EGC

Fondations pour un bâtiment résidentiel

Calcul de Fondation Superficielle en Géotechnique

Fondations pour un Bâtiment Résidentiel

Contexte : Le sol, un partenaire invisible mais essentiel de toute construction.

En géotechnique, l'étude des fondations est primordiale pour assurer la stabilité et la pérennité de tout ouvrage. Une fondation transmet les charges du bâtiment au sol. Si elle est mal dimensionnée, le bâtiment peut subir des tassements excessifs, des fissures, voire s'effondrer. Cet exercice se concentre sur le cas d'une semelle isoléeType de fondation superficielle, généralement de forme carrée ou rectangulaire, qui reprend la charge d'un seul poteau. sous un poteau, un des types de fondations les plus courants pour les bâtiments résidentiels. Nous allons vérifier sa capacité à supporter les charges sans poinçonner le sol et en limitant les tassements, conformément aux normes de l'Eurocode 7.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche de l'ingénieur géotechnicien. À partir des charges de la structure et des caractéristiques du sol (issues d'essais en laboratoire ou in-situ), nous allons appliquer des formules réglementaires pour vérifier que la "rencontre" entre le bâtiment et le sol se passe en toute sécurité, à la fois en termes de résistance (ne pas casser) et de déformation (ne pas trop bouger).

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la charge de calcul à l'État Limite Ultime (ELU) selon l'Eurocode.
  • Déterminer la capacité portanteLa contrainte maximale que le sol peut supporter avant la rupture. C'est la résistance du sol au poinçonnement. d'un sol sous une fondation superficielle.
  • Vérifier la sécurité vis-à-vis du poinçonnement du sol.
  • Estimer le tassementEnfoncement vertical de la fondation dans le sol sous l'effet des charges. Un tassement excessif ou différentiel peut endommager la structure. de la fondation à l'État Limite de Service (ELS).
  • Se familiariser avec les unités et les concepts clés de la géotechnique (kPa, kN, angle de frottement, cohésion).

Données de l'étude

On souhaite dimensionner une semelle de fondation carrée, de côté B, pour un poteau d'un bâtiment résidentiel (R+2). La semelle est ancrée à une profondeur Df dans une couche de sable argileux homogène. Les données du projet et de l'étude de sol sont les suivantes :

Schéma de la fondation et du sol
Niveau du terrain naturel G, Q Sable argileux γ = 18 kN/m³ c' = 15 kPa φ' = 25° Df = 1.0 m B = ?
Paramètre Symbole Valeur Unité
Charge permanente (poteau + planchers) \(G_k\) 300 \(\text{kN}\)
Charge d'exploitation (habitations) \(Q_k\) 120 \(\text{kN}\)
Largeur de la semelle (à déterminer) \(B\) 1.2 \(\text{m}\)
Profondeur d'ancrage \(D_f\) 1.0 \(\text{m}\)
Poids volumique du sol \(\gamma\) 18 \(\text{kN/m³}\)
Cohésion effective du sol \(c'\) 15 \(\text{kPa}\)
Angle de frottement effectif \(\phi'\) 25 \(\text{°}\)
Module oedométrique du sol \(E_{\text{oed}}\) 8000 \(\text{kPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la charge de calcul verticale à l'État Limite Ultime (ELU), notée \(V_{d}\).
  2. Calculer la capacité portante de calcul du sol (\(R_d\)) pour une semelle de 1.2 m x 1.2 m.
  3. Vérifier la stabilité de la fondation vis-à-vis du poinçonnement à l'ELU.
  4. Calculer le tassement final de la fondation sous les charges de service (ELS).

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant de commencer, rappelons quelques concepts fondamentaux de la géotechnique.

1. États Limites (ELU et ELS) :
Le calcul en génie civil se base sur deux vérifications. L'État Limite Ultime (ELU) vérifie la résistance : on s'assure que la structure ne s'effondre pas, en majorant les charges (avec des coefficients comme 1.35 pour G et 1.5 pour Q) et en minorant les résistances. L'État Limite de Service (ELS) vérifie le comportement en service normal : on s'assure que les déformations (tassements, flèches) ne sont pas excessives, en utilisant les charges réelles (non pondérées).

2. La Capacité Portante :
C'est la pression maximale que le sol peut supporter. La formule de Terzaghi (ou plus généralement l'Eurocode 7) la décompose en trois termes : un lié à la cohésion (\(c'\)), un lié au poids des terres à côté de la fondation (\(q\)), et un lié à la largeur de la fondation (\(B\)) et au frottement du sol. \[ q_{\text{ult}} = c'N_c + qN_q + 0.5 \gamma B N_\gamma \] Les facteurs \(N_c, N_q, N_\gamma\) sont des facteurs de portance qui dépendent uniquement de l'angle de frottement \(\phi'\).

3. Le Tassement :
Lorsqu'on charge le sol, il se comprime comme une éponge. Ce tassement dépend de l'intensité de la charge, de la taille de la fondation et de la compressibilité du sol, représentée par un module (comme le module oedométrique \(E_{\text{oed}}\)). Un tassement trop important peut causer des désordres dans la structure, même si le sol est loin de la rupture.

Correction : Fondations pour un Bâtiment Résidentiel

Question 1 : Calculer la charge de calcul à l'ELU (\(V_d\))

Principe (le concept physique)

Pour vérifier la sécurité à la rupture (poinçonnement), on doit imaginer le scénario le plus défavorable. L'approche normative (Eurocode) consiste à majorer les charges caractéristiques (valeurs "moyennes" ou probables) par des coefficients de sécurité. On augmente ainsi virtuellement les charges pour s'assurer que même dans des conditions exceptionnelles, la fondation résistera.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La théorie des états limites, formalisée dans les Eurocodes, a remplacé l'ancienne méthode des coefficients de sécurité globaux. En appliquant des facteurs partiels sur les actions (charges) et sur les résistances (matériaux), on obtient une approche plus rationnelle et homogène de la sécurité, quel que soit le type de structure ou de matériau.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous préparez un sac à dos pour une randonnée. Vous estimez avoir besoin de 10 kg de matériel (charge caractéristique). Pour être sûr de ne rien oublier et de parer aux imprévus, vous prenez 13.5 kg (charge de calcul). Vous vérifiez ensuite que votre sac (la fondation) peut supporter bien plus, disons 20 kg (résistance de calcul). C'est ça, le principe des coefficients de sécurité.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) et l'Eurocode 0 (Bases de calcul des structures) définissent les combinaisons d'actions. Pour un bâtiment courant, la combinaison fondamentale à l'ELU est : \(1.35 \cdot G_k + 1.5 \cdot Q_k\), où \(G_k\) est la charge permanente et \(Q_k\) la charge d'exploitation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La charge de calcul verticale à l'ELU est donnée par :

\[ V_d = 1.35 \cdot G_k + 1.5 \cdot Q_k \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges Gk et Qk sont des forces verticales centrées et qu'elles représentent l'ensemble des actions transmises par le poteau.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente, \(G_k = 300 \, \text{kN}\)
  • Charge d'exploitation, \(Q_k = 120 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un calcul rapide, on peut estimer la charge totale de service (G+Q = 420 kN) et la multiplier par un coefficient moyen d'environ 1.4, ce qui donne 588 kN. C'est un bon ordre de grandeur pour vérifier le calcul détaillé.

Schéma (Avant les calculs)
Combinaison des charges à l'ELU
Gk=300Qk=120+=Vd = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la combinaison de charges.

\[ \begin{aligned} V_d &= (1.35 \times 300 \, \text{kN}) + (1.5 \times 120 \, \text{kN}) \\ &= 405 \, \text{kN} + 180 \, \text{kN} \\ &= 585 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge de Calcul Résultante
Vd = 585 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge que la fondation doit être capable de supporter sans risque de rupture est de 585 kN. Cette valeur est 39% plus élevée que la charge de service totale (300+120 = 420 kN), ce qui représente la marge de sécurité prise sur les actions.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'inverser les coefficients ou d'en oublier un. Le coefficient sur les charges permanentes (1.35) est plus faible car elles sont mieux connues et moins variables que les charges d'exploitation (1.5).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'ELU vérifie la RÉSISTANCE.
  • On utilise des charges majorées (pondérées).
  • La combinaison de base pour un bâtiment est \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les coefficients de sécurité ne sont pas arbitraires. Ils sont calibrés par des méthodes probabilistes complexes pour garantir un niveau de fiabilité cible sur la durée de vie de l'ouvrage (généralement 50 ans pour un bâtiment).

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le coefficient est-il plus grand pour Qk que pour Gk ?

Les charges permanentes (Gk), comme le poids propre de la structure, sont connues avec une bonne précision. Les charges d'exploitation (Qk), comme le mobilier, les personnes ou la neige, sont beaucoup plus variables et incertaines. Le coefficient de sécurité plus élevé (1.5 vs 1.35) reflète cette plus grande incertitude.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge de calcul à l'ELU est \(V_d = 585 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation était pour un bureau (\(Q_k = 200 \, \text{kN}\)), quelle serait la nouvelle charge \(V_d\) en kN ?

Question 2 : Calculer la capacité portante de calcul (\(R_d\))

Principe (le concept physique)

La capacité portante représente la résistance du sol. On la calcule à partir des caractéristiques intrinsèques du sol (cohésion c' et angle de frottement φ') et de la géométrie de la fondation. Pour passer de la résistance "brute" à une résistance de "calcul" utilisable, on divise les propriétés du sol par des coefficients de sécurité partiels, conformément à l'approche de l'Eurocode 7.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de portance est basée sur l'analyse d'un mécanisme de rupture où un coin de sol sous la fondation s'enfonce, repoussant le sol sur les côtés. Le terme en \(N_c\) représente la résistance due à la "colle" entre les grains (cohésion). Le terme en \(N_q\) représente la résistance due au poids des terres sur les côtés qui s'opposent au soulèvement. Le terme en \(N_\gamma\) représente la résistance due au poids du coin de sol lui-même et au frottement interne.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à marcher sur de la neige. Avec des chaussures normales (petite surface B), vous vous enfoncez (poinçonnement). Avec des raquettes (grande surface B), vous restez en surface. La capacité portante, c'est la "résistance" de la neige. En augmentant la surface de contact, on diminue la pression et on mobilise plus de résistance.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7, Approche 2, préconise d'appliquer des facteurs de sécurité partiels sur les propriétés du sol. Pour un calcul de portance, on utilise : \(\tan(\phi'_d) = \frac{\tan(\phi'_k)}{1.25}\) et \(c'_d = \frac{c'_k}{1.25}\). Les facteurs de portance (\(N_q, N_c, N_\gamma\)) sont ensuite calculés avec cet angle \(\phi'_d\) réduit.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul des paramètres de calcul du sol :

\[ \phi'_d = \arctan\left(\frac{\tan(\phi'_k)}{\gamma_{\phi'}}\right) \quad ; \quad c'_d = \frac{c'_k}{\gamma_{c'}} \]

2. Facteurs de portance (formules de l'EC7) :

\[ N_q = e^{\pi \tan(\phi'_d)} \tan^2(45^\circ + \phi'_d/2) \]
\[ N_c = (N_q - 1) \cot(\phi'_d) \]
\[ N_\gamma = 2(N_q - 1) \tan(\phi'_d) \]

3. Contrainte portante de calcul (pour une semelle carrée) :

\[ q_{\text{ult},d} = c'_d N_c s_c + q' N_q s_q + 0.5 \gamma' B' N_\gamma s_\gamma \]

4. Force portante de calcul :

\[ R_d = q_{\text{ult},d} \times B^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol est homogène sous la fondation, que la surface du terrain est horizontale et que la charge est appliquée verticalement et au centre de la fondation.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur, \(B = 1.2 \, \text{m}\)
  • Profondeur, \(D_f = 1.0 \, \text{m}\)
  • Poids volumique, \(\gamma = 18 \, \text{kN/m³}\)
  • Cohésion, \(c'_k = 15 \, \text{kPa}\)
  • Angle de frottement, \(\phi'_k = 25^\circ\)
  • Facteurs partiels, \(\gamma_{\phi'} = 1.25\) ; \(\gamma_{c'} = 1.25\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Les facteurs de portance \(N_c, N_q, N_\gamma\) sont souvent disponibles dans des abaques ou des tableaux. Pour \(\phi' = 25^\circ\), on a \(N_q \approx 10.7, N_c \approx 20.7, N_\gamma \approx 10.9\). En appliquant une réduction globale de sécurité de 2.5-3.0 sur la portance brute, on obtient un ordre de grandeur rapide du résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Mécanisme de Rupture du Sol
Poinçonnement
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Propriétés de calcul du sol :

\[ \tan(25^\circ) \approx 0.466 \quad \Rightarrow \quad \tan(\phi'_d) = \frac{0.466}{1.25} = 0.373 \]
\[ \phi'_d = \arctan(0.373) \approx 20.46^\circ \]
\[ c'_d = \frac{15 \, \text{kPa}}{1.25} = 12 \, \text{kPa} \]

2. Facteurs de portance pour \(\phi'_d = 20.46^\circ\):

\[ N_q \approx 6.75 \quad ; \quad N_c \approx 15.2 \quad ; \quad N_\gamma \approx 5.8 \]

3. Surcharge effective \(q'\) au niveau de la base de la fondation :

\[ \begin{aligned} q' &= \gamma \times D_f \\ &= 18 \, \text{kN/m³} \times 1.0 \, \text{m} \\ &= 18 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

4. Contrainte portante (en négligeant les facteurs de forme \(s_c, s_q, s_\gamma \approx 1\) pour simplifier) :

\[ \begin{aligned} q_{\text{ult},d} &\approx (12 \times 15.2) + (18 \times 6.75) + (0.5 \times 18 \times 1.2 \times 5.8) \\ &\approx 182.4 + 121.5 + 62.6 \\ &= 366.5 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

5. Force portante de calcul \(R_d\):

\[ \begin{aligned} R_d &= q_{\text{ult},d} \times B^2 \\ &= 366.5 \, \text{kPa} \times (1.2 \, \text{m})^2 \\ &\approx 527.8 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résistance de Calcul du Sol
Rd = 528 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance de calcul du sol sous notre semelle de 1.2m x 1.2m est d'environ 528 kN. C'est la force maximale (avec sécurité) que le sol peut reprendre avant de céder. Nous allons maintenant comparer cette résistance à la charge de calcul.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier d'utiliser les valeurs de calcul (\(c'_d, \phi'_d\)) pour les facteurs de portance. Utiliser les valeurs caractéristiques (\(_k\)) mènerait à une surestimation dangereuse de la résistance du sol. Attention aussi aux unités : tout doit être cohérent (kN et m).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La capacité portante dépend de la cohésion, du frottement et de la géométrie.
  • On utilise des propriétés de sol minorées (\(c'_d, \phi'_d\)) pour le calcul.
  • La résistance totale \(R_d\) est la contrainte admissible multipliée par la surface.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les gratte-ciels construits sur des sols de mauvaise qualité, comme à Chicago ou Mexico, les ingénieurs utilisent des fondations profondes (pieux, barrettes) qui vont chercher la résistance dans des couches de sol plus dures, parfois à plusieurs dizaines de mètres de profondeur.

FAQ (pour lever les doutes)
Les facteurs de forme (s_c, s_q, s_gamma) sont-ils importants ?

Oui, pour un calcul précis. Nous les avons négligés ici pour simplifier. Pour une semelle carrée, ils valent environ 1.2-1.3, ce qui augmente la capacité portante. Les ignorer est donc une simplification qui va dans le sens de la sécurité (on sous-estime légèrement la résistance).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La capacité portante de calcul de la fondation est \(R_d \approx 528 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la semelle était circulaire avec le même diamètre de 1.2m, la capacité portante serait-elle plus grande ou plus faible ?

Question 3 : Vérifier la stabilité à l'ELU

Principe (le concept physique)

C'est le moment de vérité pour la vérification de la résistance. Le principe est simple : la résistance doit être supérieure ou égale à la sollicitation. On compare la charge de calcul que le bâtiment applique (\(V_d\)) à la résistance de calcul que le sol peut offrir (\(R_d\)). Si \(V_d \le R_d\), la fondation est stable. Sinon, elle est sous-dimensionnée et risque de poinçonner le sol.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le concept de "taux de travail" (\(V_d / R_d\)) est un indicateur clé. Un taux de travail inférieur à 1.0 signifie que la fondation a une marge de sécurité. Un taux égal à 1.0 signifie qu'elle est dimensionnée au plus juste. Un taux supérieur à 1.0 signifie qu'elle est en situation de défaillance théorique. L'objectif du dimensionnement est de toujours rester en dessous de 1.0.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme une balance. D'un côté, on met le poids majoré du bâtiment (les "Actions" \(V_d\)). De l'autre, on met la capacité minorée du sol (la "Résistance" \(R_d\)). Pour que ce soit stable, il faut que le plateau de la Résistance soit plus lourd ou au même niveau que celui des Actions.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification fondamentale de l'Eurocode 7 pour la portance est exprimée par l'inégalité \(V_d \le R_d\). Cette vérification doit être menée pour toutes les fondations d'un projet.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La condition de stabilité à l'ELU est :

\[ V_d \le R_d \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Cette vérification suppose que les calculs de Vd et Rd ont été menés correctement selon les normes et avec les bonnes hypothèses.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul, \(V_d = 585 \, \text{kN}\) (de la Q1)
  • Résistance de calcul, \(R_d = 528 \, \text{kN}\) (de la Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant même de calculer Rd, on peut estimer la surface nécessaire. Une contrainte admissible "à la louche" pour ce type de sol est souvent de 150-200 kPa. Pour une charge de 585 kN, il faudrait une surface de \(585 / 150 \approx 3.9 \, m^2\), soit une semelle de \(\sqrt{3.9} \approx 2.0\) m de côté. Notre 1.2 m semble donc a priori insuffisant.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Action vs Résistance
VdRd?
Calcul(s) (l'application numérique)

On compare les deux valeurs :

\[ 585 \, \text{kN} \le 528 \, \text{kN} \quad \Rightarrow \quad \text{FAUX} \]

On peut aussi calculer le ratio d'utilisation :

\[ \begin{aligned} \text{Taux de travail} &= \frac{V_d}{R_d} \\ &= \frac{585}{528} \\ &\approx 1.11 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Stabilité ELU
Résistance Rd = 528 kNSollicitation Vd = 585 kNNON OK ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La condition de stabilité n'est pas respectée (\(585 > 528\)). Le taux de travail est de 111%, ce qui signifie que la fondation est surchargée de 11%. La semelle de 1.2m x 1.2m est trop petite. L'ingénieur doit donc augmenter ses dimensions et refaire le calcul. Essayons avec B = 1.3 m. La nouvelle résistance serait \(R_d \approx 370 \times 1.3^2 = 625\) kN. Dans ce cas, \(585 < 625\), et la condition serait vérifiée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais conclure qu'une fondation est "un peu" non-conforme. Si le taux de travail est de 1.01, la fondation est réglementairement instable et doit être redimensionnée. Il n'y a pas de tolérance à ce niveau de vérification.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification ultime est : Sollicitations (\(V_d\)) \(\le\) Résistances (\(R_d\)).
  • Si la condition n'est pas vérifiée, la fondation est sous-dimensionnée.
  • La solution la plus simple est d'augmenter la surface de la fondation.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour de Pise est l'exemple le plus célèbre d'un problème de fondation. Le sol sous le côté sud de la tour était plus compressible que sous le côté nord. Ce tassement différentiel, apparu dès le début de la construction au 12ème siècle, a provoqué l'inclinaison que des siècles de travaux ont tenté de stabiliser.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire d'autre si on ne peut pas augmenter la taille de la semelle ?

Si des contraintes de site (limites de propriété, autres fondations) empêchent d'élargir la semelle, l'ingénieur peut envisager d'autres solutions : approfondir la fondation pour chercher un meilleur sol, améliorer le sol en place (par compactage, injections...), ou passer à un autre type de fondation (radier, pieux).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La fondation de 1.2 m x 1.2 m n'est PAS STABLE à l'ELU. Il faut augmenter ses dimensions.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la largeur minimale B (en m, à 0.05m près) pour que la fondation soit juste stable (\(V_d \approx R_d\)) ?

Question 4 : Calculer le tassement final à l'ELS

Principe (le concept physique)

Après avoir vérifié que la fondation ne casse pas (ELU), on vérifie qu'elle ne se déforme pas trop (ELS). Le tassement est l'enfoncement de la fondation dans le sol. On le calcule avec les charges de service (non pondérées), car c'est la déformation en conditions normales d'utilisation qui nous intéresse. On compare ensuite ce tassement à une limite admissible (généralement 25 mm pour une semelle isolée).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le tassement est causé par la déformation des grains du sol et l'expulsion de l'eau contenue dans les pores. Dans les sables, ce phénomène est quasi-instantané (tassement élastique). Dans les argiles, l'expulsion de l'eau est très lente à cause de la faible perméabilité ; le tassement se produit sur des mois, voire des années (tassement de consolidation). La méthode utilisée ici est une simplification qui donne une estimation du tassement total.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous vous asseyez sur un matelas en mousse. Il s'enfonce immédiatement : c'est le tassement élastique. Si le matelas était une éponge gorgée d'eau, il s'enfoncerait d'abord un peu, puis continuerait à s'affaisser lentement à mesure que l'eau est expulsée. C'est le tassement de consolidation. Notre calcul estime la déformation finale.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 ne fixe pas de limites de tassement universelles, car elles dépendent de la sensibilité de la structure. Cependant, les annexes nationales et la pratique courante suggèrent des limites : souvent 25 mm pour les fondations isolées, 50 mm pour les radiers, et des limites plus strictes sur les tassements différentiels (la différence de tassement entre deux points).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Charge de service :

\[ V_{\text{ser}} = G_k + Q_k \]

2. Contrainte nette appliquée sur le sol :

\[ \sigma_{\text{net}} = \frac{V_{\text{ser}}}{B^2} - \gamma D_f \]

3. Tassement (méthode élastique simplifiée) :

\[ s = \frac{\sigma_{\text{net}} \cdot B \cdot (1-\nu^2)}{E_{\text{oed}}} \cdot I_s \]

Avec \(\nu \approx 0.3\) (coefficient de Poisson) et \(I_s \approx 0.85\) (facteur d'influence).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise une méthode élastique, supposant que le sol se comporte comme un matériau élastique. On utilise la semelle redimensionnée à B=1.3m pour que la vérification ait un sens (on ne vérifie le tassement que d'une fondation jugée stable à l'ELU).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges de service, \(G_k=300 \, \text{kN}\), \(Q_k=120 \, \text{kN}\)
  • Largeur de la semelle (redimensionnée), \(B = 1.3 \, \text{m}\)
  • Module oedométrique, \(E_{\text{oed}} = 8000 \, \text{kPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On voit dans la formule que le tassement est proportionnel à la contrainte nette et à la largeur B. Si on double la largeur B, on divise la contrainte par 4, mais on multiplie par 2 pour B. Au final, le tassement est divisé par 2. Augmenter la taille de la semelle est donc très efficace pour réduire le tassement.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul du Tassement
s = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Charge de service :

\[ \begin{aligned} V_{\text{ser}} &= 300 + 120 \\ &= 420 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Contrainte nette sur le sol :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{net}} &= \frac{420 \, \text{kN}}{(1.3 \, \text{m})^2} - (18 \, \text{kN/m³} \times 1.0 \, \text{m}) \\ &\approx 248.5 - 18 \\ &= 230.5 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

3. Calcul du tassement :

\[ \begin{aligned} s &\approx \frac{230.5 \, \text{kPa} \cdot 1.3 \, \text{m} \cdot (1-0.3^2)}{8000 \, \text{kPa}} \times 0.85 \\ &\approx 0.029 \, \text{m} \\ &\approx 29 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Tassement vs Limite Admissible
Limite s_adm = 25 mmTassement calculé s = 29 mmNON OK ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le tassement calculé est de 29 mm. La limite usuelle pour une semelle isolée est de 25 mm. Notre tassement est donc légèrement supérieur à la limite. En tant qu'ingénieur, il faudrait soit accepter ce léger dépassement si la structure le permet, soit augmenter encore un peu la taille de la semelle (ex: B=1.4 m) pour réduire la contrainte et donc le tassement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais utiliser les charges de l'ELU pour un calcul de tassement ! Cela conduirait à une surévaluation massive de la déformation. Toujours utiliser les charges de service (ELS). De plus, le calcul de tassement est une estimation ; la précision dépend grandement de la qualité du module de sol \(E_{\text{oed}}\) utilisé.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'ELS vérifie le COMPORTEMENT (déformations).
  • On utilise les charges de service (non majorées).
  • Le tassement doit rester inférieur à une limite admissible (souvent 25 mm).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

À Mexico, construite sur un ancien lac, certains bâtiments ont tassé de plusieurs mètres au cours du 20ème siècle en raison de la consolidation des argiles et du pompage de l'eau dans les nappes. Le Palais des Beaux-Arts, par exemple, s'est enfoncé de plus de 4 mètres !

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce que le tassement différentiel ?

C'est la différence de tassement entre deux fondations d'un même bâtiment. C'est souvent plus dangereux que le tassement total. Si tout le bâtiment s'enfonce uniformément de 5 cm, c'est rarement un problème. Mais si un côté s'enfonce de 5 cm et l'autre de 1 cm, cela crée des contraintes énormes dans la structure et des fissures peuvent apparaître.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le tassement final estimé pour la semelle de 1.3 m est de 29 mm, ce qui est légèrement supérieur à la limite admissible de 25 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec un meilleur sol (\(E_{\text{oed}} = 12000 \, \text{kPa}\)), quel serait le nouveau tassement (en mm) pour la semelle de 1.3m ?

Outil Interactif : Influence de la Largeur de la Semelle

Modifiez la largeur de la semelle (B) pour voir son impact sur la sécurité à l'ELU et sur le tassement à l'ELS.

Paramètres d'Entrée
1.20 m
Résultats Clés
Taux de travail ELU (Vd/Rd) -
Tassement ELS (mm) -

Le Saviez-Vous ?

La géotechnique moderne a été fondée par Karl von Terzaghi (1883-1963), souvent appelé le "père de la mécanique des sols". Il a développé la théorie de la consolidation, qui explique comment les sols argileux tassent avec le temps sous l'effet d'une charge, un phénomène crucial pour la construction de grands ouvrages sur des sols compressibles.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la nappe phréatique est proche de la fondation ?

La présence d'eau a un impact très négatif sur la portance. Elle réduit le poids volumique effectif du sol (le sol est "porté" par l'eau via la poussée d'Archimède) et peut diminuer la cohésion et le frottement. Les calculs de portance doivent impérativement en tenir compte, ce qui conduit généralement à des fondations plus grandes.

Pourquoi ne vérifie-t-on pas le tassement à l'ELU ?

L'État Limite Ultime (ELU) correspond à un état de ruine ou d'effondrement de la structure. À ce stade, les déformations sont si grandes qu'elles n'ont plus de sens physique et ne sont plus l'enjeu principal. La priorité à l'ELU est d'éviter la rupture, tandis que la maîtrise des déformations est l'affaire de l'État Limite de Service (ELS), qui représente le fonctionnement normal de l'ouvrage.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si une étude de sol révèle un sol de meilleure qualité (angle de frottement φ' plus élevé), la semelle nécessaire sera...

2. Pour un calcul de tassement à l'ELS, on utilise...

Capacité Portante
Contrainte (pression) maximale que le sol peut supporter avant de rompre par poinçonnement sous une fondation.
Tassement
Enfoncement vertical d'une fondation dans le sol sous l'effet des charges appliquées. On distingue le tassement immédiat et le tassement de consolidation (différé dans le temps).
Angle de Frottement (\(\phi'\))
Caractéristique d'un sol granulaire (sable, gravier) qui mesure sa résistance au cisaillement due au frottement entre les grains.
Cohésion (\(c'\))
Caractéristique d'un sol fin (argile, limon) qui mesure sa résistance au cisaillement due à l'attraction entre les particules. C'est ce qui permet de faire une boule avec de l'argile humide.
Calcul de Fondation Superficielle en Géotechnique

D’autres exercices de fondation :

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