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Dimensionnement d’une Poutre IPE

Dimensionnement d’une Poutre IPE

Dimensionnement d’une Poutre IPE

Contexte : Plancher d'un bâtiment de bureaux.

Les planchers mixtes acier-béton sont une solution très courante pour les bâtiments de bureaux ou commerciaux. Ils sont constitués de poutres en acier (solives) supportant une dalle en béton. Le dimensionnement de ces solives est crucial car elles reprennent le poids de la dalle, des revêtements, des cloisons, ainsi que les charges d'exploitation (mobilier, personnes). Cet exercice se concentre sur la vérification d'une solive IPE, simplement appuyée à ses extrémités, selon l'Eurocode 3Ensemble de normes européennes pour le calcul des structures en acier. Il définit les méthodes de calcul pour garantir la résistance, la stabilité et la durabilité des constructions. et l'Eurocode 4Norme européenne dédiée au calcul des structures mixtes acier-béton..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous fera parcourir la démarche complète de dimensionnement d'un élément de plancher. Nous allons d'abord déterminer la "bande de chargement" reprise par une seule poutre, calculer les charges surfaciques, les convertir en charge linéique, puis appliquer la même méthode que pour la charpente : calculs ELU et ELS pour valider ou non le choix d'un profilé.

Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer la surface d'influence et la bande de chargement d'une solive.
  • Calculer les charges permanentes (G) et d'exploitation (Q) sur un plancher.
  • Appliquer les combinaisons d'actions ELU et ELS.
  • Dimensionner un profilé IPE à la flexion et vérifier la condition de flèche.
  • Comprendre l'interaction entre l'espacement des poutres et leur dimensionnement.

Données de l'étude

On étudie une solive métallique (poutre IPE) d'un plancher de bureaux. Les solives sont espacées régulièrement et supportent une dalle en béton armé. Chaque solive est considérée comme une poutre sur deux appuis simples.

Schéma du plancher et de la solive étudiée
Poutre A Poutre B Solive étudiée Bande de chargement Portée, L = 8.0 m Entraxe, E = 2.5 m
Schéma 3D interactif du plancher
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la solive \(L\) 8.0 \(\text{m}\)
Entraxe des solives \(E\) 2.5 \(\text{m}\)
Épaisseur dalle béton \(h_{\text{d}}\) 15 \(\text{cm}\)
Charges permanentes additionnelles (hors dalle) \(G_{\text{add}}\) 1.5 \(\text{kN/m}^2\)
Charges d'exploitation (bureaux) \(Q\) 2.5 \(\text{kN/m}^2\)
Masse volumique béton armé \(\rho_{\text{BA}}\) 25 \(\text{kN/m}^3\)
Nuance de l'acier - S275 -
Limite d'élasticité \(f_y\) 275 \(\text{MPa}\)
Limite de flèche admissible \(f_{\text{adm}}\) L / 300 -

Questions à traiter

  1. Calculer les charges surfaciques permanentes (\(G\)) et d'exploitation (\(Q\)).
  2. Déterminer la charge linéique de calcul à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\)) appliquée sur la solive.
  3. Calculer le moment fléchissant maximal (\(M_{\text{Ed}}\)) et choisir un profilé IPE adapté.
  4. Vérifier la flèche du profilé choisi à l'ELS sous la charge d'exploitation seule.

Les bases du dimensionnement de plancher

Ce calcul introduit la notion de charges surfaciques, qu'il faut transformer en charges linéiques.

1. De la charge surfacique à la charge linéique :
Les charges de plancher sont données en force par unité de surface (kN/m²). Pour calculer une poutre, il faut connaître la charge par unité de longueur (kN/m). On obtient cette charge linéique (\(p\)) en multipliant la charge surfacique (\(q\)) par la "bande de chargement", qui est l'entraxe (\(E\)) entre les poutres. \[ p \, (\text{en kN/m}) = q \, (\text{en kN/m}^2) \times E \, (\text{en m}) \]

2. Combinaisons d'actions pour un plancher :
Les combinaisons sont similaires à celles de la toiture. La charge d'exploitation est notée Q.

  • ELU : \(p_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G_{\text{lin}} + 1.5 \cdot Q_{\text{lin}}\)
  • ELS : \(p_{\text{ser}} = G_{\text{lin}} + Q_{\text{lin}}\)

3. Vérification de la flèche pour un plancher :
La vérification de la flèche est souvent plus stricte pour un plancher que pour une toiture, afin de garantir le confort des usagers et d'éviter d'endommager les cloisons. Une limite courante est L/300. De plus, on vérifie souvent la flèche due aux seules charges d'exploitation (\(Q\)), car la flèche due aux charges permanentes (\(G\)) peut être compensée par une contre-flèche à la fabrication.

Correction : Dimensionnement d’une Poutre IPE

Question 1 : Calculer les charges surfaciques G et Q

Principe (le concept physique)

Avant tout, il faut identifier toutes les charges qui s'appliquent sur le plancher. On les sépare en deux catégories : les charges permanentes (G), qui sont toujours présentes (poids propre de la structure, revêtements, plafonds...), et les charges d'exploitation (Q), qui sont variables et dépendent de l'usage du local (mobilier, personnes, stockages légers...).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les charges sont définies par leurs valeurs "caractéristiques" (\(G_k, Q_k\)), qui ont une faible probabilité d'être dépassées pendant la durée de vie de l'ouvrage. Les charges permanentes (poids propre) sont considérées comme peu variables, tandis que les charges d'exploitation (liées à l'usage) sont beaucoup plus incertaines, ce qui justifie des coefficients de sécurité différents.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape est un "inventaire" des poids. Le poids de la dalle béton est souvent la charge permanente la plus importante. N'oubliez pas de convertir son épaisseur en mètres pour le calcul de son poids surfacique.

Normes (la référence réglementaire)

Les valeurs des charges d'exploitation sont données par la norme NF EN 1991-1-1 (Eurocode 1). Pour un local à usage de bureaux, la norme préconise une charge uniformément répartie de \(q_k = 2.5 \, \text{kN/m}^2\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Poids propre de la dalle béton :

\[ G_{\text{dalle}} = \rho_{\text{BA}} \times h_{\text{d}} \]

Charge permanente totale :

\[ G_{\text{total}} = G_{\text{dalle}} + G_{\text{add}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la masse volumique du béton armé est uniforme et que les charges additionnelles (revêtements, faux-plafond) sont réparties de manière homogène sur toute la surface du plancher.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Masse volumique béton armé, \(\rho_{\text{BA}} = 25 \, \text{kN/m}^3\)
  • Épaisseur dalle, \(h_{\text{d}} = 15 \, \text{cm} = 0.15 \, \text{m}\)
  • Charges permanentes additionnelles, \(G_{\text{add}} = 1.5 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charges d'exploitation, \(Q = 2.5 \, \text{kN/m}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La valeur de 25 kN/m³ pour le béton armé est une valeur standard à mémoriser. Elle inclut le poids du béton lui-même et un forfait pour les armatures en acier qu'il contient. Cela simplifie grandement les pré-dimensionnements.

Schéma (Avant les calculs)
Composition des charges sur 1m² de plancher
G_dalle = ?+G_add=G_total = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du poids propre de la dalle :

\[ \begin{aligned} G_{\text{dalle}} &= 25 \, \text{kN/m}^3 \times 0.15 \, \text{m} \\ &= 3.75 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul de la charge permanente totale :

\[ \begin{aligned} G_{\text{total}} &= G_{\text{dalle}} + G_{\text{add}} \\ &= 3.75 \, \text{kN/m}^2 + 1.5 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 5.25 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charges surfaciques finales
G = 5.25 kN/m²Q = 2.5 kN/m²
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge permanente totale (5.25 kN/m²) est plus de deux fois supérieure à la charge d'exploitation (2.5 kN/m²). C'est une situation très courante pour les planchers en béton, où le poids propre de la structure est le facteur de charge dominant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier les charges permanentes additionnelles ! Omettre le poids des revêtements de sol, des faux-plafonds ou des cloisons légères est une erreur qui peut conduire à un sous-dimensionnement. La valeur de 1.5 kN/m² est un forfait courant pour ces éléments.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Toujours séparer les charges permanentes (G) des charges d'exploitation (Q).
  • Le poids propre est une charge permanente majeure.
  • Les charges sont d'abord calculées par unité de surface (en kN/m²).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour réduire les charges permanentes, les ingénieurs ont développé des dalles alvéolées. Ce sont des dalles en béton préfabriquées avec des vides longitudinaux, ce qui allège considérablement leur poids tout en conservant une grande partie de leur résistance et de leur rigidité.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si des cloisons lourdes sont prévues ?

Si l'emplacement des cloisons lourdes (ex: en maçonnerie) est connu, elles sont modélisées comme des charges linéiques additionnelles sur les solives concernées. Si leur emplacement est flexible, leur poids est converti en une charge surfacique équivalente et ajouté aux charges permanentes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les charges surfaciques sont : \(G = 5.25 \, \text{kN/m}^2\) et \(Q = 2.5 \, \text{kN/m}^2\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'épaisseur de la dalle était de 18 cm, quelle serait la nouvelle charge permanente totale G (en kN/m²) ?

Question 2 : Déterminer la charge linéique de calcul ELU (\(p_{\text{Ed}}\))

Principe (le concept physique)

Chaque solive supporte une portion du plancher. Cette "bande de chargement" a une largeur égale à l'entraxe (E) entre les solives. Pour obtenir la charge par mètre de solive (charge linéique), on multiplie les charges surfaciques (G et Q) par cet entraxe. Ensuite, on applique les coefficients de sécurité ELU pour obtenir la charge de calcul finale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La notion de "surface tributaire" ou "surface d'influence" est fondamentale en calcul de structures. Pour un réseau régulier de poutres, chaque poutre intérieure reprend la charge sur une surface égale à sa portée multipliée par son entraxe. La charge totale sur la poutre est donc \( (G_{\text{surf}} + Q_{\text{surf}}) \times L \times E \).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette étape est la traduction cruciale entre la conception d'ensemble du plancher (charges sur une surface) et le calcul d'un élément individuel (charges sur une ligne). Une bonne visualisation de la bande de chargement est essentielle pour ne pas se tromper.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison d'actions fondamentale à l'ELU est définie dans l'Eurocode 0 (NF EN 1990). Pour les bâtiments, la formule la plus courante est \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\), où 1.35 et 1.5 sont les coefficients partiels de sécurité (\(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charges linéiques :

\[ G_{\text{lin}} = G_{\text{surf}} \times E \]
\[ Q_{\text{lin}} = Q_{\text{surf}} \times E \]

Combinaison ELU :

\[ p_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G_{\text{lin}} + 1.5 \cdot Q_{\text{lin}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les solives sont parallèles, équidistantes, et que la dalle répartit les charges uniformément. On ne considère pas les effets de continuité ou de redistribution des charges entre solives.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente surfacique, \(G_{\text{surf}} = 5.25 \, \text{kN/m}^2\) (de Q1)
  • Charge d'exploitation surfacique, \(Q_{\text{surf}} = 2.5 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe des solives, \(E = 2.5 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Il est plus sûr de calculer d'abord les charges linéiques \(G_{\text{lin}}\) et \(Q_{\text{lin}}\) séparément, puis d'appliquer la formule de combinaison. Appliquer les coefficients de sécurité sur les charges surfaciques puis multiplier par l'entraxe donne le même résultat, mais la première méthode est plus claire et moins sujette à erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Transformation de charge surfacique en linéique
q (kN/m²)×E (m)=p (kN/m)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des charges linéiques :

\[ \begin{aligned} G_{\text{lin}} &= 5.25 \, \text{kN/m}^2 \times 2.5 \, \text{m} \\ &= 13.125 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_{\text{lin}} &= 2.5 \, \text{kN/m}^2 \times 2.5 \, \text{m} \\ &= 6.25 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul de la charge de calcul ELU :

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot (13.125 \, \text{kN/m}) + 1.5 \cdot (6.25 \, \text{kN/m}) \\ &= 17.72 \, \text{kN/m} + 9.375 \, \text{kN/m} \\ &= 27.095 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge linéique de calcul sur la solive
p_Ed = 27.1 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge de 27.1 kN/m est considérable. Elle représente le poids de 2.7 tonnes réparti sur chaque mètre de la solive, en tenant compte des coefficients de sécurité. C'est cette valeur qui sera utilisée pour dimensionner la poutre en résistance.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de multiplier par l'entraxe et d'utiliser directement les charges surfaciques dans les formules de poutre. Cela conduirait à un sous-dimensionnement très dangereux de la structure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge linéique est le produit de la charge surfacique par l'entraxe.
  • Les coefficients de sécurité ELU (1.35 et 1.5) sont appliqués aux charges linéiques.
  • L'ordre des opérations est important : d'abord la géométrie (entraxe), ensuite la sécurité (coefficients).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les poutres de rive (en bordure de plancher), la bande de chargement est généralement divisée par deux, car elles ne supportent le plancher que d'un seul côté. Elles sont donc soumises à une charge environ deux fois plus faible que les poutres intérieures.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les coefficients de sécurité sont-ils différents ?

Le coefficient pour les charges permanentes (\(\gamma_G=1.35\)) est plus faible que celui pour les charges d'exploitation (\(\gamma_Q=1.5\)) car les charges permanentes (poids propre) sont beaucoup mieux connues et moins variables dans le temps. Le coefficient plus élevé pour Q reflète une plus grande incertitude sur sa valeur réelle au cours de la vie du bâtiment.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge répartie de calcul à l'ELU est \(p_{\text{Ed}} = 27.1 \, \text{kN/m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'entraxe E était de 3.0 m, quelle serait la nouvelle charge \(p_{\text{Ed}}\) en kN/m ?

Question 3 : Calculer \(M_{\text{Ed}}\) et choisir un profilé IPE

Principe (le concept physique)

Avec la charge linéique de calcul \(p_{\text{Ed}}\) et la portée \(L\), on calcule le moment fléchissant maximal \(M_{\text{Ed}}\) que la solive doit supporter. On en déduit le module de section plastique requis (\(W_{\text{pl,y,req}}\)) pour un acier S275, puis on cherche dans un catalogue le profilé IPE le plus léger qui satisfait cette exigence.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La forme en "I" d'un profilé IPE est optimisée pour la flexion. Les semelles (parties horizontales) sont éloignées de l'axe neutre pour reprendre efficacement la compression et la traction, tandis que l'âme (partie verticale) sert principalement à reprendre l'effort tranchant. Le module de section plastique \(W_{\text{pl}}\) quantifie cette efficacité géométrique à résister au moment fléchissant en mode plastique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le cœur de la conception d'un élément : on confronte une "sollicitation" (le moment \(M_{\text{Ed}}\) que la poutre subit) à une "résistance" (le moment \(M_{\text{Rd}}\) que la poutre peut supporter). Le but est de choisir l'élément le plus économique pour lequel la résistance est supérieure ou égale à la sollicitation.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la résistance en flexion est régie par l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1), section 6.2.5. Pour les profilés IPE standards, la section est de Classe 1, ce qui signifie qu'elle peut développer entièrement sa capacité de moment plastique sans voiler localement. Cela autorise l'utilisation de \(W_{\text{pl}}\) pour le calcul.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment maximal :

\[ M_{\text{Ed,max}} = \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \]

Module de section requis :

\[ W_{\text{pl,y,req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{\text{M0}}}{f_y} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la dalle en béton, connectée à la semelle supérieure de la poutre, empêche tout risque de déversement (flambement latéral de la semelle comprimée). Cette hypothèse simplifie le calcul en n'exigeant pas de vérification de stabilité complexe.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul, \(p_{\text{Ed}} = 27.095 \, \text{kN/m}\)
  • Portée de la solive, \(L = 8.0 \, \text{m}\)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 275 \, \text{MPa}\) (pour acier S275)
Astuces(Pour aller plus vite)

La gestion des unités est primordiale. Pour calculer \(W_{\text{pl,req}}\), convertissez le moment \(M_{\text{Ed}}\) de kN·m en N·mm en multipliant par \(10^6\). Comme \(f_y\) est en MPa (qui est égal à N/mm²), le résultat pour \(W_{\text{pl,req}}\) sera directement en mm³. N'oubliez pas de diviser par \(10^3\) pour le comparer aux valeurs des catalogues en cm³.

Schéma (Avant les calculs)
Processus de Sélection du Profilé
M_EdCalculer W_pl,reqChercher dans cataloguele 1er IPE avec W_pl > W_pl,req
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed,max}} &= \frac{27.095 \, \text{kN/m} \cdot (8.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{27.095 \cdot 64}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 216.76 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul de \(W_{\text{pl,y,req}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl,y,req}} &\ge \frac{216.76 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{275 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge 788218 \, \text{mm}^3 \\ &\ge 788.2 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

3. Sélection dans le catalogue de profilés :

Profilé\(W_{\text{pl,y}}\) (cm³)Choix
IPE 300628.4❌
IPE 330903.6✔️
IPE 3601198✔️ (surdimensionné)

On choisit le profilé IPE 330.

Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance (IPE 330)
Sollicitation M_Ed=216.8Résistance M_Rd=248.5OK ✔️ (Ratio = 87%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment fléchissant est très important (216.8 kN·m), ce qui impose un profilé relativement conséquent (IPE 330). Cela montre que les planchers de bureaux avec de longues portées et des entraxes importants nécessitent des structures robustes. Le profilé travaille à 87% de sa capacité, ce qui est un bon ratio de dimensionnement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre le module plastique (\(W_{\text{pl,y}}\)) utilisé pour la vérification de la résistance plastique, avec le module élastique (\(W_{\text{el,y}}\)) qui serait utilisé pour une vérification de contrainte élastique. Pour les sections de Classe 1 ou 2, l'approche plastique est plus économique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le dimensionnement en flexion consiste à s'assurer que \(M_{\text{Ed}} \le M_{\text{Rd}}\).
  • On calcule d'abord le module de section requis \(W_{\text{pl,req}}\) pour faciliter le choix.
  • On sélectionne le profilé le plus léger (économique) qui satisfait la condition.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les logiciels de calcul modernes n'effectuent pas ce processus manuellement. Ils calculent les efforts, puis testent informatiquement tous les profilés d'une base de données pour trouver celui qui a le ratio de travail le plus proche de 1.0 (tout en y étant inférieur), optimisant ainsi le poids (et donc le coût) de la structure.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie S275 ?

'S' signifie Acier de Construction (Structural Steel). '275' est la limite d'élasticité minimale garantie (\(f_y\)) en Mégapascals (MPa) pour les épaisseurs de profilé les plus faibles (généralement jusqu'à 16 mm).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment de calcul est \(M_{\text{Ed}} = 216.8 \, \text{kN} \cdot \text{m}\). Le profilé IPE 330 est sélectionné.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était de 7.0 m, quel serait le nouveau \(W_{\text{pl,y,req}}\) en cm³ ?

Question 4 : Vérifier la flèche à l'ELS (sous Q seule)

Principe (le concept physique)

On vérifie maintenant que la déformation de la poutre sous les seules charges d'exploitation (mobilier, personnes) ne dépasse pas la limite admissible. Cela garantit le confort des utilisateurs (pas de sensation de plancher "élastique") et la durabilité des éléments non structuraux comme les cloisons.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La flèche d'une poutre est inversement proportionnelle à sa rigidité en flexion, qui est le produit \(E \cdot I\). \(E\) est le module de Young (une propriété du matériau, ~210 GPa pour l'acier) et \(I\) est le moment d'inertie (ou moment quadratique), qui est une propriété de la forme de la section. Pour une même quantité de matière, une section haute (grand I) sera beaucoup plus rigide qu'une section basse et large.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette vérification garantit que le bâtiment est "utilisable" et confortable. Une structure peut être parfaitement sûre (vérifiée à l'ELU) mais inutilisable si elle se déforme trop. Imaginez un plancher qui s'affaisse visiblement quand vous marchez dessus !

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de déformation sont définies dans l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1), section 7, et son Annexe Nationale. Pour un plancher, une limite courante pour la flèche due aux charges variables est L/300 afin de limiter les vibrations et les dommages aux éléments non-porteurs.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Flèche maximale due à Q :

\[ f_{\text{Q}} = \frac{5 \cdot Q_{\text{lin}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \]

Flèche admissible :

\[ f_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \]

Vérification :

\[ f_{\text{Q}} \le f_{\text{adm}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la valeur standard du module d'élasticité de l'acier, \(E = 210000 \, \text{MPa}\). On considère que la poutre est libre de se déformer et que les appuis sont parfaits.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge d'exploitation linéique, \(Q_{\text{lin}} = 6.25 \, \text{kN/m} = 6.25 \, \text{N/mm}\)
  • Portée, \(L = 8000 \, \text{mm}\)
  • Profilé : IPE 330, avec \(I_y = 11770 \, \text{cm}^4 = 1.177 \times 10^8 \, \text{mm}^4\)
  • Module de Young, \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La puissance 4 sur la portée (\(L^4\)) rend la gestion des unités absolument critique. La méthode la plus fiable est de tout convertir en un système cohérent avant le calcul : Newtons (N) et millimètres (mm). La charge en N/mm, L en mm, E en N/mm² (MPa), et I en mm⁴. Le résultat sera directement en mm.

Schéma (Avant les calculs)
Déformation de la solive sous charge Q
f_Q = ?Limite adm. = L/300
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la flèche due à Q :

\[ \begin{aligned} f_{\text{Q}} &= \frac{5 \cdot (6.25 \, \text{N/mm}) \cdot (8000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (1.177 \times 10^8 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{1.28 \times 10^{17}}{9.49 \times 10^{18}} \, \text{mm} \\ &\approx 13.5 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calcul de la flèche admissible et vérification :

\[ \begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{8000 \, \text{mm}}{300} \\ &\approx 26.7 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ 13.5 \, \text{mm} \le 26.7 \, \text{mm} \quad (\text{Ratio} = 13.5/26.7 \approx 0.51 \le 1.0) \Rightarrow \text{CONFORME} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Flèche Calculée vs Admissible
Flèche calculée f_Q=13.5 mmFlèche adm. f_adm=26.7 mmCONFORME ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vérification de la flèche est largement satisfaite (la poutre n'utilise que 51% de sa capacité de déformation). Dans ce cas, c'est bien la résistance à l'ELU qui a été le critère dimensionnant, et non la flèche à l'ELS. Le choix de l'IPE 330 est donc finalisé et validé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la mauvaise charge pour la vérification de flèche est une erreur fréquente. Il faut bien lire l'énoncé ou les exigences de la norme : flèche sous Q seule, sous G+Q, etc. Utiliser la charge ELU (\(p_{\text{Ed}}\)) pour un calcul de flèche ELS est incorrect et conduirait à un surdimensionnement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification ELS utilise des charges de service (non pondérées).
  • La flèche dépend de la portée à la puissance 4 (\(L^4\)) et de la rigidité de la poutre (\(E \cdot I\)).
  • La limite de flèche (ex: L/300) dépend de l'usage de l'élément.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le confort vibratoire est un critère ELS de plus en plus important pour les planchers légers. Un plancher peut respecter la limite de flèche statique mais vibrer de manière inconfortable lorsque des personnes marchent. Des calculs dynamiques sont alors nécessaires pour vérifier que la fréquence propre du plancher est hors de la plage de fréquence de la marche humaine.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi vérifier la flèche sous Q seule ?

La flèche due aux charges permanentes (G) se produit une fois pour toutes lors de la construction. Elle peut être compensée en fabriquant la poutre avec une courbure inverse ("contre-flèche"). La flèche qui est perçue par les utilisateurs et qui peut endommager les cloisons est celle qui varie, c'est-à-dire la flèche due aux charges d'exploitation (Q).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche due à Q (13.5 mm) est inférieure à la flèche admissible (26.7 mm). Le profilé IPE 330 est validé.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la charge Q_lin maximale (en kN/m) que l'IPE 330 pourrait supporter sans dépasser la limite de flèche ?

Outil Interactif : Paramètres du Plancher

Modifiez la portée et l'entraxe pour voir leur influence sur le dimensionnement de la solive.

Paramètres d'Entrée
8.0 m
2.5 m
Résultats Clés
Moment ELU (M_Ed) (kN·m) -
Ratio Résistance Flexion -
Ratio Flèche ELS (sous Q) -

Le Saviez-Vous ?

Dans les planchers mixtes, on connecte la dalle béton à la poutre en acier avec des "connecteurs" (goujons soudés). La dalle en béton, qui résiste bien à la compression, et la poutre en acier, qui résiste bien à la traction, travaillent alors ensemble comme un seul élément composite. Cette action mixte augmente considérablement la rigidité et la résistance de la poutre, permettant d'utiliser des profilés en acier beaucoup plus petits que s'ils travaillaient seuls.

Foire Aux Questions (FAQ)

Doit-on inclure le poids propre de la poutre IPE dans les calculs ?

Oui, rigoureusement. Dans un calcul détaillé, le poids propre de la solive (donné en kg/m ou N/m dans les catalogues) est ajouté à la charge permanente linéique \(G_{\text{lin}}\). Pour simplifier cet exercice, nous l'avons négligé, ce qui est acceptable pour un pré-dimensionnement car il représente souvent une faible part (5-10%) des charges totales.

Pourquoi la limite de flèche est-elle L/300 et pas L/250 ?

Les limites de flèche dépendent de l'usage. Pour un plancher accessible au public, on exige une plus grande rigidité pour le confort vibratoire et pour éviter d'endommager les éléments fragiles comme les cloisons ou les carrelages. L/300 est une valeur typique pour les planchers de bureaux, tandis que L/250 est plus courant pour les toitures non accessibles.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double l'entraxe (E) entre les solives, la charge linéique de calcul (\(p_{\text{Ed}}\)) sur chaque solive est...

2. Pour un plancher, quelle charge est utilisée pour la vérification de la flèche liée au confort des usagers ?

Solive
Poutre secondaire d'un plancher, portant sur les poutres principales et supportant directement la dalle ou le platelage.
Entraxe
Distance mesurée entre les axes de deux éléments parallèles et consécutifs, comme deux poutres ou deux poteaux.
Bande de chargement
Zone d'influence d'un élément porteur linéaire (comme une poutre). Sa largeur est utilisée pour convertir des charges surfaciques en charges linéiques.
Dimensionnement d’une Poutre IPE

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