Études de cas pratique

EGC

Transformation d’Énergie dans un Système Fermé

Transformation d’Énergie dans un Système Fermé

Transformation d’Énergie dans un Système Fermé

Comprendre les Transformations d'Énergie et le Premier Principe

En thermodynamique, un système fermé est un système qui peut échanger de l'énergie (sous forme de chaleur et/ou de travail) avec son environnement, mais pas de matière. Le premier principe de la thermodynamique, également connu sous le nom de principe de conservation de l'énergie, stipule que la variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) d'un système fermé au cours d'une transformation est égale à la somme de la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée avec l'extérieur et du travail (\(W\)) échangé avec l'extérieur. Cet exercice se concentre sur l'application de ce principe à un gaz parfait subissant une transformation spécifique.

Données de l'étude

On considère un système fermé contenant \(n\) moles d'un gaz parfait monoatomique. Ce gaz subit une transformation d'un état initial (1) à un état final (2).

Caractéristiques du gaz et de la transformation :

  • Type de gaz : Parfait monoatomique
  • Nombre de moles (\(n\)) : \(1.5 \, \text{mol}\)
  • État initial (1) :
    • Pression (\(P_1\)) : \(2.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
    • Volume (\(V_1\)) : \(0.025 \, \text{m}^3\)
  • État final (2) :
    • Pression (\(P_2\)) : \(4.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
    • Volume (\(V_2\)) : \(0.015 \, \text{m}^3\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Capacité thermique molaire à volume constant pour un gaz parfait monoatomique (\(C_V\)) : \(\frac{3}{2}R\)
  • Capacité thermique molaire à pression constante pour un gaz parfait monoatomique (\(C_P\)) : \(\frac{5}{2}R\)
Schéma : Système Fermé (Gaz dans un Cylindre-Piston)
Système Fermé Gaz Q W État 1 (P1, V1, T1) \(\rightarrow\) État 2 (P2, V2, T2)

Illustration d'un système thermodynamique fermé subissant une transformation.

Questions à traiter

  1. Calculer la température initiale (\(T_1\)) et la température finale (\(T_2\)) du gaz en Kelvin (K).
  2. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz lors de cette transformation, en Joules (J).
  3. Le travail (\(W\)) reçu par le gaz lors de cette transformation est de \(-1500 \, \text{J}\). Le gaz fournit-il ou reçoit-il du travail ? Justifier.
  4. En utilisant le premier principe de la thermodynamique, calculer la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée par le gaz avec l'extérieur durant cette transformation.
  5. Le gaz absorbe-t-il ou cède-t-il de la chaleur ? Justifier.
  6. Calculer la variation d'enthalpie (\(\Delta H\)) du gaz lors de cette transformation.

Correction : Transformation d’Énergie dans un Système Fermé

Question 1 : Températures initiale (\(T_1\)) et finale (\(T_2\))

Principe :

Utiliser l'équation d'état des gaz parfaits \(PV = nRT\) pour calculer les températures à partir des pressions et volumes donnés.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T = \frac{PV}{nR} \]
Données spécifiques :
  • \(n = 1.5 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • État 1 : \(P_1 = 2.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\), \(V_1 = 0.025 \, \text{m}^3\)
  • État 2 : \(P_2 = 4.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\), \(V_2 = 0.015 \, \text{m}^3\)
Calcul :

Température initiale \(T_1\) :

\[ \begin{aligned} T_1 &= \frac{(2.0 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0.025 \, \text{m}^3)}{1.5 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}} \\ &= \frac{5000 \, \text{J}}{12.471 \, \text{J/K}} \\ &\approx 400.93 \, \text{K} \end{aligned} \]

Température finale \(T_2\) :

\[ \begin{aligned} T_2 &= \frac{(4.0 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0.015 \, \text{m}^3)}{1.5 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}} \\ &= \frac{6000 \, \text{J}}{12.471 \, \text{J/K}} \\ &\approx 481.116 \, \text{K} \end{aligned} \]

On peut arrondir \(T_1 \approx 400.9 \, \text{K}\) et \(T_2 \approx 481.1 \, \text{K}\).

Résultat Question 1 :
  • Température initiale : \(T_1 \approx 400.9 \, \text{K}\)
  • Température finale : \(T_2 \approx 481.1 \, \text{K}\)

Question 2 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température et de sa capacité thermique molaire à volume constant \(C_V\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = n C_V (T_2 - T_1) \]
Données spécifiques :
  • \(n = 1.5 \, \text{mol}\)
  • \(C_V = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} = 12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 \approx 400.93 \, \text{K}\)
  • \(T_2 \approx 481.116 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta T &= T_2 - T_1 \approx 481.116 \, \text{K} - 400.93 \, \text{K} \approx 80.186 \, \text{K} \\ \Delta U &\approx 1.5 \, \text{mol} \times 12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 80.186 \, \text{K} \\ &\approx 18.7065 \times 80.186 \, \text{J} \\ &\approx 1500.0 \, \text{J} \end{aligned} \]

Si on utilise les valeurs exactes de \(P_1V_1\) et \(P_2V_2\) :
\(\Delta U = \frac{C_V}{R} (P_2V_2 - P_1V_1) = \frac{3/2 R}{R} (P_2V_2 - P_1V_1) = \frac{3}{2} (P_2V_2 - P_1V_1)\)

\[ \begin{aligned} \Delta U &= \frac{3}{2} (6000 \, \text{J} - 5000 \, \text{J}) \\ &= \frac{3}{2} (1000 \, \text{J}) \\ &= 1500 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La variation d'énergie interne du gaz est \(\Delta U = 1500 \, \text{J}\).

Question 3 : Nature du travail (\(W\))

Principe :

Par convention thermodynamique, le travail \(W\) est compté positivement s'il est reçu par le système et négativement s'il est fourni par le système.

Données spécifiques :
  • Travail reçu par le gaz (\(W\)) : \(-1500 \, \text{J}\)
Justification :

Puisque \(W = -1500 \, \text{J}\), ce qui est une valeur négative, cela signifie que le système (le gaz) a fourni du travail à l'extérieur. Il s'agit donc d'un travail moteur effectué par le gaz. Cela est cohérent avec une détente si la pression extérieure est inférieure à la pression du gaz, ou une compression si la pression extérieure est supérieure (ici, le volume diminue, donc c'est une compression, et le travail reçu devrait être positif. L'énoncé indique \(W=-1500J\) comme travail reçu, ce qui signifierait que le gaz a fourni du travail malgré la compression, ce qui est inhabituel ou indique une erreur dans l'énoncé ou une convention de signe différente pour W. Supposons que \(W\) est le travail reçu par le système.)

Correction de l'interprétation basée sur l'énoncé : L'énoncé dit "Le travail (\(W\)) reçu par le gaz [...] est de \(-1500 \, \text{J}\)". Si \(W\) est le travail reçu, et que \(W < 0\), alors le gaz a effectivement fourni \(1500 \, \text{J}\) de travail à l'extérieur. Cela correspondrait à une détente. Or, le volume passe de \(V_1 = 0.025 \, \text{m}^3\) à \(V_2 = 0.015 \, \text{m}^3\), ce qui est une compression. Lors d'une compression, le travail reçu par le gaz est positif. Il y a une incohérence dans l'énoncé si le gaz est comprimé ET reçoit un travail négatif.
Supposons que l'énoncé voulait dire que le travail fourni PAR le gaz est de \(1500 \, \text{J}\) (donc \(W = -1500 \, \text{J}\) reçu), OU que le travail reçu est de \(+1500 \, \text{J}\) pour une compression.
Si nous suivons strictement "W reçu = -1500 J" : Le gaz fournit du travail. C'est un travail moteur.
Si nous considérons la compression \(V_1 > V_2\): Le gaz reçoit du travail, donc \(W\) devrait être positif.
Pour la suite, nous allons utiliser la valeur donnée \(W = -1500 \, \text{J}\) (reçu par le gaz) et analyser les conséquences.

Résultat Question 3 : Selon l'énoncé, le travail reçu par le gaz est \(W = -1500 \, \text{J}\). Comme \(W < 0\), le gaz a fourni du travail à l'extérieur. C'est un travail moteur. (Noter l'incohérence avec la variation de volume qui est une compression).

Question 4 : Quantité de chaleur (\(Q\)) échangée

Principe :

Appliquer le premier principe de la thermodynamique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = Q + W \Rightarrow Q = \Delta U - W \]
Données spécifiques :
  • Variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) : \(1500 \, \text{J}\)
  • Travail reçu par le gaz (\(W\)) : \(-1500 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 1500 \, \text{J} - (-1500 \, \text{J}) \\ &= 1500 \, \text{J} + 1500 \, \text{J} \\ &= 3000 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La quantité de chaleur échangée par le gaz est \(Q = 3000 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le premier principe de la thermodynamique est une expression de :

Question 5 : Nature de l'échange de chaleur

Principe :

Par convention, \(Q > 0\) si la chaleur est reçue (absorbée) par le système, et \(Q < 0\) si la chaleur est cédée par le système.

Données spécifiques :
  • Quantité de chaleur (\(Q\)) : \(3000 \, \text{J}\)
Justification :

Puisque \(Q = 3000 \, \text{J}\) est une valeur positive, le gaz a absorbé de la chaleur de l'extérieur.

Résultat Question 5 : Le gaz absorbe \(3000 \, \text{J}\) de chaleur.

Question 6 : Variation d'enthalpie (\(\Delta H\))

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie ne dépend que de la variation de température et de sa capacité thermique molaire à pression constante \(C_P\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = n C_P (T_2 - T_1) \]
Données spécifiques :
  • \(n = 1.5 \, \text{mol}\)
  • \(C_P = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} = 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 \approx 400.93 \, \text{K}\)
  • \(T_2 \approx 481.116 \, \text{K}\)
  • \(\Delta T \approx 80.186 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta H &\approx 1.5 \, \text{mol} \times 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 80.186 \, \text{K} \\ &\approx 31.1775 \times 80.186 \, \text{J} \\ &\approx 2500.0 \, \text{J} \end{aligned} \]

Si on utilise les valeurs exactes de \(P_1V_1\) et \(P_2V_2\) :
\(\Delta H = \frac{C_P}{R} (P_2V_2 - P_1V_1) = \frac{5/2 R}{R} (P_2V_2 - P_1V_1) = \frac{5}{2} (P_2V_2 - P_1V_1)\)

\[ \begin{aligned} \Delta H &= \frac{5}{2} (6000 \, \text{J} - 5000 \, \text{J}) \\ &= \frac{5}{2} (1000 \, \text{J}) \\ &= 2500 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La variation d'enthalpie du gaz est \(\Delta H = 2500 \, \text{J}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un système fermé, quelle affirmation est toujours vraie concernant la matière ?

2. L'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique dépend uniquement de :

3. Si \(Q > 0\) pour un système, cela signifie que le système :

Glossaire

Système Fermé
Système thermodynamique qui peut échanger de l'énergie (chaleur, travail) avec son environnement, mais pas de matière.
Énergie Interne (\(U\))
Somme de toutes les énergies microscopiques (cinétique et potentielle) des particules constituant un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température.
Travail (\(W\))
Mode de transfert d'énergie résultant de l'action d'une force sur une distance. En thermodynamique, par convention, \(W > 0\) si le travail est reçu par le système (compression), \(W < 0\) s'il est fourni par le système (détente).
Chaleur (\(Q\))
Mode de transfert d'énergie thermique dû à une différence de température. Par convention, \(Q > 0\) si la chaleur est reçue (absorbée) par le système, \(Q < 0\) si la chaleur est cédée par le système.
Premier Principe de la Thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie pour un système : \(\Delta U = Q + W\), où \(\Delta U\) est la variation d'énergie interne, \(Q\) la chaleur échangée, et \(W\) le travail échangé.
Gaz Parfait
Modèle de gaz idéal où les interactions intermoléculaires sont négligées et le volume propre des molécules est nul par rapport au volume total. Obéit à l'équation \(PV = nRT\).
Capacité Thermique Molaire (\(C_V, C_P\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une mole d'une substance de un Kelvin, soit à volume constant (\(C_V\)), soit à pression constante (\(C_P\)).
Enthalpie (\(H\))
Fonction d'état thermodynamique définie par \(H = U + PV\). Sa variation est égale à la chaleur échangée à pression constante pour une transformation réversible (\(\Delta H = Q_P\)).
Transformation d’Énergie dans un Système Fermé - Exercice d'Application

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