Contrainte maximale dans le béton
📝 Situation du Projet
Le projet concerne la construction de la Résidence "Les Cèdres", un ensemble immobilier de standing situé en périphérie lyonnaise, comprenant deux bâtiments (A et B) en R+4 sur un niveau de sous-sol commun. La structure est principalement constituée de voiles et planchers en béton armé.
Nous nous intéressons spécifiquement au Bâtiment B. Lors de la phase d'études d'exécution (EXE), une modification architecturale au 1er étage a entraîné la suppression d'un refend porteur, reportant ainsi une charge linéique importante sur la poutre de reprise P104. Cette poutre, située en travée centrale, supporte désormais une partie significative du plancher haut du R+1 ainsi que les reports de charges des étages supérieurs.
Compte tenu de l'augmentation des sollicitations et des exigences strictes en matière de fissuration (le plafond étant plâtré sans faux-plafond suspendu), le bureau de contrôle demande une justification détaillée des contraintes à l'État Limite de Service (ELS). Il est impératif de s'assurer que le béton ne subira pas de compression excessive qui pourrait entraîner un fluage non maîtrisé ou une fissuration longitudinale préjudiciable à la durabilité de l'ouvrage.
En qualité d'Ingénieur Structure Béton Armé au sein du Bureau d'Études, votre responsabilité est de valider le dimensionnement de la poutre P104. Plus précisément, vous devez :
- Analyser la section droite de la poutre et son ferraillage longitudinal existant (3 barres HA14).
- Calculer les propriétés géométriques de la section rendue hétérogène par la présence des aciers (section fissurée).
- Déterminer la contrainte maximale de compression dans la fibre supérieure du béton (\(\sigma_{\text{bc}}\)) sous le moment de service caractéristique.
- Conclure sur la conformité de cette contrainte vis-à-vis des critères de l'Eurocode 2 pour garantir la pérennité de la structure.
- Localisation
12 Rue des Alpes, 69000 Lyon (Zone Sismique 2 - Faible) - Maître d'Ouvrage
SCI Habitat Durable & Confort - Type d'Ouvrage
Logements collectifs (Catégorie A) - Date d'étude
Octobre 2024 (Phase EXE)
"Attention, nous sommes en fissuration préjudiciable. La vérification à l'ELS est déterminante. Ne pas oublier le coefficient d'équivalence n=15."
Cette section regroupe l'ensemble des hypothèses normatives, les caractéristiques des matériaux prescrits par le CCTP (Cahier des Clauses Techniques Particulières) et les données géométriques issues des plans de coffrage. Ces données sont impératives et ne peuvent être modifiées sans l'accord du Maître d'Œuvre.
📚 Référentiel Normatif Applicable
Les calculs doivent être menés en stricte conformité avec les textes suivants :
Eurocode 0 (NF EN 1990) - Bases de calculEurocode 2 (NF EN 1992-1-1) - Calcul des structures en béton[Art. 3.2] SPÉCIFICATIONS BÉTONS
Les bétons pour éléments de structure (poteaux, poutres, dalles) seront de classe de résistance C25/30. Le ciment utilisé sera de type CEM II/A-LL 42.5R.
Classe d'exposition : XC1 (Intérieur de bâtiment, faible humidité).
Enrobage nominal des aciers : \(c_{\text{nom}} = 25 \text{ mm}\).
[Art. 3.4] ARMATURES PASSIVES
Aciers à Haute Adhérence (HA) de nuance B500B (limite d'élasticité \(f_{\text{yk}} = 500 \text{ MPa}\), classe de ductilité B).
Module d'élasticité de l'acier : \(E_{\text{s}} = 200 \text{ GPa}\).
[Art. 4.1] HYPOTHÈSES DE CALCUL ELS
La fissuration est considérée comme préjudiciable. Le calcul des contraintes se fera sous la combinaison Caractéristique (G + Q).
Coefficient d'équivalence Acier/Béton pour le fluage : n = 15.
| BÉTON C25/30 (XC1) | |
| Résistance caract. cylindrique (\(f_{\text{ck}}\)) | 25 MPa (N/mm²) |
| Résistance caract. cubique (\(f_{\text{ck,cube}}\)) | 30 MPa |
| Module de déformation moyen (\(E_{\text{cm}}\)) | 31 GPa |
| Contrainte limite ELS (\(\bar{\sigma}_{\text{bc}}\)) | 0.6 \(f_{\text{ck}}\) = 15 MPa |
| ACIER B500B (HA) | |
| Limite d'élasticité (\(f_{\text{yk}}\)) | 500 MPa |
| Module d'élasticité (\(E_{\text{s}}\)) | 200 000 MPa |
| Ferraillage mis en œuvre (\(A_{\text{s}}\)) | 3 \(\phi\) 14 mm (\(4.62 \text{ cm}^2\)) |
📐 Géométrie de la Section
- Largeur (\(b\)): 0.20 m
- Hauteur totale (\(h\)): 0.50 m
- Hauteur utile (\(d\)): 0.45 m
⚖️ Sollicitations (Donnée d'entrée)
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur section | \(b\) | 0.20 | m |
| Hauteur utile | \(d\) | 0.45 | m |
| Section d'acier | \(A_{\text{s}}\) | 4.62 | cm² |
| Moment ELS | \(M_{\text{ser}}\) | 0.045 | MNm |
E. Protocole de Résolution
Pour vérifier la contrainte dans le béton, nous devons déterminer les propriétés géométriques de la section homogénéisée fissurée.
Position de l'Axe Neutre
Déterminer la hauteur \(y\) de la zone comprimée en résolvant l'équation du moment statique.
Moment d'Inertie
Calculer le moment quadratique \(I\) de la section homogénéisée par rapport à l'axe neutre.
Calcul des Contraintes
Appliquer la formule de Navier-Bernoulli pour trouver \(\sigma_{\text{bc}}\) sous le moment \(M_{\text{ser}}\).
Vérification Réglementaire
Comparer la contrainte calculée à la limite admissible \(0.6 f_{\text{ck}}\).
Contrainte maximale dans le béton
🎯 Objectif
L'objectif fondamental de cette première étape est de localiser géométriquement la ligne de séparation entre la zone comprimée (haut de la poutre) et la zone tendue (bas de la poutre), appelée Axe Neutre. C'est le point de pivot de la section lors de sa déformation en flexion. La valeur \(y\) correspond à la hauteur de béton qui travaille réellement en compression. Sans cette valeur, il est impossible de calculer l'inertie ou les contraintes.
📚 Référentiel
Eurocode 2 - Section 7 (ELS)Pour trouver cet axe neutre, nous partons du principe d'équilibre statique de la section homogénéisée. Imaginez la section comme une balance : le moment statique de la zone comprimée (au-dessus de l'axe neutre) doit équilibrer exactement le moment statique de la zone tendue (au-dessous).
Cependant, le béton tendu est fissuré : il ne "pèse" rien mécaniquement. Seuls les aciers comptent en zone tendue. Pour pouvoir comparer des "pommes et des oranges" (acier et béton) dans une même équation géométrique, nous transformons virtuellement la surface d'acier \(A_{\text{s}}\) en une surface de béton équivalente en la multipliant par le coefficient \(n\). C'est la méthode de la "section homogénéisée".
Ceci nous mène à une équation du second degré car le moment statique d'un rectangle dépend du carré de sa hauteur (\(y^2\)).
Le coefficient d'équivalence \(n\) est défini par le rapport des modules d'élasticité : \(n = E_{\text{s}} / E_{\text{c}}\).
Pour les calculs à l'ELS (État Limite de Service), l'Eurocode 2 recommande de prendre une valeur forfaitaire de n = 15. Pourquoi 15 alors que le rapport brut est plus proche de 6 ou 7 ? C'est pour tenir compte du fluage du béton à long terme : sous charge permanente, le béton se déforme davantage avec le temps (son module apparent diminue), ce qui transfère plus d'efforts vers les aciers.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Largeur \(b\) | 0.20 m |
| Hauteur utile \(d\) | 0.45 m |
| Section Acier \(A_{\text{s}}\) | \(4.62 \times 10^{-4} \text{ m}^2\) |
| Coeff \(n\) | 15 |
Une vérification rapide de l'ordre de grandeur de \(y\) : pour une poutre rectangulaire courante en flexion simple (sans aciers comprimés), la position de l'axe neutre \(y\) se situe généralement entre 30% et 45% de la hauteur utile \(d\). Si vous trouvez \(y > 0.5d\) ou \(y < 0.2d\), revérifiez vos calculs !
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous allons procéder étape par étape pour éviter les erreurs d'unités ou de coefficients. Nous travaillons en mètres (m) et mètres carrés (m²) pour plus de cohérence.
1. Calcul Section HomogénéiséeTout d'abord, convertissons la section d'acier donnée en cm² vers une aire équivalente en m² béton. On multiplie la section réelle par le coefficient d'équivalence \(n=15\).
Cette valeur représente la "surface de béton fictive" qui remplacerait l'acier.
2. Détermination des Coefficients (A, B, C)Identifions maintenant les termes de notre équation du second degré \(Ay^2 + By + C = 0\).
- Le terme A vient de la géométrie du béton (\(b/2\)).
- Le terme B correspond à la section homogénéisée (\(n A_s\)).
- Le terme C est le moment statique de l'acier par rapport à la fibre supérieure (\(-n A_s d\)).
L'équation à résoudre est donc : \(0.10 y^2 + 0.00693 y - 0.0031185 = 0\).
3. Calcul du Discriminant (Delta)Calculons le discriminant \(\Delta = B^2 - 4AC\). C'est lui qui va nous dire si des solutions existent. Attention aux signes moins !
Le discriminant est positif, il y a donc deux solutions réelles.
4. Résolution FinaleOn calcule la racine carrée de Delta (\(\sqrt{\Delta} \approx 0.03599\)) et on applique la formule des racines. On ne garde que la solution positive car une distance négative n'a pas de sens ici.
Nous obtenons ainsi la position exacte de l'axe neutre en mètres.
Nous trouvons \(y = 14.5 \text{ cm}\). Comparons cela à la hauteur utile \(d = 45 \text{ cm}\). Le ratio \(y/d = 14.5/45 \approx 0.32\). Nous sommes bien dans la fourchette attendue (30-45%). Le résultat est physiquement réaliste : environ un tiers de la hauteur de la poutre est comprimé.
Une erreur fréquente est de confondre \(A_{\text{s}}\) en cm² avec des mètres dans la formule. N'oubliez pas la conversion : \(1 \text{ cm}^2 = 0.0001 \text{ m}^2\) (ou \(10^{-4} \text{ m}^2\)). Un facteur 100 ou 10000 d'erreur change complètement le résultat !
❓ Pourquoi ne prend-on pas la racine négative ?
Mathématiquement, une équation du second degré a deux solutions. La deuxième solution serait \((-B - \sqrt{\Delta}) / 2A\), ce qui donnerait un résultat négatif. Or, une distance géométrique \(y\) (hauteur de béton) ne peut pas être négative dans le monde physique. On rejette donc systématiquement la solution négative.
🎯 Objectif
Maintenant que nous savons quelle quantité de béton est comprimée (la hauteur \(y\)), nous devons calculer la rigidité flexionnelle de cette section active. C'est ce qu'on appelle le moment d'inertie \(I\). Ce paramètre est crucial car il fait le lien entre l'effort appliqué (le Moment \(M\)) et la réponse du matériau (la Contrainte \(\sigma\)). Plus l'inertie est grande, plus la poutre est "raide" et moins les contraintes sont élevées pour un même moment.
📚 Référentiel
RDM Classique - Théorème de HuygensL'inertie totale de la section fissurée est simplement la somme des inerties de ses composants actifs par rapport à l'axe neutre que nous venons de trouver.
Nous avons deux composants :
1. Le bloc de béton comprimé rectangulaire (en haut).
2. Les aciers tendus (en bas), transformés en béton équivalent.
Le béton tendu (sous l'axe neutre) est fissuré, c'est comme s'il n'était pas là (vide). Il ne participe pas à l'inertie.
Pour calculer l'inertie d'une surface par rapport à un axe qui ne passe pas par son centre de gravité, on utilise le Théorème de Huygens (ou théorème des axes parallèles) : \(I_{\Delta} = I_{\text{propre}} + \text{Surface} \times (\text{distance})^2\).
- Pour le rectangle de béton comprimé, l'axe neutre est à sa base. L'inertie d'un rectangle par rapport à sa base est \(b h^3 / 3\) (au lieu de \(b h^3 / 12\) par rapport à son centre).
- Pour les aciers, on néglige leur inertie propre (trop petite) et on ne compte que le terme de transport \(S \times d^2\).
En combinant les deux contributions expliquées ci-dessus :
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Position AN \(y\) | 0.145 m |
| Section équivalente \(n A_{\text{s}}\) | \(0.00693 \text{ m}^2\) |
| Bras de levier \((d-y)\) | 0.305 m |
L'inertie d'une section fissurée est toujours beaucoup plus faible que l'inertie brute de la section pleine (\(I_{\text{brute}} = b h^3 / 12\)). Pour une section rectangulaire classique, l'inertie fissurée représente souvent 30% à 50% de l'inertie brute. C'est un bon moyen de vérifier si votre résultat est plausible.
Calculs Détaillés
1. Terme Béton (Zone Comprimée)Commençons par l'inertie du rectangle de béton comprimé. La formule est \(b \cdot y^3 / 3\). On calcule d'abord le cube de la hauteur \(y\) (0.145m).
On voit que la contribution du béton est assez faible (puissance 3 d'un petit nombre).
2. Terme Acier (Transport Huygens)Calculons maintenant l'inertie apportée par les aciers via le théorème de Huygens : \(n A_{\text{s}} \cdot (d-y)^2\). Le terme \(d-y\) est le bras de levier des aciers par rapport à l'axe neutre.
Remarquez que l'acier contribue 3 fois plus à l'inertie que le béton ! C'est logique car il est situé beaucoup plus loin de l'axe neutre.
3. Somme TotaleOn additionne simplement les deux contributions pour obtenir l'inertie totale de la section fissurée.
Comparons avec l'inertie brute : \(I_{\text{brute}} = 0.20 \times 0.50^3 / 12 = 0.00208 \text{ m}^4\).
Notre inertie fissurée (\(0.000848\)) représente environ 40% de l'inertie brute. C'est parfaitement cohérent avec l'astuce donnée plus haut. Le calcul semble correct.
N'oubliez surtout pas le carré sur le terme de distance \((d-y)^2\) dans le calcul de l'inertie des aciers ! C'est une erreur classique d'oublier la puissance 2, ce qui conduit à une inertie totalement fausse.
❓ Pourquoi le terme acier est-il plus grand que le terme béton ?
Bien que la surface d'acier soit petite, elle est multipliée par \(n=15\) et surtout elle est située très loin de l'axe neutre (grand bras de levier). En RDM, l'efficacité géométrique augmente avec le carré de la distance. Les aciers sont "mieux placés" pour créer de l'inertie que le béton proche de l'axe neutre.
🎯 Objectif
C'est l'étape finale du calcul mécanique. Nous allons déterminer l'intensité de l'effort de compression subi par le béton à l'endroit où il est le plus sollicité (la fibre supérieure). Cette valeur de contrainte (en MPa) nous permettra ensuite de dire si le béton "tient le coup" ou s'il risque de s'écraser.
📚 Référentiel
Loi de Navier-BernoulliLa théorie des poutres (Navier-Bernoulli) postule que "les sections planes restent planes après déformation". Cela implique que les déformations varient linéairement sur la hauteur de la section : zéro à l'axe neutre, maximum aux extrémités.
Comme nous sommes dans le domaine élastique (loi de Hooke \(\sigma = E \cdot \epsilon\)), les contraintes suivent la même loi linéaire. La contrainte est donc proportionnelle à la distance par rapport à l'axe neutre. La fibre la plus éloignée en zone comprimée est à une distance \(y\) de l'axe neutre.
Dans cette formule :
- \(M\) est le moment fléchissant (l'effort qui tord la poutre).
- \(I\) est l'inertie (la résistance géométrique à la torsion).
- \(z\) est la distance verticale à l'axe neutre.
On voit bien que pour réduire la contrainte, il faut soit réduire le moment, soit augmenter l'inertie (section plus grosse).
En remplaçant \(z\) par \(y\) (distance fibre sup) :
C'est la formule universelle pour la contrainte max en flexion élastique.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Moment \(M_{\text{ser}}\) | 0.045 MNm (ou 45000 Nm) |
| Inertie \(I\) | \(0.000848 \text{ m}^4\) |
| Distance \(y\) | 0.145 m |
Pour éviter les erreurs de puissance de 10, travaillez toujours en Méga-Newton (MN) et en mètres (m). Le résultat sortira directement en MPa (Méga-Pascal), car \(1 \text{ MPa} = 1 \text{ MN/m}^2\). C'est l'unité standard pour la résistance du béton.
Application Numérique
1. DonnéesOn s'assure d'avoir les bonnes unités : Moment en MNm (0.045) et non en kNm (45). L'inertie est en m4 et la distance en m.
2. Calcul Intermédiaire (Courbure M/I)Commençons par diviser le moment par l'inertie. Ce ratio représente l'intensité de la courbure.
C'est le "taux de contrainte par mètre".
3. Résultat Final (Multiplication par y)Il ne reste plus qu'à multiplier ce taux par la distance à l'axe neutre \(y\) pour obtenir la contrainte en haut de la poutre.
Le résultat est direct en MPa car nous avons utilisé des MN et des m.
Une contrainte de compression dans le béton tourne souvent autour de quelques MPa à 15-20 MPa maximum. Trouver 7.69 MPa est une valeur très réaliste pour une poutre en service. Si vous aviez trouvé 0.07 MPa (trop faible) ou 700 MPa (plus résistant que l'acier), il y aurait eu un problème d'unités.
Ne confondez pas kNm et MNm ! 1 MNm = 1000 kNm. Si vous utilisez 45 (kNm) dans la formule avec des mètres, vous obtiendrez des kPa (kilo-pascals), ce qui est 1000 fois trop petit. Assurez-vous d'avoir converti 45 kNm en 0.045 MNm avant de calculer.
❓ Et si le moment était négatif (ex: sur appui) ?
Si le moment est négatif (flexion vers le haut), la zone comprimée se trouve en bas de la poutre. La logique de calcul reste exactement la même, mais "y" désignerait la distance de l'axe neutre à la fibre inférieure, et il faudrait recalculer y et I car la géométrie peut changer (ex: table de compression en haut qui devient tendue).
🎯 Objectif
Le calcul technique est terminé, mais l'exercice d'ingénierie ne l'est pas. Il faut maintenant interpréter ce résultat au regard des normes. L'objectif est de confirmer la sécurité de l'ouvrage : la contrainte réelle calculée est-elle supportable par le matériau sans dommage excessif ?
📚 Référentiel
Eurocode 2 - Clause 7.2 (Limitation des contraintes)L'Eurocode 2 impose de limiter la contrainte de compression dans le béton à l'ELS caractéristique pour éviter la formation de micro-fissures longitudinales. Ces fissures, parallèles à la poutre, pourraient apparaître si le béton est trop "écrasé", même sans aller jusqu'à la rupture. La limite est fixée à 60% de la résistance caractéristique.
\(f_{\text{ck}}\) est la résistance caractéristique sur cylindre à 28 jours (le "25" de C25/30).
Le coefficient 0.6 correspond grossièrement à la limite du comportement linéaire du béton (loi de Hooke). Au-delà de 0.6 \(f_{\text{ck}}\), le béton commence à avoir un comportement non-linéaire (plastique) et le fluage devient très important.
Étape 1 : Données Techniques
| Type | Valeur |
|---|---|
| Résistance Béton \(f_{\text{ck}}\) | 25 MPa |
| Contrainte Calculée \(\sigma_{\text{bc}}\) | 7.69 MPa |
Si la condition n'est pas vérifiée (contrainte trop forte), vous avez deux leviers principaux :
1. Augmenter la hauteur de la section (très efficace car I varie avec \(h^3\)).
2. Augmenter la qualité du béton (passer en C30/37 ou C35/45).
Calcul de Vérification
1. Calcul de la Limite AdmissibleOn applique le coefficient de sécurité de 0.6 à la résistance caractéristique de 25 MPa.
Le béton peut donc supporter jusqu'à 15 MPa en service courant.
2. ComparaisonOn compare la valeur calculée (Q3) à cette limite. Si elle est inférieure, c'est bon.
Le béton travaille à un taux de \(\frac{7.69}{15} \approx 51 \%\) de sa capacité admissible à l'ELS. Il est largement en sécurité vis-à-vis de la compression. La section est bien dimensionnée (voire légèrement surdimensionnée pour ce critère précis, ce qui est gage de durabilité).
Ne confondez pas ELS (État Limite de Service) et ELU (État Limite Ultime).
- À l'ELS (ce qu'on fait ici), on vérifie le bon fonctionnement au quotidien (fissuration, déformation, compression modérée).
- À l'ELU, on vérifierait la non-rupture sous charge extrême avec des diagrammes parabole-rectangle. Les critères ne sont pas les mêmes !
❓ Que se passe-t-il si \(\sigma_{\text{bc}} > 0.6 f_{\text{ck}}\) ?
Si cette limite est dépassée, cela ne veut pas dire que la poutre va casser immédiatement (la rupture est beaucoup plus loin). Cependant, cela signifie que le béton va subir un fluage important (flèche différée qui augmente) et que des micro-fissures longitudinales peuvent apparaître, permettant à l'eau de pénétrer et de corroder les aciers à long terme. C'est un problème de durabilité.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
OK
69000 LYON
NOTE DE CALCULS - POUTRE P104 (ELS)
1. Hypothèses
- Béton : C25/30 (\(f_{ck}=25\) MPa)
- Acier : B500B (3HA14)
- Section : 20 x 50 cm
- Moment ELS : 0.045 MNm
- Coeff. n : 15
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