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Calcul du Fluage d’un Poteau en Béton

Exercice : Calcul du Fluage d'un Poteau en Béton

Calcul du Fluage d'un Poteau en Béton sous Charge Constante

Contexte : Le fluageDéformation différée (lente et progressive) d'un matériau soumis à une contrainte constante au cours du temps. Pour le béton, il s'agit d'un raccourcissement supplémentaire sous charge de compression constante. du béton.

Le béton, bien que perçu comme un matériau rigide, subit des déformations différées dans le temps sous l'effet de charges constantes. Ce phénomène, appelé fluage, est particulièrement important dans les éléments comprimés comme les poteaux. Ignorer le fluage peut conduire à une sous-estimation des déformations totales et potentiellement affecter la redistribution des efforts dans la structure et la durabilité de l'ouvrage. Cet exercice vous guidera à travers le calcul du raccourcissement dû au fluage pour un poteau en béton armé simple, en utilisant une approche basée sur le coefficient de fluageCoefficient sans dimension qui quantifie l'amplitude de la déformation de fluage par rapport à la déformation élastique initiale. Il dépend de nombreux facteurs (âge du béton au chargement, durée, humidité, etc.)..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vise à comprendre l'impact des déformations différées sur les structures en béton et à appliquer une méthode de calcul simplifiée issue de normes comme l'Eurocode 2Norme européenne pour le calcul des structures en béton (EN 1992). Elle fournit des méthodes pour évaluer les effets du fluage et du retrait..

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le phénomène de fluage du béton et ses principaux facteurs d'influence.
  • Calculer la contrainte dans le béton sous une charge de compression axiale.
  • Déterminer la déformation élastique initiale du poteau.
  • Appliquer le concept de coefficient de fluage pour calculer la déformation de fluage.
  • Évaluer la déformation totale (élastique + fluage) et le raccourcissement total du poteau sur une période donnée.

Données de l'étude

On considère un poteau en béton armé de section carrée, soumis à une charge axiale de compression constante appliquée à 28 jours. Le poteau est situé à l'intérieur d'un bâtiment (humidité relative contrôlée). On souhaite calculer son raccourcissement total après 5 ans.

Fiche Technique du Poteau
Caractéristique Valeur Unité
Dimensions (b x h) 300 x 300 mm
Hauteur (L) 3.5 m
Classe de béton C25/30 -
Résistance caractéristique (fck) 25 MPa
Armatures longitudinales 4 HA 16 (As = 804 mm²) -
Limite d'élasticité acier (fyk) 500 MPa
Schéma du poteau et chargement
NEd L b=h=300mm
Paramètre Symbole Valeur Unité
Charge axiale constante NEd 800 kN
Module d'Young du béton (moyen) Ecm 31 GPa
Humidité relative ambiante HR 50 %
Âge du béton au chargement t0 28 jours
Durée considérée t 5 ans
Coefficient de fluage final (estimé selon EC2) φ(∞, t0) 2.5 -
Coefficient pour fluage à t=5 ans (βc(t,t0) ≈ 0.8) βc(5 ans) 0.8 -

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section de béton \(A_c\) et la contrainte de compression \(\sigma_c\) dans le béton (en négligeant l'acier comprimé pour simplifier).
  2. Déterminer la déformation élastique initiale du béton \(\epsilon_{\text{c,el}}\) au moment du chargement (\(t_0 = 28\) jours).
  3. Calculer le coefficient de fluage pertinent pour une durée de 5 ans \(\phi(t, t_0)\).
  4. Calculer la déformation due au fluage \(\epsilon_{\text{c,cr}}\) après 5 ans.
  5. Déterminer la déformation totale \(\epsilon_{\text{c,total}}\) et le raccourcissement total \(\Delta L\) du poteau après 5 ans.

Les bases sur le Fluage du Béton

Le fluage est la propriété du béton de se déformer progressivement sous l'effet d'une charge constante maintenue au cours du temps. C'est une déformation différée qui s'ajoute à la déformation élastique instantanée.

1. Définition et Mécanisme
Lorsqu'une charge est appliquée, le béton subit une déformation élastique quasi-instantanée. Si cette charge est maintenue, la déformation augmente lentement. Ce phénomène est principalement dû au mouvement de l'eau adsorbée dans les pores du gel de ciment et à des micro-réarrangements internes de la structure du matériau.

2. Facteurs d'influence
Le fluage est influencé par :

  • L'intensité de la contrainte appliquée (généralement linéaire pour \(\sigma_c < 0.45 f_{\text{ck}}\)).
  • L'âge du béton au moment du chargement (plus le béton est jeune, plus il flue).
  • La durée d'application de la charge (le fluage augmente avec le temps, mais à une vitesse décroissante).
  • L'humidité relative ambiante (un environnement sec favorise le fluage).
  • La composition du béton (type de ciment, rapport E/C).
  • Les dimensions de l'élément (effet d'échelle).

3. Modélisation (Approche simplifiée Eurocode 2)
Une méthode courante consiste à exprimer la déformation de fluage \(\epsilon_{\text{c,cr}}(t, t_0)\) comme proportionnelle à la déformation élastique initiale \(\epsilon_{\text{c,el}}(t_0)\) via le coefficient de fluage \(\phi(t, t_0)\) : \[ \epsilon_{\text{c,cr}}(t, t_0) = \phi(t, t_0) \cdot \epsilon_{\text{c,el}}(t_0) \] Où \(\epsilon_{\text{c,el}}(t_0)\) est calculée avec le module d'Young \(E_{\text{cm}}\) ou \(E_{\text{c,eff}}\) approprié. Le coefficient \(\phi(t, t_0)\) dépend des facteurs listés ci-dessus et peut être estimé selon les annexes de l'Eurocode 2. La déformation totale est alors : \[ \epsilon_{\text{c,total}}(t) = \epsilon_{\text{c,el}}(t_0) + \epsilon_{\text{c,cr}}(t, t_0) = \epsilon_{\text{c,el}}(t_0) \cdot (1 + \phi(t, t_0)) \]

Correction : Calcul du Fluage d'un Poteau en Béton

Question 1 : Calculer l'aire \(A_c\) et la contrainte \(\sigma_c\).

Principe

Pour évaluer le fluage, il faut d'abord connaître le niveau de contrainte permanent appliqué au béton. On calcule la contrainte comme le rapport entre la force appliquée et l'aire de la section sur laquelle elle s'applique.

Mini-Cours

La contrainte normale (\(\sigma\)) dans une section soumise à un effort normal centré (\(N\)) est définie par \(\sigma = N / A\), où \(A\) est l'aire de la section transversale. Pour le béton (indice 'c'), \(\sigma_c = N_{\text{Ed}} / A_c\).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de bien identifier la section résistante pertinente pour le calcul. Ici, en première approche simplifiée, nous considérons uniquement la section de béton.

Normes

Le calcul de la contrainte se base sur les principes fondamentaux de la Résistance des Matériaux (RDM). Pour des calculs plus détaillés ou la vérification de la résistance, on se référerait à l'Eurocode 2Norme européenne pour le calcul des structures en béton (EN 1992). (EN 1992-1-1).

Formule(s)

Formule de l'aire de la section carrée

\[ A_c = b \times h \]

Formule de la contrainte normale

\[ \sigma_c = \frac{N_{\text{Ed}}}{A_c} \]
Hypothèses

On néglige la contribution des armatures longitudinales dans la reprise de l'effort de compression pour ce calcul simplifié de contrainte. On suppose une répartition uniforme de la contrainte sur la section.

Donnée(s)

Les données pertinentes sont les dimensions du poteau et la charge appliquée.

ParamètreSymboleValeurUnité
Largeurb300mm
Profondeurh300mm
Charge axiale\(N_{\text{Ed}}\)800kN
Astuces

Pour convertir rapidement des \(\text{kN/m}^2\) en \(\text{MPa}\), divisez par 1000. Pour convertir des \(\text{N/mm}^2\) en \(\text{MPa}\), le rapport est de 1:1.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du poteau et chargement
NEd=800kN L = 3.5 m b=h=300mm
Calcul(s)

Conversion des dimensions

\[ b = h = 300 \ \text{mm} = 0.3 \ \text{m} \]

Conversion de la charge

\[ N_{\text{Ed}} = 800 \ \text{kN} = 800 \times 10^3 \ \text{N} \]

Calcul de l'aire \(A_c\)

\[ \begin{aligned} A_c &= 0.3 \ \text{m} \times 0.3 \ \text{m} \\ &= 0.09 \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la contrainte \(\sigma_c\)

\[ \begin{aligned} \sigma_c &= \frac{800 \times 10^3 \ \text{N}}{0.09 \ \text{m}^2} \\ &= 8.888... \times 10^6 \ \text{N/m}^2 \\ &= 8.888... \times 10^6 \ \text{Pa} \\ &\approx 8.89 \ \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Distribution de la Contrainte σc
σc ≈ 8.89 MPa (compression)
Réflexions

La contrainte calculée (\(8.89 \ \text{MPa}\)) est bien inférieure à \(0.45 \times f_{\text{ck}}\) (\(0.45 \times 25 = 11.25 \ \text{MPa}\)), ce qui justifie l'hypothèse d'un comportement linéaire du fluage.

Points de vigilance

Attention aux unités lors du calcul de la contrainte (\(\text{N}\) et \(\text{m}^2\) pour obtenir des \(\text{Pa}\), ou \(\text{N}\) et \(\text{mm}^2\) pour obtenir des \(\text{MPa}\) directement). Ne pas oublier de convertir les \(\text{kN}\) en \(\text{N}\).

Points à retenir
  • La contrainte axiale est \(\text{Force} / \text{Aire}\).
  • La cohérence des unités est essentielle (\(\text{N}, \text{m}, \text{Pa}\) ou \(\text{N}, \text{mm}, \text{MPa}\)).
Le saviez-vous ?

Dans un calcul réglementaire complet, on utiliserait l'aire de la section homogénéisée (béton + acier transformé) pour une détermination plus précise de la contrainte, surtout si le pourcentage d'acier est élevé.

FAQ

Questions fréquentes sur le calcul de contrainte.

Pourquoi utilise-t-on \(N_{\text{Ed}}\) (valeur de calcul) et pas \(N_{\text{ser}}\) (valeur de service) ?

Pour le calcul des déformations différées comme le fluage, on considère généralement les charges quasi-permanentes, qui sont une fraction des charges de service (\(N_{\text{ser}}\)). Cependant, l'énoncé spécifie \(N_{\text{Ed}}=800 \ \text{kN}\) comme charge constante appliquée, nous utilisons donc cette valeur ici. Dans un cas réel, il faudrait utiliser la combinaison quasi-permanente \(G + \psi_2 Q\).

Résultat Final
L'aire de la section de béton est \(A_c = 0.09 \ \text{m}^2\) et la contrainte de compression est \(\sigma_c \approx 8.89 \ \text{MPa}\).
A vous de jouer

Quelle serait la contrainte si la charge \(N_{\text{Ed}}\) était de \(1000 \ \text{kN}\) ?

Question 2 : Déterminer la déformation élastique initiale \(\epsilon_{\text{c,el}}\).

Principe

La déformation élastique initiale est la déformation instantanée qui se produit dès l'application de la charge. Elle est calculée en utilisant la loi de Hooke, qui relie la contrainte et la déformation via le module d'Young du matériau.

Mini-Cours

La loi de Hooke pour un matériau élastique linéaire soumis à une contrainte normale \(\sigma\) est donnée par \(\sigma = E \times \epsilon\), où \(E\) est le module d'Young et \(\epsilon\) est la déformation. Donc, \(\epsilon = \sigma / E\). Pour le béton, on utilise le module d'Young sécant moyen \(E_{\text{cm}}\).

Remarque Pédagogique

Le module \(E_{\text{cm}}\) est une valeur moyenne. La valeur réelle peut varier. Pour les calculs de déformations différées, c'est ce module moyen qui est généralement utilisé.

Normes

L'Eurocode 2 (Tableau 3.1) fournit les valeurs de \(E_{\text{cm}}\) en fonction de la classe de résistance du béton (\(f_{\text{ck}}\)). Pour un C25/30, \(E_{\text{cm}} = 31 \ \text{GPa}\).

Formule(s)

Formule de la déformation élastique

\[ \epsilon_{\text{c,el}} = \frac{\sigma_c}{E_{\text{cm}}} \]
Hypothèses

On suppose un comportement élastique linéaire du béton sous la contrainte appliquée (justifié car \(\sigma_c < 0.45 f_{\text{ck}}\)). On utilise le module moyen \(E_{\text{cm}}\).

Donnée(s)

Les données nécessaires pour ce calcul sont la contrainte \(\sigma_c\) (calculée en Q1) et le module \(E_{\text{cm}}\).

ParamètreSymboleValeurUnité
Contrainte béton\(\sigma_c\)8.89MPa
Module d'Young moyen\(E_{\text{cm}}\)31GPa
Astuces

Pour calculer \(\epsilon = \sigma / E\) avec \(\sigma\) en \(\text{MPa}\) et \(E\) en \(\text{GPa}\), convertissez \(E\) en \(\text{MPa}\) (multiplier par 1000). Le résultat sera sans dimension (ou en \(\text{m/m}\)).

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme Contrainte-Déformation (σ-ε) du Béton
Déformation, ε Contrainte, σ (MPa) 0 εc,el = ? σc=8.89 Pente = Ecm=31 GPa
Calcul(s)

Conversion du module d'Young

\[ E_{\text{cm}} = 31 \ \text{GPa} = 31 \times 10^3 \ \text{MPa} \]

Calcul de la déformation \(\epsilon_{\text{c,el}}\)

\[ \begin{aligned} \epsilon_{\text{c,el}} &= \frac{8.89 \ \text{MPa}}{31 \times 10^3 \ \text{MPa}} \\ &\approx 0.0002867 \\ &\Rightarrow \epsilon_{\text{c,el}} \approx 2.87 \times 10^{-4} \ (\text{ou } 0.287 \ \text{mm/m}) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme σ-ε avec résultat εc,el
Déformation, ε Contrainte, σ (MPa) 0 εc,el ≈ 2.87E-4 σc=8.89 Pente = Ecm
Réflexions

Cette valeur représente le raccourcissement relatif instantané du poteau lors de l'application de la charge. Elle est sans dimension mais peut être interprétée comme \(0.287 \ \text{mm}\) par mètre de hauteur.

Points de vigilance

Vérifier que le module \(E_{\text{cm}}\) correspond bien à la classe de béton spécifiée. Une erreur de conversion \(\text{GPa} / \text{MPa}\) est fréquente.

Points à retenir
  • Loi de Hooke : \(\epsilon = \sigma / E\).
  • Utiliser \(E_{\text{cm}}\) (module moyen sécant) pour le béton.
Le saviez-vous ?

Le module d'Young du béton n'est pas constant. Il diminue légèrement lorsque la contrainte augmente. \(E_{\text{cm}}\) est une valeur moyenne représentative pour les niveaux de contrainte usuels en service.

FAQ

Questions fréquentes sur la déformation élastique.

Doit-on tenir compte de l'acier ici ?

Pour le calcul de la déformation *du béton*, on utilise la contrainte *dans le béton* et le module *du béton*. L'acier a sa propre déformation élastique, qui sera identique à celle du béton environnant (hypothèse d'adhérence parfaite).

Résultat Final
La déformation élastique initiale du béton est \(\epsilon_{\text{c,el}} \approx 2.87 \times 10^{-4}\).
A vous de jouer

Si le béton était un C30/37 (\(E_{\text{cm}} = 33 \ \text{GPa}\)), quelle serait \(\epsilon_{\text{c,el}}\) (garder \(\sigma_c=8.89 \ \text{MPa}\)) ?

Question 3 : Calculer le coefficient de fluage \(\phi(t, t_0)\) à 5 ans.

Principe

Le coefficient de fluage à un temps \(t\), \(\phi(t, t_0)\), est obtenu à partir du coefficient de fluage final \(\phi(\infty, t_0)\) et d'une fonction \(\beta_c(t, t_0)\) qui décrit l'évolution du fluage dans le temps.

Mini-Cours

L'Eurocode 2 propose des méthodes pour estimer \(\phi(\infty, t_0)\) en fonction de la classe du béton, de l'humidité relative (HR), de l'âge au chargement (\(t_0\)) et de la dimension moyenne de l'élément (\(h_0\)). La fonction \(\beta_c(t, t_0)\) modélise la cinétique du fluage, indiquant quelle fraction du fluage final est atteinte au temps \(t\).

Remarque Pédagogique

Le calcul précis de \(\phi(\infty, t_0)\) et \(\beta_c(t, t_0)\) selon l'EC2 peut être complexe. Ici, des valeurs raisonnables sont fournies pour simplifier l'exercice et se concentrer sur l'application du concept.

Normes

La méthode de calcul et les coefficients sont définis dans l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1), notamment à l'Annexe B.

Formule(s)

Coefficient de fluage à l'instant \(t\)

\[ \phi(t, t_0) = \phi(\infty, t_0) \cdot \beta_c(t, t_0) \]
Hypothèses

On utilise les valeurs fournies pour \(\phi(\infty, t_0)\) et \(\beta_c(5 \ \text{ans})\) comme étant représentatives des conditions données (C25/30, HR 50%, \(t_0=28 \ \text{j}\), \(h_0\) implicite).

Donnée(s)

Les données nécessaires pour ce calcul sont \(\phi(\infty, t_0)\) et \(\beta_c(5 \ \text{ans})\).

ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient de fluage final\(\phi(\infty, t_0)\)2.5-
Coeff. évolution à 5 ans\(\beta_c(5 \ \text{ans})\)0.8-
Astuces

Le coefficient \(\beta_c(t, t_0)\) est toujours compris entre 0 et 1. Il croît avec le temps \(t\).

Schéma (Avant les calculs)
Évolution du Coefficient de Fluage \(\phi(t, t_0)\)
Temps, t (ans) Coefficient, φ(t, t₀) 0 φ(∞,t₀)=2.5 t = 5 ans φ(t,t₀) = ? t₀=28j
Calcul(s)

Calcul de \(\phi(5 \ \text{ans}, 28 \ \text{jours})\)

\[ \begin{aligned} \phi(5 \ \text{ans}, 28 \ \text{j}) &= \phi(\infty, 28 \ \text{j}) \cdot \beta_c(5 \ \text{ans}) \\ &= 2.5 \times 0.8 \\ &= 2.0 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Coefficient de Fluage à 5 ans
Temps, t (ans) Coefficient, φ(t, t₀) 0 φ(∞,t₀)=2.5 t = 5 ans φ(t,t₀) = 2.0 t₀
Réflexions

Le coefficient de fluage à 5 ans est de 2.0. Cela signifie qu'après 5 ans, la déformation due au fluage sera 2 fois plus grande que la déformation élastique initiale apparue à 28 jours. Environ 80% (\(\beta_c=0.8\)) du fluage total (\(\phi=2.5\)) s'est produit.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(\phi(t, t_0)\) avec \(\phi(\infty, t_0)\). Le premier est la valeur à un instant \(t\), le second est la valeur finale théorique à l'infini.

Points à retenir
  • \(\phi(t, t_0) = \phi(\infty, t_0) \times \beta_c(t, t_0)\).
  • \(\beta_c\) décrit la cinétique du fluage (0 à 1).
Le saviez-vous ?

La moitié du fluage final se produit généralement au cours des 2 à 6 premiers mois après le chargement, selon les conditions.

FAQ

Questions fréquentes sur le coefficient de fluage.

Comment est calculé \(\beta_c(t, t_0)\) ?

L'Eurocode 2 donne une formule pour \(\beta_c(t, t_0)\) qui dépend du temps (\(t - t_0\)), de la dimension moyenne (\(h_0\)), et d'autres facteurs. C'est une fonction non linéaire qui tend vers 1 lorsque \(t\) tend vers l'infini.

Résultat Final
Le coefficient de fluage à 5 ans est \(\phi(5 \ \text{ans}, 28 \ \text{j}) = 2.0\).
A vous de jouer

Si après 1 an, \(\beta_c(1 \ \text{an}) \approx 0.5\), quel serait le coefficient de fluage \(\phi(1 \ \text{an}, 28 \ \text{j})\) ? (Garder \(\phi(\infty)=2.5\))

Question 4 : Calculer la déformation due au fluage \(\epsilon_{\text{c,cr}}\) après 5 ans.

Principe

La déformation de fluage est directement proportionnelle à la déformation élastique initiale et au coefficient de fluage calculé pour la durée considérée.

Mini-Cours

La relation \(\epsilon_{\text{c,cr}} = \phi \times \epsilon_{\text{c,el}}\) est la base de l'approche simplifiée. Elle suppose que le fluage est linéaire par rapport à la contrainte (ce qui est vrai pour \(\sigma_c < 0.45 f_{\text{ck}}\)).

Remarque Pédagogique

Cette étape montre l'amplification de la déformation initiale due au comportement différé du béton. Le fluage ajoute une déformation significative.

Normes

Cette formule découle de la modélisation du fluage adoptée par l'Eurocode 2 et d'autres codes de calcul.

Formule(s)

Formule de la déformation de fluage

\[ \epsilon_{\text{c,cr}}(t, t_0) = \phi(t, t_0) \cdot \epsilon_{\text{c,el}}(t_0) \]
Hypothèses

On maintient l'hypothèse de comportement linéaire du fluage.

Donnée(s)

Les données nécessaires sont \(\epsilon_{\text{c,el}}\) (Q2) et \(\phi(5 \ \text{ans}, 28 \ \text{j})\) (Q3).

ParamètreSymboleValeurUnité
Déformation élastique initiale\(\epsilon_{\text{c,el}}\)\(2.87 \times 10^{-4}\)-
Coefficient de fluage à 5 ans\(\phi(5 \ \text{ans}, 28 \ \text{j})\)2.0-
Astuces

Comme \(\epsilon_{\text{c,el}}\) et \(\phi\) sont sans dimension, \(\epsilon_{\text{c,cr}}\) est également sans dimension.

Schéma (Avant les calculs)
Relation entre Déformations \(\epsilon_{\text{el}}\) et \(\epsilon_{\text{cr}}\)
Déformation (ε) εel=2.87E-4 εcr = ? Multiplier par φ=2.0
Calcul(s)

Calcul de \(\epsilon_{\text{c,cr}}(5 \ \text{ans})\)

\[ \begin{aligned} \epsilon_{\text{c,cr}}(5 \ \text{ans}) &= \phi(5 \ \text{ans}, 28 \ \text{j}) \cdot \epsilon_{\text{c,el}}(28 \ \text{j}) \\ &= 2.0 \times 2.87 \times 10^{-4} \\ &= 5.74 \times 10^{-4} \ (\text{ou } 0.574 \ \text{mm/m}) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Déformations Élastique et de Fluage
Déformation (ε) εel=2.87E-4 εcr ≈ 5.74E-4 Multiplier par φ=2.0
Réflexions

La déformation due au fluage (\(5.74 \times 10^{-4}\)) est, comme attendu avec \(\phi=2.0\), deux fois plus importante que la déformation élastique initiale (\(2.87 \times 10^{-4}\)).

Points de vigilance

Utiliser la bonne valeur de \(\epsilon_{\text{c,el}}\) et \(\phi(t, t_0)\) correspondant à la durée considérée.

Points à retenir
  • \(\epsilon_{\text{c,cr}} = \phi \times \epsilon_{\text{c,el}}\).
  • La déformation de fluage s'ajoute à la déformation élastique.
Le saviez-vous ?

Dans les structures mixtes acier-béton, le fluage du béton entraîne un transfert progressif de charge du béton vers l'acier, car l'acier flue beaucoup moins.

FAQ

Questions fréquentes sur la déformation de fluage.

Cette déformation est-elle réversible ?

Le fluage a une composante réversible (fluage recouvrable) qui disparaît lentement après déchargement, et une composante irréversible (fluage permanent). La partie recouvrable est généralement faible par rapport au fluage total.

Résultat Final
La déformation due au fluage après 5 ans est \(\epsilon_{\text{c,cr}} \approx 5.74 \times 10^{-4}\).
A vous de jouer

Si \(\epsilon_{\text{c,el}}\) était de \(3.0 \times 10^{-4}\) et \(\phi(5 \ \text{ans}) = 2.2\), quelle serait \(\epsilon_{\text{c,cr}}(5 \ \text{ans})\) ?

Question 5 : Déterminer la déformation totale \(\epsilon_{\text{c,total}}\) et le raccourcissement total \(\Delta L\) après 5 ans.

Principe

La déformation totale est la somme de la déformation élastique initiale et de la déformation de fluage. Le raccourcissement total est obtenu en multipliant la déformation totale (qui est un ratio sans dimension) par la hauteur initiale du poteau.

Mini-Cours

La déformation totale \(\epsilon_{\text{total}} = \epsilon_{\text{el}} + \epsilon_{\text{cr}}\). Le raccourcissement (ou l'allongement pour une traction) \(\Delta L\) d'un élément de longueur \(L\) est \(\Delta L = \epsilon_{\text{total}} \times L\). C'est une conséquence directe de la définition de la déformation comme \(\Delta L / L\).

Remarque Pédagogique

Cette dernière étape concrétise l'impact du fluage en calculant une valeur de déplacement (le raccourcissement), qui est souvent plus parlante qu'une déformation relative.

Normes

Les normes de conception (comme l'EC2) imposent des limites aux déformations et flèches totales (incluant le fluage) pour garantir l'aptitude au service des structures (par exemple, éviter des dommages aux cloisons, assurer le bon fonctionnement des ouvertures).

Formule(s)

Formule de la déformation totale

\[ \epsilon_{\text{c,total}}(t) = \epsilon_{\text{c,el}}(t_0) + \epsilon_{\text{c,cr}}(t, t_0) \]

Ou alternativement :

\[ \epsilon_{\text{c,total}}(t) = \epsilon_{\text{c,el}}(t_0) \cdot (1 + \phi(t, t_0)) \]

Formule du raccourcissement total

\[ \Delta L(t) = \epsilon_{\text{c,total}}(t) \times L \]
Hypothèses

On suppose que la hauteur \(L\) reste constante pour ce calcul (l'effet du raccourcissement sur \(L\) est négligeable).

Donnée(s)

Les données nécessaires sont \(\epsilon_{\text{c,el}}\) (Q2), \(\epsilon_{\text{c,cr}}\) (Q4) et la hauteur \(L\).

ParamètreSymboleValeurUnité
Déformation élastique initiale\(\epsilon_{\text{c,el}}\)\(2.87 \times 10^{-4}\)-
Déformation de fluage (5 ans)\(\epsilon_{\text{c,cr}}\)\(5.74 \times 10^{-4}\)-
Hauteur du poteau\(L\)3.5m
Astuces

Pour obtenir \(\Delta L\) en \(\text{mm}\), exprimez \(L\) en \(\text{mm}\) et gardez \(\epsilon_{\text{total}}\) sans dimension.

Schéma (Avant les calculs)
Addition des Déformations \(\epsilon_{\text{el}}\) + \(\epsilon_{\text{cr}}\)
Déformation (ε) εel=2.87E-4 εcr=5.74E-4 εtotal = ? +
Calcul(s)

Calcul de la déformation totale \(\epsilon_{\text{c,total}}(5 \ \text{ans})\)

\[ \begin{aligned} \epsilon_{\text{c,total}}(5 \ \text{ans}) &= \epsilon_{\text{c,el}} + \epsilon_{\text{c,cr}}(5 \ \text{ans}) \\ &= 2.87 \times 10^{-4} + 5.74 \times 10^{-4} \\ &= 8.61 \times 10^{-4} \end{aligned} \]

Conversion de la hauteur

\[ L = 3.5 \ \text{m} = 3500 \ \text{mm} \]

Calcul du raccourcissement total \(\Delta L(5 \ \text{ans})\)

\[ \begin{aligned} \Delta L(5 \ \text{ans}) &= \epsilon_{\text{c,total}}(5 \ \text{ans}) \times L \\ &= (8.61 \times 10^{-4}) \times 3500 \ \text{mm} \\ &\approx 3.01 \ \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Raccourcissement Total \(\Delta L\) du Poteau
Position initiale ΔL ≈ 3.01mm L - ΔL
Réflexions

Le poteau se raccourcit d'environ \(3 \ \text{mm}\) sur 5 ans sous cette charge constante. Le fluage contribue à environ 2/3 de ce raccourcissement total (\(\Delta L_{\text{cr}} = \epsilon_{\text{cr}} \times L \approx 5.74 \times 10^{-4} \times 3500 \approx 2.01 \ \text{mm}\)), tandis que l'élastique contribue à 1/3 (\(\Delta L_{\text{el}} = \epsilon_{\text{el}} \times L \approx 2.87 \times 10^{-4} \times 3500 \approx 1.00 \ \text{mm}\)). Ce raccourcissement peut avoir des conséquences sur les éléments portés par le poteau (planchers, poutres) et doit être pris en compte dans la conception pour éviter des désordres (fissuration de cloisons, etc.).

Points de vigilance

Ne pas oublier d'additionner la déformation élastique et la déformation de fluage pour obtenir la déformation totale avant de calculer le raccourcissement. S'assurer que la hauteur \(L\) et le résultat \(\Delta L\) ont des unités cohérentes (\(\text{m}\) ou \(\text{mm}\)).

Points à retenir
  • La déformation totale est la somme des composantes élastique et de fluage.
  • Le raccourcissement (ou déplacement) est la déformation totale multipliée par la longueur initiale.
  • Le fluage peut être une part prépondérante du raccourcissement final.
Le saviez-vous ?

Dans les très grands ouvrages comme les ponts en béton précontraint, le calcul précis du fluage (et du retrait) est essentiel car les déformations différées peuvent atteindre plusieurs centimètres et affecter la géométrie et la répartition des efforts à long terme.

FAQ

Questions fréquentes sur le calcul du raccourcissement.

Est-ce que \(3 \ \text{mm}\) est beaucoup ?

Cela dépend du contexte. Pour un poteau de \(3.5\ \text{m}\), un raccourcissement de \(3 \ \text{mm}\) peut être acceptable. Cependant, si ce poteau supporte des éléments fragiles (cloisons vitrées, carrelage sans joint souple), cela pourrait causer des dommages. L'admissibilité dépend des exigences du projet et des éléments supportés.

Comment le retrait affecte-t-il le raccourcissement ?

Le retrait est une autre déformation différée du béton (raccourcissement dû au séchage, indépendant de la charge). La déformation totale serait \(\epsilon_{\text{total}} = \epsilon_{\text{el}} + \epsilon_{\text{cr}} + \epsilon_{\text{retrait}}\). Le retrait ajoute donc un raccourcissement supplémentaire.

Résultat Final
La déformation totale après 5 ans est \(\epsilon_{\text{c,total}} \approx 8.61 \times 10^{-4}\), conduisant à un raccourcissement total \(\Delta L \approx 3.01 \ \text{mm}\).
A vous de jouer

Quel serait le raccourcissement total si le coefficient de fluage final \(\phi(\infty, t_0)\) était de 3.5 au lieu de 2.5 (par exemple, dans un environnement plus sec) ? (Garder \(\beta_c=0.8\))

Outil Interactif : Simulateur de Fluage

Explorez l'influence du coefficient de fluage et de la charge appliquée sur le raccourcissement total du poteau.

Paramètres d'Entrée
800 kN
2.0
Résultats Clés (à 5 ans)
Contrainte Béton \(\sigma_c\) (MPa) -
Déformation Élastique \(\epsilon_{\text{c,el}}\) (x10-4) -
Déformation Fluage \(\epsilon_{\text{c,cr}}\) (x10-4) -
Raccourcissement Total \(\Delta L\) (mm) -

Quiz Final : Testez vos connaissances sur le Fluage

1. Qu'est-ce que le fluage du béton ?

2. Quel facteur augmente le plus significativement le fluage ?

3. Le coefficient de fluage \(\phi(t, t_0)\) est :

4. Si \(\phi(t, t_0) = 2.5\), cela signifie que la déformation de fluage est :

5. Le raccourcissement total d'un poteau dû au fluage et à l'élasticité se calcule par :

Glossaire

Fluage (Creep)
Déformation différée (lente et progressive) d'un matériau soumis à une contrainte constante au cours du temps. Pour le béton, il s'agit principalement d'un raccourcissement supplémentaire sous charge de compression constante.
Coefficient de fluage (\(\phi(t, t_0)\))
Coefficient sans dimension qui quantifie l'amplitude de la déformation de fluage à l'instant \(t\) par rapport à la déformation élastique initiale apparue à l'instant de chargement \(t_0\). \(\epsilon_{\text{c,cr}}(t, t_0) = \phi(t, t_0) \times \epsilon_{\text{c,el}}(t_0)\).
Déformation élastique (\(\epsilon_{\text{el}}\))
Déformation instantanée et réversible d'un matériau sous l'effet d'une contrainte, proportionnelle à celle-ci (dans le domaine élastique) via le module d'Young.
Déformation différée
Déformation qui apparaît progressivement au cours du temps sous une charge constante (fluage) ou sans charge (retrait).
Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface au sein d'un matériau (\(\text{N/m}^2\) ou Pa, souvent exprimée en MPa). Elle mesure l'intensité des forces internes.
Module d'Young (\(E\))
Mesure de la rigidité d'un matériau élastique. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation élastique dans la direction de cette contrainte (\(\sigma = E \times \epsilon\)).
Eurocode 2 (EC2)
Norme européenne EN 1992 pour le calcul des structures en béton, qui définit notamment les méthodes d'évaluation du fluage et du retrait.
Exercice : Calcul du Fluage d'un Poteau en Béton

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