Déplacement de l’Extrémité Libre d'une poutre
📝 Situation du Projet
Vous intégrez le bureau d'études structures de renommée internationale "Apex Engineering", spécialisé dans les ouvrages d'art audacieux. Le projet actuel concerne la construction du "Belvédère des Cimes", une passerelle d'observation touristique située en haute montagne. Cette structure se caractérise par une avancée spectaculaire au-dessus du vide, offrant aux visiteurs une vue imprenable sur la vallée.
La structure principale est composée de poutres métalliques en porte-à-faux (cantilever) encastrées dans la roche granitique de la falaise. L'architecte, soucieux de l'esthétique minimaliste et de la sensation de vertige, impose des profils élancés. Cependant, la sécurité et le confort psychologique des usagers sont primordiaux : une déformation excessive de l'extrémité de la passerelle, bien que non dangereuse pour la rupture (ELU), provoquerait un inconfort visuel et vibratoire inacceptable (ELS).
En tant qu'Ingénieur Structure Senior, vous devez valider le dimensionnement de la poutre maîtresse vis-à-vis de l'État Limite de Service (ELS). Votre objectif est de calculer la flèche maximale à l'extrémité libre de la poutre et de vérifier si elle respecte les critères de confort stricts imposés par le cahier des charges.
"Attention, ne confondez pas la résistance (ELU - rupture) et la déformation (ELS - flèche). Ici, c'est le confort de l'usager qui prime. Une poutre peut être incassable mais 'molle', ce qui terrifierait les touristes. Soyez rigoureux sur les unités, le module d'Inertie est en cm⁴ !"
L'étude repose sur une modélisation simplifiée en Résistance des Matériaux (RDM). La passerelle est assimilée à une poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre, soumise à une charge répartie uniforme.
📚 Référentiel Normatif
Eurocode 0 (EN 1990) - Bases de calculEurocode 3 (EN 1993) - Structures acier📐 Caractéristiques Géométriques & Matériaux
Le choix s'est porté sur un Profilé en I à ailes parallèles (IPE 400). Ce type de section est spécifiquement optimisé pour travailler en flexion : la matière est concentrée dans les ailes (loin de l'axe neutre) pour maximiser l'inertie, tandis que l'âme assure la résistance au cisaillement.
Le matériau retenu est un Acier de Construction S355. Sa dénomination indique une limite élastique de 355 MPa, offrant un compromis idéal entre ductilité et résistance mécanique pour des applications en haute altitude soumises à des variations thermiques.
La géométrie impose une Portée de la console \( L = 4,50 \text{ m} \). Cette longueur est dictée par l'exigence architecturale de surplomber la crête rocheuse de 3 mètres minimum pour garantir l'effet visuel.
La rigidité de la poutre est caractérisée par son Module d'Élasticité (Young) \( E = 210 \text{ GPa} \), standard pour l'acier, et son Moment Quadratique (Inertie) \( I_y = 23\,130 \text{ cm}^4 \), qui quantifie sa résistance à la flexion autour de son axe fort.
⚖️ Chargement de Calcul (ELS)
Le chargement est une combinaison d'actions à l'État Limite de Service (ELS), comprenant :
- Charges Permanentes (G) : Poids propre de la poutre IPE, du platelage en verre feuilleté et des garde-corps.
- Charges Variables (Q) : Charge d'exploitation simulant une foule compacte de touristes sur la passerelle.
La résultante est modélisée par une charge linéique uniforme.
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité SI (Interprétation) |
|---|---|---|---|
| Charge Répartie | \( q \) | 8,5 | kN/m (soit 8500 N/m) |
| Longueur | \( L \) | 4,5 | m |
| Module d'Élasticité | \( E \) | 210 | GPa (soit \( 210 \times 10^9 \) Pa) |
| Moment d'Inertie | \( I_y \) | 23 130 | cm⁴ (Attention à la conversion !) |
E. Protocole de Résolution
Pour garantir la fiabilité de la vérification, nous appliquerons strictement la méthodologie RDM classique pour les systèmes isostatiques.
Modélisation & Équilibre Statique
Isolement de la poutre et calcul des réactions d'appuis (Forces et Moment) à l'encastrement pour assurer l'équilibre global.
Torseur de Cohésion (Moment Fléchissant)
Détermination de l'équation du Moment Fléchissant \( M(x) \) le long de la poutre par la méthode de la coupure fictive.
Calcul de la Déformée (Flèche)
Intégration double de l'équation différentielle de la ligne élastique \( EI \cdot v''(x) = M(x) \) pour obtenir le déplacement vertical maximal.
Vérification Normative (Conclusion)
Comparaison de la flèche calculée avec le critère admissible \( L/250 \) pour valider ou rejeter la conception.
Déplacement de l’Extrémité Libre d'une poutre
🎯 Objectif
L'objectif de cette première étape est de quantifier les efforts que la poutre transmet à la falaise (l'encastrement). Avant de savoir comment la poutre se déforme, nous devons comprendre comment elle "tient". Il s'agit de calculer la force verticale et le moment de réaction nécessaires pour empêcher la poutre de tomber ou de tourner.
📚 Référentiel
Principe Fondamental de la Statique (PFS)Nous sommes face à une poutre "cantilever" ou console. C'est un système isostatique simple. L'encastrement parfait en A bloque tous les degrés de liberté : translation horizontale, translation verticale et rotation. Puisqu'il n'y a aucune force horizontale appliquée (le vent est négligé dans cette étude simplifiée), la réaction horizontale \( H_A \) est nulle. Notre attention se porte sur la Réaction Verticale \( V_A \) (qui porte le poids) et surtout le Moment d'Encastrement \( M_A \) (qui empêche la poutre de basculer vers le vide).
Un encastrement génère potentiellement 3 inconnues de liaison dans le plan : \( R_x, R_y, M_z \). Pour trouver ces inconnues, on applique le PFS : la somme des forces extérieures est nulle et la somme des moments est nulle en tout point. Dans un encastrement, le moment réactif est crucial car il est souvent dimensionnant pour les chevilles d'ancrage.
Schéma de Corps Libre (SCL)
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge linéique \( q \) | 8,5 kN/m |
| Portée \( L \) | 4,50 m |
Le signe du moment dépend de votre convention. Ici, nous considérons que le moment qui fait "sourire" la poutre est positif. Cependant, pour les réactions, on cherche juste la valeur absolue pour dimensionner l'ancrage. Physiquement, la charge veut faire tourner la poutre vers le bas (horaire), l'encastrement doit donc résister en tournant vers le haut (anti-horaire).
Calculs Détaillés
1. Calcul de la Réaction Verticale \( V_A \) :
On applique numériquement la formule d'équilibre des forces verticales pour trouver l'effort tranchant à l'appui.
L'ancrage doit supporter un cisaillement vertical de 38,25 kN.
2. Calcul du Moment d'Encastrement \( M_A \) :
On applique numériquement l'équilibre des moments. La force résultante est \( qL \) et son bras de levier est \( L/2 \) (centre de gravité du rectangle de charge).
L'encastrement doit résister à un couple de renversement de plus de 86 kN.m, ce qui est considérable.
L'équilibre statique nous montre que l'encastrement est le point critique. Les efforts y sont maximaux. La valeur de 86 kN.m signifie que si le bras de levier de l'ancrage est de 10 cm, les boulons devront reprendre une traction énorme. Ces valeurs serviront pour le dimensionnement des platines de fixation.
L'effort vertical (3,8 tonnes) correspond environ au poids de 5 petites voitures. Le moment est équivalent à une masse de 8,6 tonnes suspendue à 1 mètre. Ces ordres de grandeur sont cohérents avec une passerelle publique chargée.
Ne jamais oublier le moment dans un encastrement. Si vous calculez les boulons seulement avec l'effort tranchant \( V_A \), la structure s'effondrera par arrachement des fixations supérieures dû au moment \( M_A \).
🎯 Objectif
Pour calculer la déformation (la forme courbe que prendra la poutre), nous devons d'abord savoir comment les efforts internes varient en tout point \( x \) de la poutre, de l'encastrement (\( x=0 \)) jusqu'au bout (\( x=L \)). Nous cherchons la fonction mathématique du Moment Fléchissant.
📚 Référentiel
Méthode des Coupures (Sections)Nous allons effectuer une coupure fictive à une abscisse \( x \) quelconque. En isolant le tronçon de droite (partie libre), le calcul est plus simple car nous n'avons pas besoin de faire intervenir les réactions d'appuis \( V_A \) et \( M_A \) calculées précédemment (ce qui évite de propager une erreur potentielle). La seule force agissant sur le tronçon de droite est la charge répartie \( q \) sur une longueur \( (L-x) \).
Le moment fléchissant en une section \( x \) est la somme algébrique des moments de toutes les forces situées à gauche (ou à droite) de la section, calculés par rapport au centre de gravité de la section. En partant de la droite (partie libre), on évite les inconnues de liaison.
Méthode de la Coupure (Tronçon de Droite)
En isolant la partie droite (de \( x \) à \( L \)), le moment fléchissant \( M(x) \) équilibre le moment créé par la charge répartie sur ce segment. La force résultante est \( q(L-x) \) et son bras de levier est \( (L-x)/2 \).
Le signe "moins" indique que la fibre supérieure de la poutre est tendue (la poutre courbe vers le bas, convexité vers le haut).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Expression Littérale |
|---|---|
| Charge | \( q \) |
| Longueur restante | \( (L-x) \) |
Vérifiez toujours vos équations aux bornes (0 et L). Si les valeurs ne correspondent pas à la réalité physique (Moment nul à l'extrémité libre), l'équation est fausse.
Calcul Détaillé
1. Établissement de l'équation :
En remplaçant F et d dans la formule d'équilibre :
2. Vérification à l'extrémité libre (\( x = L \)) :
Il n'y a pas de moment à l'extrémité libre car il n'y a pas de matière au-delà pour résister.
3. Vérification à l'encastrement (\( x = 0 \)) :
On doit retrouver le moment de réaction maximal calculé en Q1, mais avec un signe négatif (traction fibre sup).
L'équation obtenue est une parabole (polynôme de degré 2). Cela est logique car la dérivée seconde du moment est l'opposé de la charge répartie (\( q \), constante). Le moment est maximal à l'encastrement et décroît jusqu'à zéro. C'est donc près du mur que la poutre souffre le plus.
La forme parabolique correspond parfaitement à la physique d'une console chargée uniformément. La continuité est assurée.
Attention au repère \( x \). Si vous prenez \( x \) depuis l'extrémité libre vers l'encastrement, l'équation change (\( -qx^2/2 \)). Il faut toujours définir l'origine du repère clairement avant de commencer.
🎯 Objectif
C'est le cœur de notre mission ELS : déterminer la valeur exacte, en millimètres, de la descente de l'extrémité de la passerelle sous la charge.
📚 Référentiel
Équation de la Déformée (Euler-Bernoulli)Nous utilisons l'équation différentielle de la déformée. La courbure de la poutre est proportionnelle au moment fléchissant et inversement proportionnelle à la rigidité (\( EI \)). En intégrant deux fois le moment \( M(x) \), nous obtenons la fonction de déplacement \( v(x) \). La flèche maximale se trouve géométriquement à l'extrémité libre \( x = L \).
L'équation maîtresse est \( EI \cdot v''(x) = M(x) \).
Intégrale 1 (Rotation) : \( EI \cdot v'(x) = \int M(x) dx + C_1 \).
Intégrale 2 (Déplacement) : \( EI \cdot v(x) = \int (EI \cdot v'(x)) dx + C_2 \).
Les constantes \( C_1 \) et \( C_2 \) sont nulles car à l'encastrement (\( x=0 \)), la rotation (pente) et le déplacement vertical sont nuls par définition.
Déformée et Conditions aux Limites
Après double intégration de l'expression \( - \frac{q(L-x)^2}{2} \) et application des conditions aux limites, la formule littérale de la flèche en extrémité est :
Notez la puissance 4 sur la longueur : une petite augmentation de la longueur de la passerelle augmente considérablement la flèche !
📋 Données d'Entrée (Conversions SI Obligatoires)
| Paramètre | Valeur Initiale | Valeur SI (Calcul) |
|---|---|---|
| Charge \( q \) | 8,5 kN/m | 8 500 N/m |
| Portée \( L \) | 4,5 m | 4,5 m |
| Module \( E \) | 210 GPa | \( 210 \times 10^9 \) Pa |
| Inertie \( I_y \) | 23 130 cm⁴ | \( 23 130 \times 10^{-8} \) m⁴ |
Pour l'inertie, rappelez-vous que \( 1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m} \). Donc \( 1 \text{ cm}^4 = (10^{-2})^4 \text{ m}^4 = 10^{-8} \text{ m}^4 \). C'est la conversion la plus critique de tout l'exercice.
Calcul Détaillé
1. Démonstration de l'Intégration :
Pour comprendre d'où vient le facteur 8, intégrons l'expression \( (L-x)^2 \).
Conditions aux limites : à \( x=0, v=0, v'=0 \). Cela donne \( C_1 = -qL^3/6 \) et \( C_2 = qL^4/24 \). En remplaçant \( x=L \), on simplifie pour obtenir la formule finale.
2. Calcul du Numérateur (\( qL^4 \)) :
Calculons la "force de flexion" pondérée par la géométrie.
3. Calcul du Dénominateur (\( 8EI \)) - La Rigidité :
Calculons la résistance à la déformation offerte par le matériau et la section.
4. Résultat Final (\( f \)) :
Division finale pour obtenir le déplacement en mètres.
L'extrémité de la passerelle descendra d'environ 9 mm sous la charge totale.
Le calcul nous donne un déplacement vertical de moins d'un centimètre pour une poutre de 4,5 mètres. Cela semble peu intuitivement, ce qui suggère que le profilé IPE 400 est très rigide. La flèche est dirigée vers le bas (dans le sens de la gravité), ce qui est physiquement logique.
Une flèche de 9 mm sur 4,5 m représente un ratio de \( L/500 \). Pour de l'acier en construction, les flèches courantes se situent entre \( L/200 \) et \( L/500 \). Nous sommes donc dans un ordre de grandeur très réaliste et plutôt sécuritaire.
Ce calcul suppose un encastrement parfait. En réalité, si la roche est fissurée ou l'ancrage souple, la rotation à la base ne sera pas nulle, et la flèche en bout sera beaucoup plus grande (effet de levier).
🎯 Objectif
L'étape finale consiste à comparer notre résultat théorique aux exigences du cahier des charges (normes ELS) pour valider ou rejeter la conception. Il s'agit d'une décision binaire : CONFORME ou NON CONFORME.
📚 Référentiel
Eurocode 3 (Critères ELS)Une flèche de 9 mm peut sembler faible dans l'absolu, mais elle doit être rapportée à la longueur de la poutre. Une déformation trop importante peut fissurer les vitrages du garde-corps, empêcher la fermeture de portes éventuelles, ou simplement effrayer les utilisateurs par un effet "ressort" lors de la marche. Le critère standard pour une console est souvent \( L/250 \).
L'État Limite de Service (ELS) concerne le fonctionnement normal de la structure. Contrairement à l'ELU (État Limite Ultime) qui concerne la ruine, l'ELS impose des limites de flèche (\( f \)) fractionnaires de la portée (\( L \)). Pour les toitures, c'est souvent \( L/200 \). Pour les planchers porteurs, \( L/300 \). Pour les consoles en porte-à-faux, le critère standard est \( L/250 \).
La condition de validité est une simple inéquation :
Si cette condition est fausse, il faut changer le profilé (augmenter I).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Flèche calculée \( f \) | 8,97 mm |
| Critère limite | \( L / 250 \) |
| Longueur \( L \) | 4500 mm |
Si la flèche est trop importante mais que la résistance est bonne, on peut réaliser une "contre-flèche" lors de la fabrication : on courbe la poutre vers le haut avant de l'installer. Sous la charge, elle deviendra horizontale.
Calcul Détaillé
1. Calcul de la Flèche Admissible (Limite) :
Calculons la valeur seuil à ne pas dépasser selon la norme.
2. Comparaison & Taux de Travail :
Nous comparons la flèche réelle \( f \) à la limite \( f_{\text{lim}} \) pour obtenir le taux d'utilisation de la capacité de déformation.
La condition \( f < f_{\text{lim}} \) est largement vérifiée.
La poutre est surdimensionnée vis-à-vis du critère de flèche ELS. Elle n'utilise que 50% de sa "capacité" de déformation autorisée. Cela signifie que le confort sera excellent (structure très rigide). Cependant, cela peut aussi indiquer que nous pourrions optimiser la structure (choisir un IPE 360 ?) pour économiser de la matière, si la résistance ELU le permet.
Le résultat est cohérent. Une poutre de 40 cm de haut (IPE 400) est très robuste pour une portée de 4,5 m. Avoir une marge de sécurité importante est normal pour ce type de profilé sur cette longueur.
Attention : valider l'ELS (flèche) ne signifie pas que la poutre ne va pas casser ! Il faut impérativement vérifier l'ELU (contrainte de flexion et cisaillement) et le déversement (instabilité) dans une autre note de calcul. L'ELS ne garantit que le confort, pas la solidité ultime.
📄 Livrable Final (Note de Synthèse)
- Calcul en élasticité linéaire (Loi de Hooke).
- Hypothèse de Navier-Bernoulli (Sections planes restent planes).
- Référentiel : Eurocode 3 - Vérification ELS (Confort).
| Profilé | IPE 400 (S355) |
| Inertie de flexion (\( I_y \)) | \( 2,313 \times 10^{-4} \text{ m}^4 \) |
| Charge ELS (\( q \)) | 8,5 kN/m |
| Portée (\( L \)) | 4,50 m |
Vérification de la flèche maximale en extrémité de console.
Marge de sécurité ELS : 50%.
Jean Structure
Dr. A. Poutre
Laisser un commentaire