Dimensionnement d'une Poutre IPE

Comprendre le Dimensionnement d'une Poutre IPE en Acier

Le dimensionnement d'une poutre en acier profilé IPE (Profilé Européen à ailes parallèles) en flexion simple à l'État Limite Ultime (ELU) consiste à vérifier que la poutre peut supporter les charges de calcul sans dépasser sa capacité portante. Cela implique de calculer le moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)) et l'effort tranchant de calcul (\(V_{\text{Ed}}\)), puis de les comparer aux résistances de calcul correspondantes de la section (\(M_{c,Rd}\) et \(V_{pl,Rd}\)). La classification de la section est une étape préliminaire essentielle pour déterminer si un calcul plastique ou élastique de la résistance en flexion est approprié. Pour les poutres IPE courantes, on s'attend généralement à une section de Classe 1 ou 2, permettant un calcul plastique. Il faut également s'assurer que le déversement (instabilité latérale-torsionnelle) est prévenu si la poutre n'est pas maintenue latéralement de manière continue ; cet exercice supposera un maintien latéral adéquat pour se concentrer sur la flexion simple.

Données de l'étude

On étudie une poutre en acier IPE 200, de nuance S275, simplement appuyée à ses extrémités et soumise à des charges uniformément réparties. On suppose que la poutre est maintenue latéralement contre le déversement.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

Profilé : IPE 200
Nuance d'acier : S275 (\(f_y = 275 \, \text{MPa}\), \(f_u = 430 \, \text{MPa}\))
Portée (longueur entre appuis \(L\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
Conditions d'appui : Simplement appuyée.
Maintien latéral : Supposé suffisant pour empêcher le déversement.
Caractéristiques du profilé IPE 200 (valeurs typiques) :
- Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
- Largeur des ailes (\(b_f\)) : \(100 \, \text{mm}\)
- Épaisseur de l'âme (\(t_w\)) : \(5.6 \, \text{mm}\)
- Épaisseur des ailes (\(t_f\)) : \(8.5 \, \text{mm}\)
- Rayon de congé (\(r\)) : \(12 \, \text{mm}\)
- Aire de la section (\(A\)) : \(28.5 \, \text{cm}^2 = 2850 \, \text{mm}^2\)
- Poids propre : \(22.4 \, \text{kg/m}\)
- Module de flexion élastique (\(W_{\text{el,y}}\)) : \(194 \, \text{cm}^3 = 194000 \, \text{mm}^3\)
- Module de flexion plastique (\(W_{\text{pl,y}}\)) : \(221 \, \text{cm}^3 = 221000 \, \text{mm}^3\)
- Aire de cisaillement (\(A_v\)) : \(14.02 \, \text{cm}^2 = 1402 \, \text{mm}^2\) (valeur indicative, calculée \(A_v = A - 2 b_f t_f + (t_w + 2r)t_f \approx 1401.6 \, \text{mm}^2\))

Charges caractéristiques (linéiques sur la poutre) :

Charges permanentes (hors poids propre de la poutre, \(g'_k\)) : \(5.0 \, \text{kN/m}\)
Charges d'exploitation (\(q_k\)) : \(8.0 \, \text{kN/m}\)

Coefficients partiels de sécurité (Eurocode 3) :

Pour les charges permanentes (\(\gamma_G\)) : \(1.35\)
Pour les charges d'exploitation (\(\gamma_Q\)) : \(1.5\)
Pour la résistance du matériau (\(\gamma_{M0}\)) : \(1.0\)
Pour la résistance à l'instabilité (\(\gamma_{M1}\)) : \(1.0\) (non directement utilisé ici car déversement prévenu)

Schéma : Poutre IPE et Charges

Poutre IPE sur appuis simples avec charge répartie de calcul \(q_d\).

Questions à traiter

Calculer le poids propre caractéristique de la poutre IPE 200 (\(g_{\text{k,pp}}\)) en kN/m.
Calculer la charge permanente caractéristique totale (\(G_k\)) par mètre linéaire.
Déterminer la charge de calcul uniformément répartie (\(q_d\)) sur la poutre à l'ELU.
Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)).
Calculer l'effort tranchant maximal de calcul (\(V_{\text{Ed}}\)).
Classifier la section IPE 200 en acier S275.
Calculer la résistance plastique au moment fléchissant de la section (\(M_{\text{pl,Rd}}\)).
Vérifier la résistance de la section à la flexion : \(M_{\text{Ed}} \leq M_{\text{pl,Rd}}\).
Calculer la résistance plastique au cisaillement de la section (\(V_{\text{pl,Rd}}\)).
Vérifier la résistance de la section au cisaillement : \(V_{\text{Ed}} \leq V_{\text{pl,Rd}}\).
Vérifier si l'effort tranchant affecte la résistance au moment fléchissant (\(V_{\text{Ed}} \leq 0.5 \cdot V_{\text{pl,Rd}}\)). Conclure.

Correction : Dimensionnement d'une Poutre IPE

Question 1 : Poids Propre Caractéristique de la Poutre (\(g_{\text{k,pp}}\))

Principe :

Le poids propre est donné en kg/m, il faut le convertir en kN/m.

Données spécifiques :

Poids propre IPE 200 : \(22.4 \, \text{kg/m}\)
Accélération due à la pesanteur (\(g\)) : \(\approx 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul :

\begin{aligned} g_{\text{k,pp}} &= 22.4 \, \text{kg/m} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 219.744 \, \text{N/m} \\ &\approx 0.2197 \, \text{kN/m} \end{aligned}

On arrondit à \(g_{\text{k,pp}} \approx 0.220 \, \text{kN/m}\).

Résultat Question 1 : Le poids propre caractéristique de la poutre est \(g_{\text{k,pp}} \approx 0.220 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Charge Permanente Caractéristique Totale (\(G_k\))

Principe :

La charge permanente totale est la somme du poids propre de la poutre et des autres charges permanentes appliquées.

Formule(s) utilisée(s) :

G_k = g'_{\text{k}} + g_{\text{k,pp}}

Données spécifiques :

Autres charges permanentes (\(g'_k\)) : \(5.0 \, \text{kN/m}\)
Poids propre (\(g_{\text{k,pp}}\)) : \(0.220 \, \text{kN/m}\)

Calcul :

\begin{aligned} G_k &= 5.0 \, \text{kN/m} + 0.220 \, \text{kN/m} \\ &= 5.220 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La charge permanente caractéristique totale est \(G_k = 5.220 \, \text{kN/m}\).

Question 3 : Charge de Calcul Uniformément Répartie (\(q_d\))

Principe :

La charge de calcul à l'ELU est obtenue en appliquant les coefficients partiels de sécurité aux charges caractéristiques permanentes (\(G_k\)) et variables (\(Q_k = q_k\)).

Formule(s) utilisée(s) (Combinaison ELU fondamentale) :

q_d = \gamma_G \cdot G_k + \gamma_Q \cdot Q_k

Données spécifiques :

\(G_k = 5.220 \, \text{kN/m}\)
Charges d'exploitation (\(Q_k = q_k\)) : \(8.0 \, \text{kN/m}\)
\(\gamma_G = 1.35\)
\(\gamma_Q = 1.5\)

Calcul :

\begin{aligned} q_d &= (1.35 \cdot 5.220 \, \text{kN/m}) + (1.5 \cdot 8.0 \, \text{kN/m}) \\ &= 7.047 \, \text{kN/m} + 12.0 \, \text{kN/m} \\ &= 19.047 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La charge de calcul uniformément répartie est \(q_d = 19.047 \, \text{kN/m}\).

Question 4 : Moment Fléchissant Maximal de Calcul (\(M_{\text{Ed}}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, le moment maximal se situe au milieu de la portée.

Formule(s) utilisée(s) :

M_{\text{Ed}} = \frac{q_d \cdot L^2}{8}

Données spécifiques :

\(q_d = 19.047 \, \text{kN/m}\)
Portée (\(L\)) : \(5.0 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{19.047 \, \text{kN/m} \cdot (5.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{19.047 \cdot 25}{8} \, \text{kNm} \\ &= \frac{476.175}{8} \, \text{kNm} \\ &\approx 59.522 \, \text{kNm} \\ &\approx 59.522 \times 10^6 \, \text{Nmm} \end{aligned}

Résultat Question 4 : Le moment fléchissant maximal de calcul est \(M_{\text{Ed}} \approx 59.52 \, \text{kNm}\).

Question 5 : Effort Tranchant Maximal de Calcul (\(V_{\text{Ed}}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, l'effort tranchant maximal se produit aux appuis.

Formule(s) utilisée(s) :

V_{\text{Ed}} = \frac{q_d \cdot L}{2}

Données spécifiques :

\(q_d = 19.047 \, \text{kN/m}\)
Portée (\(L\)) : \(5.0 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{19.047 \, \text{kN/m} \cdot 5.0 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{95.235 \, \text{kN}}{2} \\ &\approx 47.618 \, \text{kN} \\ &\approx 47618 \, \text{N} \end{aligned}

Résultat Question 5 : L'effort tranchant maximal de calcul est \(V_{\text{Ed}} \approx 47.62 \, \text{kN}\).

Question 6 : Classification de la Section IPE 200 (S275)

Principe :

La classification de la section (Classe 1, 2, 3 ou 4) dépend des rapports largeur/épaisseur de ses parois (ailes et âme) et de la limite d'élasticité de l'acier. Elle détermine si la section peut atteindre sa pleine capacité plastique. Pour S275, \(f_y = 275 \, \text{MPa}\). Le paramètre \(\epsilon = \sqrt{235/f_y}\).

Calcul de \(\epsilon\) :

\epsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}} = \sqrt{\frac{235}{275}} \approx \sqrt{0.8545} \approx 0.924

Classification des ailes (en compression due à la flexion) :

Partie en porte-à-faux de l'aile : \(c = (b_f - t_w - 2r)/2\). Pour un IPE, il est plus simple d'utiliser \(c = (b_f/2) - (t_w/2) - r\) ou directement la valeur de \(c\) issue des tableaux de profilés si disponible, ou \(c_{f} = (b_f - t_w)/2 - r\). Utilisons la définition de l'Eurocode 3 pour les parties en console des ailes : \(c = (b_f - t_w - 2r)/2\). Ici, \(c = (100 \, \text{mm} - 5.6 \, \text{mm} - 2 \cdot 12 \, \text{mm})/2 = (100 - 5.6 - 24)/2 = 70.4/2 = 35.2 \, \text{mm}\).

Rapport \(c/t_f = 35.2 \, \text{mm} / 8.5 \, \text{mm} \approx 4.14\).

Limite pour Classe 1 (ailes en compression) : \(c/t_f \leq 9\epsilon = 9 \cdot 0.924 = 8.316\).

Comme \(4.14 \leq 8.316\), les ailes sont de Classe 1.

Classification de l'âme (en flexion) :

Hauteur de l'âme comprimée (ou hauteur droite de l'âme) : \(d = h - 2t_f - 2r = 200 \, \text{mm} - 2 \cdot 8.5 \, \text{mm} - 2 \cdot 12 \, \text{mm} = 200 - 17 - 24 = 159 \, \text{mm}\).

Rapport \(d/t_w = 159 \, \text{mm} / 5.6 \, \text{mm} \approx 28.39\).

Limite pour Classe 1 (âme en flexion) : \(d/t_w \leq 72\epsilon = 72 \cdot 0.924 = 66.528\).

Comme \(28.39 \leq 66.528\), l'âme est de Classe 1.

Résultat Question 6 : La section IPE 200 en acier S275 est de Classe 1.

Question 7 : Résistance Plastique au Moment Fléchissant (\(M_{\text{pl,Rd}}\))

Principe :

Pour une section de Classe 1 ou 2, la résistance au moment fléchissant est calculée en utilisant le module de flexion plastique \(W_{\text{pl,y}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

M_{\text{pl,Rd}} = \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_y}{\gamma_{M0}}

Données spécifiques :

\(W_{\text{pl,y}} = 221000 \, \text{mm}^3\)
\(f_y = 275 \, \text{MPa} = 275 \, \text{N/mm}^2\)
\(\gamma_{M0} = 1.0\)

Calcul :

\begin{aligned} M_{\text{pl,Rd}} &= \frac{221000 \, \text{mm}^3 \cdot 275 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 60775000 \, \text{Nmm} \\ &= 60.775 \, \text{kNm} \end{aligned}

Résultat Question 7 : La résistance plastique au moment fléchissant est \(M_{\text{pl,Rd}} \approx 60.78 \, \text{kNm}\).

Question 8 : Vérification de la Résistance à la Flexion

Principe :

Il faut vérifier que le moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)) est inférieur ou égal à la résistance au moment fléchissant de la section (\(M_{\text{pl,Rd}}\)).

Condition :

M_{\text{Ed}} \leq M_{\text{pl,Rd}}

Données :

\(M_{\text{Ed}} \approx 59.52 \, \text{kNm}\)
\(M_{\text{pl,Rd}} \approx 60.78 \, \text{kNm}\)

Vérification :

59.52 \, \text{kNm} \leq 60.78 \, \text{kNm} \quad (\text{OK})

La condition est vérifiée. Le taux de travail est \(\frac{59.52}{60.78} \approx 0.979\) (soit 97.9%).

Résultat Question 8 : La poutre IPE 200 résiste à la flexion.

Question 9 : Résistance Plastique au Cisaillement (\(V_{\text{pl,Rd}}\))

Principe :

La résistance plastique au cisaillement est calculée à partir de l'aire de cisaillement \(A_v\) et de la limite d'élasticité.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3) :

V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_v \cdot (f_y / \sqrt{3})}{\gamma_{M0}}

Données spécifiques :

\(A_v = 1401.6 \, \text{mm}^2\) (valeur calculée précédemment, ou \(1402 \, \text{mm}^2\))
\(f_y = 275 \, \text{N/mm}^2\)
\(\gamma_{M0} = 1.0\)

Calcul :

\begin{aligned} V_{\text{pl,Rd}} &= \frac{1401.6 \, \text{mm}^2 \cdot (275 \, \text{N/mm}^2 / \sqrt{3})}{1.0} \\ &\approx \frac{1401.6 \cdot (275 / 1.732)}{1.0} \, \text{N} \\ &\approx \frac{1401.6 \cdot 158.776}{1.0} \, \text{N} \\ &\approx 222498 \, \text{N} \\ &\approx 222.50 \, \text{kN} \end{aligned}

Résultat Question 9 : La résistance plastique au cisaillement est \(V_{\text{pl,Rd}} \approx 222.50 \, \text{kN}\).

Question 10 : Vérification de la Résistance au Cisaillement

Principe :

Il faut vérifier que l'effort tranchant de calcul (\(V_{\text{Ed}}\)) est inférieur ou égal à la résistance au cisaillement de la section (\(V_{\text{pl,Rd}}\)).

Condition :

V_{\text{Ed}} \leq V_{\text{pl,Rd}}

Données :

\(V_{\text{Ed}} \approx 47.62 \, \text{kN}\)
\(V_{\text{pl,Rd}} \approx 222.50 \, \text{kN}\)

Vérification :

47.62 \, \text{kN} \leq 222.50 \, \text{kN} \quad (\text{OK})

La condition est vérifiée. Le taux de travail au cisaillement est \(\frac{47.62}{222.50} \approx 0.214\) (soit 21.4%).

Résultat Question 10 : La poutre IPE 200 résiste au cisaillement.

Question 11 : Vérification de l'Effet de l'Effort Tranchant sur le Moment Résistant

Principe :

Si l'effort tranchant de calcul \(V_{\text{Ed}}\) est inférieur à 50% de la résistance plastique au cisaillement \(V_{\text{pl,Rd}}\), son effet sur la résistance au moment fléchissant peut être négligé. Sinon, une réduction de la résistance au moment doit être considérée.

Condition :

V_{\text{Ed}} \leq 0.5 \cdot V_{\text{pl,Rd}}

Calcul du seuil :

0.5 \cdot V_{\text{pl,Rd}} = 0.5 \cdot 222.50 \, \text{kN} = 111.25 \, \text{kN}

Vérification :

V_{\text{Ed}} \approx 47.62 \, \text{kN}\] \[47.62 \, \text{kN} \leq 111.25 \, \text{kN} \quad (\text{OK})

La condition est vérifiée.

Résultat Question 11 : L'effort tranchant est suffisamment faible pour ne pas réduire la résistance au moment fléchissant de la poutre. La vérification en flexion simple est donc suffisante sans interaction moment-cisaillement.

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(V_{\text{Ed}}\) était de \(120 \, \text{kN}\), quelle serait la conséquence ?

Il faudrait réduire la résistance au moment fléchissant.
La poutre romprait instantanément par cisaillement.
Aucune conséquence, tant que \(V_{\text{Ed}} \leq V_{\text{pl,Rd}}\).

Glossaire

IPE (Profilé Européen à ailes parallèles): Type de profilé en acier couramment utilisé dans la construction, caractérisé par des ailes à faces parallèles et une âme centrale.
S275: Nuance d'acier de construction non allié, avec une limite d'élasticité minimale (\(f_y\)) de \(275 \, \text{MPa}\) pour les épaisseurs de référence.
ELU (État Limite Ultime): État limite associé à la ruine ou à d'autres formes de défaillance structurale.
Classification de section (Acier): Processus de détermination de la capacité d'une section à atteindre et maintenir sa pleine capacité plastique sans subir de voilement local. Les classes vont de 1 (pleine capacité plastique) à 4 (voilement local avant atteinte de la limite élastique).
\(f_y\) (Limite d'élasticité): Contrainte à partir de laquelle un matériau commence à se déformer plastiquement (de manière permanente).
\(W_{\text{el,y}}\) (Module de flexion élastique): Propriété géométrique d'une section utilisée pour calculer la contrainte de flexion maximale dans le domaine élastique.
\(W_{\text{pl,y}}\) (Module de flexion plastique): Propriété géométrique d'une section utilisée pour calculer le moment de résistance plastique en flexion.
\(A_v\) (Aire de cisaillement): Aire efficace de la section qui résiste à l'effort tranchant.
\(\gamma_{M0}, \gamma_{M1}\) (Coefficients partiels de sécurité pour la résistance): Coefficients appliqués aux résistances des matériaux pour tenir compte des incertitudes. \(\gamma_{M0}\) est pour la résistance des sections, \(\gamma_{M1}\) pour la résistance à l'instabilité.
Déversement (Flambement Latéral-Torsionnel): Phénomène d'instabilité des poutres fléchies non maintenues latéralement, où la poutre se déplace latéralement et se tord simultanément.

Dimensionnement d’une Poutre IPE

Données de l'étude

Schéma : Poutre IPE et Charges

Questions à traiter

Correction : Dimensionnement d'une Poutre IPE

Question 1 : Poids Propre Caractéristique de la Poutre (\(g_{\text{k,pp}}\))

Principe :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 2 : Charge Permanente Caractéristique Totale (\(G_k\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 3 : Charge de Calcul Uniformément Répartie (\(q_d\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) (Combinaison ELU fondamentale) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 4 : Moment Fléchissant Maximal de Calcul (\(M_{\text{Ed}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 5 : Effort Tranchant Maximal de Calcul (\(V_{\text{Ed}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 6 : Classification de la Section IPE 200 (S275)

Principe :

Calcul de \(\epsilon\) :

Classification des ailes (en compression due à la flexion) :

Classification de l'âme (en flexion) :

Question 7 : Résistance Plastique au Moment Fléchissant (\(M_{\text{pl,Rd}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 8 : Vérification de la Résistance à la Flexion

Principe :

Condition :

Données :

Vérification :

Question 9 : Résistance Plastique au Cisaillement (\(V_{\text{pl,Rd}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 10 : Vérification de la Résistance au Cisaillement

Principe :

Condition :

Données :

Vérification :

Question 11 : Vérification de l'Effet de l'Effort Tranchant sur le Moment Résistant

Principe :

Condition :

Calcul du seuil :

Vérification :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

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