Études de cas pratique

EGC

Nivellement Topographique d’une Maison

Nivellement Topographique d’une Maison

Nivellement Topographique d’une Maison

Comprendre le Nivellement Topographique

Le nivellement topographique est l'ensemble des opérations consistant à mesurer les différences d'altitude entre différents points du terrain, ou à implanter des points à des altitudes déterminées. C'est une étape cruciale dans de nombreux projets de construction, d'aménagement du territoire et d'ingénierie civile. La méthode la plus courante est le nivellement direct (ou géométrique), qui utilise un niveau (instrument optique ou laser) et une mire graduée. En mesurant les lectures sur la mire posée sur des points successifs, on peut calculer leurs altitudes relatives par rapport à un point de référence d'altitude connue (repère de nivellement).

Données de l'étude

Un topographe effectue le nivellement d'un cheminement pour déterminer l'altitude de plusieurs points autour d'une future maison, à partir d'un repère de nivellement (RN) connu.

Altitude du point de départ :

  • Altitude du Repère de Nivellement (\(Z_{\text{RN}}\)) : \(125.750 \, \text{m}\)

Lectures sur mire (en mètres) :

Station Point Visé Lecture Arrière (\(L_{Ar}\)) Lecture Avant (\(L_{Av}\))
S1 RN \(1.685 \, \text{m}\) -
P1 - \(0.950 \, \text{m}\)
S2 P1 \(2.130 \, \text{m}\) -
P2 - \(1.475 \, \text{m}\)
S3 P2 \(0.860 \, \text{m}\) -
P3 (Coin maison) - \(1.920 \, \text{m}\)

P1 et P2 sont des points de changement (points où la mire est retournée après déplacement de l'instrument).

Schéma : Nivellement par cheminement
RN LAr1 S1 P1 LAv1 LAr2 S2 P2 LAv2 LAr3 S3 P3 LAv3 Nivellement par Cheminement

Schéma illustrant un nivellement par cheminement avec plusieurs stations.

Questions à traiter

  1. Définir le nivellement direct (ou géométrique). Quels sont les types de lectures effectuées ?
  2. Calculer l'altitude du plan de visée (\(Z_{PV1}\)) pour la station S1.
  3. Calculer l'altitude du point P1 (\(Z_{P1}\)).
  4. Calculer l'altitude du plan de visée (\(Z_{PV2}\)) pour la station S2.
  5. Calculer l'altitude du point P2 (\(Z_{P2}\)).
  6. Calculer l'altitude du plan de visée (\(Z_{PV3}\)) pour la station S3.
  7. Calculer l'altitude du point P3 (\(Z_{P3}\)).
  8. Calculer la dénivelée totale entre le RN et le point P3.
  9. Effectuer la vérification du cheminement par la méthode des dénivelées.

Correction : Nivellement Topographique d’une Maison

Question 1 : Définition du nivellement direct et types de lectures

Définition :

Le nivellement direct, aussi appelé nivellement géométrique, est une méthode topographique qui permet de déterminer les différences d'altitude entre des points en utilisant un instrument appelé "niveau" et une "mire" graduée. Le niveau fournit un plan de visée horizontal. En effectuant des lectures sur la mire posée verticalement sur les points dont on veut connaître l'altitude (ou la différence d'altitude), on peut calculer ces dernières.

Types de Lectures :
  • Lecture Arrière (\(L_{Ar}\)) : C'est la première lecture effectuée depuis une station de niveau, sur un point d'altitude connue (comme un repère de nivellement RN) ou un point dont l'altitude a été précédemment calculée (point de changement). Elle sert à déterminer l'altitude du plan de visée de l'instrument.
  • Lecture Avant (\(L_{Av}\)) : C'est une lecture effectuée sur un point dont on veut déterminer l'altitude, ou sur un point de changement avant de déplacer l'instrument.
  • Lecture Intermédiaire (\(L_I\)) : (Non présente dans cet exercice) Ce sont des lectures effectuées sur des points intermédiaires entre une lecture arrière et une lecture avant, depuis la même station de niveau, pour déterminer leur altitude.
Résultat Question 1 : Le nivellement direct détermine les altitudes par lectures sur mire (Arrière, Avant, Intermédiaire) via un plan de visée horizontal.

Question 2 : Altitude du plan de visée (\(Z_{\text{PV1}}\)) pour S1

Principe :

L'altitude du plan de visée (ou de l'axe optique de l'instrument) est obtenue en ajoutant la lecture arrière (\(L_{Ar}\)) sur un point d'altitude connue à l'altitude de ce point.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{PV}} = Z_{\text{point connu}} + L_{Ar}\]
Données spécifiques pour S1 :
  • Altitude du RN (\(Z_{\text{RN}}\)) : \(125.750 \, \text{m}\)
  • Lecture Arrière sur RN (\(L_{Ar,RN}\)) : \(1.685 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{PV1}} &= Z_{\text{RN}} + L_{Ar,RN} \\ &= 125.750 \, \text{m} + 1.685 \, \text{m} \\ &= 127.435 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'altitude du plan de visée pour la station S1 est \(Z_{\text{PV1}} = 127.435 \, \text{m}\).

Question 3 : Altitude du point P1 (\(Z_{\text{P1}}\))

Principe :

L'altitude d'un point visé est obtenue en soustrayant la lecture avant (\(L_{Av}\)) sur ce point de l'altitude du plan de visée de la station actuelle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{Point}} = Z_{\text{PV}} - L_{Av}\]
Données spécifiques :
  • Altitude du plan de visée S1 (\(Z_{\text{PV1}}\)) : \(127.435 \, \text{m}\)
  • Lecture Avant sur P1 depuis S1 (\(L_{Av,P1}\)) : \(0.950 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{P1}} &= Z_{\text{PV1}} - L_{Av,P1} \\ &= 127.435 \, \text{m} - 0.950 \, \text{m} \\ &= 126.485 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'altitude du point P1 est \(Z_{\text{P1}} = 126.485 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la lecture avant sur P1 avait été de \(1.200 \, \text{m}\), l'altitude de P1 aurait été :

Question 4 : Altitude du plan de visée (\(Z_{\text{PV2}}\)) pour S2

Principe :

Après avoir déplacé l'instrument à la station S2, on effectue une lecture arrière sur P1 (dont l'altitude est maintenant connue) pour déterminer la nouvelle altitude du plan de visée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{PV}} = Z_{\text{point connu}} + L_{Ar}\]
Données spécifiques pour S2 :
  • Altitude de P1 (\(Z_{\text{P1}}\)) : \(126.485 \, \text{m}\)
  • Lecture Arrière sur P1 depuis S2 (\(L_{Ar,P1}\)) : \(2.130 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{PV2}} &= Z_{\text{P1}} + L_{Ar,P1} \\ &= 126.485 \, \text{m} + 2.130 \, \text{m} \\ &= 128.615 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'altitude du plan de visée pour la station S2 est \(Z_{\text{PV2}} = 128.615 \, \text{m}\).

Question 5 : Altitude du point P2 (\(Z_{\text{P2}}\))

Principe :

L'altitude de P2 est obtenue en soustrayant la lecture avant sur P2 (depuis S2) de l'altitude du plan de visée de S2.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{Point}} = Z_{\text{PV}} - L_{Av}\]
Données spécifiques :
  • Altitude du plan de visée S2 (\(Z_{\text{PV2}}\)) : \(128.615 \, \text{m}\)
  • Lecture Avant sur P2 depuis S2 (\(L_{Av,P2}\)) : \(1.475 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{P2}} &= Z_{\text{PV2}} - L_{Av,P2} \\ &= 128.615 \, \text{m} - 1.475 \, \text{m} \\ &= 127.140 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'altitude du point P2 est \(Z_{\text{P2}} = 127.140 \, \text{m}\).

Question 6 : Altitude du plan de visée (\(Z_{\text{PV3}}\)) pour S3

Principe :

Après avoir déplacé l'instrument à la station S3, on effectue une lecture arrière sur P2 (dont l'altitude est maintenant connue) pour déterminer la nouvelle altitude du plan de visée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{PV}} = Z_{\text{point connu}} + L_{Ar}\]
Données spécifiques pour S3 :
  • Altitude de P2 (\(Z_{\text{P2}}\)) : \(127.140 \, \text{m}\)
  • Lecture Arrière sur P2 depuis S3 (\(L_{Ar,P2}\)) : \(0.860 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{PV3}} &= Z_{\text{P2}} + L_{Ar,P2} \\ &= 127.140 \, \text{m} + 0.860 \, \text{m} \\ &= 128.000 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'altitude du plan de visée pour la station S3 est \(Z_{\text{PV3}} = 128.000 \, \text{m}\).

Question 7 : Altitude du point P3 (\(Z_{\text{P3}}\))

Principe :

L'altitude de P3 (coin maison) est obtenue en soustrayant la lecture avant sur P3 (depuis S3) de l'altitude du plan de visée de S3.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{Point}} = Z_{\text{PV}} - L_{Av}\]
Données spécifiques :
  • Altitude du plan de visée S3 (\(Z_{\text{PV3}}\)) : \(128.000 \, \text{m}\)
  • Lecture Avant sur P3 depuis S3 (\(L_{Av,P3}\)) : \(1.920 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{P3}} &= Z_{\text{PV3}} - L_{Av,P3} \\ &= 128.000 \, \text{m} - 1.920 \, \text{m} \\ &= 126.080 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : L'altitude du point P3 (coin maison) est \(Z_{\text{P3}} = 126.080 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la lecture avant sur P3 était de \(1.500 \, \text{m}\), l'altitude de P3 serait :

Question 8 : Dénivelée totale entre RN et P3

Principe :

La dénivelée totale entre deux points est la différence entre l'altitude du point final et l'altitude du point initial.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{\text{RN-P3}} = Z_{\text{P3}} - Z_{\text{RN}}\]
Données spécifiques :
  • \(Z_{\text{P3}} = 126.080 \, \text{m}\)
  • \(Z_{\text{RN}} = 125.750 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{RN-P3}} &= 126.080 \, \text{m} - 125.750 \, \text{m} \\ &= +0.330 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le point P3 est \(0.330 \, \text{m}\) plus haut que le RN.

Résultat Question 8 : La dénivelée totale entre le RN et le point P3 est de \(+0.330 \, \text{m}\).

Question 9 : Vérification du cheminement

Principe :

Pour un cheminement de nivellement fermé ou rattaché aux deux extrémités à des points connus, on peut vérifier la cohérence des mesures. Ici, nous avons un cheminement ouvert mais nous pouvons vérifier la dénivelée calculée par la différence des altitudes avec la somme des dénivelées partielles (ou la différence des sommes des lectures arrière et avant).

La dénivelée totale est aussi égale à la somme de toutes les lectures arrière moins la somme de toutes les lectures avant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{\text{Total}} = \sum L_{Ar} - \sum L_{Av}\]
\[\text{Vérification : } Z_{\text{Final}} - Z_{\text{Initial}} = \sum L_{Ar} - \sum L_{Av}\]
Données spécifiques :
  • Lectures Arrière : \(1.685 \, \text{m}\) (sur RN), \(2.130 \, \text{m}\) (sur P1), \(0.860 \, \text{m}\) (sur P2)
  • Lectures Avant : \(0.950 \, \text{m}\) (sur P1), \(1.475 \, \text{m}\) (sur P2), \(1.920 \, \text{m}\) (sur P3)
  • \(Z_{\text{P3}} = 126.080 \, \text{m}\)
  • \(Z_{\text{RN}} = 125.750 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sum L_{Ar} &= 1.685 + 2.130 + 0.860 = 4.675 \, \text{m} \\ \sum L_{Av} &= 0.950 + 1.475 + 1.920 = 4.345 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \sum L_{Ar} - \sum L_{Av} = 4.675 \, \text{m} - 4.345 \, \text{m} = 0.330 \, \text{m} \]

Dénivelée calculée par différence d'altitudes (Q8) :

\[ Z_{\text{P3}} - Z_{\text{RN}} = 126.080 \, \text{m} - 125.750 \, \text{m} = 0.330 \, \text{m} \]

Les deux valeurs sont égales, ce qui confirme la cohérence des calculs.

Résultat Question 9 : La vérification \(\sum L_{Ar} - \sum L_{Av} = Z_{\text{P3}} - Z_{\text{RN}}\) est confirmée (\(0.330 \, \text{m} = 0.330 \, \text{m}\)). Les calculs sont cohérents.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

10. En nivellement direct, l'altitude du plan de visée est calculée par :

11. L'altitude d'un point nouveau est calculée par :

12. Une lecture arrière est toujours effectuée sur :

Glossaire

Nivellement Direct (ou Géométrique)
Méthode de détermination des différences d'altitude entre des points par lectures sur une mire graduée, à l'aide d'un niveau qui matérialise un plan de visée horizontal.
Repère de Nivellement (RN)
Point fixe matérialisé sur le terrain, dont l'altitude par rapport à un système de référence (ex: Nivellement Général de la France - NGF) est connue avec précision.
Lecture Arrière (\(L_{Ar}\))
Lecture sur mire effectuée sur un point d'altitude connue (ou calculée) pour déterminer l'altitude du plan de visée de l'instrument.
Lecture Avant (\(L_{Av}\))
Lecture sur mire effectuée sur un point dont on cherche à déterminer l'altitude, ou sur un point de changement avant de déplacer l'instrument.
Plan de Visée (\(Z_{PV}\))
Altitude de l'axe optique horizontal de l'instrument (niveau). \(Z_{\text{PV}} = Z_{\text{point arrière}} + L_{Ar}\).
Point de Changement (PC) ou Point Intermédiaire (PI)
Point temporaire utilisé dans un cheminement de nivellement. Il sert de point d'appui pour la mire lors du déplacement de l'instrument. On y effectue une lecture avant depuis la station précédente et une lecture arrière depuis la nouvelle station.
Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude entre deux points. \(\Delta Z = Z_{\text{point B}} - Z_{\text{point A}}\). Elle peut aussi être calculée par \(L_{Ar} - L_{Av}\) entre deux points visés depuis la même station, ou \(\sum L_{Ar} - \sum L_{Av}\) pour un cheminement.
Cheminement de Nivellement
Série de stations de niveau et de points visés reliant un point de départ à un point d'arrivée, permettant de déterminer la dénivelée entre ces deux points ou les altitudes de points intermédiaires.
Nivellement Topographique d’une Maison - Exercice d'Application

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