EGC

Dimensionnement d’un contreventement vertical

Dimensionnement d’un Contreventement Vertical en Structure Métallique

Dimensionnement d’un Contreventement Vertical

Contexte : La stabilité des structures métalliques.

Un bâtiment métallique, bien que robuste face aux charges verticales (poids propre, neige), est naturellement flexible face aux efforts horizontaux comme le vent. Sans un système de stabilisation adéquat, il pourrait se déformer excessivement ou même s'effondrer. Le contreventementSystème structurel (généralement des barres en diagonale) destiné à reprendre les efforts horizontaux (vent, séisme) et à assurer la stabilité globale d'un ouvrage. est ce système vital. Il fonctionne comme un squelette secondaire qui rigidifie la structure, en créant des triangles indéformables pour transmettre les forces du vent jusqu'aux fondations.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous initie aux principes de la Résistance Des Matériaux (RDM) appliqués à un cas concret et essentiel de la construction métallique. Vous apprendrez à modéliser un problème, à calculer les efforts dans les barres d'une structure en treillis (la palée de stabilité), et à vérifier la résistance de ces barres selon les critères de l'Eurocode 3Norme européenne de calcul des structures en acier. Elle définit les règles de sécurité et les méthodes de dimensionnement..

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la force du vent appliquée à une façade de bâtiment.
  • Modéliser une palée de contreventement comme un système de treillis.
  • Déterminer les efforts de traction et de compression dans les diagonales.
  • Vérifier la résistance d'une barre tendue à la plastificationÉtat d'un matériau qui subit une déformation permanente sous l'effet d'une charge. C'est la limite de résistance en traction..
  • Vérifier la résistance d'une barre comprimée au flambementPhénomène d'instabilité d'une pièce longue et mince soumise à une compression, qui se courbe brusquement au lieu de se raccourcir..
  • Choisir un profilé en acier adéquat dans un catalogue.

Données de l'étude

On étudie la palée de contreventement vertical d'un bâtiment industriel. Cette palée, située sur un des pignons, doit reprendre la totalité de l'effort de vent agissant sur cette façade. La structure est en acier de nuance S235.

Élévation de la palée de contreventement
Portée, L = 6.0 m Hauteur, H = 5.0 m F_vent Barre Comprimée Barre Tendue
Vue 3D interactive de la structure
Paramètre Notation Valeur Unité
Hauteur du portique \(H\) 5.0 m
Portée du portique \(L\) 6.0 m
Entraxe des portiques \(E\) 7.0 m
Pression du vent (nette) \(q_{\text{p,net}}\) 0.8 kN/m²
Nuance de l'acier - S235 -
Limite d'élasticité \(f_{\text{y}}\) 235 MPa
Module de Young \(E_{\text{acier}}\) 210 000 MPa
Coefficient partiel (résistance) \(\gamma_{\text{M0}}\) 1.0 -
Coefficient partiel (flambement) \(\gamma_{\text{M1}}\) 1.0 -

Questions à traiter

  1. Calculer la force horizontale totale \(F_{\text{Ed}}\) due au vent, appliquée en tête des poteaux.
  2. Déterminer l'effort normal de calcul \(N_{\text{Ed}}\) dans les diagonales du contreventement.
  3. Vérifier la résistance de la diagonale tendue pour un profilé en cornière simple L 80x8.
  4. Vérifier la résistance au flambement de la diagonale comprimée pour le même profilé L 80x8.
  5. Conclure sur le choix du profilé L 80x8.

Les bases du calcul de contreventement (Eurocode 3)

Pour aborder cet exercice, voici quelques principes clés de la stabilité des structures métalliques.

1. Le cheminement des efforts horizontaux
Le vent frappe le bardage de la façade. Le bardage transmet cet effort aux lisses, qui le transmettent à leur tour aux poteaux. Les poteaux, flexibles, se déformeraient s'il n'y avait pas le contreventement. La force est alors canalisée dans les diagonales qui travaillent en traction et compression pour la descendre jusqu'aux fondations.

2. Vérification en Traction (Plastification)
Une barre tendue résiste tant que la contrainte (\(\sigma\)) ne dépasse pas la limite d'élasticité de l'acier (\(f_y\)). La vérification selon l'Eurocode 3 est : \[ \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{t,Rd}}} \le 1.0 \quad \text{avec} \quad N_{\text{t,Rd}} = \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \] Où \(N_{\text{Ed}}\) est l'effort de traction, \(A\) est l'aire de la section, et \(N_{\text{t,Rd}}\) est la résistance plastique en traction.

3. Vérification en Compression (Flambement)
Une barre comprimée peut céder bien avant d'atteindre sa limite d'élasticité à cause du flambement. La vérification est plus complexe : \[ \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{b,Rd}}} \le 1.0 \quad \text{avec} \quad N_{\text{b,Rd}} = \frac{\chi \cdot A \cdot f_y}{\gamma_{\text{M1}}} \] Où \(N_{\text{b,Rd}}\) est la résistance au flambement et \(\chi\) est un coefficient de réduction qui dépend de l'élancement de la barre (\(\lambda\)), c'est-à-dire de sa tendance à flamber.

Correction : Dimensionnement d’un Contreventement Vertical

Question 1 : Calculer la force horizontale totale du vent

Principe (le concept physique)

La force du vent est le produit d'une pression par une surface. La palée de contreventement doit reprendre le vent qui s'applique sur la moitié de chaque travée adjacente. On calcule donc la surface d'influence et on la multiplie par la pression du vent pour obtenir la force totale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La "surface tributaire" ou "surface d'influence" est un concept fondamental en calcul de structure. Chaque élément porteur (poutre, poteau, contreventement) est responsable de la reprise des charges sur une zone définie. Pour un contreventement, cette zone s'étend jusqu'à mi-chemin des portiques voisins.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez toujours le cheminement des charges. Le vent "pousse" sur une grande surface, mais cette force doit être collectée et acheminée vers un point précis : la tête des poteaux de la palée de stabilité. Dessiner un petit schéma de cette surface d'influence est une excellente habitude à prendre.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la pression du vent est régi par l'Eurocode 1 partie 1-4 (EN 1991-1-4). Pour cet exercice, la pression nette \(q_{\text{p,net}}\) est une donnée simplifiée qui inclut déjà les coefficients de site, de forme, etc.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Surface d'influence :

\[ S_{\text{inf}} = H \times E \]

Force du vent :

\[ F_{\text{Ed}} = S_{\text{inf}} \times q_{\text{p,net}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la pression du vent est uniforme sur toute la hauteur de la façade. Pour simplifier, on considère que la force totale est transmise pour moitié en tête de poteau et pour moitié aux fondations.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur, \(H = 5.0 \, \text{m}\)
  • Entraxe, \(E = 7.0 \, \text{m}\)
  • Pression du vent, \(q_{\text{p,net}} = 0.8 \, \text{kN/m}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une série de portiques identiques, la force de vent à reprendre par chaque palée de contreventement intermédiaire est la même. Seules les palées de rive peuvent avoir une surface d'influence différente (généralement la moitié).

Schéma (Avant les calculs)
Surface d'influence du vent
Entraxe E = 7.0mHauteur H = 5.0m
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la surface d'influence :

\[ \begin{aligned} S_{\text{inf}} &= 5.0 \, \text{m} \times 7.0 \, \text{m} \\ &= 35.0 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul de la force totale :

\[ \begin{aligned} F_{\text{totale}} &= 35.0 \, \text{m}^2 \times 0.8 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 28.0 \, \text{kN} \end{aligned} \]

La force appliquée en tête de la palée est la moitié (l'autre moitié part dans les fondations) :

\[ \begin{aligned} F_{\text{Ed}} &= \frac{F_{\text{totale}}}{2} \\ &= \frac{28.0 \, \text{kN}}{2} \\ &= 14.0 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Force résultante en tête
14.0 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette force de 14 kN (environ 1.4 tonne) est l'effort que la palée de contreventement doit être capable de supporter et de transmettre aux fondations pour garantir la stabilité du bâtiment. C'est la donnée d'entrée pour tout le reste du dimensionnement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas mélanger les unités. La pression est souvent donnée en kPa (kiloPascal) ou daN/m². Assurez-vous de tout convertir en kN et m pour être cohérent. 1 kN/m² = 1 kPa.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force est le produit d'une pression par une surface.
  • La surface à considérer est la surface d'influence (ou tributaire).
  • Cette force est la charge externe que la structure interne doit équilibrer.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'effondrement du pont de Tacoma Narrows en 1940 n'était pas dû à une simple pression du vent, mais à un phénomène aéroélastique complexe appelé "flottement par décrochage tourbillonnaire". Le vent, même modéré, a fait entrer le pont en résonance, créant des oscillations qui se sont amplifiées jusqu'à la rupture.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette force inclut-elle les effets de succion sur le toit ?

Non. Cet exercice simplifie le problème en ne considérant que la force de pression sur la façade. Dans un calcul complet, il faudrait aussi considérer les forces de soulèvement sur la toiture et les forces agissant sur les autres façades, qui peuvent être complexes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force horizontale de calcul appliquée en tête de la palée est de \(F_{\text{Ed}} = 14.0 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la pression du vent était de 1.0 kN/m², quelle serait la nouvelle force \(F_{\text{Ed}}\) en kN ?

Question 2 : Déterminer l'effort normal dans les diagonales

Principe (le concept physique)

La palée de contreventement se comporte comme une poutre en treillis verticale. La force horizontale \(F_{\text{Ed}}\) est reprise par les diagonales. En utilisant la statique (équilibre d'un nœud), on peut décomposer cette force pour trouver les efforts de traction et de compression dans les barres.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La "méthode des nœuds" est une technique fondamentale de la statique. Elle consiste à isoler chaque point de connexion (nœud) et à appliquer le principe fondamental de la statique : la somme des forces agissant sur ce point doit être nulle (\(\sum \vec{F} = \vec{0}\)). En projetant cette équation sur les axes x et y, on obtient un système de deux équations qui permet de trouver les efforts inconnus dans les barres.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'étape cruciale ici est de bien identifier l'angle de la diagonale. Une erreur sur cet angle faussera tout le calcul des efforts. On peut travailler soit avec l'angle et les fonctions trigonométriques (sin, cos), soit avec les rapports de longueurs (le fameux "Thalès"), ce qui est souvent plus direct et évite les erreurs d'arrondi.

Normes (la référence réglementaire)

Cette analyse statique est une application directe des principes de la mécanique newtonienne, qui sont la base de l'Eurocode 0 (EN 1990 - Bases de calcul des structures). L'hypothèse de nœuds articulés est une simplification courante et sûre pour les treillis.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Longueur de la diagonale :

\[ L_{\text{diag}} = \sqrt{H^2 + L^2} \]

Effort dans la diagonale :

\[ N_{\text{Ed}} = F_{\text{Ed}} \times \frac{L_{\text{diag}}}{L} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les barres sont parfaitement articulées entre elles (liaisons pivots sans frottement). On néglige le poids propre des barres de contreventement devant les efforts qu'elles reprennent.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force horizontale, \(F_{\text{Ed}} = 14.0 \, \text{kN}\)
  • Hauteur, \(H = 5.0 \, \text{m}\)
  • Portée, \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Utiliser le rapport géométrique \((L_{\text{diag}}/L)\) est souvent plus rapide et précis que de calculer l'angle puis son cosinus. Cela revient à faire une homothétie entre le triangle des forces et le triangle géométrique de la structure.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre du nœud supérieur
F_EdN_t?N_c?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la longueur de la diagonale :

\[ \begin{aligned} L_{\text{diag}} &= \sqrt{5.0^2 + 6.0^2} \\ &= \sqrt{25 + 36} \\ &= \sqrt{61} \\ &\approx 7.81 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'effort dans les diagonales :

\[ \begin{aligned} N_{\text{Ed}} &= 14.0 \, \text{kN} \times \frac{7.81 \, \text{m}}{6.0 \, \text{m}} \\ &\approx 18.22 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Efforts dans les barres
+18.2 kN-18.2 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort dans les diagonales est plus grand que la force du vent appliquée. C'est un effet de "levier" géométrique. Plus la palée est élancée (H grand par rapport à L), plus cet effet est prononcé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes ! Une erreur de signe peut conduire à vérifier une barre en traction alors qu'elle est comprimée, ce qui est une erreur de conception majeure car le flambement ne serait pas vérifié.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force horizontale est équilibrée par la composante horizontale des efforts dans les diagonales.
  • Dans une palée en X, une diagonale est tendue, l'autre est comprimée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'architecte et ingénieur italien Andrea Palladio a été l'un des premiers à utiliser systématiquement les structures en treillis pour les ponts en bois au 16ème siècle, bien avant que leur théorie mathématique ne soit formalisée.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi une barre est-elle tendue et l'autre comprimée ?

Quand la force pousse la structure vers la droite, le nœud en haut à gauche a tendance à descendre et à s'éloigner du nœud en bas à droite, ce qui "tire" sur la diagonale qui les relie (traction). Inversement, il se rapproche du nœud en bas à gauche, ce qui "pousse" sur l'autre diagonale (compression).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort normal de calcul dans chaque diagonale est de \(N_{\text{Ed}} = 18.22 \, \text{kN}\) (traction dans l'une, compression dans l'autre).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était de 8m au lieu de 6m (H=5m constant), quel serait le nouvel effort \(N_{\text{Ed}}\) en kN ?

Question 3 : Vérifier la résistance de la diagonale tendue (L 80x8)

Principe (le concept physique)

On vérifie que l'effort de traction appliqué (\(N_{\text{Ed}}\)) est inférieur à la capacité de résistance maximale du profilé en acier (\(N_{\text{t,Rd}}\)). Cette capacité est déterminée par l'aire de la section et la limite d'élasticité de l'acier.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance plastique est la capacité maximale d'une section. Elle est atteinte lorsque toutes les fibres de l'acier atteignent la limite d'élasticité \(f_y\). C'est un état ultime, au-delà duquel la pièce se déforme de manière importante et irréversible. Le calcul de structure vise à s'assurer que cet état n'est jamais atteint en service.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La consultation des catalogues de profilés est une compétence essentielle. Assurez-vous de bien lire la bonne ligne et la bonne colonne pour trouver l'aire (A). Une attention particulière doit être portée aux unités : les catalogues donnent souvent les aires en cm², alors que les calculs de résistance se font en mm².

Normes (la référence réglementaire)

Le coefficient de sécurité partiel \(\gamma_{\text{M0}}\) (ici 1.0) est défini dans l'annexe nationale de l'Eurocode 3. Il couvre les incertitudes sur la résistance du matériau. Sa valeur peut varier légèrement d'un pays à l'autre.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance en traction :

\[ N_{\text{t,Rd}} = \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \]

Critère de vérification :

\[ \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{t,Rd}}} \le 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour cette vérification simplifiée, on néglige la réduction de section due aux trous de boulons au niveau des attaches. Dans un calcul détaillé, il faudrait vérifier la "section nette" qui est plus faible.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profilé : Cornière L 80x8
  • Aire de la section, \(A = 12.20 \, \text{cm}^2 = 1220 \, \text{mm}^2\)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2\)
  • Effort de traction, \(N_{\text{Ed}} = 18.22 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de commencer le calcul, assurez-vous que toutes vos unités sont cohérentes. Le plus simple est de tout convertir en Newtons (N) et millimètres (mm). Ainsi, les contraintes sont en MPa (N/mm²), les aires en mm², et les forces en N.

Schéma (Avant les calculs)
Section de la cornière L 80x8
A = 12.2 cm²
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance en traction du profilé :

\[ \begin{aligned} N_{\text{t,Rd}} &= \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{1220 \, \text{mm}^2 \times 235 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 286700 \, \text{N} \\ &= 286.7 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Comparaison (ratio de travail) :

\[ \begin{aligned} \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{t,Rd}}} &= \frac{18.22 \, \text{kN}}{286.7 \, \text{kN}} \\ &= 0.064 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ratio de travail en traction
Utilisation : 6.4%
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le ratio de 0.064 est très inférieur à 1.0. Cela signifie que le profilé utilise seulement 6.4% de sa capacité en traction. Il est donc largement surdimensionné pour la traction seule, mais il faut encore vérifier le critère de compression (flambement).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier le coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{M0}}\), même s'il vaut 1.0 dans ce cas. Dans d'autres situations (par exemple, la rupture de la section nette), un autre coefficient (\(\gamma_{\text{M2}}\)) serait utilisé.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance en traction est un calcul simple basé sur l'aire et la limite d'élasticité.
  • La vérification de sécurité consiste à s'assurer que l'effort appliqué est inférieur à la résistance de calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'acier moderne est un matériau incroyablement performant. Certains aciers à Très Haute Limite d'Élasticité (THLE) peuvent atteindre des résistances de plus de 960 MPa, soit plus de quatre fois la résistance du S235 utilisé dans cet exercice.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le ratio est supérieur à 1.0 ?

Si le ratio de travail dépasse 1.0, cela signifie que l'effort appliqué est supérieur à la résistance de calcul de l'élément. La structure est considérée comme non conforme et dangereuse. L'ingénieur doit alors impérativement redimensionner l'élément en choisissant un profilé plus grand.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vérification est satisfaite : \( \frac{18.22 \, \text{kN}}{286.7 \, \text{kN}} = 0.064 \le 1.0 \). Le profilé résiste en traction.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la force de vent maximale \(F_{\text{Ed}}\) que ce profilé pourrait supporter en pure traction ?

Question 4 : Vérifier la résistance au flambement de la diagonale comprimée (L 80x8)

Principe (le concept physique)

C'est la vérification la plus critique. On doit s'assurer que la barre, soumise à la compression \(N_{\text{Ed}}\), ne va pas flamber. Le calcul est plus complexe car il dépend de la géométrie de la barre (longueur, forme de la section) via le coefficient \(\chi\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de \(\chi\) passe par plusieurs étapes : calcul de l'élancement \(\lambda\), puis de l'élancement réduit \(\bar{\lambda}\), et enfin de \(\chi\) via une formule qui dépend d'un "facteur d'imperfection" \(\alpha\) (lié à la "courbe de flambement" du profilé). Pour une cornière, on utilise généralement la courbe 'b' (\(\alpha = 0.34\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le flambement est un concept difficile mais essentiel. Imaginez pousser sur une règle en plastique : elle se courbe et casse facilement. C'est le flambement. Une barre en acier, même si elle est très résistante, se comportera de la même manière si elle est trop longue et fine. C'est pourquoi cette vérification est primordiale.

Normes (la référence réglementaire)

Les courbes de flambement de l'Eurocode 3 (a0, a, b, c, d) ont été établies à partir de milliers d'essais en laboratoire. Elles tiennent compte des imperfections inévitables des profilés réels (défauts de géométrie, contraintes résiduelles de laminage) qui réduisent leur résistance par rapport à la théorie parfaite d'Euler.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Élancement réduit : \(\bar{\lambda} = \frac{L_{\text{cr}}/i_{\text{min}}}{\lambda_1}\)

\[ \chi = \frac{1}{\Phi + \sqrt{\Phi^2 - \bar{\lambda}^2}} \le 1.0 \quad \text{avec} \quad \Phi = 0.5 \left[1 + \alpha(\bar{\lambda} - 0.2) + \bar{\lambda}^2\right] \]

Résistance au flambement : \(N_{\text{b,Rd}} = \frac{\chi \cdot A \cdot f_y}{\gamma_{\text{M1}}}\)

Hypothèses (le cadre du calcul)

La longueur de flambement \(L_{\text{cr}}\) est prise égale à la longueur géométrique de la barre (\(L_{\text{diag}}\)), ce qui correspond à une hypothèse d'articulations parfaites aux deux extrémités.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profilé : L 80x8
  • Longueur de flambement, \(L_{\text{cr}} = L_{\text{diag}} = 7.81 \, \text{m} = 7810 \, \text{mm}\)
  • Rayon de giration min., \(i_{\text{min}} = 1.56 \, \text{cm} = 15.6 \, \text{mm}\)
  • Effort de compression, \(N_{\text{Ed}} = 18.22 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul de \(\chi\) est fastidieux. En pratique, les ingénieurs utilisent des logiciels ou des tableaux qui donnent directement la résistance au flambement \(N_{\text{b,Rd}}\) pour une longueur et un profilé donnés. Pour un calcul manuel, la rigueur et la décomposition en étapes sont indispensables.

Schéma (Avant les calculs)
Phénomène de Flambement
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Élancement mécanique :

\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{L_{\text{cr}}}{i_{\text{min}}} \\ &= \frac{7810 \, \text{mm}}{15.6 \, \text{mm}} \\ &\approx 500.6 \end{aligned} \]

2. Élancement réduit (avec \(\lambda_1 = 93.9\)) :

\[ \begin{aligned} \bar{\lambda} &= \frac{\lambda}{\lambda_1} \\ &= \frac{500.6}{93.9} \\ &\approx 5.33 \end{aligned} \]

3. Calcul de \(\Phi\) et du coefficient de réduction \(\chi\) :

\[ \begin{aligned} \Phi &= 0.5 \left[1 + \alpha(\bar{\lambda} - 0.2) + \bar{\lambda}^2\right] \\ &= 0.5 \left[1 + 0.34(5.33 - 0.2) + 5.33^2\right] \\ &\approx 15.6 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \chi &= \frac{1}{\Phi + \sqrt{\Phi^2 - \bar{\lambda}^2}} \\ &= \frac{1}{15.6 + \sqrt{15.6^2 - 5.33^2}} \\ &\approx 0.033 \end{aligned} \]

4. Résistance au flambement :

\[ \begin{aligned} N_{\text{b,Rd}} &= \frac{\chi \cdot A \cdot f_y}{\gamma_{\text{M1}}} \\ &= \frac{0.033 \times 1220 \times 235}{1.0} \\ &\approx 9460 \, \text{N} \\ &= 9.46 \, \text{kN} \end{aligned} \]

5. Comparaison :

\[ \begin{aligned} \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{b,Rd}}} &= \frac{18.22 \, \text{kN}}{9.46 \, \text{kN}} \\ &= 1.93 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ratio de travail en compression
DANGER : 193% > 100%
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'énorme différence entre la résistance en traction (286.7 kN) et la résistance au flambement (9.46 kN) illustre de manière spectaculaire à quel point le flambement est un phénomène dimensionnant pour les éléments comprimés élancés.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le flambement est un phénomène très sensible à la longueur. Une petite erreur sur la longueur de flambement peut changer radicalement le résultat. De plus, il faut être très rigoureux avec les unités (mm, cm, m).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au flambement est souvent bien plus faible que la résistance en compression simple.
  • Elle dépend de manière critique de la longueur de la barre et de la forme de sa section (via le rayon de giration \(i_{\text{min}}\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La formule théorique de la charge critique de flambement a été développée par le mathématicien Leonhard Euler en 1757. Elle est toujours la base de nos calculs modernes, bien que les Eurocodes y ajoutent des corrections pour tenir compte des imperfections du monde réel.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment peut-on améliorer la résistance au flambement ?

Il y a deux leviers principaux : 1) Réduire la longueur de flambement en ajoutant des maintiens intermédiaires (par exemple, attacher la diagonale à un potelet). 2) Choisir un profilé avec un plus grand rayon de giration minimal (\(i_{\text{min}}\)), comme un tube ou un profilé en H, qui sont plus "stables" géométriquement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vérification n'est pas satisfaite : \( \frac{18.22 \, \text{kN}}{9.46 \, \text{kN}} = 1.93 > 1.0 \). Le profilé va flamber sous l'effet de la compression.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

La résistance au flambement d'un tube CHS 114.3x4 est de 75.4 kN. Ce profilé conviendrait-il ? (Oui/Non)

Question 5 : Conclure sur le choix du profilé L 80x8

Principe (le concept physique)

Un élément structurel doit satisfaire TOUS les critères de vérification. Même s'il résiste en traction, le profilé L 80x8 est ici invalidé par sa faible résistance au flambement. Il faut donc le rejeter et en choisir un plus robuste.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le processus de conception en ingénierie est itératif. Il suit une boucle : 1. Pré-dimensionnement (choix initial d'un profilé). 2. Analyse (calcul des efforts). 3. Vérification (comparaison aux résistances). 4. Si la vérification échoue, on retourne à l'étape 1 avec un profilé plus performant. L'objectif est de trouver le profilé le plus léger (donc le plus économique) qui satisfait toutes les conditions de sécurité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un "bon" design n'est pas seulement celui qui est sûr, mais celui qui est à la fois sûr, économique et réalisable. Choisir un profilé gigantesque serait sûr, mais ce serait un gaspillage de matière et d'argent. L'art de l'ingénieur est de trouver cet équilibre optimal.

Normes (la référence réglementaire)

Au-delà de la résistance (État Limite Ultime - ELU), l'Eurocode 3 impose aussi des vérifications à l'État Limite de Service (ELS). Par exemple, il faut limiter la déformation du contreventement pour ne pas endommager le bardage. Un profilé peut être assez résistant mais trop flexible.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pas de nouvelle formule. La conclusion se base sur la comparaison des résultats des questions 3 et 4.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la résistance est le seul critère de conception pour cet exercice, et on ne considère pas les critères de déformation (ELS) ou de coût.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pas de nouvelle donnée.

Astuces(Pour aller plus vite)

Lors du re-dimensionnement, ciblez le paramètre qui a posé problème. Ici, c'est le flambement, donc il faut chercher un profilé avec un meilleur rayon de giration (\(i_{\text{min}}\)), pas nécessairement une plus grande aire.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des vérifications
TractionFlambement
Calcul(s) (l'application numérique)

Aucun nouveau calcul n'est nécessaire. La conclusion découle du calcul précédent : \(1.93 > 1.0\).

Schéma (Après les calculs)
Proposition de remplacement
L 80x8Tube
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La cornière simple est très peu performante en compression à cause de son faible rayon de giration. Pour améliorer la résistance au flambement, il faudrait choisir un profilé plus "massif" (comme un tube ou un H) ou réduire la longueur de flambement en ajoutant des maintiens intermédiaires, ce qui n'est pas toujours possible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne vous arrêtez pas au premier profilé qui fonctionne. Dans un contexte professionnel, il faut souvent en vérifier plusieurs pour trouver la solution la plus économique (le profilé le plus léger qui satisfait les critères).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le dimensionnement est dicté par le critère le plus défavorable.
  • Pour les contreventements, c'est presque toujours le flambement de la barre comprimée qui dimensionne les profilés.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'optimisation topologique est une méthode de calcul avancée où l'ordinateur "dessine" lui-même la forme optimale d'une pièce pour résister à des efforts donnés avec un minimum de matière. Cela donne des formes organiques très efficaces, qui ressemblent parfois à des os ou des arbres.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-il courant d'utiliser des profilés différents pour la traction et la compression ?

C'est techniquement possible, mais rarement fait en pratique. Utiliser le même profilé pour les deux diagonales simplifie grandement la fabrication et le montage sur chantier, même si la barre tendue est surdimensionnée. Le coût de la main d'œuvre pour gérer deux types de barres différentes serait supérieur à l'économie de matière.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé L 80x8 n'est pas adéquat pour cette application. Il faudrait choisir un profilé avec une plus grande inertie, par exemple un tube circulaire CHS 114.3x4.0 ou une cornière de plus grande dimension.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En utilisant le simulateur, quel est le profilé le plus léger de la liste qui fonctionne pour H=5m et L=6m ?

Outil Interactif : Simulateur de Stabilité

Modifiez les paramètres du portique pour voir leur influence sur l'effort dans les barres et le ratio de travail au flambement.

Paramètres d'Entrée
5.0 m
6.0 m
Résultats Clés
Effort Normal (N_Ed) (kN) -
Résistance Flambement (N_b,Rd) (kN) -
Ratio de Travail (N_Ed / N_b,Rd) -

Le Saviez-Vous ?

La Tour Eiffel est un gigantesque système de contreventement. Sa structure en treillis, composée de milliers de poutres et de rivets, est conçue pour résister au vent en le laissant passer à travers elle, tout en transférant les efforts vers ses quatre énormes piliers. Sa forme évasée à la base lui confère une stabilité exceptionnelle.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne pas utiliser que la diagonale tendue ?

C'est une excellente question ! Dans certaines structures légères, on peut considérer que la diagonale comprimée, étant très élancée, ne reprend aucun effort (elle "flambe" immédiatement). On ne compte alors que sur la diagonale tendue. Cependant, pour les bâtiments industriels, l'Eurocode impose généralement de vérifier les deux barres, car la barre comprimée participe tout de même à la rigidité de l'ensemble.

Qu'est-ce que la "longueur de flambement" ?

C'est la longueur effective de la barre qui participe au flambement. Pour une barre articulée à ses deux extrémités (comme dans notre cas), la longueur de flambement est égale à sa longueur géométrique. Mais si les extrémités étaient encastrées, la barre serait mieux tenue et sa longueur de flambement serait plus faible (par exemple 0.7 fois sa longueur réelle), la rendant plus résistante au flambement.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour rendre une barre plus résistante au flambement, il est plus efficace de :

2. Si on double la hauteur H du portique (en gardant L constant), l'effort N_Ed dans les diagonales va approximativement...

Contreventement
Système structurel (généralement des barres en diagonale) destiné à reprendre les efforts horizontaux (vent, séisme) et à assurer la stabilité globale d'un ouvrage.
Flambement
Phénomène d'instabilité d'une pièce longue et mince soumise à une compression, qui se courbe brusquement au lieu de se raccourcir.
Eurocode 3
Norme européenne de calcul des structures en acier. Elle définit les règles de sécurité et les méthodes de dimensionnement pour garantir la fiabilité des constructions.
Dimensionnement d’un Contreventement Vertical

D’autres exercices de structure métallique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *