La Méthode de Terzaghi pour la Capacité Portante
Sommaire
Introduction et Contexte
L'une des questions essentielles est de savoir quelle charge un sol peut supporter avant de s'enfoncer ou de se déformer excessivement. C'est ce qu'on appelle la capacité portante.
La méthode de Terzaghi, développée par le "père de la géotechnique" Karl Terzaghi en \(1943\), est une méthode classique pour calculer cette capacité portante, spécifiquement pour les fondations superficielles (celles qui ne descendent pas très profondément dans le sol, comme les semelles de maisons individuelles). C'est une base essentielle pour comprendre comment les sols réagissent sous le poids des constructions.
Hypothèses Fondamentales
Comme beaucoup de théories en ingénierie, la méthode de Terzaghi fait des hypothèses pour simplifier la réalité complexe du sol. C'est un peu comme utiliser un modèle réduit pour comprendre un grand système. Voici les principales hypothèses :
- Sol Homogène et Isotrope : On suppose que le sol a les mêmes propriétés partout et dans toutes les directions.
- Comportement Élasto-Plastique Parfait (Mohr-Coulomb) : Le sol suit un modèle de déformation simple jusqu'à la rupture.
- Fondation Filante Rugueuse : La théorie de base s'applique à une fondation longue et étroite avec une base qui "accroche".
- Rupture par Poinçonnement Généralisé : Le sol se rompt en grandes zones de glissement bien définies.
- Charge Uniformément Répartie : Le poids de la structure est réparti également sur la fondation.
- Surcharge (\(q\)) : Le poids du sol au-dessus de la fondation est considéré comme une simple pression.
- Nappe Phréatique Basse : L'eau souterraine n'affecte pas la résistance du sol dans la zone de rupture.
Comprendre ces hypothèses est important, car elles expliquent pourquoi la méthode de Terzaghi est une simplification et a ses limites.
Mécanisme de Rupture et Zones de Terzaghi
Terzaghi a identifié trois zones distinctes qui se forment sous une fondation filante au moment de la rupture par poinçonnement généralisé. Ces zones sont :
- Zone I (Coin Actif) : Un coin rigide sous le centre, descendant avec la fondation. Angle avec l'horizontale : \(45^\circ + \phi/2\).
- Zone II (Zones de Cisaillement Radial) : Zones adjacentes où le sol glisse le long de surfaces courbes.
- Zone III (Zones de Coin Passif) : Zones latérales où le sol est poussé vers le haut. Délimitées par des plans inclinés à \(45^\circ - \phi/2\).
La rupture globale se produit lorsque ces trois zones interagissent et se développent complètement sous la charge de la fondation.
Équation de la Capacité Portante Ultime (\(q_u\))
L'équation de Terzaghi pour la capacité portante ultime d'une semelle filante est :
\[q_u = c N_c + q N_q + 0.5 \gamma B N_\gamma\]Où :
- \(q_u\) : Capacité portante ultime.
- \(c\) : Cohésion du sol.
- \(q\) : Surcharge au niveau de la fondation (\(q = \gamma D_f\)).
- \(\gamma\) : Poids volumique du sol sous la fondation.
- \(B\) : Largeur de la fondation.
- \(N_c, N_q, N_\gamma\) : Facteurs de capacité portante (fonctions de \(\phi\)).
Les facteurs de capacité portante sont calculés comme suit :
\[N_q = \frac{e^{\pi \tan \phi}}{2 \cos^2 (45^\circ + \phi/2)}\] \[N_c = (N_q - 1) \cot \phi \quad (\text{pour } \phi > 0)\] \[N_c = 5.7 \quad (\text{pour } \phi = 0)\] \[N_\gamma = \frac{1}{2} \left( \frac{K_{p\gamma}}{\cos^2 \phi} - 1 \right) \tan \phi\]En pratique, des tables ou abaques sont couramment utilisés pour obtenir \(N_c, N_q, N_\gamma\) en fonction de \(\phi\).
Facteurs Affectant la Capacité Portante
Forme de la Fondation
Pour les fondations carrées ou circulaires, l'équation est ajustée avec des facteurs de forme (\(s_c, s_q, s_\gamma\)) :
\[q_u = c N_c s_c + q N_q s_q + 0.5 \gamma B N_\gamma s_\gamma\]Facteurs de forme selon Terzaghi :
Fondation carrée (côté \(B\)) :
- \(s_c = 1.3\), \(s_q = 1.0\), \(s_\gamma = 0.8\)
Fondation circulaire (diamètre \(B\)) :
- \(s_c = 1.3\), \(s_q = 1.0\), \(s_\gamma = 0.6\)
Pour une semelle filante, \(s_c = s_q = s_\gamma = 1.0\).
Profondeur de la Fondation (\(D_f\))
La profondeur \(D_f\) augmente la surcharge \(q = \gamma D_f\), améliorant la capacité portante. Cependant, la méthode est principalement valide pour les fondations superficielles (\(D_f \le B\)).
Position de la Nappe Phréatique
La présence de la nappe réduit la résistance du sol en diminuant le poids volumique effectif. Il faut utiliser le poids volumique effectif (\(\gamma'\)) pour le sol saturé.
- Nappe au niveau de la base : Utiliser \(\gamma'\) dans le terme \(0.5 \gamma B N_\gamma s_\gamma\).
- Nappe entre la base et \(B\) sous la base : Utiliser un poids volumique effectif moyen.
- Nappe au-delà de \(B\) sous la base : Influence négligeable.
Capacité Portante Admissible (\(q_{adm}\))
Pour assurer la sécurité, on utilise un facteur de sécurité (\(FS\)) pour obtenir la capacité admissible :
\[q_{adm} = \frac{q_u}{FS}\]Un \(FS\) typique est entre \(2.5\) et \(3\).
Limitations de la Méthode de Terzaghi
Points à considérer :
- Hypothèses simplificatrices (sol réel non idéal).
- Modèle de rupture (poinçonnement généralisé pas toujours applicable).
- Adaptation limitée (pas d'inclinaison de charge/base, compressibilité).
- Moins précise pour les fondations profondes.
Des méthodes plus récentes (Meyerhof, Hansen, Vesic) offrent des corrections supplémentaires.
Exemple de Calcul
Calcul pour une semelle carrée de \(B = 2\) m, \(D_f = 1.5\) m dans un sol avec \(c = 15\) kPa, \(\phi = 25^\circ\), \(\gamma = 18\) kN/m\(^3\), \(FS = 3\) (nappe basse).
Étape 1 : Surcharge (\(q\))
\[q = \gamma \times D_f\] \[q = 18 \text{ kN/m}^3 \times 1.5 \text{ m} = 27 \text{ kPa}\]Étape 2 : Facteurs \(N_c, N_q, N_\gamma\) pour \(\phi = 25^\circ\)
Tables ou formules donnent :
- \(N_q \approx 12.7\)
- \(N_c \approx 25.1\)
- \(N_\gamma \approx 9.7\)
Étape 3 : Facteurs de forme (\(s_c, s_q, s_\gamma\)) pour semelle carrée
- \(s_c = 1.3\)
- \(s_q = 1.0\)
- \(s_\gamma = 0.8\)
Étape 4 : Capacité portante ultime (\(q_u\))
\[q_u = c N_c s_c + q N_q s_q + 0.5 \gamma B N_\gamma s_\gamma\] \[q_u = (15 \times 25.1 \times 1.3) + (27 \times 12.7 \times 1.0) + (0.5 \times 18 \times 2 \times 9.7 \times 0.8)\] \[q_u = 489.45 + 342.9 + 139.68\] \[q_u \approx 972.03 \text{ kPa}\]Étape 5 : Capacité portante admissible (\(q_{adm}\))
\[q_{adm} = \frac{q_u}{FS}\] \[q_{adm} = \frac{972.03 \text{ kPa}}{3} \approx 324.01 \text{ kPa}\]La capacité portante admissible est d'environ \(324.01\) kPa.
La Méthode de Terzaghi