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Déperditions Thermiques d’un Local non Chauffé

Exercice : Déperditions d'un Local non Chauffé

Déperditions Thermiques d'un Local non Chauffé

Contexte : Le calcul des déperditions thermiquesQuantité de chaleur qui s'échappe d'un bâtiment vers l'extérieur pendant la saison de chauffage..

Dans l'étude thermique d'un bâtiment, il est courant de rencontrer des espaces non chauffés (garage, cave, buanderie) adjacents à des locaux chauffés. La chaleur s'échappe du local chauffé vers le local non chauffé (LNC), puis de ce dernier vers l'extérieur. Il est donc crucial de calculer correctement la température de ce local tampon et les déperditions qui en résultent pour dimensionner précisément l'installation de chauffage et optimiser l'isolation.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la température d'équilibre d'un local non chauffé et à déterminer les déperditions thermiques à travers celui-ci, une compétence essentielle pour tout thermicien du bâtiment.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la notion de bilan thermique sur un local non chauffé (LNC).
  • Calculer les coefficients de transmission thermique linéiques (H).
  • Déterminer par le calcul la température d'un local non chauffé.
  • Calculer les déperditions d'un local chauffé vers un LNC.

Données de l'étude

On étudie une pièce chauffée (un salon) d'une maison individuelle, adjacente à un garage non chauffé. L'objectif est de calculer les déperditions du salon vers l'extérieur, en passant par le garage.

Configuration du Bâtiment
Plan de la zone d'étude
❄️ Extérieur, θe = -2°C Salon 🔥 θi = 19°C Garage 🌡️ θu = ? 5.0 m 4.0 m 6.0 m 6.0 m
Paramètre Description Symbole Valeur Unité
Température intérieure Température de consigne du salon \(\theta_i\) 19 °C
Température extérieure Température de base de la zone climatique \(\theta_e\) -2 °C
Dimensions Salon Longueur x largeur x hauteur - 5.0 x 4.0 x 2.5 m
Dimensions Garage Longueur x largeur x hauteur - 6.0 x 4.0 x 2.5 m
Mur Salon / Garage Coefficient de transmission thermique \(U_{\text{iu}}\) 0.8 W/m².K
Murs extérieurs Garage Coefficient de transmission thermique \(U_{\text{ue,mur}}\) 1.2 W/m².K
Porte du Garage Coefficient de transmission thermique \(U_{\text{ue,porte}}\) 2.5 W/m².K
Plancher Garage Le garage est sur terre-plein (considéré comme isolé) \(U_{\text{sol}}\) 0 W/m².K
Plafond Garage Le plafond donne sur des combles non aménagés \(U_{\text{plafond}}\) 0.4 W/m².K

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de déperdition thermique \(H_{\text{ue}}\) entre le garage (LNC) et l'extérieur.
  2. Calculer le coefficient de déperdition thermique \(H_{\text{iu}}\) entre le salon chauffé et le garage.
  3. Établir l'équation du bilan thermique du garage.
  4. Déduire de l'équation la température du garage \(\theta_u\).
  5. Calculer la déperdition totale \(D_{\text{iu}}\) du salon à travers le garage.

Les bases en Thermique du Bâtiment

1. Déperditions par transmission
La chaleur traverse les parois opaques (murs, planchers, toitures) par transmission. La quantité de chaleur perdue, appelée déperdition (D), est proportionnelle à la surface de la paroi (A), à la différence de température entre les deux côtés (\(\Delta\theta\)) et à la qualité de l'isolation de la paroi, représentée par le coefficient de transmission thermique (U). \[ D = U \cdot A \cdot \Delta\theta \quad [\text{W}] \] On définit aussi le coefficient de transmission thermique linéique H comme : \( H = U \cdot A \quad [\text{W/K}] \). La formule devient alors : \( D = H \cdot \Delta\theta \).

2. Bilan thermique d'un local non chauffé (LNC)
Un LNC n'a pas de système de chauffage propre. Sa température \(\theta_u\) s'équilibre en fonction des flux de chaleur qui le traversent. En régime permanent, la somme des apports de chaleur est égale à la somme des pertes. Ici, le seul apport provient du local chauffé, et les seules pertes se font vers l'extérieur. \[ \text{Apports (local chauffé} \rightarrow \text{LNC)} = \text{Pertes (LNC} \rightarrow \text{extérieur)} \] \[ H_{\text{iu}} \cdot (\theta_i - \theta_u) = H_{\text{ue}} \cdot (\theta_u - \theta_e) \] Cette équation permet de trouver la température d'équilibre \(\theta_u\).

Correction : Déperditions Thermiques d'un Local non Chauffé

Question 1 : Calculer le coefficient de déperdition thermique \(H_{\text{ue}}\) entre le garage (LNC) et l'extérieur.

Principe (le concept physique)

Le coefficient de déperdition thermique, noté H, représente la facilité avec laquelle la chaleur s'échappe d'un volume vers un autre. Pour le garage (noté 'u') vers l'extérieur ('e'), \(H_{\text{ue}}\) quantifie la totalité du flux de chaleur qui quitte le garage pour chaque degré Celsius d'écart de température entre les deux. C'est en quelque sorte la "taille de la fuite thermique" globale du garage vers l'extérieur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La déperdition thermique par transmission à travers une paroi est donnée par \(D = U \cdot A \cdot \Delta\theta\). Le terme \(H = U \cdot A\) (en W/K) isole la part qui ne dépend que des caractéristiques physiques de la paroi (son isolation et sa surface). Pour un volume entier comme notre garage, le coefficient global de déperdition vers l'extérieur \(H_{\text{ue}}\) est simplement la somme des coefficients H de toutes les parois qui séparent le garage de l'extérieur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'erreur la plus courante est d'oublier une paroi. Pour éviter cela, soyez méthodique : listez toutes les faces du "cube" que forme le garage (6 faces : 4 murs, 1 sol, 1 plafond) et pour chacune, demandez-vous "Avec quel espace est-elle en contact ?". Ici, on ne s'intéresse qu'à celles en contact avec l'extérieur.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des déperditions est encadré en France par les règles de la réglementation thermique en vigueur (actuellement la RE2020, qui a succédé à la RT2012). Ces textes définissent les méthodes de calcul, les températures de base à considérer selon les régions, et la manière de prendre en compte les ponts thermiques (que nous négligeons ici pour simplifier).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule générale de \(H_{\text{ue}}\)

\[ H_{\text{ue}} = \sum_{k} (U_k \cdot A_k) = U_{\text{ue,mur}} \cdot A_{\text{ue,mur}} + U_{\text{ue,porte}} \cdot A_{\text{ue,porte}} + U_{\text{plafond}} \cdot A_{\text{plafond}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour cet exercice, nous posons les hypothèses simplificatrices suivantes :

  • Les transferts de chaleur sont unidimensionnels, perpendiculaires aux parois.
  • Le régime est permanent (les températures ne varient pas dans le temps).
  • Les ponts thermiques (jonctions entre parois) sont négligés.
  • Le sol sur terre-plein est considéré comme parfaitement isolant (\(U=0\)).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous extrayons de l'énoncé toutes les données relatives au garage et à ses parois extérieures.

ParamètreSymboleValeurUnité
Dimensions Garage (L x l x h)-6.0 x 4.0 x 2.5m
U Mur extérieur Garage\(U_{\text{ue,mur}}\)1.2W/m².K
U Porte Garage\(U_{\text{ue,porte}}\)2.5W/m².K
U Plafond Garage\(U_{\text{plafond}}\)0.4W/m².K
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour le calcul des surfaces, dessinez rapidement le garage "à plat" (le patron du cube). Cela vous permet de visualiser immédiatement les surfaces à calculer (les 3 murs extérieurs, le plafond) et celles à ne pas prendre en compte (le sol et le mur mitoyen avec le salon).

Schéma (Avant les calculs)
Vue en coupe des déperditions du garage
Sol (U=0)Garage(Local Non Chauffé)H_plafondH_murH_mur+porte
Calcul(s) (l'application numérique)

Surface brute des murs extérieurs (3 côtés)

\[ \begin{aligned} A_{\text{brute}} &= (L + l + l) \times h \\ &= (6.0 + 4.0 + 4.0) \times 2.5 \\ &= 35 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Surface de la porte

\[ \begin{aligned} A_{\text{porte}} &= 3.0 \times 2.2 \\ &= 6.6 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Surface nette des murs extérieurs

\[ \begin{aligned} A_{\text{ue,mur}} &= A_{\text{brute}} - A_{\text{porte}} \\ &= 35 - 6.6 \\ &= 28.4 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Surface du plafond

\[ \begin{aligned} A_{\text{plafond}} &= L \times l \\ &= 6.0 \times 4.0 \\ &= 24 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de \(H_{\text{ue}}\)

\[ \begin{aligned} H_{\text{ue}} &= (1.2 \cdot 28.4) + (2.5 \cdot 6.6) + (0.4 \cdot 24) \\ &= 34.08 + 16.5 + 9.6 \\ &\Rightarrow H_{\text{ue}} = 60.18 \text{ W/K} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Répartition des déperditions du garage
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat \(H_{\text{ue}} = 60.18\) W/K signifie que pour chaque degré d'écart entre le garage et l'extérieur, 60.18 Watts s'échappent. C'est une valeur assez élevée, typique d'un espace peu ou pas isolé. L'analyse montre que les murs représentent 57% des pertes (34.08 / 60.18), c'est donc sur ce poste qu'une action d'isolation serait la plus efficace.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien déduire la surface de la porte de celle des murs avant de faire le calcul. Appliquer le U des murs à toute la surface brute puis ajouter la porte est une erreur conceptuelle qui surestimerait les pertes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour calculer le coefficient de déperdition total d'un volume vers un autre (ici, garage vers extérieur), il faut identifier toutes les parois de séparation, calculer leur coefficient H individuel (\(U \cdot A\)) et les additionner.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de coefficient U a été développé à la fin du 19e siècle. Avant cela, l'isolation était purement empirique, basée sur l'épaisseur des murs. L'introduction du calcul a permis d'optimiser les matériaux et de créer des bâtiments beaucoup plus performants sur le plan énergétique, une quête qui est plus que jamais d'actualité.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne prend-on pas en compte le sol ?

L'énoncé précise que le garage est sur terre-plein et on le considère comme isolé (\(U=0\)). Dans un cas réel, le sol a un coefficient U non nul et on le prendrait en compte dans le calcul de \(H_{\text{ue}}\).

Et le renouvellement d'air ?

Pour simplifier, nous n'avons calculé que les déperditions par transmission (à travers les parois). Un bilan complet inclurait les déperditions par renouvellement d'air (ventilation et infiltrations), qui peuvent représenter une part importante des pertes totales.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de déperdition thermique entre le garage et l'extérieur est \(H_{\text{ue}} = 60.18 \text{ W/K}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on remplaçait la porte du garage par un modèle mieux isolé (U = 1.5 W/m².K), quelle serait la nouvelle valeur de \(H_{\text{ue}}\) ?

Question 2 : Calculer le coefficient de déperdition thermique \(H_{\text{iu}}\) entre le salon chauffé et le garage.

Principe (le concept physique)

De la même manière que pour \(H_{\text{ue}}\), le coefficient \(H_{\text{iu}}\) quantifie la "fuite thermique", mais cette fois-ci spécifiquement à travers la (ou les) paroi(s) qui séparent l'intérieur chauffé ('i') du local non chauffé ('u', le garage). Dans notre cas, il n'y a qu'une seule paroi : le mur mitoyen.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La démarche est identique à la question précédente, mais le périmètre est plus simple. Le coefficient de déperdition linéique \(H_{\text{iu}}\) est le produit du coefficient de transmission thermique de la paroi de séparation, \(U_{\text{iu}}\), par sa surface, \(A_{\text{iu}}\). S'il y avait plusieurs parois (par exemple une porte de service en plus du mur), on sommerait leurs coefficients H respectifs.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Faites bien attention aux indices. 'iu' signifie 'de l'intérieur vers le non-chauffé'. 'ue' signifie 'du non-chauffé vers l'extérieur'. Cette notation est standard et vous aide à ne pas mélanger les différents flux de chaleur. L'ordre des lettres indique le sens de la déperdition (du plus chaud vers le plus froid).

Normes (la référence réglementaire)

Les réglementations thermiques (RE2020/RT2012) fournissent des valeurs par défaut pour les coefficients U des parois intérieures, mais il est toujours préférable d'utiliser les valeurs certifiées des matériaux ou de les calculer précisément à partir de la composition de la paroi (épaisseur et conductivité de chaque couche).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de \(H_{\text{iu}}\)

\[ H_{\text{iu}} = U_{\text{iu}} \cdot A_{\text{iu}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous gardons les mêmes hypothèses que précédemment : régime permanent, transfert 1D, pas de ponts thermiques. La seule paroi concernée est le mur entre le salon et le garage.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On extrait de l'énoncé les données relatives à cette paroi commune.

ParamètreSymboleValeurUnité
Dimensions du mur commun (largeur x hauteur)-4.0 x 2.5m
U Mur Salon / Garage\(U_{\text{iu}}\)0.8W/m².K
Astuces (Pour aller plus vite)

Dans les cas simples comme celui-ci avec une seule paroi rectangulaire, le calcul est très rapide. Visualisez simplement le rectangle concerné, calculez sa surface et multipliez par le U donné. L'opération peut se faire de tête ou en une seule ligne sur la calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)
Vue en coupe du flux Salon vers Garage
SALONθi = 19°CGARAGEθuMur mitoyenH_iu = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Surface de la paroi commune \(A_{\text{iu}}\)

\[ \begin{aligned} A_{\text{iu}} &= \text{largeur} \times \text{hauteur} \\ &= 4.0 \text{ m} \times 2.5 \text{ m} \\ &= 10.0 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de \(H_{\text{iu}}\)

\[ \begin{aligned} H_{\text{iu}} &= U_{\text{iu}} \cdot A_{\text{iu}} \\ &= 0.8 \text{ W/m}^2\text{K} \times 10.0 \text{ m}^2 \\ &= 8.0 \text{ W/K} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Coefficient de déperdition Salon vers Garage
SALONθi = 19°CGARAGEθuMur mitoyenH_iu = 8.0 W/K
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une valeur de \(H_{\text{iu}} = 8.0\) W/K est relativement faible comparée à \(H_{\text{ue}}\). Cela signifie que le mur de séparation est beaucoup plus "étanche" à la chaleur que l'enveloppe extérieure du garage. C'est une situation souhaitable, car elle limite les pertes du volume chauffé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne vous trompez pas de surface ! Il faut bien prendre la surface de la paroi commune (4m x 2.5m) et non la surface au sol du salon ou du garage.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le coefficient \(H_{\text{iu}}\) caractérise l'échange thermique entre le volume chauffé et le LNC. Il se calcule en multipliant le U de la paroi de séparation par sa surface A.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En rénovation, il est souvent plus rentable d'isoler le mur de séparation (augmenter l'étanchéité thermique, donc diminuer \(H_{\text{iu}}\)) que de tenter d'isoler tout le garage. C'est le principe de la "boîte dans la boîte" : on se concentre sur l'isolation de l'enveloppe chauffée.

FAQ (pour lever les doutes)
Et s'il y avait une porte entre le salon et le garage ?

Il faudrait calculer le H de la porte (\(U_{\text{porte}} \cdot A_{\text{porte}}\)), le H du mur restant (\(U_{\text{mur}} \cdot (A_{\text{totale}} - A_{\text{porte}})\)), puis additionner les deux pour obtenir le \(H_{\text{iu}}\) total.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de déperdition thermique entre le salon et le garage est \(H_{\text{iu}} = 8.0 \text{ W/K}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le mur de séparation était en béton non isolé (U = 2.0 W/m².K), quelle serait la nouvelle valeur de \(H_{\text{iu}}\) ?

Question 3 : Établir l'équation du bilan thermique du garage.

Principe (le concept physique)

Le garage n'est pas chauffé, sa température \(\theta_u\) va donc se stabiliser à une valeur d'équilibre. Cet équilibre est atteint lorsque la quantité de chaleur qu'il reçoit du salon (les apports) est exactement égale à la quantité de chaleur qu'il perd vers l'extérieur (les pertes). Le bilan thermique est l'écriture mathématique de cette égalité : Apports = Pertes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie) nous dit qu'en régime stationnaire et sans source de chaleur interne, la somme de tous les flux de chaleur entrant dans un volume est égale à la somme de tous les flux sortants. En traduisant cela avec les coefficients de déperdition, on obtient : \( \text{Flux entrant} = D_{\text{iu}} = H_{\text{iu}} \cdot (\theta_i - \theta_u) \) et \( \text{Flux sortant} = D_{\text{ue}} = H_{\text{ue}} \cdot (\theta_u - \theta_e) \).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape charnière de l'exercice. C'est ici que l'on connecte les deux calculs précédents. On ne peut pas résoudre le problème sans poser correctement ce bilan. Assurez-vous de bien comprendre pourquoi on égale ces deux flux.

Normes (la référence réglementaire)

Ce principe de bilan énergétique est à la base de toutes les méthodes de calcul thermique réglementaires. Que ce soit pour un simple LNC ou pour un bâtiment entier, la logique reste la même : on fait la balance entre les pertes (par les parois, la ventilation) et les apports (chauffage, solaire, apports internes).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation du bilan thermique

\[ D_{\text{iu}} = D_{\text{ue}} \Rightarrow H_{\text{iu}} \cdot (\theta_i - \theta_u) = H_{\text{ue}} \cdot (\theta_u - \theta_e) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse fondamentale pour écrire cette équation est que le système est en régime permanent (stationnaire), c'est-à-dire que les températures \(\theta_i\), \(\theta_u\), et \(\theta_e\) sont considérées comme constantes dans le temps. Le garage n'est ni en train de se réchauffer, ni de se refroidir.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les résultats des questions 1 et 2, ainsi que les températures de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient Salon -> Garage\(H_{\text{iu}}\)8.0W/K
Coefficient Garage -> Extérieur\(H_{\text{ue}}\)60.18W/K
Température intérieure\(\theta_i\)19°C
Température extérieure\(\theta_e\)-2°C
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs de signe, écrivez toujours la différence de température comme \((\theta_{\text{chaud}} - \theta_{\text{froid}})\). Pour le flux entrant, c'est \((\theta_i - \theta_u)\). Pour le flux sortant, c'est \((\theta_u - \theta_e)\). Cela garantit que les deux côtés de votre équation représentent des quantités positives.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des flux sur le Local Non Chauffé
SALON (θi)GARAGE (θu)EXTÉRIEUR (θe)Apport = D_iuPerte = D_ueD_iu = D_ue
Calcul(s) (l'application numérique)

Équation numérique du bilan

\[ 8.0 \cdot (19 - \theta_u) = 60.18 \cdot (\theta_u - (-2)) \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan thermique avec valeurs numériques
SALON (19°C)GARAGE (θu)EXTÉRIEUR (-2°C)H_iu = 8.0H_ue = 60.188.0 * (19 - θu) = 60.18 * (θu + 2)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'équation obtenue contient une seule inconnue, \(\theta_u\). Cela confirme que le problème est bien posé et que nous allons pouvoir déterminer la température du garage. Physiquement, cette équation signifie que la température \(\theta_u\) va s'ajuster jusqu'à ce que le "débit" de chaleur sortant soit égal au "débit" entrant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de mal poser le sens des flux et d'inverser les températures dans les parenthèses. Souvenez-vous que le flux va toujours du chaud vers le froid.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le bilan thermique d'un LNC s'écrit en égalant le flux de chaleur reçu des locaux chauffés au flux de chaleur perdu vers l'extérieur ou d'autres locaux plus froids.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Ce même principe de bilan est utilisé dans des domaines très variés, de la chimie (bilan de matière dans une réaction) à la finance (bilan comptable où Actif = Passif) en passant par l'hydraulique (loi des nœuds : la somme des débits entrants est égale à la somme des débits sortants).

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne tient-on pas compte du soleil qui taperait sur le garage ?

Ce serait un "apport gratuit". Il faudrait l'ajouter du côté "Apports" de l'équation. Notre calcul représente le cas le plus défavorable (la nuit, sans soleil), qui est celui utilisé pour dimensionner le chauffage.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'équation du bilan thermique du garage est : \( 8.0 \cdot (19 - \theta_u) = 60.18 \cdot (\theta_u + 2) \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec \(H_{\text{iu}}\) = 15 W/K et \(H_{\text{ue}}\) = 70 W/K, et des températures inchangées, quelle serait la bonne équation de bilan ? (Réponse sous la forme `A*(19-x) = B*(x+2)`)

Question 4 : Déduire de l'équation la température du garage \(\theta_u\).

Principe (le concept physique)

Le principe ici est purement mathématique. Ayant posé une équation physique avec une seule inconnue, nous utilisons les outils de l'algèbre pour isoler cette inconnue et trouver sa valeur numérique. Cette valeur sera la température pour laquelle les flux de chaleur entrants et sortants s'équilibrent.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Nous sommes face à une équation du premier degré de la forme \(a(b-x) = c(x-d)\). Pour la résoudre, il faut : 1. Distribuer les facteurs : \(ab - ax = cx - cd\). 2. Regrouper les termes en x d'un côté et les constantes de l'autre : \(ab + cd = ax + cx\). 3. Factoriser par x : \(ab + cd = x(a+c)\). 4. Isoler x : \(x = (ab+cd)/(a+c)\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prenez votre temps pour la manipulation algébrique. Une simple erreur de signe est vite arrivée et faussera tout le reste de l'exercice. Je vous conseille de détailler chaque étape sur votre brouillon plutôt que de tout faire de tête.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme spécifique pour la résolution d'équation, cela relève des mathématiques fondamentales. Cependant, les normes thermiques donnent une formule directe pour \(\theta_u\), qui est précisément celle que nous dérivons ici.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule générale de la température du LNC

\[ \theta_u = \frac{H_{\text{iu}}\cdot\theta_i + H_{\text{ue}}\cdot\theta_e}{H_{\text{iu}} + H_{\text{ue}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Aucune nouvelle hypothèse. Nous nous basons sur la validité de l'équation posée à la question 3.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Équation de bilan-\(8.0 \cdot (19 - \theta_u) = 60.18 \cdot (\theta_u + 2)\)-
Astuces (Pour aller plus vite)

Apprendre la formule générale \(\theta_u = \frac{H_{\text{iu}}\theta_i + H_{\text{ue}}\theta_e}{H_{\text{iu}} + H_{\text{ue}}}\) peut vous faire gagner beaucoup de temps dans les exercices. On voit que \(\theta_u\) est la moyenne des températures \(\theta_i\) et \(\theta_e\), pondérée par les coefficients H.

Schéma (Avant les calculs)
Échelle des températures
θe = -2°Cθi = 19°Cθu = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Résolution de l'équation

\[ \begin{aligned} 8.0 \cdot (19 - \theta_u) &= 60.18 \cdot (\theta_u + 2) \\ 152 - 8.0 \cdot \theta_u &= 60.18 \cdot \theta_u + 120.36 \\ 152 - 120.36 &= 60.18 \cdot \theta_u + 8.0 \cdot \theta_u \\ 31.64 &= 68.18 \cdot \theta_u \\ \theta_u &= \frac{31.64}{68.18} \\ &\Rightarrow \theta_u \approx 0.464 \text{ °C} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Température d'équilibre du garage
θe = -2°Cθi = 19°Cθu ≈ 0.46°C
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La température du garage (0.46°C) est logiquement comprise entre la température intérieure (19°C) et extérieure (-2°C). Elle est beaucoup plus proche de la température extérieure car le garage est mal isolé vers l'extérieur (\(H_{\text{ue}}=60.18\) est grand) et relativement bien isolé du salon (\(H_{\text{iu}}=8.0\) est petit). La "fuite" vers l'extérieur est donc beaucoup plus forte que "l'apport" de chaleur, tirant la température d'équilibre vers le bas.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention au signe de la température extérieure ! On a \( \theta_u - (-2) \) ce qui devient \( \theta_u + 2 \). Oublier le double négatif est une erreur fréquente qui fausse le résultat.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La température d'un LNC est la moyenne pondérée des températures des locaux adjacents, où les coefficients de pondération sont les coefficients de déperdition H vers chacun de ces locaux.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Cette méthode de calcul de température d'un nœud en fonction des "résistances" qui l'entourent est une analogie directe avec la loi d'Ohm en électricité. La température est analogue au potentiel (Voltage), le flux de chaleur au courant (Ampères) et l'inverse de H (1/H), la résistance thermique, à la résistance électrique (Ohms).

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que la température du garage serait toujours au-dessus de 0°C ?

Non. Si la température extérieure était beaucoup plus basse, ou si l'isolation du garage était encore plus mauvaise (H_ue plus grand), la température du garage pourrait facilement devenir négative.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La température d'équilibre du garage est \(\theta_u \approx 0.46 \text{ °C}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec \(H_{\text{iu}}\) = 15 W/K, \(H_{\text{ue}}\) = 70 W/K, \(\theta_i\) = 19°C et \(\theta_e\) = -2°C, quelle serait la température \(\theta_u\) ?

Question 5 : Calculer la déperdition totale \(D_{\text{iu}}\) du salon à travers le garage.

Principe (le concept physique)

Maintenant que l'on connaît la température réelle de "l'autre côté" du mur du salon (\(\theta_u = 0.46°C\)), on peut enfin calculer le flux de chaleur réel, en Watts, qui traverse cette paroi. Ce flux représente la puissance que le système de chauffage du salon doit fournir en permanence pour compenser uniquement cette perte.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

On revient à la formule de base de la déperdition thermique : \(D = H \cdot \Delta\theta\). Dans notre cas, nous nous intéressons au flux passant de l'intérieur 'i' au local non chauffé 'u'. Le H correspondant est \(H_{\text{iu}}\) et la différence de température est \((\theta_i - \theta_u)\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'aboutissement de l'exercice. Toutes les étapes précédentes n'avaient qu'un but : nous permettre de faire ce calcul final. Ce chiffre, \(D_{\text{iu}}\), est une donnée concrète qui servira par exemple à dimensionner un radiateur.

Normes (la référence réglementaire)

Selon les normes de dimensionnement de chauffage (comme la norme EN 12831), la puissance de chauffage à installer dans une pièce est la somme de toutes ses déperditions (vers l'extérieur, vers les LNC, vers le sol, etc.) calculées dans les conditions de base (température extérieure la plus froide statistiquement).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la déperdition \(D_{\text{iu}}\)

\[ D_{\text{iu}} = H_{\text{iu}} \cdot (\theta_i - \theta_u) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que les valeurs de \(H_{\text{iu}}\) et \(\theta_u\) que nous avons calculées sont exactes. La précision du résultat final dépend directement de la précision des étapes précédentes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient Salon -> Garage\(H_{\text{iu}}\)8.0W/K
Température intérieure\(\theta_i\)19°C
Température du garage\(\theta_u\)0.46°C
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour vérifier votre résultat, vous pouvez faire le calcul "dans l'autre sens" : calculez les pertes du garage vers l'extérieur \(D_{\text{ue}} = H_{\text{ue}} \cdot (\theta_u - \theta_e)\). Vous devez trouver exactement le même résultat que pour \(D_{\text{iu}}\), car le bilan doit être équilibré ! \(D_{\text{ue}} = 60.18 \cdot (0.46 - (-2)) = 60.18 \cdot 2.46 \approx 148.04 \text{ W}\). La petite différence vient des arrondis.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul du flux de déperdition final
SALON19°CGARAGE0.46°CD_iu = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de \(D_{\text{iu}}\)

\[ \begin{aligned} D_{\text{iu}} &= H_{\text{iu}} \cdot (\theta_i - \theta_u) \\ &= 8.0 \times (19 - 0.46) \\ &= 8.0 \times 18.54 \\ &\Rightarrow D_{\text{iu}} = 148.32 \text{ W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan des puissances thermiques
Salon (19°C)Garage (0.46°C)Extérieur (-2°C)148.32 W148.32 W
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comparaison importante : Si on avait ignoré la présence du garage et considéré que le mur du salon donnait directement sur l'extérieur (-2°C), on aurait calculé une déperdition erronée de \(D = H_{\text{iu}} \cdot (\theta_i - \theta_e) = 8.0 \cdot (19 - (-2)) = 8.0 \cdot 21 = 168 \text{ W}\). Le calcul correct montre une perte réelle de 148.32 W, soit environ 12% de moins. Le garage, même non chauffé, joue un rôle d'espace tampon qui réduit les pertes du salon.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur fatale serait d'utiliser la température extérieure \(\theta_e\) au lieu de la température du LNC \(\theta_u\) dans ce calcul final. Tout l'intérêt des questions précédentes est justement de trouver la vraie température à laquelle le salon est exposé.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La déperdition d'une pièce chauffée vers un local non chauffé se calcule avec la température d'équilibre de ce local, et non avec la température extérieure.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept d' "espace tampon" est une stratégie bioclimatique. Dans les maisons passives, on conçoit volontairement des espaces comme des vérandas non chauffées au sud pour qu'elles captent le soleil l'hiver, atteignent une température douce, et réduisent ainsi les déperditions des pièces de vie situées juste derrière.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette déperdition de 148 W, est-ce beaucoup ?

Pour donner un ordre de grandeur, c'est l'équivalent de la chaleur dégagée par deux personnes au repos ou une grosse ampoule à incandescence. Dans une maison moderne bien isolée, les déperditions totales d'une pièce se comptent en quelques centaines de Watts.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les déperditions thermiques du salon à travers le garage sont de \(D_{\text{iu}} = 148.32 \text{ W}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Recalculez la déperdition \(D_{\text{iu}}\) si la température extérieure descend à -10°C (il faudra d'abord recalculer \(\theta_u\)).

Outil Interactif : Simulateur de Déperditions

Utilisez les curseurs pour voir comment la température extérieure et l'isolation du garage influencent sa température interne et les déperditions du salon.

Paramètres d'Entrée
-2 °C
1.2 W/m².K
Résultats Clés
Température du garage (\(\theta_u\)) -
Déperditions \(D_{\text{iu}}\) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le coefficient de transmission thermique 'U' représente ?

2. Si l'on améliore l'isolation des murs extérieurs du garage (en diminuant leur valeur U), que va-t-il se passer ?

3. Dans l'équation du bilan thermique d'un LNC, qu'est-ce qui est égal ?

4. Quelle est l'unité du coefficient de déperdition thermique H ?

5. Les déperditions thermiques d'un bâtiment sont plus importantes quand...

Déperdition Thermique
Flux de chaleur qui s'échappe d'un espace chauffé vers un espace plus froid (un autre local ou l'extérieur). Elle se mesure en Watts (W).
Coefficient de Transmission Thermique (U)
Caractéristique d'une paroi qui indique sa capacité à laisser passer la chaleur. Plus U est faible, plus la paroi est isolante. Il se mesure en W/m².K.
Local Non Chauffé (LNC)
Pièce d'un bâtiment qui ne dispose pas d'un système de chauffage et dont la température dépend des échanges thermiques avec les locaux adjacents et l'extérieur.
Bilan Thermique
Principe de conservation de l'énergie selon lequel, pour un système en équilibre, la somme des apports de chaleur est égale à la somme des pertes de chaleur.
Exercice : Déperditions d'un Local non Chauffé

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