Caractéristiques Géométriques de Sections
📝 Situation du Projet : Passerelle "Horizon"
Dans le cadre du réaménagement du pôle multimodal de la gare de Lyon-Part-Dieu, le cabinet d'ingénierie "MetalBridge Solutions" a été mandaté pour la conception d'un ouvrage d'art emblématique : la passerelle piétonne "Horizon". Cet ouvrage, d'une portée libre de 45 mètres, doit enjamber six voies ferrées en exploitation, interdisant tout appui intermédiaire pour des raisons de sécurité ferroviaire et de maintenance. Pour répondre à ces contraintes sévères tout en conservant une ligne architecturale épurée et aérienne, l'utilisation de poutres laminées marchandes (type HEA ou HL) a été écartée au profit d'une structure sur mesure.
La solution retenue est un Tablier Mixte avec Poutres Reconstituées Soudées (PRS) en acier à haute limite élastique. Ces poutres maîtresses, d'une hauteur constante de 640 mm, doivent assurer la reprise intégrale des charges permanentes (poids propre, dalle béton) et des surcharges d'exploitation (foule compacte, vent). Votre rôle, crucial à ce stade de l'APD, est de valider les propriétés intrinsèques de la section transversale proposée par l'architecte. La précision de vos calculs géométriques conditionnera directement les vérifications ultérieures de flèche (état limite de service) et de résistance plastique (état limite ultime).
En qualité d'Ingénieur Structure Senior, vous avez la responsabilité de certifier les caractéristiques géométriques de la section du PRS. Il ne s'agit pas d'un simple calcul automatisé, mais d'une démonstration rigoureuse qui servira de base légale au dossier de justification. Vous devez déterminer l'aire exacte, le centre de gravité, les inerties principales et les rayons de giration, en justifiant chaque hypothèse simplificatrice.
"Attention, jeune collègue. Dans les profilés PRS, contrairement aux laminés, les congés de raccordement (soudures) sont souvent négligés dans le calcul d'inertie pur pour rester sécuritaire. De plus, ne confondez jamais l'axe fort (flexion verticale sous charge gravitaire) et l'axe faible (stabilité latérale). Une erreur d'axe et c'est tout le dimensionnement au flambement qui s'effondre."
Pour garantir la pérennité de l'ouvrage et sa conformité aux standards européens, le projet s'inscrit dans un cadre normatif strict. Les choix de matériaux et de géométrie ne sont pas fortuits : ils résultent d'une optimisation entre la résistance mécanique, la disponibilité des tôles fortes sur le marché européen, et les contraintes de fabrication en atelier (soudage automatique sous flux).
📚 Cadre Normatif & Hypothèses
L'étude doit être menée en conformité absolue avec les Eurocodes structuraux, qui régissent la construction métallique en Europe. Les hypothèses de la Résistance des Matériaux (RDM) classique (Navier-Bernoulli) sont considérées comme valides (sections planes restant planes).
NF EN 1993-1-1 (Eurocode 3) Hypothèse des sections droitesLe matériau choisi est un acier de construction thermo-mécanique soudable à grains fins. Ce choix du S355 (limite élastique de 355 MPa) permet de réduire les sections par rapport à un acier standard S235, allégeant ainsi l'ouvrage. La géométrie a été définie pour maximiser l'inertie verticale tout en limitant l'encombrement visuel :
- Les semelles (ou ailes) sont dimensionnées larges et épaisses pour reprendre les efforts de traction/compression générés par la flexion.
- L'âme est élancée pour augmenter le bras de levier entre les semelles, maximisant l'inertie pour un poids minimal.
| SEMELLES (Membrures Supérieure & Inférieure) | |
| Largeur (\( b \)) | 300 mm (Largeur standard de tôle laminée) |
| Épaisseur (\( t_f \)) | 20 mm (Tôle forte pour reprise moment) |
| ÂME (Membrure Centrale) | |
| Hauteur (\( h_w \)) | 600 mm (Optimisé pour la portée de 45m) |
| Épaisseur (\( t_w \)) | 10 mm (Minimum pour éviter le voilement précoce) |
Le tableau ci-dessous isole les variables mathématiques qui seront injectées dans vos équations. Vérifiez soigneusement la cohérence des unités avant tout calcul.
| Désignation | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur Semelle | \( b \) | 300 | mm |
| Épaisseur Semelle | \( t_f \) | 20 | mm |
| Hauteur Âme | \( h_w \) | 600 | mm |
| Épaisseur Âme | \( t_w \) | 10 | mm |
E. Protocole de Résolution
Afin de caractériser parfaitement la section pour les calculs de résistance des matériaux, nous allons procéder méthodiquement, de la géométrie de base vers les propriétés inertielles complexes.
Calcul de l'Aire Totale (\( A \))
Quantification de la surface de matière (section droite), essentielle pour les calculs de traction/compression pure et le poids linéique.
Position du Centre de Gravité (\( G \))
Détermination du centre géométrique de la section (barycentre), par lequel passent les axes neutres.
Moments Quadratiques (\( I_{yy}, I_{zz} \))
Calcul de la répartition de la matière autour des axes neutres (inertie de flexion) en utilisant le théorème de Huygens.
Rayons de Giration (\( i_y, i_z \))
Déduction des rayons de giration, paramètres clés pour l'étude ultérieure des phénomènes d'instabilité comme le flambement.
Caractéristiques Géométriques de Sections
🎯 Objectif
L'objectif premier de cette note de calcul est de quantifier avec précision la surface totale de matière présente dans une coupe transversale droite de la poutre PRS. Cette grandeur, notée \( A \) (pour Aire), est la pierre angulaire de tout dimensionnement structurel. Elle servira d'une part à vérifier la résistance de l'élément sous effort normal pur (traction ou compression centrée) selon la relation \( \sigma = N_{Ed} / A \), et d'autre part à estimer la charge permanente linéique (le poids propre de la poutre) qui viendra solliciter l'ouvrage tout au long de sa vie.
📚 Référentiel
- Géométrie Euclidienne Calculs de surfaces planes élémentaires.
- Eurocode 3 Définition de la section brute.
Face à une section complexe comme un Profilé Reconstitué Soudé (PRS) en forme de "I", l'approche directe est impossible. La stratégie universelle adoptée par les ingénieurs consiste à appliquer le principe de superposition. Nous allons mentalement "découper" la section complexe en une somme de formes géométriques élémentaires (ici, trois rectangles simples) dont nous maîtrisons parfaitement les formules d'aire. La section étant constituée de tôles soudées bout à bout (et non chevauchantes), l'aire totale sera strictement égale à la somme algébrique des aires de chaque composant : la semelle supérieure, l'âme centrale et la semelle inférieure. Nous négligerons ici l'apport de matière des cordons de soudure, ce qui nous place du côté de la sécurité (approche conservative) pour les calculs de résistance, bien que cela sous-estime très légèrement le poids propre.
Dans un plan euclidien, l'aire est une grandeur extensive et additive. Si une surface complexe \( S \) peut être partitionnée en un ensemble fini de sous-surfaces disjointes \( \{S_1, S_2, ..., S_n\} \), alors l'aire totale est la somme des aires individuelles. Pour un rectangle de largeur \( b \) et de hauteur \( h \), l'aire est donnée par le produit scalaire simple de ses dimensions principales : \( A_{rect} = b \cdot h \).
📐 Formules Clés
📋 Données d'Entrée
Avant tout calcul, nous isolons les valeurs numériques nécessaires et vérifions leur cohérence dimensionnelle (tout doit être en mm).
| Composant | Quantité | Dimensions Unitaire (mm) |
|---|---|---|
| Semelles (Ailes) | 2 (Supérieure + Inférieure) | \( 300 \times 20 \) |
| Âme (Web) | 1 (Centrale) | \( 600 \times 10 \) |
Dans un PRS symétrique comme celui-ci, les deux semelles sont identiques. Il est plus rapide et moins source d'erreur de calculer \( A_{\text{semelles}} = 2 \times (b \cdot t_f) \) plutôt que d'additionner deux fois la même valeur. Cela allège l'écriture et montre que vous avez repéré la symétrie.
📝 Calcul Détaillé
Nous procédons au calcul élément par élément pour garantir la traçabilité des résultats. Cette décomposition permet à un vérificateur tiers de comprendre immédiatement l'origine de chaque terme de la somme finale.
1. Calcul de l'aire cumulée des semelles (\( A_{\text{semelles}} \)) :
Nous commençons par calculer la surface occupée par les membrures horizontales. Ces éléments étant prépondérants pour la reprise du moment fléchissant, leur aire est significative. Nous multiplions la largeur par l'épaisseur pour une semelle, puis par 2 car la section comporte une semelle supérieure et une inférieure identiques.
Interprétation : Les semelles représentent à elles seules 120 cm² de matière, ce qui illustre bien la philosophie du profilé en I : concentrer la matière aux extrémités.
2. Calcul de l'aire de l'âme (\( A_{\text{ame}} \)) :
Nous calculons ensuite la surface de l'âme verticale. Bien que très haute (600 mm), sa faible épaisseur (10 mm) limite son aire. Son rôle est avant tout de solidariser les semelles et de reprendre l'effort tranchant.
Interprétation : L'âme représente 60 cm², soit exactement la moitié de l'aire des semelles. Ce ratio 2/1 est classique pour des poutres optimisées en flexion.
3. Sommation pour l'Aire Totale (\( A_{\text{tot}} \)) :
Enfin, nous réalisons l'addition des résultats intermédiaires pour obtenir la caractéristique globale de la section.
Conclusion du calcul : La section transversale présente une aire brute totale de 18 000 mm².
✅ Interprétation Globale
Nous avons déterminé que la section offre une surface de résistance de 180 cm². Cela signifie que sous une contrainte uniforme de 1 MPa (1 N/mm²), cette poutre développerait un effort normal interne de 18 000 N, soit 1.8 tonnes. Cette valeur d'aire est le dénominateur de toutes les contraintes normales ; plus elle est élevée, plus la contrainte moyenne est faible.
Convertissons pour vérifier l'ordre de grandeur : \( 18\,000 \text{ mm}^2 = 180 \text{ cm}^2 \). Comparons cela à un profilé laminé standard du commerce : un HEA 400 a une aire de 159 cm² et un HEA 450 une aire de 178 cm². Notre PRS, avec ses 180 cm², se situe donc dans la gamme des profilés lourds type "HEA 450 renforcé". C'est un résultat parfaitement cohérent pour une passerelle de cette envergure.
Une erreur fréquente chez les débutants consiste à utiliser la hauteur totale de la poutre (640 mm) pour calculer l'aire de l'âme, au lieu de la hauteur propre de l'âme (600 mm). Cela reviendrait à compter deux fois les zones d'intersection entre l'âme et les semelles, faussant le résultat. Ici, les dimensions données (Semelles 300x20 et Ame 600x10) sont disjointes, donc l'addition simple est correcte.
🎯 Objectif
L'objectif de cette étape est de localiser spatialement le barycentre géométrique de la section, noté \( G(y_G, z_G) \). Ce point possède une propriété physique fondamentale en Résistance des Matériaux : pour une poutre en matériau homogène soumise à de la flexion pure, l'axe neutre (la ligne où les fibres de matière ne subissent ni allongement ni raccourcissement, et où la contrainte est donc nulle) passe exactement par ce centre de gravité. Connaître sa position est donc un prérequis indispensable pour calculer les moments quadratiques et, in fine, les contraintes maximales dans les fibres extrêmes.
📚 Référentiel
- Mécanique Statique Définition du barycentre et moment statique.
- Géométrie Propriétés de symétrie.
Le calcul "brut" de la position du centre de gravité implique généralement de calculer les moments statiques de chaque sous-élément par rapport à un repère arbitraire, puis de diviser la somme de ces moments par l'aire totale (\( z_G = \sum (A_i \cdot z_i) / A_{tot} \)). C'est une méthode robuste mais fastidieuse.
Cependant, l'ingénieur avisé cherche toujours à exploiter les propriétés géométriques pour économiser du temps et réduire le risque d'erreur. Observons notre PRS : il est constitué d'une âme verticale centrée et de deux semelles horizontales strictement identiques et disposées de part et d'autre. La section présente donc une double symétrie : une symétrie verticale (axe z) et une symétrie horizontale (axe y). Or, une loi mathématique stipule que si une surface plane possède un axe de symétrie, son barycentre appartient nécessairement à cet axe. Par conséquent, le centre de gravité se trouve obligatoirement à l'intersection des deux axes de symétrie.
Le centre de gravité \( G \) est le point moyen de la distribution de surface. Mathématiquement, ses coordonnées sont définies par \( y_G = \frac{\int y dA}{\int dA} \) et \( z_G = \frac{\int z dA}{\int dA} \).
Théorème de la Symétrie : Si une figure est invariante par une symétrie axiale, alors son centre de gravité se situe sur l'axe de symétrie. Si elle possède deux axes sécants, \( G \) est leur point d'intersection. Dans ce cas particulier, aucun calcul intégral ou de moment statique n'est nécessaire.
📐 Formules Clés
📋 Données d'Entrée
Nous analysons la géométrie de la section pour valider l'hypothèse de symétrie.
| Axe de Symétrie | Observation Géométrique | Conclusion sur G |
|---|---|---|
| Vertical (Oy) | L'âme est centrée, et les semelles sont centrées sur l'âme. | \( y_G = 0 \) (sur l'axe vertical médian) |
| Horizontal (Oz) | La semelle supérieure (300x20) est identique à l'inférieure (300x20). | \( z_G = H_{tot} / 2 \) (à mi-hauteur) |
Lors de la conception d'un PRS, on essaie autant que possible de maintenir une symétrie (section "bisymétrique"). Cela simplifie non seulement les calculs, mais évite aussi des phénomènes parasites complexes comme le couplage flexion-torsion, fréquent dans les sections asymétriques (comme les cornières).
📝 Calcul Détaillé
Nous allons simplement calculer la hauteur totale pour localiser géométriquement ce point d'intersection.
1. Calcul de la hauteur hors-tout (\( H_{\text{tot}} \)) :
Pour placer le centre de gravité verticalement, nous devons connaître la hauteur totale de la poutre, qui est la somme de la hauteur de l'âme et des épaisseurs des deux semelles.
Interprétation : La poutre mesure 64 cm de haut. C'est une dimension significative qui confirme le caractère "élancé" de l'âme.
2. Détermination de la côte \( z_G \) :
Puisque la section est symétrique horizontalement, le centre de gravité est situé exactement à mi-hauteur de la section totale.
Conclusion : Le centre de gravité se situe au cœur géométrique de l'âme, à 320 mm du bas.
✅ Interprétation Globale
La coïncidence du centre de gravité avec le centre géométrique de la section est une excellente nouvelle pour le comportement structurel. Cela signifie que sous flexion simple, les contraintes de compression en fibre supérieure seront égales en valeur absolue aux contraintes de traction en fibre inférieure. Le matériau sera utilisé de manière optimale, les deux semelles travaillant au même taux de charge.
Le résultat (320 mm) est exactement la moitié de 640 mm. Il est cohérent. Si nous avions une semelle inférieure plus épaisse (ex: 40mm) pour reprendre plus de traction, le centre de gravité serait "tiré" vers le bas, et \( z_G \) serait inférieur à 320 mm.
Ne prenez jamais la symétrie pour acquise sans vérification ! Il suffit que l'épaisseur de la semelle supérieure diffère de celle du bas (ce qui arrive dans les poutres mixtes acier-béton pour optimiser la section) pour que le centre de gravité se déplace. Dans ce cas d'asymétrie, le calcul complet des moments statiques \( \sum (A_i z_i) / A_{tot} \) deviendrait obligatoire.
🎯 Objectif
Cette étape est la plus critique de toute la note de calcul. Nous devons déterminer les Moments Quadratiques d'Inertie (aussi appelés inertie de flexion) de la section par rapport à ses axes principaux \( G_y \) et \( G_z \). Ces valeurs, notées \( I_{yy} \) et \( I_{zz} \), quantifient la répartition de la matière autour du centre de gravité. Concrètement, elles mesurent la "résistance géométrique" de la poutre à la flexion : plus l'inertie est grande, moins la poutre fléchira sous une charge donnée et plus les contraintes seront faibles. C'est l'indicateur direct de la rigidité flexionnelle \( EI \).
📚 Référentiel
- Théorème de Huygens Transport des moments d'inertie (Steiner's Theorem).
- RDM Calculs d'inertie des surfaces composées.
Pour calculer l'inertie globale d'une section composée comme notre PRS, nous ne pouvons pas simplement sommer les inerties propres de chaque rectangle (\( bh^3/12 \)). Pourquoi ? Parce que les semelles ne sont pas centrées sur le centre de gravité global \( G \) !
Nous devons impérativement faire appel au Théorème de Huygens (ou théorème des axes parallèles). Ce théorème nous dit que l'efficacité d'une surface éloignée de l'axe neutre est considérablement augmentée. L'inertie efficace d'un élément est la somme de son inertie propre (faible pour une semelle horizontale) ET d'un terme de transport \( A \cdot d^2 \). C'est ce terme \( d^2 \) (distance au carré) qui est magique : en éloignant la matière du centre (rôle des semelles), on multiplie sa rigidité de manière exponentielle. C'est tout le génie de la poutre en I : mettre le maximum de matière le plus loin possible de l'axe neutre.
Le moment quadratique d'une surface \( S \) par rapport à un axe \( \Delta \) quelconque parallèle à son axe propre \( \Delta_G \) est donné par :
\( I_{\Delta} = I_{\Delta_G} + S \cdot d^2 \)
Avec :
\( I_{\Delta_G} \) : Inertie propre de la surface par rapport à son centre local (pour un rectangle : \( \frac{bh^3}{12} \)).
\( S \) : Aire de la surface.
\( d \) : Distance géométrique entre l'axe propre de la surface et l'axe global de la section.
📐 Formules Clés
📋 Données d'Entrée
Nous rappelons les valeurs clés nécessaires à l'application du théorème.
| Composant | Dimensions | Aire (mm²) | Position du Centre Local |
|---|---|---|---|
| Âme | \( b=10, h=600 \) | 6 000 | \( z=320 \) (Centré) |
| Semelle Sup. | \( b=300, h=20 \) | 6 000 | \( z=630 \) (Décentré) |
| Semelle Inf. | \( b=300, h=20 \) | 6 000 | \( z=10 \) (Décentré) |
Pour l'inertie \( I_{yy} \), les deux semelles sont à la même distance \( d \) de l'axe neutre. Calculez l'inertie d'une seule semelle (Huygens complet) et multipliez le tout par 2. Cela évite de refaire le calcul pour la semelle inférieure.
📝 Calcul Détaillé : Inertie Forte (\( I_{yy} \))
C'est l'inertie "utile", celle qui résiste à la charge du train ou des piétons (flexion verticale). L'axe de rotation est l'axe horizontal \( y-y \).
1. Contribution de l'Âme (\( I_{y,\text{ame}} \)) :
Le centre de gravité de l'âme coïncide avec le centre de gravité global \( G \). La distance de transport \( d \) est donc nulle (\( d=0 \)). L'inertie de l'âme se résume à son inertie propre. Attention, ici la "hauteur" au cube est la dimension verticale (600 mm).
Analyse : L'âme apporte une inertie de 180 millions de mm⁴. C'est une base, mais nous allons voir que les semelles vont exploser ce chiffre.
2. Calcul du bras de levier (\( d_z \)) :
C'est la distance verticale entre l'axe neutre global (au milieu de la poutre) et le centre propre d'une semelle. C'est la demi-hauteur de l'âme plus la demi-épaisseur de la semelle.
Note : C'est cette valeur de 310 mm qui va être élevée au carré, générant l'énorme rigidité de la poutre.
3. Contribution des Semelles (\( I_{y,\text{sem}} \)) via Huygens :
Nous calculons l'inertie d'une semelle et multiplions par 2. Le terme d'inertie propre (\( \frac{300 \times 20^3}{12} \)) sera négligeable devant le terme de transport (\( A \times 310^2 \)). C'est ici que la magie de la RDM opère.
Analyse : Regardez la différence ! L'inertie propre (200 000) est ridicule face au transport (576 millions). Les semelles travaillent quasi exclusivement en traction/compression déportée.
4. Somme Totale (\( I_{yy} \)) :
Résultat : L'inertie forte est de 1.33 milliard de mm⁴.
📝 Calcul Détaillé : Inertie Faible (\( I_{zz} \))
C'est l'inertie latérale (flexion gauche-droite). Ici, l'axe de rotation est vertical (axe z). Point crucial : Tous les éléments (âme et semelles) sont centrés sur cet axe vertical. Leurs centres de gravité locaux sont alignés avec l'axe global. Par conséquent, la distance de transport \( d \) est nulle pour TOUS les composants ! Huygens ne s'applique pas (ou plutôt, le terme \( d^2 \) s'annule).
1. Contribution des Semelles selon Z (\( I_{z,\text{sem}} \)) :
Attention au piège ! L'axe de rotation a changé. La dimension parallèle à l'axe (qui ne joue pas) est maintenant l'épaisseur (20mm), et la dimension perpendiculaire (qui est au cube) est la grande largeur (300mm). Les semelles deviennent très rigides dans ce sens.
Analyse : Les semelles contribuent massivement à la rigidité latérale grâce à leur largeur de 300mm au cube.
2. Contribution de l'Âme selon Z (\( I_{z,\text{ame}} \)) :
Pour l'âme, la dimension perpendiculaire à l'axe vertical est son épaisseur (10 mm). 10 au cube est très faible.
Analyse : 50 000 est dérisoire comparé aux 90 millions des semelles. L'âme ne participe quasiment pas à la tenue latérale.
3. Somme Totale (\( I_{zz} \)) :
Résultat : L'inertie faible est de 90 millions de mm⁴.
✅ Interprétation Globale
Nous observons une différence spectaculaire entre les deux inerties : le rapport \( I_{yy} / I_{zz} \) est d'environ 15. Cela confirme que notre PRS est une poutre hautement optimisée pour travailler verticalement. Sa rigidité latérale est 15 fois plus faible, ce qui la rendra très sensible au déversement (flambement latéral de la membrure comprimée). Il faudra impérativement prévoir des entretoises ou un contreventement efficace pour empêcher la poutre de se "couché" sur le côté.
Pour un IPE ou HEA standard, l'inertie forte est toujours prépondérante. Convertissons nos résultats en cm⁴ pour comparaison.
\( I_{yy} = 133\,360 \text{ cm}^4 \). Un HEA 600 fait environ 141 000 cm⁴. Nous sommes dans le bon ordre de grandeur.
\( I_{zz} = 9\,005 \text{ cm}^4 \). Un HEA 600 fait environ 11 270 cm⁴. Notre âme fine et nos semelles moins larges qu'un HEA expliquent cette valeur légèrement inférieure.
L'erreur fatale (et la plus courante en examen ou en bureau d'études) est de se tromper sur le terme au cube dans la formule \( bh^3/12 \). Retenez ceci : le terme au cube est toujours la dimension perpendiculaire à l'axe de rotation. Si je tourne autour de l'axe vertical (flexion latérale), c'est la dimension horizontale qui est au cube.
🎯 Objectif
Calculer les rayons de giration \( i \) (parfois notés \( r \) ou \( \rho \)). Cette grandeur géométrique un peu abstraite représente physiquement la distance à laquelle il faudrait concentrer toute la matière de la section (sous forme d'un tube infiniment fin par exemple) pour obtenir la même inertie de flexion. C'est une mesure normalisée de la distribution de la matière. Ce paramètre est fondamental pour les calculs d'instabilité, notamment le flambement. Plus le rayon de giration est petit, plus la poutre est "élancée" mécaniquement (\( \lambda = L/i \)) et plus elle risque de flamber sous compression.
📚 Référentiel
- Théorie d'Euler Force critique de flambement.
- Eurocode 3 Classification des sections et courbes de flambement.
Le rayon de giration fait le lien entre la masse (Aire) et la rigidité (Inertie). En compression simple, la contrainte critique d'Euler est inversement proportionnelle au carré de l'élancement \( \lambda = L_{flambement} / i \). Pour optimiser une colonne contre le flambement, il faut maximiser \( i \). C'est pourquoi les tubes creux sont si efficaces en compression : ils envoient toute la matière loin du centre, maximisant \( i \). Pour notre PRS, nous allons voir que \( i_z \) est très faible, ce qui confirme la vulnérabilité latérale de la poutre.
L'élancement mécanique d'une poutre dépend de sa longueur de flambement et de son rayon de giration \( i = \sqrt{I/A} \). Pour une même longueur, la poutre flambera toujours selon l'axe qui présente le rayon de giration le plus faible (axe faible).
📐 Formules Clés
📋 Données d'Entrée
Nous réutilisons les résultats validés aux étapes précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Aire Totale | \( A \) | 18 000 mm² |
| Inertie Forte | \( I_{yy} \) | 1 333 600 000 mm⁴ |
| Inertie Faible | \( I_{zz} \) | 90 050 000 mm⁴ |
Pour vérifier rapidement votre calcul : pour un profilé en I standard, le rayon de giration fort \( i_y \) est environ égal à 0.4 fois la hauteur totale, et le faible \( i_z \) à 0.25 fois la largeur.
📝 Calcul Détaillé
Nous appliquons simplement la racine carrée aux rapports calculés.
1. Rayon de giration fort (\( i_y \)) :
Calcul associé à la flexion autour de l'axe fort (risque de flambement dans le plan de l'âme, généralement empêché par la rigidité propre).
Interprétation : Avec 27.2 cm, le rayon de giration est proche de la demi-hauteur de la poutre (32 cm), ce qui est excellent.
2. Rayon de giration faible (\( i_z \)) :
Calcul associé à la flexion latérale (risque de flambement hors plan). C'est la valeur critique pour la stabilité.
Interprétation : Seulement 7 cm ! C'est très faible pour une poutre de cette taille. Cela confirme la grande souplesse latérale.
✅ Interprétation Globale
Nous disposons désormais de la carte d'identité complète de la section. Le profilé est très performant verticalement (\( i_y \) élevé) mais intrinsèquement instable latéralement (\( i_z \) faible). Si cette poutre est comprimée (par exemple si elle fait partie d'un treillis ou subit un moment fléchissant important), la longueur de flambement devra être réduite drastiquement par des entretoises, sinon elle flambera selon l'axe Z bien avant d'atteindre sa limite élastique.
Règles empiriques pour les profilés en I :
On attend généralement \( i_y \approx 0.40 \times H \) et \( i_z \approx 0.25 \times B \).
Vérifions : \( 0.40 \times 640 = 256 \) mm (nous avons 272 mm, c'est proche).
Vérifions : \( 0.25 \times 300 = 75 \) mm (nous avons 70.7 mm, c'est proche).
L'ordre de grandeur est validé. Nous n'avons pas fait d'erreur de calcul grossière.
Ne confondez pas le rayon de giration avec une dimension physique réelle de la poutre. Ce n'est pas une distance mesurable au mètre ruban, c'est une caractéristique mécanique dérivée.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
POUR EXÉCUTION
Fiche de Synthèse : Caractéristiques de Section
Objet : Validation des propriétés géométriques du longeron principal (PRS 640)| Paramètre | Symbole | Valeur Validée |
|---|---|---|
| 1. Données Géométriques (Acier S355) | ||
| Semelles (Sup. / Inf.) | \( b \times t_f \) | 300 \(\times\) 20 mm |
| Âme | \( h_w \times t_w \) | 600 \(\times\) 10 mm |
| Hauteur Totale | \( H_{tot} \) | 640 mm |
| 2. Propriétés Calculées | ||
| Aire de la section brute | \( A \) | 180.00 cm² |
| Inertie de Flexion (Axe Fort) Dimensionnant pour la flèche |
\( I_{yy} \) | 133 360 cm⁴ |
| Inertie Latérale (Axe Faible) Sensible au déversement |
\( I_{zz} \) | 9 005 cm⁴ |
| Rayon de Giration (Fort) | \( i_y \) | 27.22 cm |
| Rayon de Giration (Faible) | \( i_z \) | 7.07 cm |
⚠️ Point d'attention : La faible inertie latérale (\( i_z = 7.07 \) cm) impose la vérification systématique au déversement selon l'Eurocode 3 et la mise en place d'entretoises anti-flambement tous les 4 à 6 mètres.
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