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Caractéristiques Géométriques pour une Route

Exercice : Caractéristiques Géométriques d'une Route

Calcul des Caractéristiques Géométriques d'une Route

Contexte : L'ingénierie routière.

La conception géométrique des routes est un pilier fondamental de la sécurité et du confort des usagers. Chaque virage, chaque pente est calculé pour permettre une conduite fluide et sûre à une vitesse donnée. Cet exercice se concentre sur le calcul des éléments clés d'un virage circulaire sur une route de rase campagne, un cas d'étude essentiel pour tout ingénieur en transport. Nous allons déterminer le rayon minimal, le déversInclinaison transversale de la chaussée dans un virage, destinée à contrer la force centrifuge. nécessaire et la longueur de la courbe de transition.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les formules fondamentales de la dynamique du véhicule pour concevoir un tracé routier sûr, en respectant les normes en vigueur.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le rayon de giration minimal d'un virage en fonction de la vitesse de projet.
  • Déterminer la valeur du dévers à appliquer dans le virage.
  • Calculer la longueur de la clothoïdeCourbe de transition à rayon de courbure variable, utilisée pour raccorder un alignement droit à un arc de cercle. de raccordement.
  • Comprendre l'interaction entre la vitesse, le rayon, le dévers et le frottement.

Données de l'étude

On souhaite concevoir un virage sur une route rurale à 2 voies (chaussée de 7m de large). Les paramètres de conception sont les suivants :

Paramètre Symbole Valeur Unité
Vitesse de projet \(V_{\text{base}}\) 80 \(\text{km/h}\)
Coefficient de frottement transversal max. \(f_{t, \text{max}}\) 0.12 -
Dévers maximal autorisé \(d_{\text{max}}\) 7 %
Taux de variation du dévers \(\Delta d / \Delta s\) 2 \(\text{%/s}\)
Schéma du Tracé en Plan
Alignement Droit Alignement Droit Virage à concevoir Sens de circulation

Questions à traiter

  1. Calculer le rayon minimal absolu \(R_{\text{min,abs}}\) pour ce projet.
  2. Pour des raisons topographiques, on impose un rayon de 300 m. Quelle est la valeur du dévers \(d\) à appliquer ?
  3. Calculer la longueur minimale de la clothoïde de raccordement \(L_{\text{min}}\).
  4. Vérifier le coefficient de frottement transversal \(f_t\) mobilisé dans le virage de 300 m avec le dévers de 7%. Est-il acceptable ?

Les bases de la Géométrie Routière

La conception d'un virage repose sur l'équilibre des forces s'exerçant sur un véhicule : son poids, la réaction de la chaussée, et la force centrifuge. Le dévers et le frottement pneu-chaussée sont les deux éléments qui permettent de contrer cette force centrifuge.

1. Équilibre en virage
L'équation fondamentale qui lie la vitesse \(V\) (en \(\text{m/s}\)), le rayon \(R\) (en \(\text{m}\)), l'accélération de la pesanteur \(g \approx 9.81 \text{ m/s}^2\), le dévers \(d\) (en %) et le coefficient de frottement transversal \(f_t\) est : \[ \frac{V^2}{g \cdot R} = \frac{d}{100} + f_t \]

2. La Clothoïde
Le passage d'un alignement droit (rayon infini) à un virage circulaire (rayon R) ne peut être brutal. On utilise une courbe de transition, la clothoïde, dont le rayon de courbure varie linéairement avec la distance parcourue. Sa longueur est calculée pour assurer le confort des passagers et permettre une variation progressive du dévers.

Correction : Calcul des Caractéristiques Géométriques d'une Route

Question 1 : Calculer le rayon minimal absolu \(R_{\text{min,abs}}\)

Principe

Le rayon minimal absolu est le plus petit rayon possible pour une vitesse donnée. Il est atteint lorsque les deux aides à la giration, le dévers et le frottement transversal, sont utilisées à leur valeur maximale autorisée. C'est une condition limite qui garantit la stabilité du véhicule.

Mini-Cours

La force centrifuge, qui pousse le véhicule vers l'extérieur du virage, est donnée par \(F_c = \frac{mV^2}{R}\). Elle est équilibrée par la composante du poids due au dévers et par la force de frottement des pneus. En posant l'équilibre des forces, on arrive à la formule de base. Le rayon minimal correspond au cas où l'on sollicite au maximum ces deux forces stabilisatrices.

Remarque Pédagogique

En conception, on raisonne toujours sur le cas le plus défavorable pour garantir la sécurité. Ici, cela signifie utiliser les valeurs maximales de dévers et de frottement pour trouver la limite géométrique absolue du tracé.

Normes

Les calculs sont basés sur les recommandations des guides techniques français, notamment l'ICTAAL (Instruction sur les Conditions Techniques d'Aménagement des Autoroutes de Liaison), qui fixe les valeurs de \(f_{t, \text{max}}\) et \(d_{\text{max}}\) en fonction du type de route.

Formule(s)

Formule du rayon minimal absolu

\[ R_{\text{min,abs}} = \frac{V_{\text{base}}^2}{g \cdot (f_{t, \text{max}} + d_{\text{max}}/100)} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, on fait les hypothèses suivantes :

  • Le véhicule est modélisé comme un point matériel.
  • L'accélération de la pesanteur \(g\) est constante et vaut 9.81 m/s².
  • Les coefficients de frottement et le dévers sont constants sur toute la longueur du virage.
Donnée(s)

Nous devons d'abord convertir la vitesse de projet en m/s pour la cohérence des unités dans la formule.

ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse de projet\(V_{\text{base}}\)80\(\text{km/h}\)
Frottement transversal max.\(f_{t, \text{max}}\)0.12-
Dévers maximal\(d_{\text{max}}\)7%
Astuces

Pour une vérification rapide, sachez que le rayon minimal augmente comme le carré de la vitesse. Si vous doublez la vitesse, il vous faudra un rayon quatre fois plus grand !

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur un véhicule en virage déversé
P (Poids)Fc (Centrifuge)N (Normale)Ff (Frottement)
Calcul(s)

Conversion de la vitesse

\[ V_{\text{base}} = \frac{80}{3.6} \approx 22.22 \text{ m/s} \]

Calcul du rayon minimal

\[ \begin{aligned} R_{\text{min,abs}} &= \frac{(22.22)^2}{9.81 \cdot (0.12 + 7/100)} \\ &= \frac{493.73}{9.81 \cdot (0.12 + 0.07)} \\ &= \frac{493.73}{9.81 \cdot 0.19} \\ &= \frac{493.73}{1.8639} \\ &\approx 264.89 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce calcul définit une limite géométrique. On peut la représenter comme une "zone interdite" pour le tracé de l'axe de la route.

Zone de rayon inférieur au minimum
Zone R < 265m (Inacceptable)Tracé avec R > Rmin
Réflexions

Un rayon de 265 m est le minimum strict pour garantir la sécurité à 80 km/h dans les conditions les plus défavorables. En pratique, les concepteurs choisissent toujours un rayon supérieur pour ménager une marge de sécurité, on parle de "rayon confortable" ou "rayon normal".

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir la vitesse en m/s avant d'appliquer la formule. Une autre erreur est de mal additionner le dévers (en %) et le coefficient de frottement (sans dimension).

Points à retenir

Points clés :

  • L'équation d'équilibre en virage est fondamentale.
  • Le rayon minimal est une limite infranchissable dictée par la physique et les normes.
Le saviez-vous ?

Le concept de dévers (ou "superelevation") a été initialement développé pour les chemins de fer au 19ème siècle afin d'empêcher les trains de dérailler dans les courbes à grande vitesse.

FAQ
Que se passe-t-il si un camion, plus lourd, prend ce virage ?

L'équation d'équilibre montre que la masse du véhicule se simplifie et n'intervient pas dans le calcul du rayon. En théorie, un camion et une voiture ont besoin du même rayon. En pratique, le centre de gravité plus élevé du camion le rend plus sensible au risque de renversement.

Résultat Final
Le rayon minimal absolu pour une vitesse de projet de 80 km/h est de 265 m.
A vous de jouer

Quelle serait la valeur du rayon minimal si la vitesse de projet était de 90 km/h ?

Question 2 : Calcul du dévers pour un rayon de 300 m

Principe

Le rayon choisi (300 m) est supérieur au rayon minimal (265 m). Cela signifie que nous n'avons pas besoin de mobiliser le frottement maximal. La règle de conception est de n'utiliser que le dévers pour équilibrer la force centrifuge, jusqu'à la limite de 7%. Le frottement n'intervient que si le dévers ne suffit pas.

Mini-Cours

La politique de conception routière vise à équilibrer la force centrifuge uniquement par le dévers pour une conduite confortable. On ne compte sur le frottement que comme une marge de sécurité ou lorsque le dévers atteint sa limite réglementaire. Cette limite (souvent 7%) existe pour la sécurité des véhicules lents ou à l'arrêt, qui pourraient glisser vers l'intérieur du virage si le dévers était trop fort.

Remarque Pédagogique

La démarche est toujours la même : on calcule d'abord le dévers "idéal" (qui annule le besoin de frottement), puis on le compare à la valeur maximale autorisée. Si le calcul dépasse la norme, on se contente d'appliquer la norme.

Normes

L'ICTAAL et d'autres guides de conception fixent le dévers maximal à 7% sur les routes principales hors-gel, pour éviter les problèmes de stabilité des véhicules lents et l'inconfort des usagers.

Formule(s)

Formule du dévers théorique

\[ \frac{d}{100} = \frac{V_{\text{base}}^2}{g \cdot R} \Rightarrow d = \frac{100 \cdot V_{\text{base}}^2}{g \cdot R} \]
Hypothèses

On suppose que l'on souhaite annuler le recours au frottement transversal pour le confort, donc on pose \(f_t = 0\) pour le calcul du dévers théorique.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse de projet\(V_{\text{base}}\)22.22\(\text{m/s}\)
Rayon imposé\(R\)300\(\text{m}\)
Astuces

Si le rayon que vous utilisez est très proche du rayon minimal, attendez-vous à ce que le dévers calculé soit proche ou supérieur au dévers maximal. C'est un bon moyen de vérifier la cohérence de vos résultats.

Schéma (Avant les calculs)
Profil en travers de la chaussée déversée
d (%)ChausséeIntérieur virage
Calcul(s)

Calcul du dévers théorique

\[ \begin{aligned} d &= \frac{100 \cdot (22.22)^2}{9.81 \cdot 300} \\ &= \frac{100 \cdot 493.73}{2943} \\ &\approx 16.78 \% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat montre que le dévers est plafonné par la norme.

Comparaison du Dévers Calculé et Appliqué
CalculéAppliqué16.8%7%Dévers (%)d_max
Réflexions

Le calcul donne un dévers de 16.78%, ce qui est bien supérieur au maximum autorisé de 7%. Cela signifie que le dévers seul ne peut pas compenser la force centrifuge. Nous devons donc appliquer le dévers maximal (7%) et le reste de l'effort sera repris par le frottement transversal des pneus.

Points de vigilance

Ne jamais appliquer un dévers supérieur à la norme, même si le calcul le donne. La valeur maximale est une contrainte forte du projet. Toujours comparer le résultat du calcul à la norme.

Points à retenir
  • On applique toujours le dévers maximal (7%) lorsque le dévers théorique le dépasse.
  • Le frottement pneu-chaussée est une composante essentielle de la sécurité en virage.
Le saviez-vous ?

Sur les circuits de course automobile comme celui d'Indianapolis, les virages ont des dévers très élevés (plus de 30%) appelés "banking", permettant des vitesses de passage en courbe bien supérieures à celles des routes publiques.

FAQ
Pourquoi limiter le dévers à 7% ?

Un dévers trop important serait dangereux pour les véhicules lents (camions en côte) ou arrêtés, qui pourraient glisser vers l'intérieur du virage, surtout en conditions de verglas.

Résultat Final
Le dévers calculé étant supérieur à la limite, on adopte le dévers maximal autorisé, soit d = 7%.
A vous de jouer

Pas de "A vous de jouer" pour cette question car elle découle directement de la précédente.

Question 3 : Calcul de la longueur minimale de la clothoïde

Principe

La longueur de la clothoïde de raccordement doit être suffisante pour permettre une transition confortable et sûre. Elle est déterminée par plusieurs critères, et on retient la valeur la plus grande pour garantir que toutes les conditions sont respectées.

Mini-Cours

Les trois principaux critères pour le calcul de la longueur de la clothoïde sont :
1. Condition de confort dynamique : Limite la variation de l'accélération non compensée pour éviter une sensation de "poussée" latérale brutale.
2. Condition de variation du dévers : Permet de relever la chaussée sur la longueur de la clothoïde sans inconfort.
3. Condition de perception visuelle : Assure que la courbe est esthétiquement agréable et lisible pour le conducteur.

Remarque Pédagogique

L'ingénieur doit vérifier plusieurs conditions et choisir la plus contraignante. C'est un principe de base en conception : on doit satisfaire toutes les exigences de sécurité et de confort simultanément.

Normes

Les formules et les seuils utilisés (par exemple, le taux de variation du dévers de 2%/s) sont issus des normes de conception routière françaises pour garantir un niveau de confort standard.

Formule(s)

Condition de confort dynamique

\[ L \ge 0.4 \frac{V^3}{R} \]

Condition de variation du dévers

\[ L \ge \frac{V_{\text{base}} \cdot \Delta d}{ (\Delta d / \Delta t)_{\text{max}}} \]

Condition de perception visuelle

\[ L \ge R/3 \]
Hypothèses

On suppose que la variation du dévers se fait linéairement le long de la clothoïde.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse de projet\(V_{\text{base}}\)80\(\text{km/h}\)
Vitesse de projet\(V_{\text{base}}\)22.22\(\text{m/s}\)
Rayon imposé\(R\)300\(\text{m}\)
Variation de dévers\(\Delta d\)7%
Taux de variation du dévers\((\Delta d / \Delta t)_{\text{max}}\)2\(\text{%/s}\)
Astuces

Pour les routes à vitesse élevée (>70 km/h), c'est souvent la condition de perception visuelle (L=R/3) ou de variation du dévers qui est la plus dimensionnante.

Schéma (Avant les calculs)
Composition d'un virage avec clothoïdes
Alignement DroitAlignement DroitClothoïde 1 (L)Arc de Cercle (R)Clothoïde 2 (L)
Calcul(s)

Calcul pour le confort dynamique (L1)

\[ \begin{aligned} L_1 &= 0.4 \frac{(80)^3 / 3.6}{300} \\ &\approx 47.4 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul pour la variation du dévers (L2)

\[ \begin{aligned} L_2 &= \frac{V_{\text{base}} \cdot \Delta d}{ (\Delta d / \Delta t)_{\text{max}}} \\ &= \frac{22.22 \text{ m/s} \cdot 7\%}{2\text{ %/s}} \\ &\approx 77.7 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul pour la perception visuelle (L3)

\[ \begin{aligned} L_3 &= R/3 \\ &= 300/3 \\ &= 100 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des longueurs minimales calculées
47.4 mL1 (Confort)77.7 mL2 (Dévers)100 mL3 (Visuel)Longueur (m)
Réflexions

Nous avons calculé trois longueurs minimales : 47.4 m (dynamique), 77.7 m (variation du dévers) et 100 m (visuel). Pour satisfaire toutes les conditions, il faut choisir la plus grande des trois valeurs.

Points de vigilance

Attention à bien utiliser les bonnes unités dans chaque formule. Certaines utilisent les km/h, d'autres les m/s. Il faut également bien identifier toutes les conditions applicables et ne pas en oublier.

Points à retenir

La longueur de la clothoïde est toujours le maximum des longueurs calculées selon les différents critères (confort, variation de dévers, visibilité).

Le saviez-vous ?

La clothoïde est aussi appelée "spirale de Cornu". Elle est utilisée dans de nombreux domaines en dehors des routes, comme les voies de montagnes russes ou les rails de chemin de fer, pour assurer des transitions douces.

FAQ
Pourquoi la condition visuelle (R/3) est-elle si importante ?

Une clothoïde trop courte donne l'impression que le virage "se referme" brusquement, ce qui peut surprendre le conducteur et l'inciter à freiner ou à dévier de sa trajectoire. Une courbe visuellement fluide est une courbe plus sûre.

Résultat Final
La longueur minimale à retenir pour la clothoïde de raccordement est la plus grande des valeurs calculées, soit L = 100 m.
A vous de jouer

Pas de "A vous de jouer" pour cette question car elle est une synthèse de plusieurs calculs.

Question 4 : Vérifier le coefficient de frottement transversal \(f_t\) mobilisé

Principe

Puisque le dévers a été plafonné à sa valeur maximale (7%) à la question 2, le reste de la force centrifuge doit être compensé par le frottement des pneus sur la chaussée. Il est impératif de vérifier que ce frottement mobilisé reste inférieur au frottement maximal admissible pour garantir la sécurité.

Mini-Cours

Le frottement transversal mobilisé est la "part" du frottement total disponible que le véhicule utilise réellement pour tenir sa trajectoire. Cette valeur doit toujours rester en dessous du maximum (\(f_{t, \text{max}}\)) pour conserver une marge de sécurité, notamment en cas de manœuvre d'urgence (freinage, évitement) ou de conditions dégradées (pluie, pneus usés).

Remarque Pédagogique

Cette question est une vérification finale. Elle permet de boucler la conception du virage et de s'assurer que les choix faits (rayon de 300m, dévers de 7%) sont cohérents et sécuritaires vis-à-vis des lois de la physique.

Normes

La norme fixe la valeur de \(f_{t, \text{max}}\) (ici 0.12) à ne pas dépasser. Le calcul de \(f_t\) mobilisé doit être inférieur à cette valeur pour que le projet soit conforme.

Formule(s)

Formule du frottement mobilisé

\[ f_t = \frac{V_{\text{base}}^2}{g \cdot R} - \frac{d}{100} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour les questions précédentes.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse de projet\(V_{\text{base}}\)22.22\(\text{m/s}\)
Rayon imposé\(R\)300\(\text{m}\)
Dévers appliqué\(d\)7%
Frottement max. admissible\(f_{t, \text{max}}\)0.12-
Astuces

Pas d'astuce particulière ici, c'est une application directe.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser la répartition de l'effort centrifuge entre le dévers et le frottement.

Répartition de la compensation
Calcul(s)

Calcul du frottement mobilisé

\[ \begin{aligned} f_t &= \left(\frac{(22.22)^2}{9.81 \cdot 300}\right) - \frac{7}{100} \\ &= 0.1678 - 0.07 \\ &\approx 0.0978 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Marge de Sécurité
f_t,max = 0.12f_t mobilisé = 0.098Marge
Réflexions

Le coefficient de frottement mobilisé est de 0.098. On compare cette valeur à la valeur maximale admissible qui est de 0.12. Comme \(0.098 < 0.12\), la condition de sécurité est respectée. Le virage est donc correctement dimensionné, avec une marge de sécurité de \(0.12 - 0.098 = 0.022\).

Points de vigilance

Il faut bien utiliser le dévers réellement appliqué (7%) dans le calcul, et non le dévers théorique calculé précédemment.

Points à retenir

La vérification finale de la sécurité passe par la comparaison du frottement mobilisé au frottement maximal admissible : \(f_t < f_{t, \text{max}}\).

Le saviez-vous ?

Le coefficient de frottement pneu-chaussée n'est pas une constante. Il diminue lorsque la vitesse augmente, lorsque le pneu est usé, et surtout lorsque la chaussée est mouillée (il peut être divisé par deux !). C'est pourquoi les normes prennent des valeurs prudentes.

FAQ
Que se passe-t-il si le frottement mobilisé est supérieur au frottement maximal ?

Cela signifie que le virage est dangereux. Le véhicule n'a pas assez d'adhérence pour suivre la trajectoire à la vitesse de projet et risque de déraper. Dans ce cas, l'ingénieur doit revoir sa conception : augmenter le rayon du virage ou réduire la vitesse de projet autorisée.

Résultat Final
Le coefficient de frottement mobilisé est \(f_t \approx 0.098\). Cette valeur est inférieure à \(f_{t, \text{max}} = 0.12\), le projet est donc validé.
A vous de jouer

Pas de "A vous de jouer" pour cette question de vérification.

Outil Interactif : Simulateur de Conception

Utilisez les curseurs pour faire varier la vitesse de projet et le rayon du virage, et observez l'impact sur le dévers nécessaire et la longueur de la clothoïde.

Paramètres d'Entrée
80 km/h
300 m
Résultats Clés
Dévers Requis (%) -
Longueur Clothoïde Min. (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est le rôle principal du dévers dans un virage ?

2. Si on augmente la vitesse de projet, le rayon minimal du virage :

3. Quelle courbe est utilisée pour raccorder un alignement droit à un virage circulaire ?

4. Le rayon minimal absolu est calculé en utilisant :

5. Laquelle de ces conditions n'est PAS un critère direct pour la longueur de la clothoïde ?

Dévers
Inclinaison transversale de la chaussée dans un virage, exprimée en pourcentage, destinée à contrer la force centrifuge et à améliorer la stabilité des véhicules.
Clothoïde
Courbe de transition progressive dont le rayon de courbure diminue de l'infini (alignement droit) à la valeur du rayon du virage circulaire. Elle permet un raccordement confortable et sécuritaire.
Vitesse de Projet (ou de base)
Vitesse maximale théorique à laquelle un véhicule peut circuler en toute sécurité sur une section de route donnée dans des conditions normales.
Exercice : Caractéristiques Géométriques d'une Route

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