Principes de l’hydrostatique

1. Introduction : Le Domaine de l'Hydrostatique

L'hydrostatique se focalise sur le comportement des fluides – incluant les liquides et les gaz – lorsqu'ils sont dans un état de repos complet. Dans cette condition d'équilibre, les forces de cisaillement, qui induisent un mouvement relatif entre les couches de fluide, sont absentes. Les seules interactions significatives sont les forces de pression, agissant perpendiculairement aux surfaces, et la force gravitationnelle.

Notre exploration de l'hydrostatique s'articulera autour de trois concepts centraux : la notion de pression, le principe de transmission des pressions formulé par Pascal, et le principe de la poussée d'Archimède expliquant la flottabilité.

2. Le Concept de Pression dans les Fluides

2.1 Définition Formelle de la Pression

La pression est une grandeur physique fondamentale en mécanique des fluides, définie comme le rapport de la force appliquée perpendiculairement à une surface sur l'aire de cette surface. Elle quantifie l'intensité avec laquelle une force est répartie sur une étendue donnée.

Où :
\(P\) représente la Pression (en \(\text{Pa}\)).
\(F\) est la Force normale (perpendiculaire) à la surface (en \(\text{N}\)).
\(A\) est l'Aire de la surface sur laquelle la force s'exerce (en mètres carrés, \(\text{m}^2\)).

Il découle de cette définition qu'une même force peut générer des pressions très différentes selon la surface sur laquelle elle s'applique.

2.2 Unités Standard de Pression

L'unité dérivée du Système International (SI) pour la pression est le Pascal (\(\text{Pa}\)), équivalent à un Newton par mètre carré (\(1 \, \text{Pa} = 1 \, \text{N/m}^2\)). En pratique, d'autres unités sont couramment employées en raison de l'échelle des pressions rencontrées :

• Le bar : largement utilisé en ingénierie, \(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\).
• L'atmosphère standard (\(\text{atm}\)) : définie historiquement comme la pression moyenne de l'air au niveau de la mer, \(1 \, \text{atm} \approx 101\,325 \, \text{Pa}\).
• Le millimètre de mercure (\(\text{mmHg}\)) ou Torr : principalement utilisé en médecine et en météorologie.
• Le pound-force per square inch (\(\text{psi}\)) : unité du système impérial, fréquente dans certains domaines techniques.

2.3 Isotropie de la Pression en un Point

Dans un fluide au repos, la pression exercée sur un élément de surface infinitésimal entourant un point donné est identique quelle que soit l'orientation de cette surface. Cette propriété, connue sous le nom d'isotropie de la pression, est une conséquence directe de l'absence de contraintes tangentielles (cisaillement) dans un fluide en équilibre statique.

Schéma illustrant que la pression en un point d'un fluide au repos est la même dans toutes les directions (symbolisée par des flèches rouges de même longueur).

3. Variation de la Pression avec la Profondeur

3.1 Loi Fondamentale de l'Hydrostatique

Pour un fluide incompressible de masse volumique \(\rho\), la pression absolue \(P\) à une profondeur \(h\) sous une surface où la pression est \(P_0\) est donnée par la relation :

Où :
\(P\) est la Pression absolue à la profondeur \(h\).
\(P_0\) est la Pression à la surface libre du fluide (souvent la pression atmosphérique).
\(\rho\) est la Masse Volumique du fluide (en \(\text{kg/m}^3\)).
\(g\) est l'accélération due à la gravité (environ \(9.81 \, \text{m/s}^2\)).
\(h\) est la Profondeur sous la surface libre (en \(\text{m}\)).

Le terme \(\rho g h\) représente la pression additionnelle exercée par la colonne de fluide de hauteur \(h\). Cette loi est une excellente approximation pour les liquides, dont la masse volumique varie peu avec la pression.

Ce schéma illustre comment la pression (représentée par les flèches rouges) devient de plus en plus grande à mesure que l'on descend dans le fluide. La pression à la surface (\(P_0\)) s'ajoute à la pression due au poids du fluide au-dessus.

3.2 Pression Atmosphérique

L'atmosphère terrestre, étant une couche gazeuse, exerce une pression sur toutes les surfaces en contact avec elle. Cette pression atmosphérique varie en fonction de l'altitude et des conditions météorologiques. Sa valeur moyenne au niveau de la mer est d'environ \(101\,325 \, \text{Pa}\), soit \(1 \, \text{atm}\). Cette pression diminue avec l'altitude car la colonne d'air au-dessus est moins importante.

3.3 Distinction entre Pression Absolue et Pression Manométrique

Il est crucial de distinguer deux types de mesure de pression :

• Pression Absolue : C'est la pression totale mesurée par rapport à un vide parfait (pression nulle). C'est la valeur \(P\) calculée par la loi fondamentale de l'hydrostatique (\(P = P_0 + \rho g h\)).
• Pression Manométrique : C'est la différence entre la pression absolue et la pression atmosphérique locale. Elle est généralement mesurée par des instruments appelés manomètres.

Si la pression à la surface libre (\(P_0\)) est égale à la pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)), la pression manométrique à la profondeur \(h\) est donnée par :

La pression manométrique représente ainsi la contribution de la colonne de fluide seule à la pression totale.

4. Principe de Pascal : Transmission de la Pression

Le principe de Pascal, énoncé par Blaise Pascal, est un pilier de l'hydrostatique :

Toute variation de pression appliquée à un fluide confiné et incompressible au repos est transmise intégralement et sans diminution à toutes les parties du fluide ainsi qu'aux parois du récipient.

Cela signifie qu'une augmentation de pression en un point d'un système hydraulique fermé se propage uniformément dans tout le fluide.

4.1 Application Majeure : La Presse Hydraulique

La presse hydraulique est l'illustration la plus éloquente du principe de Pascal, permettant de multiplier une force appliquée.

Schéma illustrant une presse hydraulique. Une petite force (\(F_1\)) appliquée sur un petit piston (surface \(A_1\)) crée une pression qui se transmet et génère une grande force (\(F_2\)) sur un grand piston (surface \(A_2\)). Notez la différence de taille des flèches pour représenter la multiplication de la force.

Une presse hydraulique typique comprend deux cylindres de sections transversales différentes, \(A_1\) (petite) et \(A_2\) (grande), connectés et remplis d'un fluide incompressible. L'application d'une force \(F_1\) sur le piston de petite section \(A_1\) crée une pression \(P = F_1/A_1\) dans le fluide.

Conformément au principe de Pascal, cette pression \(P\) est transmise intégralement au grand piston de section \(A_2\), générant une force \(F_2 = P \times A_2\).

Étant donné que \(A_2 > A_1\), le rapport \(A_2/A_1\) est supérieur à \(1\), ce qui implique que la force de sortie \(F_2\) est supérieure à la force d'entrée \(F_1\). Ce dispositif permet ainsi de multiplier la force appliquée, au détriment cependant du déplacement (le petit piston doit parcourir une distance plus grande que le grand piston pour un même volume de fluide déplacé).

Ce principe trouve des applications cruciales dans les systèmes de freinage hydraulique, les vérins, et autres équipements nécessitant une amplification de force.

5. Principe d'Archimède : La Poussée Verticale

Le principe d'Archimède est fondamental pour comprendre le comportement des objets immergés ou flottants dans un fluide.

5.1 Définition de la Poussée d'Archimède

Tout corps partiellement ou totalement immergé dans un fluide subit une force verticale ascendante exercée par le fluide, appelée poussée d'Archimède (\(F_A\)). Cette force résulte de la différence de pression entre la partie inférieure et la partie supérieure de l'objet immergé, la pression étant plus élevée en profondeur.

5.2 Énoncé du Principe d'Archimède

Le principe d'Archimède stipule que :

La poussée d'Archimède exercée sur un corps est égale au poids du volume de fluide déplacé par ce corps.

Mathématiquement, l'intensité de la poussée d'Archimède est donnée par :

Où :
\(F_A\) est la Poussée d'Archimède (en \(\text{N}\)).
\(\rho_{\text{fluide}}\) est la Masse Volumique du fluide (en \(\text{kg/m}^3\)).
\(V_{\text{immergé}}\) est le Volume de la partie immergée du corps (égal au volume de fluide déplacé, en \(\text{m}^3\)).
\(g\) est l'accélération due à la gravité (environ \(9.81 \, \text{m/s}^2\)).

Le produit \(\rho_{\text{fluide}} \times V_{\text{immergé}}\) représente la masse du fluide déplacé, et \(\rho_{\text{fluide}} \times V_{\text{immergé}} \times g\) correspond donc au poids de ce volume de fluide.

Schéma illustrant les forces agissant sur un objet partiellement immergé : son poids (\(P_{\text{objet}}\)) tirant vers le bas et la poussée d'Archimède (\(F_A\)) poussant vers le haut. Le volume de fluide déplacé (\(V_{\text{immergé}}\)) est également représenté.

5.3 Conditions de Flottaison et d'Immersion

Le comportement d'un corps dans un fluide est déterminé par la comparaison entre son poids (\(P_{\text{objet}}\)) et la poussée d'Archimède (\(F_A\)) qu'il subit :

• Immersion (l'objet coule) : Si le poids du corps est supérieur à la poussée d'Archimède maximale (lorsque le corps est entièrement immergé), c'est-à-dire si \(\rho_{\text{objet}} > \rho_{\text{fluide}}\), le corps coule.
• Flottaison (l'objet flotte) : Si le poids du corps est inférieur ou égal à la poussée d'Archimède maximale, c'est-à-dire si \(\rho_{\text{objet}} \le \rho_{\text{fluide}}\), le corps flotte.
  • Dans le cas de la flottaison, le corps s'enfonce dans le fluide jusqu'à ce que le volume immergé \(V_{\text{immergé}}\) soit tel que le poids du fluide déplacé (\(F_A\)) égale exactement le poids du corps (\(P_{\text{objet}}\)). L'équilibre est atteint lorsque \[ \rho_{\text{objet}} \times V_{\text{objet}} \times g = \rho_{\text{fluide}} \times V_{\text{immergé}} \times g \]

    On peut simplifier par g :

    \[\rho_{\text{objet}} \times V_{\text{objet}} = \rho_{\text{fluide}} \times V_{\text{immergé}}\] Cela permet de calculer quelle fraction de l'objet est immergée.
• Suspension (entre deux eaux) : Si le poids du corps est exactement égal à la poussée d'Archimède lorsqu'il est entièrement immergé (\(\rho_{\text{objet}} = \rho_{\text{fluide}}\)), le corps reste en équilibre à n'importe quelle profondeur sous la surface.

Ces schémas montrent les trois cas possibles pour un objet dans un fluide, en fonction de la comparaison entre son poids (\(P_{\text{objet}}\)) et la poussée d'Archimède (\(F_A\)). La taille des flèches indique la force relative.

6. Note Complémentaire : La Tension Superficielle

Bien que distinct des principes de l'hydrostatique de masse, la tension superficielle est un phénomène de surface important dans l'étude des fluides au repos. Elle résulte des forces de cohésion entre les molécules du liquide, créant une "peau" tendue à la surface. Ce phénomène explique la formation des gouttes, la capillarité et la capacité de certains objets légers à flotter malgré une densité supérieure à celle du liquide.

7. Applications Pratiques de l'Hydrostatique

Les principes de l'hydrostatique sont omniprésents dans de nombreux domaines :

• Instrumentation : Conception et utilisation de manomètres et baromètres pour la mesure de pression.
• Ingénierie Navale : Stabilité et flottabilité des bateaux, conception des sous-marins.
• Aérostats : Flottabilité des ballons à air chaud et des dirigeables dans l'atmosphère.
• Génie Civil : Calcul des forces exercées par l'eau sur les barrages, les écluses et les structures immergées.
• Systèmes Hydrauliques : Fonctionnement des presses, freins et vérins hydrauliques.

8. Exercices d'Application

Pour maîtriser les concepts abordés, il est recommandé de s'exercer sur des problèmes types. Voici quelques ressources externes pour vous entraîner :

• Calcul de la pression absolue et manométrique à différentes profondeurs.
• Détermination des forces dans les systèmes basés sur le principe de Pascal.
• Analyse de la flottabilité et calcul du volume immergé.

Ressources d'exercices et corrigés :

• Étude de la pression hydrostatique
• Analyse des propriétés hydrauliques
• Calcul de la pression au fond d'un réservoir

Exemple Calculatoire : Pression Manométrique en Immersion

Considérons un plongeur à une profondeur de \(10 \, \text{m}\) dans l'eau de mer, dont la masse volumique est approximativement \(\rho_{\text{eau\ mer}} \approx 1025 \, \text{kg/m}^3\). En prenant \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\), calculons la pression manométrique à cette profondeur.

En appliquant la formule de la pression manométrique :

La pression manométrique à \(10 \, \text{m}\) de profondeur dans l'eau de mer est donc d'environ \(100\,552.5\) Pascals.

Cette valeur est comparable à la pression atmosphérique standard (\(1 \, \text{atm} \approx 101325 \, \text{Pa}\)), illustrant que la pression totale à \(10 \, \text{m}\) de profondeur est approximativement le double de la pression atmosphérique. Ceci souligne l'importance de la gestion de la pression pour les activités subaquatiques.