Pression dans une conduite de fluides parfaits

Remarque préliminaire :
Dans de tels problèmes, on travaille souvent en pression « jauge » (la différence par rapport à la pression atmosphérique). Ici, comme les réservoirs sont ouverts, la surface libre (à l’air ambiant) est considérée à 0 en jauge (≈101,3 kPa en absolu). La démarche qui suit permet de retrouver la valeur de la pression statique dans la conduite, laquelle, dans le cas d’un écoulement rapide, peut se trouver en dessous de la pression atmosphérique (c’est-à-dire négative en jauge). Par conséquent, le système ne présente pas un risque de surpression (dépassement de 500 kPa) ; néanmoins, des pressions négatives peuvent entraîner d’autres phénomènes (comme la cavitation) qui ne font pas l’objet de cet exercice.

1. Calcul de la différence de hauteur entre les deux réservoirs

La conduite relie un réservoir situé à une altitude élevée (réservoir A) à un réservoir inférieur (réservoir B). La différence d’altitude détermine le potentiel hydraulique pouvant être converti en énergie cinétique.

Formule :

\[ \Delta h = h_A - h_B \]

Données :

• \( h_A = 100 \, \text{m} \)
• \( h_B = 30 \, \text{m} \)

Calcul :

\[ \Delta h = 100 \, \text{m} - 30 \, \text{m} \] \[ \Delta h = 70 \, \text{m} \]

2. Utilisation du principe de Bernoulli pour déterminer la vitesse (et la composante dynamique d’énergie) dans la conduite

Dans un écoulement parfait et sans perte de charge, l’énergie potentielle due à la différence d’altitude se convertit entièrement en énergie cinétique. La vitesse d’écoulement dans la conduite se détermine ainsi par l’équation de Torricelli issue du principe de Bernoulli appliqué entre la surface libre du réservoir A (où la vitesse est négligeable) et le point de mesure (situé dans la conduite horizontale).

Formule :

\[ v = \sqrt{2g \, \Delta h} \]

Données :

• Accélération due à la gravité : \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \)
• Différence de hauteur : \( \Delta h = 70 \, \text{m} \)

Calcul :

\[ v = \sqrt{2 \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 70 \, \text{m}} \;\] \[ v =\; \sqrt{1373,4 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \; \] \[ v \approx \; 37,06 \, \text{m/s} \]

3. Détermination de la pression statique au point de mesure dans la conduite

Pour déterminer la pression statique dans le conduit au point de mesure, on applique le principe de Bernoulli le long d’une même ligne de courant, en passant de la surface libre du réservoir A (où la pression est atmosphérique et la vitesse négligeable) au point de mesure dans la conduite. Dans une conduite horizontale, l’altitude reste constante, ainsi l’augmentation de la vitesse entraîne une diminution de la pression statique.

L’équation de Bernoulli (en jauge) entre la surface libre (point 1) et le point de mesure (point 2) s’écrit :

\[ \underbrace{\frac{p_1}{\rho g} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g}}_{\text{point 1}} = \underbrace{\frac{p_2}{\rho g} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g}}_{\text{point 2}} \]

Ici, on prend :

• Au point 1 (surface libre du réservoir A) : \( p_1 = p_{\text{atm}} \) (0 en jauge), \( v_1 \approx 0 \), \( z_1 \) arbitraire (mais on le prend comme référence)
• Au point 2 (point de mesure dans la conduite) : \( z_2 = z_1 \) (conduite horizontale), \( v_2 = v \) (déterminé précédemment)

L’équation se simplifie donc en :

\[ \frac{p_1}{\rho g} = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} \]

En exprimant \( p_2 \) (pression statique au point de mesure) et en travaillant en jauge (où \( p_1 = 0 \)) :

\[ \frac{0}{\rho g} = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} \quad \Longrightarrow \quad \frac{p_2}{\rho g} = -\frac{v^2}{2g} \]

Puis, en isolant \( p_2 \) :

\[ p_2 = -\frac{1}{2}\rho \, v^2 \]

Données :

• Densité de l’eau : \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)
• Vitesse : \( v \approx 37,06 \, \text{m/s} \)

Calcul :

1. Calcul de la composante dynamique (pression dynamique) :

\[ \frac{1}{2}\rho \, v^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (37,06 \, \text{m/s})^2 \]

Tout d’abord, calculons \( v^2 \) :

\[ v^2 \approx (37,06)^2 \approx 1373,4 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]

Puis,

\[ \frac{1}{2} \times 1000 \times 1373,4 \approx 686700 \, \text{Pa} \;=\; 686,7 \, \text{kPa} \]

2. En substituant dans l’équation :

\[ p_2 = -686,7 \, \text{kPa} \]

Interprétation : La valeur négative indique que, par rapport à la pression atmosphérique (0 en jauge), la pression statique mesurée dans la conduite est inférieure à la pression atmosphérique. En d’autres termes, l’effet de conversion de l’énergie potentielle (et donc de la pression potentielle en énergie cinétique) dans l’écoulement crée une « dépression » dans le conduit.

4. Comparaison avec la pression maximale autorisée

L’ingénieur doit s’assurer que la pression (exprimée en valeur absolue dans le cas d’une surpression) ne dépasse pas 500 kPa. Dans cet exercice, le système doit être étudié en vérifiant que la tension (ou la compression) statique ne présente pas de risque d’excéder cette limite.

Ici, la préoccupation portait sur une pression « trop élevée ». Or, la pression statique calculée dans la conduite est :

\[ p_2 = -686,7 \, \text{kPa} \quad (\text{en jauge}) \]

Cette valeur est nettement inférieure à +500 kPa (en valeur numérique, elle ne « dépasse » pas la limite) puisque le système subit une dépression (pression négative par rapport à l’atmosphérique) plutôt qu’une surpression.

Conclusion :

• Le système est sûr du point de vue de la surpression puisque la pression statique mesurée (en valeur absolue dans le contexte de surpression) ne dépasse pas la limite maximale autorisée de 500 kPa.
• Attention complémentaire : Une pression négative importante peut favoriser des phénomènes de cavitation. Toutefois, dans cet exercice théorique, l’objectif était de vérifier que la pression ne soit pas excessive par rapport à la limite de 500 kPa.