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1. Notions Fondamentales

1.1 Définition d'un Fluide

Un fluide est un milieu matériel continu, déformable, qui n'a pas de forme propre et qui prend la forme du récipient qui le contient. En hydrostatique, on considère les fluides comme incompressibles (liquides) par opposition aux fluides compressibles (gaz). La caractéristique principale d'un fluide au repos est qu'il ne peut pas supporter d'effort de cisaillement ; les forces sont toujours normales aux surfaces.

1.2 Masse Volumique et Densité

La masse volumique (ρ, rho) est la masse par unité de volume. C'est une propriété intensive qui dépend de la température et de la pression.

• Eau pure (4°C) : ρ ≈ 1000 kg/m³
• Mercure : ρ ≈ 13600 kg/m³
• Air (niveau mer) : ρ ≈ 1.225 kg/m³

Le Poids Spécifique (γ, gamma) est le poids par unité de volume : γ = ρ × g (avec g ≈ 9.81 m/s²). Pour l'eau, γ ≈ 9810 N/m³.

1.3 La Pression

La pression est définie comme la force normale (F) agissant sur une unité de surface (S).

1.4 Tension Superficielle et Capillarité

À l'interface entre un liquide et un gaz, ou entre deux liquides non miscibles, il existe une force par unité de longueur appelée tension superficielle (σ). Elle est responsable de la formation des gouttes sphériques et de l'ascension de l'eau dans les tubes fins (capillarité).

Loi de Jurin (Ascension capillaire) : Dans un tube de rayon r, la hauteur d'ascension h est donnée par :

Avec θ l'angle de contact (≈0° pour l'eau sur du verre propre).

1.5 Équation Fondamentale (Forme Locale)

Pour une analyse rigoureuse, l'équilibre d'un élément de volume infinitésimal dV soumis aux forces de pression et de gravité s'écrit sous forme vectorielle :

En projection sur l'axe vertical z (orienté vers le haut), cela donne : dP/dz = -ρg. Cela signifie que la pression diminue quand l'altitude augmente.

2. Loi Fondamentale de l'Hydrostatique

Cette loi régit la variation de pression au sein d'un fluide immobile soumis à un champ de pesanteur.

2.1 Relation Fondamentale

La différence de pression entre deux points d'un liquide au repos est proportionnelle à la différence de profondeur (altitude) entre ces deux points.

Profil de pression hydrostatique : la pression augmente linéairement avec la profondeur.

2.2 Le Paradoxe Hydrostatique

La pression au fond d'un récipient ne dépend que de la hauteur de la colonne de liquide et de sa densité, et non de la forme du récipient ou de la quantité totale de liquide. Un tube fin de 10m de haut exercera la même pression au fond qu'une piscine de 10m de profondeur.

2.3 Principe de Pascal

"Toute variation de pression en un point d'un fluide incompressible au repos est transmise intégralement à tous les autres points du fluide et aux parois du contenant."

C'est le principe de fonctionnement de la presse hydraulique : une petite force appliquée sur une petite surface génère une grande pression, qui se traduit par une grande force sur une grande surface.

Amplification de force : une petite force sur une petite surface crée une grande force sur une grande surface.

2.4 Applications Classiques

• Vases Communicants : Dans des récipients reliés entre eux, un liquide homogène se stabilise toujours à la même hauteur horizontale, quelle que soit la forme des récipients.
• Baromètre de Torricelli : En retournant un tube rempli de mercure sur une cuve, la colonne de mercure descend jusqu'à une hauteur d'environ 760mm. Le vide se crée au sommet. La pression atmosphérique équilibre le poids de la colonne : P_atm = ρ_mercure × g × h.

3. Mesure de la Pression

3.1 Pression Absolue vs Relative

Pression Absolue : Pression mesurée par rapport au vide absolu (P = 0). Toujours positive.
Pression Relative (Manométrique) : Pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique locale. P_rel = P_abs - P_atm.

3.2 Le Manomètre à Tube en U

Dispositif simple permettant de mesurer une différence de pression en utilisant un liquide manométrique dense (souvent du mercure par le passé) pour équilibrer une colonne de fluide.

Lecture de la différence de pression : P₁ - P₂ = ρ_mgΔh

3.3 Unités Usuelles

4. Forces Hydrostatiques sur Parois

L'ingénieur doit calculer la résultante des forces de pression sur les parois (barrages, écluses, réservoirs) pour dimensionner leur structure.

4.1 Parois Planes Horizontales

La pression est uniforme sur toute la surface. La force résultante est simplement : F = P × S = ρgh × S. Elle est verticale et dirigée vers le bas.

4.2 Parois Planes Verticales

La pression varie linéairement avec la profondeur. La force résultante (F) est appliquée au centre de poussée, qui est toujours situé plus bas que le centre de gravité (G) de la surface mouillée.

La magnitude de la force est donnée par le produit de la pression au centre de gravité par la surface : F = ρ × g × h_G × S.

4.3 Centre de Poussée

C'est le point d'application de la résultante des forces de pression. Pour une paroi rectangulaire verticale, il se situe aux 2/3 de la hauteur d'eau en partant de la surface libre. La position exacte se calcule grâce au moment d'inertie de la surface.

4.4 Forces sur Parois Courbes

Pour les surfaces courbes (ex: vannes segments, barrages voûtes), le calcul direct est complexe car la direction de la pression change en chaque point. On décompose donc la force résultante en deux composantes :

• Composante Horizontale (F_H) : Égale à la force hydrostatique qui s'exercerait sur la projection verticale de la surface courbe.
• Composante Verticale (F_V) : Égale au poids de la colonne de liquide située (réellement ou virtuellement) au-dessus de la surface courbe jusqu'à la surface libre.

La résultante totale est obtenue par la somme vectorielle : R = √(F_H² + F_V²).

4.5 Étude de Cas : Vanne Rectangulaire

Considérons une vanne de largeur L et de hauteur H retenant une hauteur d'eau H.

• Pression moyenne : P_moy = ρ g (H/2)
• Force Totale : F = P_moy × S = (ρ g H/2) × (L × H) = ½ ρ g L H²
• Point d'application : h_cp = 2/3 H

5. Poussée d'Archimède

5.1 Principe Général

F_A = ρ_fluide × V_immergé × g

5.2 Stabilité & Métacentre

Pour qu'un corps flottant soit stable, il doit revenir à sa position d'équilibre après une petite inclinaison. Cela dépend de la position du Métacentre (M) par rapport au centre de gravité (G).

• Si M est au-dessus de G : Équilibre Stable (le couple de redressement ramène le navire).
• Si M est au-dessous de G : Équilibre Instable (le navire chavire).

6. Équilibre Relatif (Fluides en Mouvement Accéléré)

Lorsque le contenant d'un fluide est soumis à une accélération, le fluide n'est plus statique par rapport au sol, mais statique par rapport au contenant. La surface libre se déforme.

6.1 Accélération Linéaire Uniforme

Dans un camion-citerne accélérant horizontalement avec une accélération a, la surface libre du liquide s'incline. L'angle d'inclinaison θ est donné par : tan(θ) = a / g.

6.2 Rotation Uniforme (Vortex Forcé)

Dans un récipient cylindrique tournant à vitesse angulaire constante ω, la surface libre prend la forme d'un paraboloïde de révolution. La différence de hauteur entre le centre et la paroi est proportionnelle au carré de la vitesse de rotation.

7. Données Utiles

7.1 Propriétés des Fluides Courants (à 20°C)

8. Pathologies & Risques Hydrauliques

Bien que l'hydrostatique traite des fluides au repos, une mauvaise conception statique peut mener à des défaillances.

9. Au-delà de l'Hydrostatique : Limites et Ouvertures

L'hydrostatique repose sur l'hypothèse de fluides incompressibles au repos. Cependant, dans la réalité industrielle et naturelle :

• Compressibilité (Gaz) : Pour l'atmosphère ou les gaz sous haute pression, ρ n'est pas constante. On utilise la loi des gaz parfaits, menant à la formule du nivellement barométrique où la pression décroît exponentiellement avec l'altitude.
• Dynamique des Fluides : Dès que le fluide est en mouvement, la pression statique n'est plus la seule composante énergétique. Le théorème de Bernoulli introduit la pression dynamique (liée à la vitesse) et la conservation de l'énergie totale.

10. Glossaire Technique

11. Conclusion

L'hydrostatique est bien plus qu'une simple application de la formule P = ρgh. C'est la science de l'équilibre des forces invisibles mais colossales exercées par les fluides. Sa maîtrise est la première étape vers la compréhension de l'hydrodynamique (fluides en mouvement) et est vitale pour la conception sûre d'ouvrages hydrauliques durables. Qu'il s'agisse de mesurer une pression avec précision ou de concevoir la coque d'un navire, les principes énoncés ici restent invariables et universels.

12. Ressources Recommandées

Articles pour approfondir la mécanique des fluides et le génie civil.