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Mouvement Curviligne sur Route Inclinée

Exercice : Mouvement Curviligne sur Route Inclinée

Mouvement Curviligne sur Route Inclinée

Contexte : L'étude du mouvement curviligneMouvement d'un objet le long d'une trajectoire courbe. est fondamentale en ingénierie mécanique, notamment pour la conception des infrastructures routières et ferroviaires.

Cet exercice se concentre sur l'analyse des forces agissant sur un véhicule abordant un virage sur une route inclinée (ou "relevée"). Comprendre cette dynamique est crucial pour déterminer les vitesses de sécurité, prévenir les dérapages et garantir la stabilité des véhicules. Nous allons appliquer les principes fondamentaux de la dynamique de Newton pour modéliser ce scénario courant et en extraire des paramètres de conception essentiels comme la vitesse idéale et les limites de vitesse.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique dans un repère non cartésien (le repère de Frenet) et à analyser comment l'interaction entre les forces (poids, réaction normale, frottement) et la géométrie de la route (rayon, inclinaison) gouverne le mouvement.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique à un problème de mouvement curviligne.
  • Décomposer les forces dans un repère local (normal, tangentiel, vertical).
  • Calculer la vitesse idéale dans un virage incliné (sans frottement).
  • Déterminer les vitesses minimale et maximale de sécurité en considérant le frottement statique.

Données de l'étude

On étudie une voiture assimilée à un point matériel M, de masse \(m\), qui aborde un virage circulaire de rayon \(R\). La route est inclinée d'un angle \(\theta\) (appelé dévers) par rapport à l'horizontale. On s'intéresse aux conditions permettant de passer ce virage en toute sécurité.

Fiche Technique du Problème
Caractéristique Symbole Valeur Unité
Masse du véhicule \(m\) 1200 \(\text{kg}\)
Rayon du virage \(R\) 80 \(\text{m}\)
Angle d'inclinaison (dévers) \(\theta\) 15 \(\text{degrés}\)
Coefficient de frottement statique \(\mu_s\) 0.6 \(\text{(sans unité)}\)
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 \(\text{m/s}^2\)
Schéma de la situation
M P N f θ Vers le centre du virage (R)

Questions à traiter

  1. Dessiner le diagramme du corps isolé du véhicule, en montrant toutes les forces qui s'exercent sur lui dans le plan transverse.
  2. Déterminer la vitesse "idéale" \(v_{\text{ideale}}\) à laquelle la voiture peut négocier le virage sans avoir besoin de frottement.
  3. Calculer la vitesse maximale \(v_{\text{max}}\) à laquelle le véhicule peut prendre le virage sans déraper vers l'extérieur.
  4. Calculer la vitesse minimale \(v_{\text{min}}\) en dessous de laquelle le véhicule commencerait à glisser vers l'intérieur du virage.

Les bases de la dynamique du point matériel

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), ou deuxième loi de Newton. Ce principe établit une relation de cause à effet entre les forces appliquées à un corps et l'accélération qui en résulte.

1. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
La somme vectorielle des forces extérieures \(\sum \vec{F}_{\text{ext}}\) appliquées à un corps est égale au produit de sa masse \(m\) par son vecteur accélération \(\vec{a}\). \[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]

2. Accélération Normale (Centripète)
Dans un mouvement curviligne, une partie de l'accélération, appelée accélération normale \(a_n\), est toujours dirigée vers le centre de courbure de la trajectoire. Elle est responsable du changement de direction du vecteur vitesse. Sa magnitude est donnée par : \[ a_n = \frac{v^2}{R} \] où \(v\) est la vitesse du corps et \(R\) est le rayon de courbure. La force résultante qui crée cette accélération est appelée force centripète.

Correction : Mouvement Curviligne sur Route Inclinée

Question 1 : Diagramme du corps isolé

Principe

La première étape de tout problème de dynamique consiste à identifier et à représenter toutes les forces externes agissant sur le système. C'est ce qu'on appelle un diagramme de corps isolé. Une représentation claire est essentielle pour appliquer correctement le PFD.

Calcul(s)

Les forces agissant sur le véhicule sont :

  • Le poids \(\vec{P}\), vertical, vers le bas, d'intensité \(P = m \cdot g\).
  • La réaction normale \(\vec{N}\), perpendiculaire à la surface de la route, vers le haut.
  • La force de frottement statique \(\vec{f}_s\), parallèle à la route. Sa direction dépend de la vitesse : elle empêche le véhicule de glisser vers le bas (à faible vitesse) ou de déraper vers le haut (à haute vitesse).

Schéma

Le schéma ci-dessous est le diagramme du corps isolé. Il montre l'orientation de chaque force par rapport au véhicule et à la route inclinée.

Diagramme des Forces
M P = mg N f_s θ

Question 2 : Vitesse idéale (sans frottement)

Principe

La vitesse idéale est celle pour laquelle la composante horizontale de la réaction normale \(\vec{N}\) fournit exactement la force centripète requise pour maintenir le véhicule sur sa trajectoire circulaire. La force de frottement est donc nulle, \(\vec{f}_s = \vec{0}\).

Mini-Cours

Dans un virage relevé, la force de réaction normale \(\vec{N}\) n'est plus verticale. Elle peut être décomposée en une composante verticale (\(N \cos\theta\)) qui s'oppose au poids, et une composante horizontale (\(N \sin\theta\)) dirigée vers le centre du virage. C'est cette composante horizontale qui agit comme force centripète, forçant le véhicule à tourner.

Remarque Pédagogique

Il est toujours judicieux de commencer l'analyse par le cas "idéal" sans frottement. Cela permet de simplifier le problème et de comprendre le rôle fondamental de la géométrie (l'angle \(\theta\)) dans la dynamique du mouvement, avant d'introduire la complexité du frottement.

Normes

Ce calcul de vitesse idéale est un principe de base utilisé dans les normes de conception routière (comme celles de l'AASHTO en Amérique du Nord ou les guides techniques nationaux en Europe) pour déterminer le dévers approprié des virages sur les autoroutes, en fonction du rayon et de la vitesse de conception de la route.

Formule(s)

Projection du PFD sur l'axe vertical (z) :

\[ \sum F_z = 0 \Rightarrow N \cos\theta - P = 0 \]

Projection du PFD sur l'axe horizontal normal (n) :

\[ \sum F_n = m \cdot a_n \Rightarrow N \sin\theta = m \frac{v^2}{R} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Le véhicule est un point matériel.
  • La trajectoire est un cercle parfait (mouvement circulaire uniforme).
  • Il n'y a aucune force de frottement entre les pneus et la route.
Donnée(s)

Les données pertinentes pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Rayon du virageR80\(\text{m}\)
Angle d'inclinaison\(\theta\)15\(\text{degrés}\)
Accélération de la pesanteurg9.81\(\text{m/s}^2\)
Astuces

Une fois les deux équations de projection obtenues, divisez la seconde par la première. Le terme \(N\) s'annule, et vous obtenez directement \(\tan\theta = v^2 / (Rg)\), ce qui est une relation très utile à retenir pour les virages relevés.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des forces pour la vitesse idéale (f=0)
z (vertical) n (normal) M P N a_n
Calcul(s)

Calcul de la force normale \(N\) :

\[ \begin{aligned} N &= \frac{P}{\cos\theta} \\ &= \frac{mg}{\cos\theta} \end{aligned} \]

Substitution de \(N\) dans l'équation des forces horizontales :

\[ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right) \sin\theta = m \frac{v_{\text{ideale}}^2}{R} \]

Calcul de la vitesse idéale \(v_{\text{ideale}}\) :

\[ g \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{v_{\text{ideale}}^2}{R} \Rightarrow v_{\text{ideale}}^2 = R g \tan\theta \]

Application Numérique :

\[ \begin{aligned} v_{\text{ideale}} &= \sqrt{80 \times 9.81 \times \tan(15^\circ)} \\ &\approx \sqrt{210.4} \\ &\approx 14.51 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'équilibre des forces à la vitesse idéale
Décomposition de la force NormaleznPNNcosθNsinθ (Fc)

La composante verticale (Ncosθ) équilibre le poids (P).
La composante horizontale (Nsinθ) est la force centripète (Fc).

Réflexions

Le résultat de 52.2 km/h représente la vitesse de "confort" parfaite. À cette vitesse, le conducteur et les passagers ne ressentent aucune force latérale les poussant vers l'intérieur ou l'extérieur du siège. C'est l'inclinaison de la route seule qui gère le virage.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans les angles lors de la projection des forces. Assurez-vous de bien identifier l'angle \(\theta\) et de l'utiliser correctement pour \(\cos\theta\) (vertical) et \(\sin\theta\) (horizontal). Une autre erreur classique est d'oublier de convertir l'angle en radians si votre calculatrice est dans ce mode.

Points à retenir

Pour un virage relevé sans frottement, la condition d'équilibre est que la composante horizontale de la réaction normale fournisse la force centripète nécessaire. La formule clé à maîtriser est : \(v_{\text{ideale}} = \sqrt{R g \tan\theta}\).

Le saviez-vous ?

Les circuits de course automobile comme l'autodrome de Daytona ont des virages avec un dévers pouvant atteindre 31 degrés ! Cela permet aux voitures de maintenir des vitesses extrêmement élevées (plus de 300 km/h) en virage, car l'inclinaison génère une énorme force centripète.

FAQ
Que se passe-t-il si je roule plus vite que la vitesse idéale ?

Si \(v > v_{\text{ideale}}\), la force centripète requise (\(mv^2/R\)) est supérieure à celle fournie par la composante de la force normale. Le véhicule tend à déraper vers l'extérieur (le haut du virage), et une force de frottement doit intervenir, dirigée vers l'intérieur, pour l'en empêcher.

Résultat Final
La vitesse idéale pour ce virage est d'environ 14.51 m/s (soit environ 52.2 km/h).
A vous de jouer

Si le rayon du virage était de 120 m, quelle serait la nouvelle vitesse idéale en km/h ?

Question 3 : Vitesse maximale

Principe

Pour atteindre la vitesse maximale, le véhicule tend à déraper vers l'extérieur (vers le haut de la pente). La force de frottement statique \(\vec{f}_s\) s'oppose à ce mouvement et est donc dirigée vers l'intérieur (vers le bas de la pente). Elle atteint sa valeur maximale \(f_{s,max} = \mu_s N\).

Mini-Cours

La force de frottement statique est une force "intelligente" : elle s'ajuste en intensité et en direction pour empêcher le mouvement relatif, jusqu'à une limite maximale \(f_{s,max} = \mu_s N\). Pour le calcul de \(v_{\text{max}}\), nous considérons le cas limite où cette force est à son maximum et aide la composante de la force normale à fournir la force centripète.

Remarque Pédagogique

L'étape la plus délicate ici est la projection de la force de frottement. Comme elle est parallèle à la route, ses composantes sur les axes horizontal et vertical font aussi intervenir l'angle \(\theta\). Un schéma clair est votre meilleur ami pour ne pas vous tromper dans les signes et les fonctions trigonométriques.

Normes

Les normes de sécurité routière tiennent compte du frottement, mais en utilisant des coefficients \(\mu_s\) pessimistes. Elles doivent garantir la sécurité même dans des conditions dégradées (pluie, pneus usés), où le coefficient de frottement effectif est bien plus faible que la valeur "catalogue" de 0.6 ou 0.7.

Formule(s)

Projection du PFD sur l'axe vertical (z) :

\[ \sum F_z = 0 \Rightarrow N \cos\theta - P - f_s \sin\theta = 0 \]

Projection du PFD sur l'axe horizontal normal (n) :

\[ \sum F_n = m \cdot a_n \Rightarrow N \sin\theta + f_s \cos\theta = m \frac{v_{\text{max}}^2}{R} \]
Hypothèses

Nous ajoutons l'hypothèse que le coefficient de frottement statique \(\mu_s\) est constant et connu, et que le véhicule est sur le point de déraper.

Donnée(s)

Toutes les données de l'énoncé sont maintenant utilisées.

ParamètreSymboleValeurUnité
Rayon, Angle, PesanteurR, \(\theta\), g80, 15, 9.81m, deg, m/s²
Coeff. Frottement\(\mu_s\)0.6-
Astuces

La formule finale semble complexe, mais vous pouvez la vérifier. Si \(\mu_s = 0\), le terme de droite se simplifie en \(\tan\theta\), et on retrouve la formule de la vitesse idéale. C'est un excellent moyen de s'assurer que votre développement est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des forces pour la vitesse maximale
z n M P N f_s (max) Tendance audérapage
Calcul(s)

Expression de la force normale \(N\) :

\[ N(\cos\theta - \mu_s \sin\theta) = mg \Rightarrow N = \frac{mg}{\cos\theta - \mu_s \sin\theta} \]

Substitution de \(N\) dans la deuxième équation :

\[ \frac{mg}{\cos\theta - \mu_s \sin\theta}(\sin\theta + \mu_s \cos\theta) = m \frac{v_{\text{max}}^2}{R} \]

Expression finale de la vitesse maximale \(v_{\text{max}}\) :

\[ v_{\text{max}} = \sqrt{R g \frac{\sin\theta + \mu_s \cos\theta}{\cos\theta - \mu_s \sin\theta}} \]

Application Numérique :

\[ \begin{aligned} v_{\text{max}} &= \sqrt{80 \times 9.81 \times \frac{\sin(15^\circ) + 0.6 \cos(15^\circ)}{\cos(15^\circ) - 0.6 \sin(15^\circ)}} \\ &\approx \sqrt{784.8 \times \frac{0.838}{0.811}} \\ &\approx 28.45 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma ci-dessous montre comment les composantes horizontales de la force normale ET du frottement s'additionnent pour créer la force centripète nécessaire à la vitesse maximale.

Équilibre des forces à la vitesse maximale
Décomposition des forces (cas Vmax)znPNNcosθNsinθf_sfsinθfcosθFc = Nsinθ + fcosθ
Réflexions

La vitesse maximale de 102.4 km/h est significativement plus élevée que la vitesse idéale de 52.2 km/h. Cela démontre le rôle crucial du frottement pour la sécurité. L'écart entre ces deux vitesses représente la "marge de manœuvre" offerte par l'adhérence des pneus.

Points de vigilance

Attention aux signes ! Pour \(v_{\text{max}}\), la projection de \(f_s\) s'ajoute à celle de \(N\) sur l'axe horizontal, mais se soustrait sur l'axe vertical. Une erreur de signe est vite arrivée et mène à un résultat complètement faux. De plus, ne jamais supposer \(f_s = \mu_s mg\). La force normale \(N\) n'est pas égale au poids sur un plan incliné, surtout avec une accélération centripète !

Points à retenir

Pour la vitesse maximale, le frottement statique atteint sa limite et agit de concert avec la composante normale pour fournir la force centripète. La direction de la force de frottement est cruciale : elle s'oppose à la tendance du mouvement, qui est ici de déraper vers le haut/l'extérieur.

Le saviez-vous ?

En Formule 1, les voitures génèrent une "déportance" (downforce) aérodynamique qui peut dépasser plusieurs fois leur propre poids. Cette force plaque la voiture au sol, augmentant massivement la force normale \(N\). Puisque \(f_{s,max} = \mu_s N\), cela leur permet d'atteindre des forces de virage et des vitesses bien supérieures à ce que le seul frottement gravitationnel autoriserait.

FAQ
Pourquoi la masse \(m\) n'apparaît-elle pas dans la formule finale ?

La masse \(m\) se simplifie car elle apparaît dans chaque terme du PFD (dans le poids, et dans \(m \cdot a\)). Intuitivement, bien qu'une voiture plus lourde ait besoin d'une plus grande force centripète, elle génère aussi une force normale (et donc de frottement) proportionnellement plus grande. Les deux effets s'annulent.

Résultat Final
La vitesse maximale sécuritaire pour ce virage est d'environ 28.45 m/s (soit environ 102.4 km/h).
A vous de jouer

Sur une route sèche, \(\mu_s \approx 0.8\). Quelle serait la nouvelle vitesse maximale en km/h ?

Question 4 : Vitesse minimale

Principe

Pour la vitesse minimale, le véhicule tend à glisser vers l'intérieur (vers le bas de la pente). La force de frottement statique \(\vec{f}_s\) s'oppose à ce glissement et est donc dirigée vers l'extérieur (vers le haut de la pente). Sa valeur est maximale, \(f_{s,max} = \mu_s N\).

Mini-Cours

À faible vitesse, la force centripète requise (\(mv^2/R\)) est faible, potentiellement inférieure à la composante de la force normale dirigée vers le centre (\(N\sin\theta\)). Le véhicule a donc une tendance "naturelle" à vouloir tourner plus que nécessaire et à glisser vers l'intérieur. La force de frottement doit alors s'opposer à cette tendance, en agissant vers l'extérieur.

Remarque Pédagogique

Le piège principal ici est de réutiliser la configuration de la question 3. Il est impératif de bien réfléchir à la physique du problème : le véhicule ralentit, sa tendance à déraper vers l'extérieur diminue et se transforme en une tendance à glisser vers l'intérieur. La force de frottement change donc de direction !

Normes

Bien que moins contraignante que la vitesse maximale, la notion de vitesse minimale est importante pour les rampes très inclinées et potentiellement glissantes (ex: rampes de parking en hiver), où un arrêt pourrait entraîner un glissement vers le bas. Les normes peuvent imposer des pentes maximales pour éviter ce risque.

Formule(s)

Projection du PFD sur l'axe vertical (z) :

\[ \sum F_z = 0 \Rightarrow N \cos\theta - P + f_s \sin\theta = 0 \]

Projection du PFD sur l'axe horizontal normal (n) :

\[ \sum F_n = m \cdot a_n \Rightarrow N \sin\theta - f_s \cos\theta = m \frac{v_{\text{min}}^2}{R} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la vitesse maximale, mais la direction du frottement est inversée.

Donnée(s)

Les données pertinentes pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Rayon du virageR80\(\text{m}\)
Angle d'inclinaison\(\theta\)15\(\text{degrés}\)
Accélération de la pesanteurg9.81\(\text{m/s}^2\)
Coeff. Frottement\(\mu_s\)0.6-
Astuces

Vous remarquerez que les équations sont identiques à celles de la vitesse maximale, à l'exception des signes des termes \(\mu_s\). Si vous avez bien compris la logique, vous pouvez directement adapter la formule finale en changeant les signes, sans refaire tout le développement.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des forces pour la vitesse minimale
z n M P N f_s (max) Tendance auglissement
Calcul(s)

Expression de la vitesse minimale \(v_{\text{min}}\) :

\[ v_{\text{min}} = \sqrt{R g \frac{\sin\theta - \mu_s \cos\theta}{\cos\theta + \mu_s \sin\theta}} \]

Application Numérique :

Calcul du numérateur :

\[ \begin{aligned} \sin(15^\circ) - 0.6 \cos(15^\circ) &\approx 0.259 - 0.580 \\ &= -0.321 \end{aligned} \]

Comme le terme sous la racine est négatif, il n'y a pas de solution réelle pour une vitesse minimale non nulle. Cela signifie que même à l'arrêt (\(v=0\)), le véhicule ne glisse pas. Vérifions la condition de non-glissement à l'arrêt : \(\tan\theta < \mu_s\).

Vérification de la condition :

\[ \tan(15^\circ) \approx 0.268 \]

Puisque \(0.268 < 0.6\), la condition est respectée, le véhicule ne glisse pas.

Schéma (Après les calculs)
Analyse des forces à l'arrêt (V=0)
Forces sur le plan incliné à l'arrêtθPPcosθPsinθNf_s max

La force de glissement (Psinθ) est plus faible que la force de frottement maximale (f_s max), donc le véhicule est stable.

Réflexions

Le résultat mathématique (racine d'un négatif) a un sens physique fort : il signifie que la condition de glissement n'est jamais atteinte. La force de frottement disponible est supérieure à la composante du poids qui tire le véhicule vers le bas de la pente. La voiture est donc stable même à l'arrêt.

Points de vigilance

Ne soyez pas dérouté par un résultat mathématiquement "impossible". En physique, cela indique souvent qu'une condition limite n'est pas atteignable. Il faut alors revenir à la condition physique de base (ici, \(\tan\theta < \mu_s\)) pour interpréter correctement le résultat.

Points à retenir

Une vitesse minimale non nulle n'existe que si la pente est suffisamment raide et/ou le frottement suffisamment faible pour que le véhicule risque de glisser vers l'intérieur. La condition d'existence de \(v_{\text{min}} > 0\) est \(\tan\theta > \mu_s\).

Le saviez-vous ?

Les pistes de bobsleigh sont un exemple extrême où la vitesse minimale est cruciale. L'inclinaison des virages est si forte (parfois au-delà de la verticale) que les équipes doivent maintenir une vitesse très élevée pour que la force centripète les plaque contre la piste et les empêche de tomber.

FAQ
Dans quel cas aurions-nous une vitesse minimale réelle ?

Il y aurait une vitesse minimale non nulle si le coefficient de frottement était plus faible que la tangente de l'angle. Par exemple, si la route était verglacée avec \(\mu_s = 0.1\), alors \(\tan(15^\circ) = 0.268 > 0.1\), et dans ce cas, le véhicule glisserait vers l'intérieur s'il s'arrêtait. Il faudrait maintenir une certaine vitesse pour rester en place.

Résultat Final
La vitesse minimale pour ce virage est de 0 m/s. Le véhicule ne glissera pas vers l'intérieur même à l'arrêt.
A vous de jouer

Si le coefficient de frottement était de 0.2 (route mouillée), la voiture glisserait-elle à l'arrêt ? (Répondez par Oui ou Non)

Outil Interactif : Simulateur de Virage

Utilisez les curseurs pour modifier l'angle d'inclinaison de la route et le rayon du virage. Observez comment la vitesse idéale et la vitesse maximale autorisée sont affectées. Le coefficient de frottement est fixe à 0.6.

Paramètres d'Entrée
15 degrés
80 m
Résultats Clés
Vitesse idéale (km/h) -
Vitesse maximale (km/h) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À la vitesse "idéale", quelle est la valeur de la force de frottement ?

2. Si un véhicule dépasse la vitesse maximale (v > v_max), que se passe-t-il ?

3. Sur une route parfaitement plate (\(\theta = 0^\circ\)), quelle force fournit l'intégralité de la force centripète ?

4. Comment la vitesse maximale de sécurité est-elle affectée si le rayon du virage augmente ?

5. Que se passe-t-il si la route est verglacée (\(\mu_s \approx 0\)) et que le véhicule roule plus lentement que la vitesse idéale ?

Force Centripète
Force résultante qui maintient un objet en mouvement le long d'une trajectoire circulaire. Elle est toujours dirigée vers le centre du cercle et est responsable de l'accélération normale (ou centripète).
Dévers (Angle d'Inclinaison)
Angle \(\theta\) formé par la surface de la route et le plan horizontal. Il est conçu pour aider les véhicules à négocier les virages en utilisant une composante de la réaction normale comme force centripète.
Coefficient de Frottement Statique (\(\mu_s\))
Nombre sans dimension qui caractérise le "grip" entre deux surfaces. La force de frottement statique maximale qu'une surface peut exercer est le produit de ce coefficient et de la force normale.
Mouvement Curviligne sur Route Inclinée

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