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Calcul d’une Grue

Calcul de Stabilité d'une Grue de Chantier

Calcul d’une Grue

Contexte : L'équilibre des géants sur les chantiers.

Les grues à tour sont des éléments incontournables des chantiers de construction modernes, permettant de lever et de déplacer des charges lourdes sur de grandes distances. Leur conception élancée les rend particulièrement sensibles au risque de renversement. La vérification de la stabilité est donc le calcul de sécurité le plus fondamental pour une grue. Cet exercice vous propose d'analyser l'équilibre d'une grue en calculant les moments qui tendent à la stabiliser et ceux qui menacent de la faire basculer, une application directe du principe des moments en statique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le principe de la balance. D'un côté, le contrepoids crée un moment stabilisateurMoment (force x distance) qui tend à maintenir la grue en équilibre et à empêcher son renversement. Principalement généré par le contrepoids.. De l'autre, la charge levée crée un moment de renversementMoment (force x distance) qui tend à faire basculer la grue autour de son point d'appui. Principalement généré par la charge soulevée.. Pour garantir la sécurité, le moment stabilisateur doit être significativement plus grand que le moment de renversement, un principe validé par l'application d'un coefficient de sécurité.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les forces stabilisatrices et les forces de renversement.
  • Calculer le moment stabilisateur généré par le contrepoids de la grue.
  • Calculer le moment de renversement généré par la charge à lever.
  • Appliquer un coefficient de sécurité pour vérifier la condition de non-renversement.
  • Déterminer la charge maximale admissible à une portée donnée.

Données de l'étude

On étudie la stabilité d'une grue à tour simplifiée. L'équilibre est étudié par rapport au pied du mât, considéré comme l'axe de rotation. On négligera le poids propre de la flèche et de la contre-flèche pour simplifier les calculs et se concentrer sur l'effet du contrepoids et de la charge.

Schéma de la Grue et des Efforts
P_c P_l d_c = 12 m d_l = 35 m Axe de rotation
Schéma 3D interactif de la grue
Paramètre Symbole Valeur Unité
Masse du contrepoids \(M_{\text{c}}\) 15 \(\text{tonnes}\)
Distance du contrepoids à l'axe \(d_{\text{c}}\) 12 \(\text{m}\)
Masse de la charge à lever \(M_{\text{l}}\) 4.5 \(\text{tonnes}\)
Distance de la charge à l'axe (portée) \(d_{\text{l}}\) 35 \(\text{m}\)
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 \(\text{m/s}^2\)
Coefficient de sécurité au renversement \(\gamma_{\text{s}}\) 1.5 -

Questions à traiter

  1. Calculer le moment stabilisateur (\(M_{\text{stab}}\)).
  2. Calculer le moment de renversement (\(M_{\text{renv}}\)).
  3. Vérifier la stabilité de la grue en appliquant le coefficient de sécurité.
  4. Déterminer la masse maximale (\(M_{\text{l,max}}\)) que la grue peut lever à cette portée de 35 m.

Les bases du calcul de stabilité

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux de la statique.

1. Le Principe des Moments :
Un moment est l'effet de rotation produit par une force appliquée à une certaine distance d'un point de pivot (ou axe). Il se calcule par la formule : \[ \text{Moment} = \text{Force} \times \text{Distance (bras de levier)} \] Son unité est le Newton-mètre (N·m) ou, plus couramment en ingénierie, le kilonewton-mètre (kN·m).

2. L'Équilibre de Rotation :
Pour qu'un objet soit en équilibre et ne tourne pas, la somme des moments qui tendent à le faire tourner dans un sens (ex: sens horaire) doit être égale à la somme des moments qui tendent à le faire tourner dans l'autre sens (sens anti-horaire). \[ \sum M_{\text{horaire}} = \sum M_{\text{anti-horaire}} \] Pour la grue, on vérifie que le moment stabilisateur (anti-horaire) est bien supérieur au moment de renversement (horaire).

3. Conversion Masse en Poids :
Les données sont en masse (tonnes), mais le calcul de moment nécessite une force (le poids). On utilise la formule fondamentale de la dynamique : \[ \text{Poids (Force)} = \text{Masse} \times g \] Où \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\). Attention aux unités : 1 tonne = 1000 kg. Le poids sera donc en Newtons (N).

Correction : Calcul d’une Grue

Question 1 : Calculer le moment stabilisateur (Mstab)

Principe (le concept physique)

Le moment stabilisateur est la force de rappel qui maintient la grue en équilibre. Il est principalement généré par le poids du contrepoids, qui est placé sur la contre-flèche (la partie courte de la flèche) pour créer un moment de rotation opposé à celui de la charge. Plus le contrepoids est lourd et plus il est éloigné de l'axe, plus ce moment stabilisateur est important.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de moment est une application directe du principe du levier. Le point de pivot est la base du mât. Le contrepoids agit comme la force motrice sur un bras de levier (\(d_{\text{c}}\)) pour contrer la force résistante (la charge) sur l'autre bras de levier (\(d_{\text{l}}\)). Le centre de gravité de l'ensemble (grue, contrepoids, charge) doit rester au-dessus de la base de sustentation pour assurer la stabilité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la première étape cruciale. Ce moment est la "réserve de sécurité" de la grue. Toute la capacité de levage de la grue dépend de la valeur de ce moment. C'est pourquoi les blocs de contrepoids sont des éléments massifs et précisément calibrés.

Normes (la référence réglementaire)

Le principe de l'équilibre statique est défini dans l'Eurocode 0 (NF EN 1990 - Bases de calcul des structures), qui stipule que pour chaque situation, l'équilibre statique doit être maintenu. Les normes spécifiques aux appareils de levage (ex: EN 13000) détaillent ensuite les charges et coefficients à utiliser.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul du poids du contrepoids (\(P_{\text{c}}\)) :

\[ P_{\text{c}} = M_{\text{c}} \cdot g \]

2. Calcul du moment stabilisateur (\(M_{\text{stab}}\)) :

\[ M_{\text{stab}} = P_{\text{c}} \cdot d_{\text{c}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le contrepoids peut être modélisé comme une masse ponctuelle. On considère que la grue est sur un sol parfaitement horizontal et rigide, sans tassement possible.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Masse du contrepoids, \(M_{\text{c}} = 15 \, \text{tonnes} = 15000 \, \text{kg}\)
  • Distance du contrepoids, \(d_{\text{c}} = 12 \, \text{m}\)
  • Accélération de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour obtenir directement le résultat en kilonewton-mètres (kN·m), on peut utiliser la masse en tonnes et multiplier par \(g\). En effet, \((1000 \, \text{kg}) \cdot (9.81 \, \text{m/s}^2) \approx 9810 \, \text{N} = 9.81 \, \text{kN}\). Donc, Poids (en kN) = Masse (en tonnes) \(\times\) 9.81.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul du Moment Stabilisateur
P_cd_cM_stab = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du poids du contrepoids en kilonewtons (kN) :

\[ \begin{aligned} P_{\text{c}} &= 15 \, \text{t} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 147.15 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul du moment stabilisateur :

\[ \begin{aligned} M_{\text{stab}} &= 147.15 \, \text{kN} \cdot 12 \, \text{m} \\ &= 1765.8 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moment Stabilisateur Calculé
147.15 kN12 mM_stab = 1765.8 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de 1765.8 kN·m représente la capacité de la grue à résister au basculement. C'est une valeur fixe tant que le contrepoids n'est pas modifié. C'est la référence par rapport à laquelle on jugera toutes les opérations de levage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes. Si vous utilisez des kilonewtons (kN) pour la force et des mètres (m) pour la distance, le résultat sera en kilonewton-mètres (kN·m). Une erreur d'un facteur 1000 est vite arrivée si on mélange Newtons et kilonewtons.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment stabilisateur est le produit du poids du contrepoids par sa distance à l'axe.
  • C'est la "force" qui empêche la grue de basculer.
  • Il faut convertir la masse en poids (force) en multipliant par \(g\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les contrepoids des grues sont fabriqués en béton de haute densité ou en fonte, pour maximiser la masse dans un volume réduit. Ils sont toujours constitués de plusieurs blocs assemblés sur le chantier, car un contrepoids de 15 tonnes serait impossible à transporter et à installer en une seule pièce.

FAQ (pour lever les doutes)
Le poids de la contre-flèche participe-t-il au moment stabilisateur ?

Oui, absolument. Dans un calcul réel et précis, le poids propre de la contre-flèche, de la cabine et des treuils est pris en compte et s'ajoute au moment stabilisateur. Nous le négligeons ici pour simplifier l'exercice.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment stabilisateur de la grue est de 1765.8 kN·m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le contrepoids était de 18 tonnes, quel serait le nouveau moment stabilisateur en kN·m ?

Question 2 : Calculer le moment de renversement (Mrenv)

Principe (le concept physique)

Le moment de renversement est le moment qui tend à faire basculer la grue. Il est généré par le poids de la charge soulevée, appliqué au bout du bras de levier qu'est la flèche. Plus la charge est lourde et plus elle est éloignée de l'axe de la grue (grande portée), plus ce moment est important et dangereux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation entre la charge maximale et la portée n'est pas linéaire, mais hyperbolique (\(M_{\text{max}} = \text{Cte} / d\)). C'est pourquoi une grue peut lever une charge très lourde près du mât, mais sa capacité chute très rapidement à mesure que la portée augmente. Cette courbe est matérialisée par l'abaque de charge.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ceci est le "moment dangereux". C'est lui qui est responsable des accidents. Il est variable car il dépend de la charge levée et de sa position, contrairement au moment stabilisateur qui est fixe. Le grutier contrôle en permanence ce moment via la portée de la charge.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes exigent que les abaques de charge, qui sont le résultat direct de ce calcul, soient affichés de manière visible dans la cabine du grutier et soient inviolables. Les grues modernes intègrent des calculateurs qui empêchent de dépasser le moment de renversement autorisé.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul du poids de la charge (\(P_{\text{l}}\)) :

\[ P_{\text{l}} = M_{\text{l}} \cdot g \]

2. Calcul du moment de renversement (\(M_{\text{renv}}\)) :

\[ M_{\text{renv}} = P_{\text{l}} \cdot d_{\text{l}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge est levée lentement, sans effets dynamiques (pas d'accélération brusque). On néglige aussi l'effet du vent sur la charge, qui pourrait créer un moment supplémentaire.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Masse de la charge, \(M_{\text{l}} = 4.5 \, \text{tonnes} = 4500 \, \text{kg}\)
  • Distance de la charge, \(d_{\text{l}} = 35 \, \text{m}\)
  • Accélération de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Comme pour le contrepoids, utilisez la conversion directe : Poids (en kN) = Masse (en tonnes) \(\times\) 9.81. Cela simplifie les calculs et évite de manipuler de très grands nombres en Newtons.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul du Moment de Renversement
P_ld_lM_renv = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du poids de la charge en kilonewtons (kN) :

\[ \begin{aligned} P_{\text{l}} &= 4.5 \, \text{tonnes} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 44.145 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul du moment de renversement :

\[ \begin{aligned} M_{\text{renv}} &= 44.145 \, \text{kN} \cdot 35 \, \text{m} \\ &= 1545.075 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moment de Renversement Calculé
44.15 kN35 mM_renv = 1545.1 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment de renversement (1545.1 kN·m) est du même ordre de grandeur que le moment stabilisateur (1765.8 kN·m). Cela indique que la grue travaille près de sa limite d'équilibre, et que la vérification avec le coefficient de sécurité sera déterminante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les masses en poids avant de calculer les moments. Un moment est une force fois une distance, pas une masse fois une distance. Pensez toujours à multiplier par \(g\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment de renversement est le produit du poids de la charge par sa portée.
  • C'est le "moment dangereux" qui tend à faire basculer la grue.
  • Il augmente avec la masse de la charge ET avec la portée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les effets dynamiques peuvent augmenter le moment de renversement de 10% à 25% ! Un levage ou un freinage brusque de la rotation peut générer des forces d'inertie importantes qui s'ajoutent au poids statique de la charge. C'est pourquoi les manœuvres doivent toujours être douces.

FAQ (pour lever les doutes)
Le poids de la flèche n'est-il pas pris en compte ?

Si, dans un calcul complet, le poids propre de la flèche crée aussi un moment de renversement. Son poids est réparti sur toute sa longueur, on le modélise donc comme une charge répartie, et son moment est calculé en considérant son centre de gravité (généralement au milieu de la flèche).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment de renversement généré par la charge est de 1545.1 kN·m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge de 4.5 tonnes était levée à une portée de 20 m seulement, quel serait le nouveau moment de renversement en kN·m ?

Question 3 : Vérifier la stabilité de la grue

Principe (le concept physique)

Pour qu'une grue soit considérée comme sûre, il ne suffit pas que le moment stabilisateur soit juste un peu plus grand que le moment de renversement. Des facteurs imprévus (rafale de vent, balancement de la charge) peuvent augmenter le moment de renversement. Pour tenir compte de ces incertitudes, les normes imposent que le moment stabilisateur soit nettement supérieur, en appliquant un coefficient de sécurité au moment de renversement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le concept de coefficient de sécurité est au cœur de l'ingénierie. Il représente le rapport entre la capacité maximale d'un système et la charge réelle à laquelle il est soumis. Un coefficient de 1.5 signifie que le système est conçu pour être 50% plus résistant que ce qui est strictement nécessaire pour l'équilibre, offrant une marge pour les imprévus.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape du jugement : l'opération est-elle sûre ou non ? La comparaison n'est pas directe. On compare la "réserve de stabilité" (\(M_{\text{stab}}\)) à la "menace pondérée" (\(\gamma_{\text{s}} \cdot M_{\text{renv}}\)). La sécurité est assurée uniquement si la réserve est supérieure à la menace.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de sécurité pour les appareils de levage, comme la norme européenne EN 14439, spécifient les coefficients de sécurité à appliquer. Ces coefficients peuvent varier selon que la grue est en service ou hors service (en "girouette"). Une valeur de 1.5 est une simplification courante pour un calcul de base en service.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition de stabilité à vérifier :

\[ M_{\text{stab}} \ge \gamma_{\text{s}} \cdot M_{\text{renv}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le coefficient de sécurité de 1.5 est approprié pour cette situation de levage et qu'il couvre toutes les incertitudes potentielles (vent modéré, effets dynamiques mineurs).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment stabilisateur, \(M_{\text{stab}} = 1765.8 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) (de Q1)
  • Moment de renversement, \(M_{\text{renv}} = 1545.1 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) (de Q2)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{\text{s}} = 1.5\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une autre façon de voir le calcul est de calculer un "ratio de stabilité" : \(\frac{M_{\text{stab}}}{M_{\text{renv}}}\). Ce ratio doit être supérieur au coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{s}}\). Ici, \(1765.8 / 1545.1 \approx 1.14\), ce qui est inférieur à 1.5. Le calcul est rapide et le résultat identique.

Schéma (Avant les calculs)
Balance de la Stabilité
M_stabM_renvx 1.5≥ ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule le moment de renversement pondéré :

\[ \begin{aligned} \gamma_{\text{s}} \cdot M_{\text{renv}} &= 1.5 \cdot 1545.1 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 2317.65 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

On compare avec le moment stabilisateur :

\[ 1765.8 \, \text{kN} \cdot \text{m} < 2317.65 \, \text{kN} \cdot \text{m} \Rightarrow \text{NON STABLE} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Stabilité
1765.82317.7DÉSÉQUILIBRE ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La condition de stabilité n'est pas respectée. Le moment stabilisateur est inférieur au moment de renversement pondéré par le coefficient de sécurité. Dans ces conditions, il est interdit de lever la charge de 4.5 tonnes à 35 mètres de portée. La grue est en situation de risque de basculement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier d'appliquer le coefficient de sécurité. Une simple comparaison entre \(M_{\text{stab}}\) et \(M_{\text{renv}}\) donnerait une fausse impression de sécurité (\(1765.8 > 1545.1\)), ce qui est une erreur grave pouvant mener à des accidents.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La sécurité impose de vérifier \(M_{\text{stab}} \ge \gamma_{\text{s}} \cdot M_{\text{renv}}\).
  • Le coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{s}}\) (souvent 1.5 ou plus) couvre les incertitudes.
  • Si la condition n'est pas respectée, l'opération de levage est dangereuse et interdite.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les grues mobiles sur pneus, la stabilité dépend aussi de l'utilisation de stabilisateurs (les "pattes"). Sans eux, la base de sustentation est le rectangle formé par les pneus, très étroit. Avec les stabilisateurs déployés, la base devient beaucoup plus large, augmentant considérablement la stabilité et la capacité de levage.

FAQ (pour lever les doutes)
Le coefficient de sécurité est-il toujours de 1.5 ?

Non. Il peut être plus élevé dans des conditions difficiles (vent fort, levage de personnes). Il peut aussi être différent pour la stabilité vers l'avant (renversement) et la stabilité vers l'arrière (soulèvement du contrepoids, plus rare).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La grue n'est pas stable pour cette opération. (1765.8 kN·m < 2317.7 kN·m).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec un coefficient de sécurité de 1.25, l'opération serait-elle devenue stable ? (Calculer 1.25 * 1545.1)

Question 4 : Déterminer la masse maximale admissible (Ml,max)

Principe (le concept physique)

Cette question inverse le problème. Connaissant la "réserve de stabilité" de la grue (\(M_{\text{stab}}\)) et la portée de travail (\(d_{\text{l}}\)), on cherche la charge maximale qu'on peut lever sans violer la règle de sécurité. C'est exactement ce que font les abaques de charge d'une grue : ils donnent la charge maximale autorisée pour chaque portée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En réarrangeant la formule, on voit que \(M_{\text{l,max}} = \frac{M_{\text{stab}} / (\gamma_{\text{s}} \cdot g)}{d_{\text{l}}}\). Cela montre que pour une grue donnée (Mstab constant), la charge maximale est inversement proportionnelle à la portée (\(d_{\text{l}}\)). C'est la raison pour laquelle la courbe de charge d'une grue a une forme hyperbolique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le calcul le plus important pour le grutier. Il doit constamment connaître sa portée et la comparer à l'abaque de charge pour savoir quelle masse il a le droit de lever. C'est une question de responsabilité directe pour la sécurité du chantier.

Normes (la référence réglementaire)

L'abaque de charge est un document réglementaire qui doit être présent et lisible dans la cabine. Toute modification de la grue (ajout d'un accessoire, changement du contrepoids) impose une révision et une recertification de cet abaque par un organisme agréé.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On part de la condition de stabilité à la limite de l'équilibre :

\[ M_{\text{stab}} = \gamma_{\text{s}} \cdot M_{\text{renv,max}} \]

On exprime \(M_{\text{renv,max}}\) en fonction de la masse maximale \(M_{\text{l,max}}\) :

\[ M_{\text{stab}} = \gamma_{\text{s}} \cdot (M_{\text{l,max}} \cdot g \cdot d_{\text{l}}) \]

On isole la masse maximale :

\[ M_{\text{l,max}} = \frac{M_{\text{stab}}}{\gamma_{\text{s}} \cdot g \cdot d_{\text{l}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la seule limite est la stabilité au renversement. En réalité, à faible portée, la limite peut être la résistance structurelle de la flèche ou la capacité du treuil de levage.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment stabilisateur, \(M_{\text{stab}} = 1765.8 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Distance de la charge, \(d_{\text{l}} = 35 \, \text{m}\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{\text{s}} = 1.5\)
  • Accélération de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs d'unités, il est prudent de tout convertir en unités de base du Système International (N, m, kg). Le moment stabilisateur de 1765.8 kN·m devient 1 765 800 N·m. Le résultat final sera en kg, qu'il faudra ensuite convertir en tonnes.

Schéma (Avant les calculs)
Équation de la Charge Maximale
M_stab = 1.5 * (M_l_max * g * d_l)M_l_max = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule en s'assurant de la cohérence des unités :

\[ \begin{aligned} M_{\text{l,max}} &= \frac{1765.8 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{m}}{1.5 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 35 \, \text{m}} \\ &= \frac{1765800}{515.025} \, \text{kg} \\ &\approx 3428.6 \, \text{kg} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Point sur l'Abaque de Charge
Portée (m)Charge (t)353.43
Réflexions (l'interprétation du résultat)

À une portée de 35 mètres, cette grue ne peut lever en toute sécurité qu'environ 3.4 tonnes, et non les 4.5 tonnes initialement prévues. Cela montre l'importance de consulter et de respecter scrupuleusement l'abaque de charges fourni par le constructeur de la grue.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier d'inclure le coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{s}}\) dans le dénominateur lors de l'inversion de la formule. Omettre ce coefficient reviendrait à calculer la charge d'équilibre strict, ce qui est une condition de basculement imminent et non une condition de travail sécuritaire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge maximale est inversement proportionnelle à la portée.
  • Le calcul de la charge maximale se fait en isolant \(M_{\text{l,max}}\) dans l'équation de stabilité.
  • Ce calcul est la base de l'abaque de charge de la grue.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les grues modernes sont équipées de contrôleurs d'état de charge (CEC). Ce sont des systèmes électroniques qui mesurent en temps réel la masse de la charge et la portée, et qui bloquent automatiquement la grue (en empêchant de lever ou d'augmenter la portée) si la limite de l'abaque est atteinte, prévenant ainsi les erreurs humaines.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que l'abaque de charge est toujours une courbe simple ?

Pas toujours. Parfois, la capacité de la grue est limitée par la résistance de la flèche ou du mât à faible portée. Dans ce cas, l'abaque de charge peut avoir un plateau horizontal au début avant de commencer sa descente hyperbolique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La masse maximale que la grue peut lever à 35 m de portée est d'environ 3.43 tonnes.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la masse maximale admissible (en tonnes) si la portée était réduite à 25 m ?

Outil Interactif : Stabilité de la Grue

Modifiez la charge et sa position pour voir l'impact sur la stabilité de la grue.

Paramètres d'Entrée
4.5 t
35 m
Résultats Clés
Moment Stabilisateur (kN·m) -
Moment de Renversement (kN·m) -
Ratio de Stabilité (Mstab / (1.5*Mrenv)) -

Le Saviez-Vous ?

La plus grande grue terrestre du monde, surnommée "Big Carl", peut soulever 3000 tonnes en une seule fois, soit l'équivalent de 50 chars d'assaut. Pour assurer sa stabilité, elle n'utilise pas un simple contrepoids mais un système complexe de 52 contrepoids de 100 tonnes chacun, pour un total de 5200 tonnes !

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne prend-on pas en compte le vent dans cet exercice ?

Le vent est un facteur de renversement majeur. On l'a négligé ici pour simplifier le calcul pédagogique. Dans un calcul réel, l'ingénieur calcule la force du vent s'appliquant sur la surface de la grue et de la charge, ce qui crée un moment de renversement supplémentaire qui doit être ajouté à celui de la charge.

Comment la grue fait-elle pour tourner sans tomber ?

La grue tourne sur une "couronne d'orientation", un énorme roulement à billes situé en haut du mât. Tant que le centre de gravité de l'ensemble (grue + contrepoids + charge) reste à l'intérieur de la base de sustentation (le carré formé par les pieds du mât), la grue est stable, quelle que soit son orientation.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la masse de la charge et qu'on divise par deux sa portée, le moment de renversement...

2. Pour augmenter la capacité de levage d'une grue à une portée donnée, la solution la plus efficace est...

Moment Stabilisateur
Effet de rotation qui s'oppose au basculement de la grue. Il est principalement généré par le poids du contrepoids multiplié par sa distance à l'axe de rotation.
Moment de Renversement
Effet de rotation qui tend à faire basculer la grue. Il est généré par le poids de la charge levée multiplié par sa distance à l'axe (la portée).
Abaque de Charge
Tableau ou graphique fourni par le constructeur qui indique la charge maximale qu'une grue peut lever en toute sécurité pour une portée donnée.
Calcul de Stabilité d'une Grue de Chantier

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