Rayon de courbure et super-élévation

Définitions :

• Dévers (\(d\)) : C'est l'inclinaison transversale de la chaussée dans une courbe, relevée vers l'intérieur de la courbe. Il est exprimé généralement en pourcentage (\(\%\)) ou en décimal (par exemple, \(7\% = 0.07\)). Son rôle principal est de compenser une partie de la force centrifuge subie par un véhicule en virage grâce à une composante du poids du véhicule.
• Coefficient de Frottement Transversal (\(f_t\)) : C'est un coefficient sans dimension qui représente le rapport entre la force de frottement transversal mobilisable entre les pneus et la chaussée, et la réaction normale de la chaussée sur le véhicule. Il contribue, avec le dévers, à équilibrer la force centrifuge. Sa valeur dépend de l'état de la chaussée (sèche, mouillée), de l'état des pneus, et de la vitesse. Il existe une valeur maximale admissible (\(f_{t,\text{max}}\)) pour garantir la sécurité et le confort.

Rôle combiné :

Lorsqu'un véhicule négocie une courbe, il est soumis à une force centrifuge \((F_c = mV^2/R)\) qui tend à le déporter vers l'extérieur. Pour maintenir le véhicule sur sa trajectoire, cette force doit être équilibrée. Le dévers incline la chaussée, permettant à une composante du poids du véhicule de s'opposer à la force centrifuge. Le frottement transversal entre les pneus et la chaussée fournit la force d'adhérence restante nécessaire pour équilibrer la force centrifuge non compensée par le dévers. La conception routière vise à répartir cet effort entre le dévers et le frottement de manière à assurer la sécurité (ne pas dépasser \(f_{t,\text{max}}\)) et le confort des usagers (limiter la sensation de poussée latérale).

Principe :

Conversion de \(\text{km/h}\) en \(\text{m/s}\) en divisant par 3.6.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• Vitesse \(V = 90 \, \text{km/h}\)

Calcul :

Principe :

L'équilibre dynamique d'un véhicule de masse \(m\) dans une courbe de rayon \(R\), avec un dévers \(d\) et un coefficient de frottement transversal \(f_t\), est atteint lorsque la somme des composantes des forces perpendiculaires à la direction du mouvement est nulle. La force centrifuge \(F_c = mV^2/R\) doit être équilibrée par la composante du poids due au dévers et par la force de frottement transversal.

Formule(s) utilisée(s) :

Pour des angles de dévers faibles (ce qui est généralement le cas en conception routière, où \(\tan(\theta_d) \approx \sin(\theta_d) \approx d\), avec \(\theta_d\) l'angle de dévers), l'équation d'équilibre se simplifie à :

Où :

• \(d\) est le dévers (ex: 0.07 pour 7%)
• \(f_t\) est le coefficient de frottement transversal mobilisé
• \(V\) est la vitesse du véhicule (en \(\text{m/s}\))
• \(g\) est l'accélération due à la gravité (en \(\text{m/s}^2\))
• \(R\) est le rayon de la courbe (en \(\text{m}\))

Principe :

Le rayon minimal absolu est le plus petit rayon de courbe qui peut être négocié en toute sécurité à la vitesse de référence, en utilisant simultanément le dévers maximal admissible (\(d_{\text{max}}\)) et le coefficient de frottement transversal maximal admissible (\(f_{t,\text{max}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :

À partir de l'équation d'équilibre, on isole \(R\):

Données spécifiques :

• \(V = 25.0 \, \text{m/s}\)
• \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
• \(d_{\text{max}} = 0.07\)
• \(f_{t,\text{max}} = 0.12\)

Calcul :

Principe :

Pour un rayon donné (\(R = 400 \, \text{m}\)) et un coefficient de frottement transversal cible (\(f_t = 0.08\)), on calcule le dévers \(d\) nécessaire en utilisant l'équation d'équilibre. On vérifie ensuite si ce dévers est acceptable (c'est-à-dire \(d \le d_{\text{max}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(V = 25.0 \, \text{m/s}\)
• \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
• \(R = 400.000 \, \text{m}\)
• \(f_t (\text{cible}) = 0.08\)
• \(d_{\text{max}} = 0.07\)

Calcul :

Ce dévers \(d \approx 0.0793\) (soit \(7.93\%\)) est supérieur au dévers maximal admissible \(d_{\text{max}} = 0.07\).

Conclusion : Le dévers calculé de \(7.93\%\) n'est pas acceptable car il dépasse la limite de \(7\%\). On ne peut donc pas atteindre un \(f_t\) de \(0.08\) avec ce rayon sans dépasser le dévers maximal.

Principe :

Si on applique le dévers maximal admissible (\(d_{\text{max}}\)) pour le rayon donné (\(R = 400 \, \text{m}\)), on peut calculer le coefficient de frottement transversal (\(f_t\)) qui sera alors mobilisé par un véhicule circulant à la vitesse de référence. On vérifie ensuite si ce \(f_t\) est acceptable (c'est-à-dire \(f_t \le f_{t,\text{max}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(V = 25.0 \, \text{m/s}\)
• \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
• \(R = 400.000 \, \text{m}\)
• \(d_{\text{max}} = 0.07\)
• \(f_{t,\text{max}} = 0.12\)

Calcul :

Comparaison avec \(f_{t,\text{max}}\) :

Le coefficient de frottement mobilisé (\(\approx 0.089\)) est inférieur au coefficient de frottement transversal maximal admissible (\(0.12\)).

Principe :

La longueur de raccordement du dévers (ou "superelevation runoff") est la longueur sur laquelle le profil en travers de la chaussée passe d'un état normal (par exemple, un dévers nul ou une pente transversale standard pour l'évacuation des eaux) à l'état de plein dévers requis dans la courbe. Cette transition doit être progressive pour des raisons de confort et de sécurité. Une des méthodes de calcul se base sur la pente relative maximale des bords de la chaussée par rapport à l'axe.

La variation totale de dévers à appliquer sur un bord de la chaussée est la différence entre le dévers en courbe et le dévers en alignement (souvent \(2.5\%\) ou \(-2.5\%\) pour l'évacuation des eaux). Si on part d'un profil en toit (\(-2.5\%\) de chaque côté) pour aller à un dévers unique de \(d_{\text{max}}\), la variation relative d'un bord par rapport à l'autre est \(d_{\text{max}} - (-2.5\%) = d_{\text{max}} + 2.5\%\) si on relève un bord, ou plus simplement la variation totale de la pente d'un bord par rapport à l'horizontale est \(d_{\text{max}}\) (si on part de 0) ou \(d_{\text{max}} - (\text{pente initiale})\).

Ici, on considère la variation de la pente d'un bord de la chaussée par rapport à l'axe. Si l'axe reste à son niveau et qu'un bord est relevé pour atteindre le dévers \(d_{\text{max}}\), ce bord subit une variation d'altitude sur la largeur de la voie. La longueur de raccordement \(L_r\) est telle que la pente longitudinale de ce bord relevé (pente relative par rapport à l'axe) ne dépasse pas une valeur limite.

Formule(s) utilisée(s) :

Où :

• \(L_r\) est la longueur de raccordement du dévers.
• \(\Delta d\) est la variation totale du dévers à appliquer sur la largeur de la voie considérée (ici, \(d_{\text{max}}\) si on part d'un profil plat ou si on considère la variation par rapport à l'axe pour une voie). Si on passe d'un dévers de \(p_0 = -2.5\%\) à \(d_{\text{max}} = +7\%\), la variation totale du bord extérieur est \(d_{\text{max}} - p_0 = 0.07 - (-0.025) = 0.095\).
• \(l_v\) est la largeur de la voie de circulation.
• \(p_{\text{rel,max}}\) est la pente relative longitudinale maximale admissible des bords de la chaussée par rapport à l'axe (ou par rapport à l'autre bord si la chaussée pivote autour de l'axe).

Dans le cas d'une chaussée à 2 voies qui pivote autour de l'axe, le bord extérieur est relevé de \(d_{\text{max}}\) par rapport à l'axe, et le bord intérieur est abaissé de \(d_{\text{max}}\) par rapport à l'axe (si on part d'un profil plat). Si on part d'un profil en toit de \(-2.5\%\) vers l'extérieur, le bord extérieur doit passer de \(-2.5\%\) à \(+d_{\text{max}}\). La variation de pente pour ce bord est \(d_{\text{max}} - (-0.025) = d_{\text{max}} + 0.025\).

Pour simplifier, on va considérer la variation de la pente transversale de la voie par rapport à l'horizontale, passant de \(0\) (ou \(2.5\%\) vers l'extérieur) à \(d_{\text{max}}\). La variation d'altitude sur la largeur de la voie est \(\Delta H_v = d_{\text{max}} \times l_v\). Cette variation d'altitude est acquise sur la longueur \(L_r\). La pente relative est \(\frac{\Delta H_v}{L_r}\). Ici, on utilise la définition de la pente relative des bords : la variation de dévers (\(\Delta d\)) est \(d_{\text{max}} - (\text{dévers initial})\). Si le dévers initial est \(0\%\), \(\Delta d = d_{\text{max}}\). Si on part d'un profil en toit à \(-2.5\%\) et que l'axe reste au même niveau, le bord extérieur est relevé de \(d_{\text{max}} - (-0.025)\). La formule plus commune pour la longueur de déversement est \(L_r = \frac{l_v \times d_{\text{max}}}{i_g}\) où \(i_g\) est la pente relative des bords.

Données spécifiques :

• \(d_{\text{max}} = 7\% = 0.07\)
• \(l_v = 3.50 \, \text{m}\)
• Pente relative maximale des bords \(p_{\text{rel,max}} = 0.5\% = 0.005\)

On considère que la variation de dévers \(\Delta d\) est de \(0.07 - (-0.025) = 0.095\) si on passe d'un dévers normal de \(2.5\%\) vers l'extérieur à un dévers de \(7\%\) vers l'intérieur. Cependant, la "pente relative des bords" se réfère souvent à la différence de pente longitudinale entre le bord de la chaussée et l'axe. Une formule simplifiée souvent utilisée pour la longueur d'application du dévers est \(L_r = \frac{\text{largeur de la voie pivotante} \times \text{valeur du dévers}}{\text{pente relative maximale des bords}}\). Ici, la largeur de la voie pivotante est \(l_v\).

Calcul :

Cette longueur correspond à la section où le dévers est appliqué (superelevation runoff). Elle est souvent précédée et suivie par des sections de transition de dévers (tangent runoff) si on part d'un profil en toit.