Cours de Contraintes et Déformations

1. Introduction : Forces, Contraintes et Déformations

Quand une force est appliquée sur un objet, cet objet subit des changements. Il peut se déformer (changer de forme ou de taille) et des forces internes apparaissent pour résister à cette sollicitation.

• Force : Une action capable de modifier le mouvement ou la forme d'un corps. En mécanique des matériaux, on s'intéresse aux forces externes appliquées sur un corps (charges, appuis).
• Contrainte : C'est une mesure de l'intensité des forces internes qui agissent à l'intérieur d'un corps, réparties sur une surface. Imaginez couper l'objet en pensée et regarder les forces qui agissent sur la surface de coupe. La contrainte est cette force interne par unité de surface. Elle quantifie les "efforts" que subit le matériau en son sein.
• Déformation : C'est la mesure du changement de forme ou de taille d'un corps sous l'effet des contraintes. Elle décrit comment le matériau se déforme par rapport à son état initial.

Comprendre le lien entre les contraintes et les déformations (la loi de comportement du matériau) est essentiel pour dimensionner les structures et les pièces afin qu'elles ne se cassent pas ou ne se déforment pas trop.

2. Le Concept de Contrainte

La contrainte est une grandeur physique qui décrit l'état de sollicitation interne d'un matériau. C'est la force interne par unité de surface à l'intérieur du matériau.

2.1 Définition de la Contrainte Normale

La contrainte normale (\(\sigma\)) est la partie de la force interne qui agit perpendiculairement (à angle droit) à une petite surface imaginaire à l'intérieur du matériau, divisée par l'aire de cette surface.

Où :
\(\sigma\) est la contrainte normale.
\(F_{\perp}\) est la composante de la force interne perpendiculaire à la surface.
\(A\) est l'aire de la surface.

La contrainte normale est positive si elle essaie d'étirer le matériau (on parle de traction) et négative si elle essaie de le raccourcir (on parle de compression).

Schémas illustrant la contrainte normale en traction (forces qui étirent) et en compression (forces qui écrasent).

2.2 Définition de la Contrainte Tangentielle (Cisaillement)

La contrainte tangentielle (\(\tau\)), ou contrainte de cisaillement, est la partie de la force interne qui agit parallèlement (le long de la surface) à une petite surface imaginaire à l'intérieur du matériau, divisée par l'aire de cette surface.

Où :
\(\tau\) est la contrainte tangentielle.
\(F_{\parallel}\) est la composante de la force interne parallèle à la surface.
\(A\) est l'aire de la surface.

La contrainte tangentielle essaie de faire glisser une partie du matériau par rapport à une autre, comme quand on coupe avec des ciseaux.

Schéma illustrant la contrainte tangentielle (cisaillement).

2.3 Unités de Contrainte

L'unité officielle (dans le Système International, SI) pour la contrainte est le Pascal (\(\text{Pa}\)), défini comme un Newton par mètre carré (\(1 \, \text{Pa} = 1 \, \text{N/m}^2\)). Comme cette unité est très petite pour la plupart des applications en ingénierie (les contraintes sont souvent très élevées), on utilise couramment des multiples :

• Le Mégapascal (\(\text{MPa}\)) : \(1 \, \text{MPa} = 10^6 \, \text{Pa}\)
• Le Gigapascal (\(\text{GPa}\)) : \(1 \, \text{GPa} = 10^9 \, \text{Pa}\)
• Le bar : \(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\) (souvent utilisé pour la pression, qui est un cas particulier de contrainte normale agissant de manière égale dans toutes les directions).

3. Le Concept de Déformation

La déformation décrit comment un objet change de forme ou de taille sous l'effet des contraintes. C'est une mesure du changement par rapport aux dimensions d'origine.

3.1 Définition de la Déformation Normale

La déformation normale (\(\epsilon\)) est le changement de longueur d'un élément de matériau dans une direction donnée, divisé par sa longueur initiale dans cette même direction. C'est une mesure de l'allongement ou du raccourcissement relatif.

Où :
\(\epsilon\) est la déformation normale.
\(\Delta L\) est le changement de longueur (longueur finale - longueur initiale).
\(L_0\) est la longueur initiale.

La déformation normale est positive si la longueur augmente (allongement) et négative si elle diminue (raccourcissement). Elle n'a pas d'unité (c'est un rapport de deux longueurs), mais on l'exprime parfois en mm/mm, m/m, ou en pourcentage (\(\epsilon \times 100 \%\)).

Schémas illustrant la déformation normale en allongement et en raccourcissement.

3.2 Déformation Tangentielle (Cisaillement)

La déformation tangentielle (\(\gamma\)), ou déformation de cisaillement, mesure la distorsion d'un élément de matériau, c'est-à-dire le changement d'angle entre des lignes qui étaient initialement perpendiculaires.

Où :
\(\gamma\) est la déformation tangentielle (en radians).
\(\theta\) est le changement d'angle (en radians).

Imaginez pousser sur le côté d'un paquet de cartes : les cartes glissent les unes sur les autres, et les bords du paquet qui étaient droits et perpendiculaires au côté deviennent inclinés. La déformation tangentielle mesure cette inclinaison.

Schéma illustrant la déformation tangentielle. Un carré se transforme en parallélogramme.

3.3 Déformation Volumique

La déformation volumique (\(\epsilon_v\)) mesure le changement de volume d'un corps par rapport à son volume initial. Pour de petites déformations, elle est la somme des déformations normales dans trois directions perpendiculaires (\(\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z\)) :

Où \(\Delta V\) est le changement de volume et \(V_0\) est le volume initial.

Elle est importante pour comprendre la compressibilité des matériaux.

4. Relation Contrainte-Déformation : Les Lois de Comportement

C'est le cœur de la mécanique des matériaux : comment les contraintes et les déformations sont-elles liées ? Cette relation est la loi de comportement (ou loi constitutive) du matériau. Elle est déterminée par des expériences (essais mécaniques).

4.1 Comportement Élastique Linéaire (Loi de Hooke) : La Relation Simple

Pour beaucoup de matériaux (métaux, céramiques, etc.) et tant que les contraintes ne sont pas trop élevées, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation. C'est la célèbre Loi de Hooke. Le matériau se comporte comme un ressort idéal.

• En traction ou compression simple :
  \[\sigma = E \epsilon\]
  Où \(E\) est le Module d'Young (rigidité en traction/compression).
• En cisaillement pur :
  \[\tau = G \gamma\]
  Où \(G\) est le Module de cisaillement (rigidité en cisaillement).

Pour les matériaux dont les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions (isotropes), \(E\) et \(G\) sont liés par le coefficient de Poisson (\(\nu\)) :

Le coefficient de Poisson (\(\nu\)) décrit la déformation latérale quand on étire ou comprime le matériau (\(\nu = -\frac{\text{déformation latérale}}{\text{déformation axiale}}\)). Pour la plupart des matériaux, \(0 < \nu < 0.5\).

Courbe contrainte-déformation pour un matériau élastique linéaire (Loi de Hooke).

4.2 Comportement Élasto-Plastique : Déformation Permanente

Quand on dépasse la limite d'élasticité, le matériau commence à se déformer de façon permanente (comportement plastique). La courbe contrainte-déformation n'est plus une ligne droite et ne revient pas à zéro quand on enlève la charge (il reste une déformation permanente). C'est le cas de nombreux métaux.

La modélisation de la plasticité est plus complexe et fait intervenir la limite d'élasticité, et comment le matériau continue à se déformer après avoir atteint cette limite (écrouissage).

Courbe contrainte-déformation montrant la partie élastique (retour à l'origine lors de la décharge) et la partie plastique (déformation permanente).

4. Comportement Viscoélastique : Quand le Temps Compte

Certains matériaux (comme les polymères, le bois, le béton jeune) ont un comportement qui dépend du temps. Si vous appliquez une charge constante, ils continuent à se déformer lentement (c'est le phénomène de fluage). Si vous les déformez rapidement puis maintenez la déformation constante, la contrainte diminue progressivement (c'est la relaxation). C'est le comportement viscoélastique, une combinaison d'élasticité (stockage d'énergie) et de viscosité (dissipation d'énergie, comme un liquide épais).

On modélise souvent ce comportement avec des combinaisons de ressorts (qui représentent la partie élastique) et d'amortisseurs (qui représentent la partie visqueuse).

• Modèle de Maxwell : Un ressort et un amortisseur en série.
• Modèle de Kelvin-Voigt : Un ressort et un amortisseur en parallèle.

Schéma illustrant les éléments de base utilisés pour modéliser le comportement viscoélastique.

5. Autres Lois de Comportement : Pour des Situations Spécifiques

En plus des comportements élastique, plastique et viscoélastique, il existe d'autres lois pour décrire des phénomènes plus spécifiques :

• Viscoplasticité : Combine les aspects plastique (déformation permanente) et visqueux (dépendance au temps). Important pour les matériaux à haute température.
• Endommagement : Décrit comment les propriétés du matériau se dégradent (fissures microscopiques) sous charge, avant la rupture complète.
• Rupture : Modèles qui prédisent quand et comment un matériau va casser.
• Fatigue : Décrit la rupture sous des chargements répétés, même si la contrainte est inférieure à la résistance statique.
• Fluage : La déformation qui continue d'augmenter lentement sous une charge constante, surtout à haute température.

6. Importance des Lois de Comportement : Pourquoi C'est Essentiel en Ingénierie

Les lois de comportement des matériaux sont fondamentales pour plusieurs raisons :

• Conception : Elles permettent aux ingénieurs de calculer les contraintes et les déformations dans une pièce ou une structure sous l'effet des charges prévues et de s'assurer qu'elle ne va pas se déformer excessivement ou casser.
• Simulation Numérique : Dans les logiciels de simulation (comme les logiciels d'analyse par éléments finis), ces lois sont implémentées pour modéliser le comportement réel des matériaux dans des structures complexes.
• Choix des Matériaux : Comprendre les lois de comportement aide à sélectionner le matériau le plus adapté à une application donnée en fonction des contraintes et des conditions d'utilisation (température, durée de vie, type de chargement).
• Analyse de Défaillance : Si une pièce casse, la connaissance des lois de comportement aide à comprendre pourquoi et comment la rupture s'est produite.

7. Conclusion : La Clé pour Prédire le Comportement des Structures

Les lois de comportement des matériaux sont les outils qui nous permettent de passer des forces appliquées à la réponse du matériau en termes de déformation ou de rupture. Qu'il s'agisse de l'élasticité simple de la Loi de Hooke, de la complexité de la plasticité, ou de la dépendance au temps de la viscoélasticité, chaque loi décrit un aspect crucial de la manière dont les matériaux se comportent sous sollicitation. Maîtriser ces principes est indispensable pour tout ingénieur souhaitant concevoir des systèmes mécaniques et des structures sûres, fiables et performantes.

Contraintes et Déformations