Étude de la stabilité d'un portique métallique

Contexte : Le flambement, un ennemi invisible des structures.

Les portiques métalliques, omniprésents dans les bâtiments industriels et commerciaux, sont des structures élancées où les poteaux sont soumis à des efforts de compression importants. Sous l'effet de ces charges, un poteau peut perdre brutalement sa forme rectiligne et se courber : c'est le phénomène de flambementPhénomène d'instabilité d'une pièce élancée soumise à un effort de compression, qui se traduit par une déformation de flexion soudaine et importante.. Cette instabilité peut survenir bien avant que le matériau lui-même n'atteigne sa limite de résistance. Cet exercice vous apprend à vérifier la stabilité au flambement d'un poteau de portique selon l'Eurocode 3.

Remarque Pédagogique : Ce problème est au cœur du dimensionnement des structures métalliques. Vous allez apprendre à ne plus seulement considérer la résistance de la matière (traction, compression), mais aussi la stabilité de la forme. Vous découvrirez comment la géométrie d'un poteau (sa hauteur, la forme de sa section) et ses conditions d'appui influencent sa capacité à résister à la compression sans flamber.

Objectifs Pédagogiques

Identifier les paramètres géométriques et mécaniques d'un profilé.
Calculer l'élancementRapport entre la longueur de flambement d'un élément et son rayon de giration. C'est un indicateur clé de sa sensibilité au flambement. d'un poteau.
Déterminer la charge critique d'Euler, la base théorique du flambement.
Appliquer la méthode de l'Eurocode 3 pour calculer la résistance au flambement.
Vérifier la sécurité d'un poteau vis-à-vis du risque de flambement.

Données de l'étude

On étudie un des poteaux d'un portique métallique simple, articulé en pied et lié de manière rigide à la traverse. Le poteau est soumis à un effort normal de compression de calcul \(N_{\text{Ed}}\) provenant des charges verticales.

Schéma du portique et du poteau isolé

Vue 3D interactive du portique

Poteaux Traverse Charges

Paramètre / Donnée	Symbole	Valeur	Unité
Effort normal de compression	\(N_{\text{Ed}}\)	350	\(\text{kN}\)
Hauteur du poteau	\(h\)	6.0	\(\text{m}\)
Profilé du poteau	-	HEA 200	-
Nuance d'acier	-	S235	-
Limite d'élasticité	\(f_{\text{y}}\)	235	\(\text{MPa}\)
Module de Young	\(E\)	210000	\(\text{MPa}\)
Coefficient partiel de sécurité	\(\gamma_{\text{M1}}\)	1.0	-

Questions à traiter

Déterminer les caractéristiques du profilé HEA 200 (Aire \(A\), moment d'inertie \(I_{\text{y}}\), rayon de giration \(i_{\text{y}}\)) et calculer l'élancement \(\lambda_{\text{y}}\) du poteau.
Calculer l'effort normal critique d'Euler \(N_{\text{cr,y}}\).
Calculer l'élancement réduit \(\bar{\lambda}_{\text{y}}\) et le facteur de réduction pour le flambement \(\chi_{\text{y}}\).
Calculer la résistance au flambement \(N_{\text{b,Rd}}\) et vérifier la stabilité du poteau.

Les bases de la stabilité des poteaux (Eurocode 3)

Le flambement est un phénomène d'instabilité qui dépend de la géométrie, du matériau et des conditions d'appuis.

1. L'Élancement (\(\lambda\)) : L'indicateur de risque
L'élancement est un nombre sans dimension qui mesure la "sveltesse" d'un poteau. Plus il est élevé, plus le poteau est sensible au flambement. Il est défini par : \[ \lambda = \frac{L_{\text{cr}}}{i} \] Où \(L_{\text{cr}}\) est la **longueur de flambement**, qui dépend des liaisons aux extrémités (par ex., \(L_{\text{cr}} = 2h\) pour un poteau encastré-libre), et \(i\) est le **rayon de giration** de la section, qui caractérise sa capacité à résister à la flexion (\(i = \sqrt{I/A}\)).

2. La Charge Critique d'Euler (\(N_{\text{cr}}\)) : La limite théorique
Développée par Leonhard Euler au 18ème siècle, cette formule donne la charge de compression maximale qu'un poteau parfait peut supporter avant de flamber. \[ N_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{L_{\text{cr}}^2} \] Elle montre que la résistance dépend énormément de la longueur de flambement (au carré !) et de la rigidité de la section (\(EI\)).

3. L'Approche Eurocode 3 : Le monde réel
Les poteaux réels ne sont jamais parfaits (défauts de géométrie, contraintes résiduelles). L'Eurocode 3 introduit un **facteur de réduction \(\chi\)** (toujours \(\le 1\)) qui vient diminuer la résistance en compression simple de la section. La résistance au flambement devient : \[ N_{\text{b,Rd}} = \chi \frac{A \cdot f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M1}}} \] Ce facteur \(\chi\) est calculé à partir de l'élancement et d'une "courbe de flambement" qui dépend de la forme du profilé.

Correction : Étude de la stabilité d’un portique métallique

Question 1 : Calculer l'élancement \(\lambda_{\text{y}}\) du poteau

Principe (le concept physique)

L'élancement est le paramètre qui quantifie la sensibilité du poteau au flambement. Il compare sa longueur effective de flambement à la "rigidité" de sa forme, représentée par le rayon de giration. Un poteau long et fin aura un grand élancement et sera très sensible au flambement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La longueur de flambement \(L_{\text{cr}}\) n'est pas toujours la longueur réelle de l'élément. Elle est ajustée par un facteur \(K\) (\(L_{\text{cr}} = K \cdot h\)) qui dépend des conditions de liaison aux extrémités. Pour un poteau articulé en pied et encastré en tête (liaison rigide avec une traverse très rigide), la théorie donne \(K \approx 0.7\). Cependant, dans un portique déplaçable, la situation est plus complexe. Pour simplifier, on prend souvent une valeur forfaitaire, ou on la calcule via des méthodes plus avancées. Ici, nous utiliserons une valeur commune pour ce type de structure.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape de tout calcul de stabilité est de trouver les caractéristiques de la section dans un catalogue de profilés. Assurez-vous de prendre les bonnes valeurs pour le bon axe de flambement. Ici, le portique se déplace dans son plan, donc le flambement se produira autour de l'axe faible du poteau (l'axe y-y).

Normes (la référence réglementaire)

Les caractéristiques des profilés laminés à chaud comme les HEA sont normalisées (EN 10034). La détermination des longueurs de flambement est traitée dans l'annexe E de l'Eurocode 3 (EN 1993-1-1).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Longueur de flambement :

L_{\text{cr,y}} = K \times h

Élancement :

\lambda_{\text{y}} = \frac{L_{\text{cr,y}}}{i_{\text{y}}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère que le portique est "à nœuds déplaçables". Pour un poteau articulé en pied et rigidement lié à la traverse, on prend une longueur de flambement \(L_{\text{cr,y}} = 2.0 \times h\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour un profilé HEA 200 (extrait d'un catalogue) :

Aire, \(A = 53.8 \, \text{cm}^2 = 5380 \, \text{mm}^2\)
Moment d'inertie (axe faible), \(I_{\text{y}} = 1336 \, \text{cm}^4 = 1336 \times 10^4 \, \text{mm}^4\)
Rayon de giration (axe faible), \(i_{\text{y}} = 4.98 \, \text{cm} = 49.8 \, \text{mm}\)
Hauteur, \(h = 6.0 \, \text{m} = 6000 \, \text{mm}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

La conversion des unités est la source d'erreur n°1. Convertissez tout en N et mm dès le début. Rappelez-vous que \(1 \, \text{cm}^2 = 100 \, \text{mm}^2\) et \(1 \, \text{cm}^4 = 10000 \, \text{mm}^4\).

Schéma (Avant les calculs)

Profilé HEA et Longueur de Flambement

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la longueur de flambement :

\begin{aligned} L_{\text{cr,y}} &= 2.0 \times h \\ &= 2.0 \times 6000 \, \text{mm} \\ &= 12000 \, \text{mm} \end{aligned}

2. Calcul de l'élancement :

\begin{aligned} \lambda_{\text{y}} &= \frac{L_{\text{cr,y}}}{i_{\text{y}}} \\ &= \frac{12000 \, \text{mm}}{49.8 \, \text{mm}} \\ &= 240.96 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Élancement du Poteau

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un élancement de 241 est très élevé. En général, on essaie de rester en dessous de 200 pour les éléments comprimés. Cette valeur élevée indique que le poteau est très sensible au flambement et que sa résistance sera fortement réduite par rapport à sa résistance en compression simple.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le choix du bon coefficient de longueur de flambement \(K\) est crucial. Une erreur sur ce coefficient (par exemple, prendre 1.0 au lieu de 2.0) changerait radicalement le résultat et la conclusion sur la sécurité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'élancement \(\lambda\) est le rapport entre la longueur de flambement et le rayon de giration.
La longueur de flambement \(L_{\text{cr}}\) dépend des conditions de liaison aux extrémités du poteau.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le pont de Québec s'est effondré deux fois durant sa construction au début du 20ème siècle, en partie à cause d'une mauvaise estimation du poids propre des éléments, menant à un flambement imprévu des membrures comprimées. Ces catastrophes ont grandement fait avancer la compréhension de l'instabilité des structures.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'élancement du poteau autour de son axe faible est \(\lambda_{\text{y}} = 241\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau était articulé en tête et en pied (\(K=1.0\)), quel serait le nouvel élancement ?

Question 2 : Calculer l'effort normal critique d'Euler \(N_{\text{cr,y}}\)

Principe (le concept physique)

La charge critique d'Euler représente la charge de compression théorique qui provoquerait le flambement d'un poteau "parfait" (parfaitement droit, matériau homogène, charge parfaitement centrée). C'est une valeur de référence théorique qui sert de base à la méthode de vérification plus réaliste de l'Eurocode.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule d'Euler \(N_{\text{cr}} = \pi^2 EI / L_{\text{cr}}^2\) met en évidence les deux facteurs qui gouvernent la stabilité : la rigidité du matériau (\(E\), le module de Young) et la rigidité de la forme (\(I\), le moment d'inertie). Elle montre aussi la très forte influence de la longueur de flambement \(L_{\text{cr}}\), qui intervient au carré au dénominateur : doubler la longueur de flambement divise par quatre la résistance théorique au flambement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Faites très attention aux unités lors de ce calcul. Le module de Young \(E\) est en MPa (N/mm²), le moment d'inertie \(I\) doit être en mm⁴, et la longueur \(L_{\text{cr}}\) en mm. Le résultat sera alors directement en Newtons (N).

Normes (la référence réglementaire)

La formule d'Euler est une formule fondamentale de la Résistance des Matériaux. L'Eurocode 3 ne l'utilise pas directement pour la vérification finale, mais elle est la base du calcul de l'élancement réduit \(\bar{\lambda}\), qui est un paramètre central de la méthode réglementaire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge critique d'Euler :

N_{\text{cr,y}} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I_{\text{y}}}{L_{\text{cr,y}}^2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le calcul suppose un comportement élastique linéaire du matériau, ce qui est le fondement de la théorie d'Euler.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Module de Young, \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Moment d'inertie, \(I_{\text{y}} = 1336 \times 10^4 \, \text{mm}^4\)
Longueur de flambement, \(L_{\text{cr,y}} = 12000 \, \text{mm}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter de manipuler de très grands nombres, vous pouvez utiliser les puissances de 10 sur votre calculatrice. Le calcul devient : \((\pi^2 \times 210 \times 10^3 \times 1336 \times 10^4) / (12000^2)\).

Schéma (Avant les calculs)

Paramètres du calcul d'Euler

Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule d'Euler :

\begin{aligned} N_{\text{cr,y}} &= \frac{\pi^2 \times 210000 \, \text{N/mm}^2 \times (1336 \times 10^4 \, \text{mm}^4)}{(12000 \, \text{mm})^2} \\ &= \frac{2.77 \times 10^{13}}{1.44 \times 10^8} \, \text{N} \\ &= 192361 \, \text{N} \\ &\Rightarrow 192.4 \, \text{kN} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Charge Critique Théorique

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge critique théorique est de 192.4 kN. C'est la charge qui ferait flamber un poteau parfait. Notre charge appliquée de 350 kN est bien supérieure à cette valeur, ce qui confirme que le poteau, s'il était parfait, flamberait. Nous allons maintenant voir ce que dit la méthode de l'Eurocode qui tient compte des imperfections.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser le moment d'inertie \(I\) et la longueur de flambement \(L_{\text{cr}}\) correspondant au même axe de flexion. Mélanger l'inertie de l'axe fort avec la longueur de flambement de l'axe faible est une erreur grave.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La charge critique d'Euler est une charge théorique d'instabilité.
Elle est proportionnelle à la rigidité (\(EI\)) et inversement proportionnelle au carré de la longueur de flambement.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La formule d'Euler n'est valable que pour des élancements élevés, où la rupture se produit par instabilité élastique. Pour les poteaux courts et trapus (faible élancement), la rupture se produit par écrasement du matériau avant que le flambement n'ait lieu. La méthode de l'Eurocode fait le lien entre ces deux modes de ruine.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'effort normal critique d'Euler est \(N_{\text{cr,y}} = 192.4 \, \text{kN}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la hauteur du poteau était de 5 m (\(L_{\text{cr,y}} = 10000\) mm), quelle serait la nouvelle charge critique d'Euler en kN ?

Question 3 : Calculer l'élancement réduit \(\bar{\lambda}_{\text{y}}\) et le facteur de réduction \(\chi_{\text{y}}\)

Principe (le concept physique)

L'élancement réduit est un paramètre qui compare la résistance en compression de la section à sa résistance au flambement théorique (charge d'Euler). Le facteur de réduction \(\chi\) est ensuite déduit de cet élancement réduit via une formule empirique qui intègre les effets des imperfections réelles des poteaux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'élancement réduit est défini par \(\bar{\lambda} = \sqrt{A \cdot f_y / N_{cr}}\). Le facteur de réduction \(\chi\) est ensuite calculé par : \(\chi = \frac{1}{\Phi + \sqrt{\Phi^2 - \bar{\lambda}^2}}\), avec \(\Phi = 0.5 \cdot [1 + \alpha(\bar{\lambda} - 0.2) + \bar{\lambda}^2]\). Le facteur d'imperfection \(\alpha\) dépend de la "courbe de flambement" (a, b, c, ou d) qui est choisie en fonction de la forme du profilé et de l'axe de flambement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul de \(\chi\) est la partie la plus calculatoire, mais elle est très systématique. Prenez le temps de bien identifier la bonne courbe de flambement dans les tableaux de l'Eurocode 3. Pour un profilé HEA flambant autour de son axe faible, c'est la courbe "c".

Normes (la référence réglementaire)

Toute cette procédure est détaillée dans l'EN 1993-1-1, article 6.3.1. Le Tableau 6.1 donne les facteurs d'imperfection \(\alpha\) et le Tableau 6.2 indique quelle courbe utiliser pour quel profilé.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Élancement réduit :

\bar{\lambda}_{\text{y}} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{\text{y}}}{N_{\text{cr,y}}}}

Facteur de réduction :

\chi_{\text{y}} = \frac{1}{\Phi_{\text{y}} + \sqrt{\Phi_{\text{y}}^2 - \bar{\lambda}_{\text{y}}^2}} \le 1.0

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour un profilé HEA 200 en S235, flambant autour de l'axe y-y, l'Eurocode 3 (Tableau 6.2) impose l'utilisation de la **courbe de flambement c**, ce qui correspond à un facteur d'imperfection \(\alpha = 0.49\) (Tableau 6.1).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(A = 5380 \, \text{mm}^2\)
\(f_{\text{y}} = 235 \, \text{MPa}\)
\(N_{\text{cr,y}} = 192400 \, \text{N}\)
\(\alpha = 0.49\) (courbe c)

Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord la résistance plastique \(A \cdot f_y\). Ensuite, calculez \(\bar{\lambda}_{\text{y}}\). Puis calculez le terme \(\Phi_{\text{y}}\). Enfin, injectez le tout dans la formule de \(\chi_{\text{y}}\). Décomposer le problème en étapes claires évite les erreurs.

Schéma (Avant les calculs)

De l'Élancement à la Réduction

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'élancement réduit :

\begin{aligned} \bar{\lambda}_{\text{y}} &= \sqrt{\frac{5380 \, \text{mm}^2 \times 235 \, \text{N/mm}^2}{192361 \, \text{N}}} \\ &= \sqrt{6.57} \\ &= 2.56 \end{aligned}

2. Calcul du facteur \(\Phi_{\text{y}}\) :

\begin{aligned} \Phi_{\text{y}} &= 0.5 \cdot [1 + \alpha(\bar{\lambda}_{\text{y}} - 0.2) + \bar{\lambda}_{\text{y}}^2] \\ &= 0.5 \cdot [1 + 0.49(2.56 - 0.2) + 2.56^2] \\ &= 0.5 \cdot [1 + 1.156 + 6.55] \\ &= 4.35 \end{aligned}

3. Calcul du facteur de réduction \(\chi_{\text{y}}\) :

\begin{aligned} \chi_{\text{y}} &= \frac{1}{4.35 + \sqrt{4.35^2 - 2.56^2}} \\ &= \frac{1}{4.35 + \sqrt{18.92 - 6.55}} \\ &= \frac{1}{4.35 + 3.52} \\ &= 0.127 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Facteur de Réduction Obtenu

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un facteur de réduction \(\chi\) de 0.127 est très faible. Cela signifie que le poteau a perdu une grande partie de sa résistance à cause de sa forte sensibilité au flambement. Il ne peut reprendre qu'environ 13% de la charge qu'il aurait pu supporter en compression simple sans risque d'instabilité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le choix de la bonne courbe de flambement (et donc du bon \(\alpha\)) est essentiel. Une erreur de courbe peut mener à un facteur \(\chi\) incorrect et à une évaluation erronée de la sécurité. Toujours vérifier le Tableau 6.2 de l'EN 1993-1-1.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'élancement réduit \(\bar{\lambda}\) fait le lien entre la résistance de la section et la charge critique d'Euler.
Le facteur de réduction \(\chi\) traduit l'effet des imperfections et réduit la résistance du poteau.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les courbes de flambement de l'Eurocode sont le fruit de milliers d'essais en laboratoire réalisés en Europe sur de vrais poteaux dans les années 1960 et 1970. Elles représentent une approche statistique des défauts inévitables de fabrication et de mise en œuvre de l'acier.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'élancement réduit est \(\bar{\lambda}_{\text{y}} = 2.56\) et le facteur de réduction est \(\chi_{\text{y}} = 0.127\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec un élancement réduit \(\bar{\lambda}_{\text{y}} = 1.0\) et la même courbe 'c' (\(\alpha=0.49\)), quel serait le facteur de réduction \(\chi_{\text{y}}\) ?

Question 4 : Calculer la résistance au flambement \(N_{\text{b,Rd}}\) et vérifier la stabilité

Principe (le concept physique)

C'est l'étape finale de la vérification. On calcule la résistance réelle du poteau en appliquant le facteur de réduction \(\chi\) à sa résistance en compression simple. On compare ensuite cette résistance de calcul (\(N_{\text{b,Rd}}\)) à l'effort appliqué (\(N_{\text{Ed}}\)) pour conclure sur la sécurité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance en compression simple, ou "résistance plastique", est la charge maximale que la section peut supporter si elle est très courte et ne peut pas flamber. Elle est donnée par \(N_{\text{pl,Rd}} = A \cdot f_y / \gamma_{M0}\). La résistance au flambement est simplement cette valeur, réduite par le facteur \(\chi\) : \(N_{\text{b,Rd}} = \chi \cdot N_{\text{pl,Rd}}\). (Note : pour le flambement, on utilise \(\gamma_{M1}\) qui vaut généralement 1.0).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La conclusion doit être binaire : soit le poteau est stable, soit il ne l'est pas. Le ratio de travail \(N_{\text{Ed}} / N_{\text{b,Rd}}\) est l'indicateur parfait pour cela. S'il est supérieur à 1.0, le projet doit être modifié (choisir un profilé plus gros, réduire la hauteur, changer les appuis...).

Normes (la référence réglementaire)

La condition de vérification finale est l'équation (6.46) de l'EN 1993-1-1 : \( \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{b,Rd}}} \le 1.0 \).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance au flambement :

N_{\text{b,Rd}} = \chi_{\text{y}} \frac{A \cdot f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M1}}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{M1}}\) pour la vérification de la stabilité des éléments est pris égal à 1.0, comme spécifié dans l'Annexe Nationale.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(\chi_{\text{y}} = 0.127\)
\(A = 5380 \, \text{mm}^2\)
\(f_{\text{y}} = 235 \, \text{MPa}\)
\(\gamma_{\text{M1}} = 1.0\)
\(N_{\text{Ed}} = 350 \, \text{kN} = 350000 \, \text{N}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Après avoir calculé \(N_{\text{b,Rd}}\) en Newtons, convertissez-le immédiatement en kiloNewtons (kN) pour le comparer facilement à la charge appliquée \(N_{\text{Ed}}\) qui est généralement donnée en kN.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison Finale : Effort vs Résistance

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance au flambement :

\begin{aligned} N_{\text{b,Rd}} &= 0.127 \times \frac{5380 \, \text{mm}^2 \times 235 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 0.127 \times 1264300 \, \text{N} \\ &= 160566 \, \text{N} \\ &\Rightarrow 160.6 \, \text{kN} \end{aligned}

2. Vérification de la stabilité :

\begin{aligned} N_{\text{Ed}} &\le N_{\text{b,Rd}} \\ 350 \, \text{kN} &\not\le 160.6 \, \text{kN} \end{aligned}

3. Calcul du ratio de travail :

\begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{b,Rd}}} \\ &= \frac{350 \, \text{kN}}{160.6 \, \text{kN}} \\ &= 2.18 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Verdict de la Stabilité

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le ratio de 2.18 est très supérieur à 1.0. L'effort appliqué est plus de deux fois supérieur à la résistance au flambement du poteau. La conclusion est sans appel : le poteau est très loin d'être stable et va flamber sous la charge de calcul.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'oublier le facteur \(\chi\) et de comparer la charge appliquée à la résistance en compression simple (\(A \cdot f_y\)). Cela donnerait un ratio de 0.28, menant à la conclusion fausse et dangereuse que le poteau est sûr.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La résistance au flambement est la résistance en compression simple, affectée du facteur de réduction \(\chi\).
La condition de sécurité finale est \(N_{\text{Ed}} \le N_{\text{b,Rd}}\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour améliorer la résistance au flambement d'un poteau, les ingénieurs peuvent ajouter des "contreventements". Ce sont des barres diagonales qui viennent bloquer le déplacement latéral du poteau à mi-hauteur, par exemple. Cela a pour effet de diviser sa longueur de flambement par deux, et donc de multiplier sa résistance théorique par quatre !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Puisque \(N_{\text{Ed}} = 350 \, \text{kN} > N_{\text{b,Rd}} = 160.6 \, \text{kN}\), le poteau **n'est pas stable** au flambement.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec une résistance au flambement de 250 kN, quel serait l'effort maximal \(N_{\text{Ed}}\) (en kN) que le poteau pourrait supporter ?

Outil Interactif : Simulateur de Stabilité

Modifiez la hauteur du poteau et son profilé pour voir leur influence sur la résistance au flambement et la sécurité.

Paramètres d'Entrée

Hauteur du poteau h (m) 6.0 m

Profilé du poteau

Effort de compression N_Ed (kN) 350 kN

Résultats Clés

Élancement (\(\lambda_{\text{y}}\)) -

Résistance au flambement (\(N_{\text{b,Rd}}\)) - kN

Ratio de travail (\(N_{\text{Ed}} / N_{\text{b,Rd}}\)) -

Le Saviez-Vous ?

Le Burj Khalifa à Dubaï, la plus haute structure du monde, a une forme spécifique en "Y" non pas pour des raisons esthétiques, mais pour des raisons de stabilité. Cette forme lui confère une excellente résistance aux forces du vent et prévient les phénomènes d'instabilité, comme le flottement ou le tourbillon de Karman, qui pourraient affecter une tour aussi élancée.

Foire Aux Questions (FAQ)

Doit-on aussi vérifier le flambement autour de l'axe fort (z-z) ?

Oui, en théorie, il faut vérifier le flambement autour des deux axes. Cependant, dans un portique, les poteaux sont souvent maintenus dans la direction perpendiculaire au plan du portique par des lisses de bardage. Ces lisses agissent comme des appuis intermédiaires, réduisant considérablement la longueur de flambement hors plan. Le flambement dans le plan du portique (autour de l'axe faible) est donc presque toujours le cas le plus défavorable.

Qu'est-ce que le déversement ?

Le déversement est un autre type d'instabilité qui affecte les poutres soumises à de la flexion (comme la traverse d'un portique). La semelle comprimée de la poutre se comporte comme un poteau et peut "flamber" latéralement. C'est un phénomène complexe qui combine flexion et torsion, et qui doit également être vérifié selon l'Eurocode 3.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour augmenter la résistance au flambement d'un poteau, la solution la plus efficace est de :

Prendre un acier plus résistant (S355 au lieu de S235)
Augmenter l'épaisseur de l'âme du profilé
Choisir un profilé avec un plus grand moment d'inertie \(I_{\text{y}}\)

2. Un poteau très court et massif (élancement très faible) se rompra probablement par :

Écrasement (plastification de la section)
Flambement élastique
Déversement

Flambement: Phénomène d'instabilité d'une pièce élancée soumise à un effort de compression, qui se traduit par une déformation de flexion soudaine et importante, sans que le matériau n'ait atteint sa limite de rupture.
Élancement (\(\lambda\)): Rapport sans dimension entre la longueur de flambement d'un élément et son rayon de giration. C'est un indicateur clé de sa sensibilité au flambement.
Longueur de Flambement (\(L_{\text{cr}}\)): Longueur d'une barre articulée-articulée théorique qui aurait la même charge critique que l'élément réel avec ses conditions d'appuis spécifiques. Elle est souvent exprimée comme un multiple de la longueur réelle de l'élément.