Études de cas pratique

EGC

Propriétés Thermodynamiques d’un Gaz Parfait

Propriétés Thermodynamiques d’un Gaz Parfait

Propriétés Thermodynamiques d’un Gaz Parfait

Comprendre le Comportement des Gaz Parfaits

Un gaz parfait est un modèle théorique d'un gaz dont les particules sont supposées n'avoir aucun volume propre et n'exercer aucune interaction entre elles, à l'exception des collisions élastiques. Bien qu'aucun gaz réel ne soit parfaitement idéal, ce modèle est très utile pour décrire le comportement de nombreux gaz à des pressions et températures modérées. Les lois des gaz parfaits (Boyle-Mariotte, Charles, Gay-Lussac, Avogadro) et l'équation d'état des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) permettent d'analyser les transformations thermodynamiques. Cet exercice se concentre sur une compression adiabatique réversible d'un gaz parfait.

Données de l'étude

Une mole d'air, considérée comme un gaz parfait diatomique, subit une compression adiabatique réversible.

Conditions initiales et paramètres du gaz :

Paramètre Valeur Symbole
Quantité de matière 1 \(\text{mol}\) \(n\)
Température initiale 27 °C \(T_1\)
Pression initiale 100 \(\text{kPa}\) \(P_1\)
Volume final 1/10 du volume initial (\(V_2 = V_1/10\)) \(V_2\)
Indice adiabatique (pour l'air diatomique) 1.4 \(\gamma = C_p/C_v\)
Constante des gaz parfaits 8.314 \(\text{J/(mol} \cdot \text{K)}\) \(R\)

Hypothèses : L'air se comporte comme un gaz parfait. La compression est adiabatique et réversible (isentropique).

Schéma : Compression adiabatique d'un gaz parfait
État Initial (V1, T1, P1) P_ext V1 État Final (V2, T2, P2) P_ext + \(\Delta\)P V2 Compression Adiabatique

Schéma d'une compression adiabatique d'un gaz dans un cylindre-piston.

Questions à traiter

  1. Convertir la température initiale \(T_1\) en Kelvin (K).
  2. Calculer le volume initial \(V_1\) du gaz en \(\text{m}^3\) en utilisant l'équation d'état des gaz parfaits.
  3. Calculer le volume final \(V_2\) du gaz en \(\text{m}^3\).
  4. Calculer la température finale \(T_2\) du gaz après la compression adiabatique réversible.
  5. Calculer la pression finale \(P_2\) du gaz après la compression.
  6. Calculer le travail (\(W\)) effectué sur le gaz pendant la compression adiabatique.
  7. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz pendant cette transformation.

Correction : Propriétés Thermodynamiques d’un Gaz Parfait

Question 1 : Conversion de la température initiale (\(T_1\)) en Kelvin

Principe :

Pour convertir une température de degrés Celsius (°C) en Kelvin (K), on utilise la formule \(T(\text{K}) = T(°\text{C}) + 273.15\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_1(\text{K}) = T_1(°\text{C}) + 273.15\]
Données spécifiques :
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(27 \, °\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_1 &= 27 + 273.15 \\ &= 300.15 \, \text{K} \end{aligned} \]

Pour simplifier les calculs suivants, on utilisera souvent \(T_1 = 300 \, \text{K}\) si l'énoncé le permet implicitement ou si la précision de 273 est suffisante.

Résultat Question 1 : La température initiale est \(T_1 = 300.15 \, \text{K}\) (ou approximativement \(300 \, \text{K}\)).

Question 2 : Calcul du volume initial (\(V_1\))

Principe :

On utilise l'équation d'état des gaz parfaits : \(P V = n R T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = \frac{n R T_1}{P_1}\]
Données spécifiques :
  • Quantité de matière (\(n\)) : \(1 \, \text{mol}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(300.15 \, \text{K}\)
  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(100 \, \text{kPa} = 100 \times 10^3 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{1 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300.15 \, \text{K}}{100 \times 10^3 \, \text{Pa}} \\ &= \frac{2495.4471 \, \text{J}}{100000 \, \text{N/m}^2} \\ &\approx 0.02495 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le volume initial est \(V_1 \approx 0.02495 \, \text{m}^3\).

Question 3 : Calcul du volume final (\(V_2\))

Principe :

Le volume final est donné comme étant 1/10 du volume initial.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_2 = \frac{V_1}{10}\]
Données spécifiques :
  • Volume initial (\(V_1\)) : \(\approx 0.02495 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{0.02495 \, \text{m}^3}{10} \\ &= 0.002495 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le volume final est \(V_2 \approx 0.002495 \, \text{m}^3\).

Question 4 : Température finale (\(T_2\)) après compression adiabatique

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, la relation entre température et volume est \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\), donc \(T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}\]
Données spécifiques :
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(300.15 \, \text{K}\)
  • Rapport des volumes (\(V_1/V_2\)) : 10
  • Indice adiabatique (\(\gamma\)) : \(1.4\)
Calcul :

Exposant \(\gamma-1 = 1.4 - 1 = 0.4\)

\[ \begin{aligned} T_2 &= 300.15 \, \text{K} \times (10)^{0.4} \\ &\approx 300.15 \, \text{K} \times 2.511886 \\ &\approx 753.93 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La température finale est \(T_2 \approx 753.9 \, \text{K}\) (soit environ 480.8 °C).

Question 5 : Pression finale (\(P_2\)) après compression

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, on peut utiliser la relation \(P V^{\gamma} = \text{constante}\), donc \(P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}\). Alternativement, on peut utiliser l'équation d'état des gaz parfaits avec \(T_2\) et \(V_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma} \quad \text{ou} \quad P_2 = \frac{n R T_2}{V_2}\]
Données spécifiques :
  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(100 \times 10^3 \, \text{Pa}\)
  • Rapport des volumes (\(V_1/V_2\)) : 10
  • Indice adiabatique (\(\gamma\)) : \(1.4\)
  • \(n=1 \, \text{mol}\), \(R=8.314 \, \text{J/(mol K)}\), \(T_2 \approx 753.93 \, \text{K}\), \(V_2 \approx 0.002495 \, \text{m}^3\)
Calcul (avec la première formule) :
\[ \begin{aligned} P_2 &= (100 \times 10^3 \, \text{Pa}) \times (10)^{1.4} \\ &\approx (100 \times 10^3 \, \text{Pa}) \times 25.11886 \\ &\approx 2511886 \, \text{Pa} \\ &\approx 2511.9 \, \text{kPa} \quad (\text{ou } \approx 25.12 \, \text{bar}) \end{aligned} \]

Vérification avec la deuxième formule :

\[ \begin{aligned} P_2 &= \frac{1 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol K)} \times 753.93 \, \text{K}}{0.002495 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{6268.05 \, \text{J}}{0.002495 \, \text{m}^3} \\ &\approx 2512244 \, \text{Pa} \approx 2512.2 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

(La légère différence est due aux arrondis intermédiaires).

Résultat Question 5 : La pression finale est \(P_2 \approx 2512 \, \text{kPa}\).

Question 6 : Travail (\(W\)) effectué sur le gaz

Principe :

Pour une transformation adiabatique d'un gaz parfait, le travail effectué sur le gaz (puisque \(Q=0\)) est égal à la variation de son énergie interne \(\Delta U\). On peut aussi le calculer par \(W = (P_2 V_2 - P_1 V_1) / (1-\gamma)\) ou \(W = n C_v (T_2 - T_1)\) si \(C_v\) est connu. Pour un gaz parfait diatomique, \(C_v = \frac{5}{2}R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1 - \gamma}\]

Ou, puisque \(PV=nRT\):

\[W = \frac{n R (T_2 - T_1)}{1 - \gamma}\]
Données spécifiques :
  • \(n = 1 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 = 300.15 \, \text{K}\)
  • \(T_2 \approx 753.93 \, \text{K}\)
  • \(\gamma = 1.4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W &= \frac{1 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol K)} \times (753.93 \, \text{K} - 300.15 \, \text{K})}{1 - 1.4} \\ &= \frac{8.314 \times 453.78}{-0.4} \\ &= \frac{3772.07}{-0.4} \\ &\approx -9430.18 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que le travail est reçu par le gaz (travail de compression).

Résultat Question 6 : Le travail effectué sur le gaz est \(W \approx -9430 \, \text{J}\) (ou \(-9.43 \, \text{kJ}\)).

Question 7 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température : \(\Delta U = n C_v \Delta T\). Pour un processus adiabatique, \(Q=0\), donc d'après le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = W\).

Pour un gaz parfait diatomique, \(C_v = \frac{5}{2}R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U = W \quad (\text{pour un processus adiabatique})\]

Ou

\[\Delta U = n C_v (T_2 - T_1) = n \left(\frac{5}{2}R\right) (T_2 - T_1)\]
Données spécifiques (pour vérification) :
  • \(W \approx -9430.18 \, \text{J}\)
  • \(n = 1 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 = 300.15 \, \text{K}\)
  • \(T_2 \approx 753.93 \, \text{K}\)
Calcul (vérification) :
\[ \begin{aligned} C_v &= \frac{5}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol K)} \\ &= 20.785 \, \text{J/(mol K)} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta U &= 1 \, \text{mol} \times 20.785 \, \text{J/(mol K)} \times (753.93 \, \text{K} - 300.15 \, \text{K}) \\ &= 20.785 \times 453.78 \, \text{J} \\ &\approx 9431.85 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le travail \(W\) calculé précédemment était le travail reçu par le système (négatif par convention pour le système). La variation d'énergie interne est positive, \(\Delta U = -W_{\text{reçu par le système}}\) si \(W\) est le travail fourni au système. Si \(W\) est le travail fait PAR le système, alors \(\Delta U = -W\). Dans notre cas, le travail est reçu, donc \(\Delta U = -W = -(-9430.18 \, \text{J}) = 9430.18 \, \text{J}\). Les résultats sont cohérents aux arrondis près.

Résultat Question 7 : La variation d'énergie interne est \(\Delta U \approx 9430 \, \text{J}\) (ou \(9.43 \, \text{kJ}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'une compression adiabatique réversible d'un gaz parfait, sa température :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'équation d'état des gaz parfaits est :

2. Un processus adiabatique est un processus au cours duquel :

3. Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) ne dépend que de :

Glossaire

Gaz Parfait (ou Idéal)
Modèle théorique d'un gaz dont les molécules sont supposées ponctuelles et sans interactions mutuelles à distance (sauf lors des collisions). Son comportement est décrit par l'équation d'état \(PV=nRT\).
Processus Adiabatique
Transformation thermodynamique au cours de laquelle il n'y a aucun échange de chaleur (\(Q=0\)) entre le système et son environnement.
Processus Réversible
Transformation thermodynamique idéale qui peut être inversée en ramenant le système et l'environnement à leurs états initiaux sans laisser de changement net. Un processus adiabatique réversible est isentropique.
Indice Adiabatique (\(\gamma\))
Rapport des capacités thermiques molaires à pression constante (\(C_p\)) et à volume constant (\(C_v\)). \(\gamma = C_p/C_v\). Pour un gaz parfait diatomique (comme l'air approximativement), \(\gamma \approx 1.4\).
Énergie Interne (\(U\))
Énergie totale contenue dans un système thermodynamique, incluant l'énergie cinétique et potentielle des molécules. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température.
Travail (\(W\))
Transfert d'énergie résultant d'une force agissant sur une distance. En thermodynamique, souvent associé à l'expansion ou la compression d'un gaz.
Premier Principe de la Thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie pour un système thermodynamique : \(\Delta U = Q + W\), où \(\Delta U\) est la variation d'énergie interne, \(Q\) la chaleur échangée et \(W\) le travail échangé (avec la convention : \(W > 0\) si reçu par le système, \(Q > 0\) si reçu par le système).
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