Études de cas pratique

EGC

Déversement d’un Profilé IPE non Maintenu

Vérification au Déversement d'un Profilé IPE non Maintenu Latéralement (ELU)

Vérification au Déversement d'un Profilé IPE non Maintenu Latéralement (ELU)

Comprendre la Vérification au Déversement (Flambement Latéral-Torsionnel)

Le déversement, ou flambement latéral-torsionnel (FLT), est un phénomène d'instabilité qui peut survenir dans les poutres fléchies par rapport à leur axe de forte inertie lorsque leur semelle comprimée n'est pas maintenue latéralement. Sous l'effet de la compression dans cette semelle, la poutre peut se déplacer latéralement et pivoter autour de son axe longitudinal. Cette instabilité réduit la capacité portante de la poutre en flexion. La vérification au déversement consiste à s'assurer que le moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)) est inférieur à la résistance au déversement de calcul (\(M_{b,Rd}\)). Cette résistance est déterminée en appliquant un facteur de réduction (\(\chi_{\text{LT}}\)) à la résistance en flexion de la section.

Données de l'étude

On étudie une poutre en acier IPE 240, de nuance S275, simplement appuyée à ses extrémités, et non maintenue latéralement sur sa longueur. La charge est appliquée sur l'aile supérieure (cas défavorable pour le déversement).

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Profilé : IPE 240
  • Nuance d'acier : S275 (\(f_y = 275 \, \text{MPa}\))
  • Portée (longueur entre appuis \(L\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Conditions d'appui : Simplement appuyée (fourches aux extrémités empêchant la rotation autour de l'axe longitudinal, mais permettant la rotation de flexion et le déplacement latéral).
  • Maintien latéral : Aucun maintien intermédiaire.
  • Caractéristiques du profilé IPE 240 (valeurs typiques à extraire d'un catalogue) :
    • Hauteur (\(h\)) : \(240 \, \text{mm}\)
    • Largeur des ailes (\(b_f\)) : \(120 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur de l'âme (\(t_w\)) : \(6.2 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur des ailes (\(t_f\)) : \(9.8 \, \text{mm}\)
    • Module de flexion plastique (\(W_{\text{pl,y}}\)) : \(367 \, \text{cm}^3 = 367000 \, \text{mm}^3\)
    • Moment d'inertie par rapport à l'axe faible (\(I_z\)) : \(210 \, \text{cm}^4 = 2.10 \times 10^6 \, \text{mm}^4\)
    • Moment d'inertie de torsion (\(I_t\)) : \(12.7 \, \text{cm}^4 = 1.27 \times 10^5 \, \text{mm}^4\)
    • Module d'Young (\(E\)) : \(210000 \, \text{MPa}\)
    • Module de cisaillement (\(G\)) : \(80770 \, \text{MPa} \approx E / (2(1+\nu))\) avec \(\nu \approx 0.3\)

Sollicitations (ELU) :

  • Moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)) : \(60 \, \text{kNm}\) (supposé déjà calculé à partir des charges pondérées)

Coefficients partiels de sécurité (Eurocode 3) :

  • Pour la résistance du matériau (\(\gamma_{M0}\)) : \(1.0\)
  • Pour la résistance à l'instabilité (\(\gamma_{M1}\)) : \(1.0\)
Schéma : Poutre IPE et Déversement
Forme déversée (schématique) L = 6.0 m Poutre IPE non maintenue latéralement

Poutre IPE non maintenue latéralement, susceptible au déversement.

Questions à traiter

  1. Classifier la section IPE 240 en acier S275.
  2. Calculer le moment critique de déversement élastique (\(M_{\text{cr}}\)) pour une poutre sur appuis simples avec charge uniformément répartie appliquée sur l'aile supérieure. (Utiliser une formule approchée ou simplifiée si nécessaire, en précisant les hypothèses).
  3. Calculer l'élancement réduit pour le déversement (\(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\)).
  4. Choisir la courbe de déversement appropriée et déterminer le facteur d'imperfection (\(\alpha_{\text{LT}}\)).
  5. Calculer le paramètre \(\Phi_{\text{LT}}\).
  6. Calculer le facteur de réduction pour le déversement (\(\chi_{\text{LT}}\)).
  7. Calculer la résistance au déversement de calcul (\(M_{b,Rd}\)).
  8. Vérifier la stabilité au déversement : \(M_{\text{Ed}} \leq M_{b,Rd}\). Conclure.

Correction : Vérification au Déversement d'un Profilé IPE

Question 1 : Classification de la Section IPE 240 (S275)

Principe :

La classification dépend des rapports largeur/épaisseur des parois. Pour S275, \(f_y = 275 \, \text{MPa}\). \(\epsilon = \sqrt{235/f_y}\).

Calcul de \(\epsilon\) :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \sqrt{\frac{235}{f_y}} \\ &= \sqrt{\frac{235}{275}} \\ &\approx \sqrt{0.8545} \\ &\approx 0.924 \end{aligned} \]
Ailes (partie en console) :

Calcul de \(c\), la largeur de la partie en console de l'aile. Avec \(r\) (rayon de congé) typiquement \(15 \, \text{mm}\) pour IPE 240.

\[ \begin{aligned} c &= \frac{b_f - t_w - 2r}{2} \\ &= \frac{120 \, \text{mm} - 6.2 \, \text{mm} - 2 \cdot 15 \, \text{mm}}{2} \\ &= \frac{120 - 6.2 - 30}{2} \, \text{mm} \\ &= \frac{83.8}{2} \, \text{mm} \\ &= 41.9 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Calcul du rapport \(c/t_f\):

\[ \frac{c}{t_f} = \frac{41.9 \, \text{mm}}{9.8 \, \text{mm}} \approx 4.276 \]

Limite pour Classe 1 (ailes en compression) :

\[ 9\epsilon = 9 \cdot 0.924 = 8.316 \]

Comme \(4.276 \leq 8.316\), les ailes sont de Classe 1.

Âme (en flexion) :

Calcul de \(d\), la hauteur droite de l'âme :

\[ \begin{aligned} d &= h - 2t_f - 2r \\ &= 240 \, \text{mm} - 2 \cdot 9.8 \, \text{mm} - 2 \cdot 15 \, \text{mm} \\ &= 240 - 19.6 - 30 \, \text{mm} \\ &= 190.4 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Calcul du rapport \(d/t_w\):

\[ \frac{d}{t_w} = \frac{190.4 \, \text{mm}}{6.2 \, \text{mm}} \approx 30.71 \]

Limite pour Classe 1 (âme en flexion) :

\[ 72\epsilon = 72 \cdot 0.924 = 66.528 \]

Comme \(30.71 \leq 66.528\), l'âme est de Classe 1.

Résultat Question 1 : La section IPE 240 en acier S275 est de Classe 1.

Question 2 : Moment Critique de Déversement Élastique (\(M_{\text{cr}}\))

Principe :

Pour une poutre bi-appuyée, soumise à une charge uniformément répartie appliquée sur l'aile supérieure, le moment critique de déversement élastique est donné par une formule qui prend en compte les propriétés géométriques de la section et les conditions de chargement. Une formule courante de l'Eurocode 3 (Annexe Nationale française) est :

\[ M_{\text{cr}} = C_1 \frac{\pi^2 E I_z}{(k_z L)^2} \left[ \sqrt{\left(\frac{k_z}{k_w}\right)^2 \frac{I_w}{I_z} + \frac{(k_z L)^2 G I_t}{\pi^2 E I_z} + (C_2 z_g)^2} - C_2 z_g \right] \]

Où : \(k_z = 1.0\) (pas de rotation autour de l'axe z aux appuis), \(k_w = 1.0\) (gauchissement non empêché aux appuis).

\(C_1\) et \(C_2\) sont des coefficients dépendant du type de chargement. Pour une charge uniformément répartie : \(C_1 = 1.127\), \(C_2 = 0.454\). \(z_g\) est la distance entre le point d'application de la charge et le centre de cisaillement. Pour une charge sur l'aile supérieure, \(z_g = +h/2\). (Positive si déstabilisante).

\(I_w\) est le moment d'inertie de gauchissement. Pour les profilés IPE, \(I_w \approx \frac{I_z \cdot (h-t_f)^2}{4}\).

Calcul des termes intermédiaires :

Calcul de \(z_g\):

\[ z_g = \frac{h}{2} = \frac{240 \, \text{mm}}{2} = 120 \, \text{mm} \]

Calcul de \(I_w\):

\[ \begin{aligned} I_w &\approx \frac{I_z \cdot (h-t_f)^2}{4} \\ &\approx \frac{(2.10 \times 10^6 \, \text{mm}^4) \cdot (240 \, \text{mm} - 9.8 \, \text{mm})^2}{4} \\ &\approx \frac{2.10 \times 10^6 \cdot (230.2)^2}{4} \, \text{mm}^6 \\ &\approx \frac{2.10 \times 10^6 \cdot 52992.04}{4} \, \text{mm}^6 \\ &\approx 2.782 \times 10^{10} \, \text{mm}^6 \end{aligned} \]

Coefficient \(k_z L\):

\[ k_z L = 1.0 \cdot 6000 \, \text{mm} = 6000 \, \text{mm} \]

Terme 1 (sous la racine) :

\[ \begin{aligned} \left(\frac{k_z}{k_w}\right)^2 \frac{I_w}{I_z} &= \left(\frac{1.0}{1.0}\right)^2 \frac{2.782 \times 10^{10} \, \text{mm}^6}{2.10 \times 10^6 \, \text{mm}^4} \\ &\approx 13247.6 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Terme 2 (sous la racine) :

\[ \begin{aligned} \frac{(k_z L)^2 G I_t}{\pi^2 E I_z} &= \frac{(6000 \, \text{mm})^2 \cdot 80770 \, \text{N/mm}^2 \cdot (1.27 \times 10^5 \, \text{mm}^4)}{\pi^2 \cdot 210000 \, \text{N/mm}^2 \cdot (2.10 \times 10^6 \, \text{mm}^4)} \\ &\approx \frac{3.6 \times 10^7 \cdot 80770 \cdot 1.27 \times 10^5}{9.8696 \cdot 2.1 \times 10^5 \cdot 2.1 \times 10^6} \, \text{mm}^2 \\ &\approx \frac{3.693 \times 10^{17}}{4.353 \times 10^{12}} \, \text{mm}^2 \\ &\approx 84838 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Terme 3 (sous la racine) :

\[ \begin{aligned} (C_2 z_g)^2 &= (0.454 \cdot 120 \, \text{mm})^2 \\ &= (54.48 \, \text{mm})^2 \\ &\approx 2968.07 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Somme sous la racine et racine carrée :

\[ \begin{aligned} \text{Sous la racine} &= 13247.6 + 84838 + 2968.07 \, \text{mm}^2 \\ &\approx 101053.67 \, \text{mm}^2 \\ \text{Racine} &= \sqrt{101053.67 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 317.89 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Terme \(C_2 z_g\):

\[ C_2 z_g = 0.454 \cdot 120 \, \text{mm} = 54.48 \, \text{mm} \]
Calcul de \(M_{\text{cr}}\) :
\[ \begin{aligned} M_{\text{cr}} &= C_1 \frac{\pi^2 E I_z}{(k_z L)^2} \left[ \sqrt{\dots} - C_2 z_g \right] \\ &= 1.127 \frac{\pi^2 \cdot 210000 \, \text{N/mm}^2 \cdot 2.10 \times 10^6 \, \text{mm}^4}{(6000 \, \text{mm})^2} \left[ 317.89 \, \text{mm} - 54.48 \, \text{mm} \right] \\ &= 1.127 \frac{9.8696 \cdot 2.1 \times 10^5 \cdot 2.1 \times 10^6}{3.6 \times 10^7} [263.41] \, \text{Nmm} \\ &\approx 1.127 \cdot \frac{4.353 \times 10^{12}}{3.6 \times 10^7} [263.41] \, \text{Nmm} \\ &\approx 1.127 \cdot 120916.67 \cdot 263.41 \, \text{Nmm} \\ &\approx 35894383 \, \text{Nmm} \\ &\approx 35.89 \, \text{kNm} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le moment critique de déversement élastique est \(M_{\text{cr}} \approx 35.89 \, \text{kNm}\).

Question 3 : Élancement Réduit pour le Déversement (\(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\))

Principe :

L'élancement réduit pour le déversement met en relation la résistance plastique de la section en flexion avec le moment critique de déversement.

Formule(s) utilisée(s) (pour sections de Classe 1 ou 2) :
\[\bar{\lambda}_{\text{LT}} = \sqrt{\frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_y}{M_{\text{cr}}}}\]
Données spécifiques :
  • \(W_{\text{pl,y}} = 367000 \, \text{mm}^3\)
  • \(f_y = 275 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(M_{\text{cr}} \approx 35.89 \times 10^6 \, \text{Nmm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \bar{\lambda}_{\text{LT}} &= \sqrt{\frac{367000 \, \text{mm}^3 \cdot 275 \, \text{N/mm}^2}{35.89 \times 10^6 \, \text{Nmm}}} \\ &= \sqrt{\frac{100925000}{35890000}} \\ &\approx \sqrt{2.8120} \\ &\approx 1.677 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'élancement réduit pour le déversement est \(\bar{\lambda}_{\text{LT}} \approx 1.677\).

Question 4 : Choix de la Courbe de Déversement et Facteur d'Imperfection (\(\alpha_{\text{LT}}\))

Principe :

Le choix de la courbe de déversement (a, b, c, ou d) dépend du type de profilé et de ses dimensions. Pour un IPE \(h/b_f = 240/120 = 2\). Pour \(h/b_f \leq 2\), on utilise la courbe "a" pour les profilés laminés I ou H. Si \(h/b_f > 2\), on utilise la courbe "b". Ici, \(h/b_f = 2\), donc courbe "a".

Valeurs de \(\alpha_{\text{LT}}\) selon Eurocode 3 (Tableau 6.3 et 6.4) :

  • Courbe a : \(\alpha_{\text{LT}} = 0.21\)
  • Courbe b : \(\alpha_{\text{LT}} = 0.34\)
  • Courbe c : \(\alpha_{\text{LT}} = 0.49\)
  • Courbe d : \(\alpha_{\text{LT}} = 0.76\)
Résultat Question 4 : Pour un IPE 240 avec \(h/b_f = 2\), on utilise la courbe de déversement "a", donc \(\alpha_{\text{LT}} = 0.21\).

Question 5 : Calcul du Paramètre \(\Phi_{\text{LT}}\)

Principe :

\(\Phi_{\text{LT}}\) est un paramètre intermédiaire utilisé pour calculer le facteur de réduction \(\chi_{\text{LT}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Pour la méthode générale (6.3.2.2 de l'EN1993-1-1) avec \(\bar{\lambda}_{\text{LT},0} = 0.2\) et \(\beta = 1.0\) (valeurs recommandées pour profilés laminés I ou H) :

\[\Phi_{\text{LT}} = 0.5 \left[ 1 + \alpha_{\text{LT}} (\bar{\lambda}_{\text{LT}} - 0.2) + \bar{\lambda}_{\text{LT}}^2 \right]\]
Calcul :
  • \(\alpha_{\text{LT}} = 0.21\)
  • \(\bar{\lambda}_{\text{LT}} \approx 1.677\)
\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{LT}} &= 0.5 \left[ 1 + 0.21 (1.677 - 0.2) + (1.677)^2 \right] \\ &= 0.5 \left[ 1 + 0.21 (1.477) + 2.8123 \right] \\ &= 0.5 \left[ 1 + 0.31017 + 2.8123 \right] \\ &= 0.5 \left[ 4.12247 \right] \\ &\approx 2.061 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le paramètre \(\Phi_{\text{LT}} \approx 2.061\).

Question 6 : Calcul du Facteur de Réduction pour le Déversement (\(\chi_{\text{LT}}\))

Principe :

\(\chi_{\text{LT}}\) réduit la résistance en flexion de la section pour tenir compte du risque de déversement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\chi_{\text{LT}} = \frac{1}{\Phi_{\text{LT}} + \sqrt{\Phi_{\text{LT}}^2 - \beta \cdot \bar{\lambda}_{\text{LT}}^2}}\]

Avec \(\beta = 1.0\) (conformément à la méthode générale pour \(\Phi_{\text{LT}}\)). On doit s'assurer que \(\chi_{\text{LT}} \leq 1.0\) et \(\chi_{\text{LT}} \leq \frac{1}{\bar{\lambda}_{\text{LT}}^2}\).

Calcul :
  • \(\Phi_{\text{LT}} \approx 2.061\)
  • \(\bar{\lambda}_{\text{LT}} \approx 1.677\)
  • \(\beta = 1.0\)
\[ \begin{aligned} \chi_{\text{LT}} &= \frac{1}{2.061 + \sqrt{(2.061)^2 - 1.0 \cdot (1.677)^2}} \\ &= \frac{1}{2.061 + \sqrt{4.247721 - 2.812329}} \\ &= \frac{1}{2.061 + \sqrt{1.435392}} \\ &= \frac{1}{2.061 + 1.198} \\ &= \frac{1}{3.259} \\ &\approx 0.3068 \end{aligned} \]

Vérification des limites :

\(\chi_{\text{LT}} \approx 0.307 \leq 1.0\) (OK)

Calcul de \(\frac{1}{\bar{\lambda}_{\text{LT}}^2}\):

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\bar{\lambda}_{\text{LT}}^2} &= \frac{1}{(1.677)^2} \\ &= \frac{1}{2.8123} \\ &\approx 0.3556 \end{aligned} \]

\(\chi_{\text{LT}} \approx 0.307 \leq 0.3556\) (OK)

Résultat Question 6 : Le facteur de réduction pour le déversement est \(\chi_{\text{LT}} \approx 0.307\).

Question 7 : Calcul de la Résistance au Déversement de Calcul (\(M_{b,Rd}\))

Principe :

La résistance au déversement de calcul est le produit du facteur de réduction \(\chi_{\text{LT}}\) et de la résistance plastique de la section en flexion, divisé par \(\gamma_{M1}\).

Formule(s) utilisée(s) (pour sections de Classe 1 ou 2) :
\[M_{b,Rd} = \chi_{\text{LT}} \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_y}{\gamma_{M1}}\]
Données spécifiques :
  • \(\chi_{\text{LT}} \approx 0.307\)
  • \(W_{\text{pl,y}} = 367000 \, \text{mm}^3\)
  • \(f_y = 275 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\gamma_{M1} = 1.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{b,Rd} &= 0.307 \cdot \frac{367000 \, \text{mm}^3 \cdot 275 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 0.307 \cdot 100925000 \, \text{Nmm} \\ &\approx 30984025 \, \text{Nmm} \\ &\approx 30.98 \, \text{kNm} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La résistance au déversement de calcul est \(M_{b,Rd} \approx 30.98 \, \text{kNm}\).

Question 8 : Vérification de la Stabilité au Déversement

Principe :

Il faut vérifier que le moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)) est inférieur ou égal à la résistance au déversement de calcul (\(M_{b,Rd}\)).

Condition :
\[M_{\text{Ed}} \leq M_{b,Rd}\]
Données :
  • \(M_{\text{Ed}} = 60 \, \text{kNm}\)
  • \(M_{b,Rd} \approx 30.98 \, \text{kNm}\)
Vérification :
\[60 \, \text{kNm} \leq 30.98 \, \text{kNm} \quad (\text{NON OK})\]

La condition n'est pas vérifiée. Le taux de travail est \(\frac{60}{30.98} \approx 1.937\), ce qui est largement supérieur à 1.0.

Résultat Question 8 : La poutre IPE 240 ne résiste pas au déversement sous le moment appliqué de \(60 \, \text{kNm}\). Elle est instable. Il faudrait choisir un profilé plus grand, réduire la portée, ou ajouter des maintiens latéraux.

Quiz Intermédiaire 1 : Que signifie \(M_{\text{Ed}} > M_{b,Rd}\) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le moment critique de déversement \(M_{\text{cr}}\) dépend notamment :

2. Un facteur de réduction \(\chi_{\text{LT}}\) faible (ex: 0.3) indique que :

3. Si une poutre IPE ne vérifie pas la condition de déversement, une solution possible est :

Glossaire

Déversement (Flambement Latéral-Torsionnel - FLT)
Phénomène d'instabilité d'une poutre fléchie par rapport à son axe de forte inertie, caractérisé par un déplacement latéral de la semelle comprimée et une rotation de la section transversale, lorsque cette semelle n'est pas maintenue latéralement.
\(M_{\text{cr}}\) (Moment critique de déversement élastique)
Moment fléchissant théorique qui provoque l'instabilité par déversement d'une poutre parfaite élastique.
\(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\) (Élancement réduit pour le déversement)
Paramètre sans dimension qui caractérise la sensibilité de la poutre au déversement, calculé en fonction de la résistance plastique en flexion et du moment critique \(M_{\text{cr}}\).
\(\alpha_{\text{LT}}\) (Facteur d'imperfection pour le déversement)
Coefficient qui tient compte des imperfections géométriques et structurelles influençant le déversement, utilisé pour déterminer la courbe de déversement.
\(\chi_{\text{LT}}\) (Facteur de réduction pour le déversement)
Coefficient (\(\leq 1.0\)) qui réduit la résistance en flexion de la section pour tenir compte du risque de déversement.
\(M_{b,Rd}\) (Résistance au déversement de calcul)
Moment fléchissant résistant de calcul d'une poutre, en tenant compte de l'effet du déversement.
\(I_z\) (Moment d'inertie par rapport à l'axe faible)
Caractéristique géométrique de la section mesurant sa résistance à la flexion autour de l'axe z (axe de faible inertie).
\(I_t\) (Moment d'inertie de torsion)
Caractéristique géométrique de la section mesurant sa résistance à la torsion uniforme (torsion de Saint-Venant).
\(I_w\) (Moment d'inertie de gauchissement)
Caractéristique géométrique de la section mesurant sa résistance au gauchissement (torsion non uniforme).
Vérification au Déversement d'un Profilé IPE - Exercice d'Application

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