totale contenue dans un système thermodynamique. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température (\(\Delta U = n C_v \Delta T\)).
Capacité Thermique Molaire à Volume Constant (\(C_v\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une mole d'une substance d'un degré Celsius (ou Kelvin) à volume constant. Pour un gaz parfait monoatomique, \(C_v = \frac{3}{2}R\). Pour un gaz parfait diatomique, \(C_v = \frac{5}{2}R\).
Travail (\(W\))
Transfert d'énergie résultant d'une force agissant sur une distance. Pour une transformation isochore, le travail des forces de pression est nul.
Chaleur (\(Q\))
Transfert d'énergie thermique entre un système et son environnement dû à une différence de température. Pour un processus isochore, \(Q = \Delta U = n C_v \Delta T\).
Premier Principe de la Thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie pour un système thermodynamique : \(\Delta U = Q + W\) (convention : \(W > 0\) si reçu par le système, \(Q > 0\) si reçu par le système).
Transformation Isochore d’un Gaz Idéal - Application

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