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Calcul du Coefficient de Transmission Thermique U (Up)

Exercice : Coefficient de Transmission Thermique (Up)

Calcul du Coefficient de Transmission Thermique U (Up) d'un Mur Composite

Contexte : La Thermique des Bâtiments.

L'un des objectifs majeurs de la conception de bâtiments modernes est d'assurer une haute performance énergétique pour réduire les consommations et améliorer le confort des occupants. Le coefficient de transmission thermique UAussi appelé U-value, il représente la quantité de chaleur qui traverse 1m² d'une paroi en 1 seconde pour une différence de température de 1 Kelvin (ou 1°C) entre l'intérieur et l'extérieur. Plus U est faible, plus la paroi est isolante., ou \(U_p\) pour les parois, est l'indicateur clé pour quantifier la capacité d'une paroi (mur, toit, plancher) à isoler. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de ce coefficient pour un mur composite typique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer une paroi complexe en couches simples, à calculer la résistance thermique de chaque couche, et à agréger ces valeurs pour obtenir la performance globale du mur, une compétence fondamentale pour tout technicien ou ingénieur du bâtiment.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et définir la résistance et la conductivité thermique.
  • Calculer la résistance thermique (\(R\)) de chaque couche d'un mur.
  • Calculer la résistance thermique totale (\(R_t\)) d'une paroi composite, en incluant les résistances superficielles.
  • Déterminer le coefficient de transmission thermique global (\(U_p\)).
  • Évaluer la performance d'une paroi au regard des normes thermiques.

Données de l'étude

On étudie un mur extérieur de bâtiment situé en climat tempéré. Le mur est composé de quatre couches, de l'extérieur vers l'intérieur. Les échanges thermiques à ses surfaces sont également pris en compte.

Composition du Mur Composite (Extérieur vers Intérieur)
Enduit Béton Isolant EPS Plâtre 2cm 20cm 12cm 1.3cm Ext. Int.
Composant Épaisseur (\(e\)) Conductivité Thermique (\(\lambda\))
Enduit extérieur ciment 2.0 cm 0.80 W/(m·K)
Béton banché 20.0 cm 1.75 W/(m·K)
Isolant (Polystyrène Expansé - EPS) 12.0 cm 0.040 W/(m·K)
Plaque de plâtre BA13 1.3 cm 0.25 W/(m·K)
Résistance superficielle intérieure (\(R_{si}\)) N/A 0.13 m²·K/W
Résistance superficielle extérieure (\(R_{se}\)) N/A 0.04 m²·K/W

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance thermique (\(R\)) de chaque couche matérielle du mur (enduit, béton, isolant, plâtre).
  2. Calculer la résistance thermique totale (\(R_t\)) de la paroi, de l'ambiance intérieure à l'ambiance extérieure.
  3. Déterminer le coefficient de transmission thermique total de la paroi (\(U_p\)).
  4. Le mur respecte-t-il l'exigence de la RE2020 pour les murs en contact avec l'extérieur, qui impose un \(U_p\) maximal de 0.28 W/(m²·K) ? Justifiez.

Les bases de la Thermique des Parois

Pour résoudre cet exercice, trois notions fondamentales sont nécessaires.

1. Conductivité Thermique (\(\lambda\))
C'est une propriété intrinsèque d'un matériau qui décrit sa capacité à conduire la chaleur. Une faible conductivité signifie que le matériau est un bon isolant. Elle s'exprime en Watts par mètre-Kelvin (W/(m·K)).

2. Résistance Thermique (R)
Elle quantifie l'opposition d'une couche de matériau au passage de la chaleur. Elle dépend de l'épaisseur (\(e\)) et de la conductivité (\(\lambda\)) du matériau. Elle s'exprime en mètres carrés-Kelvin par Watt (m²·K/W). \[ R = \frac{e}{\lambda} \]

3. Coefficient de Transmission Thermique (U)
C'est l'inverse de la résistance thermique totale (\(R_t\)). Il représente le flux de chaleur qui traverse une paroi pour une surface et un écart de température donnés. Un U faible est synonyme de bonne isolation. Il s'exprime en W/(m²·K). \[ U = \frac{1}{R_{\text{t}}} \quad \text{avec} \quad R_t = R_{se} + \sum R_{\text{couches}} + R_{si} \]

Correction : Calcul du Coefficient de Transmission Thermique U (Up)

Question 1 : Calculer la résistance thermique (R) de chaque couche

Principe

Pour connaître la performance globale du mur, nous devons d'abord évaluer la performance de chaque "barrière" qui le compose. La résistance thermique nous permet de mesurer l'efficacité de chacune de ces barrières contre le passage de la chaleur.

Mini-Cours

La chaleur se propage à travers un matériau solide par conduction. La résistance thermique (R) est une mesure de la difficulté pour la chaleur de traverser une certaine épaisseur de ce matériau. Elle est directement proportionnelle à l'épaisseur (plus c'est épais, plus c'est résistant) et inversement proportionnelle à la conductivité thermique (plus le matériau conduit la chaleur, moins il est résistant).

Remarque Pédagogique

Pensez à chaque couche du mur comme une étape d'une course de relais. Chaque coureur (chaque couche) a sa propre vitesse (sa propre résistance). Pour connaître le temps total de la course, il faut d'abord connaître le temps de chaque coureur. Ici, nous calculons la "performance" de chaque couche individuellement avant de les assembler.

Normes

Le calcul de la résistance thermique des matériaux de construction est standardisé par des normes, notamment la norme européenne EN ISO 6946, qui définit les méthodes de calcul des résistances et des coefficients de transmission thermique.

Formule(s)

Formule de la résistance thermique

\[ R_{\text{couche}} = \frac{e}{\lambda} \]
Hypothèses

Pour ce calcul par couche, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Le transfert de chaleur est unidimensionnel (perpendiculaire à la paroi).
  • Chaque matériau est homogène et isotrope (ses propriétés sont les mêmes en tout point et dans toutes les directions).
  • Il n'y a pas de ponts thermiques (zones de moindre résistance) au sein de la couche.
Donnée(s)

Nous utilisons les épaisseurs (e) et les conductivités thermiques (\(\lambda\)) fournies dans le tableau de l'énoncé pour chaque couche matérielle.

ComposantÉpaisseur (\(e\))Conductivité (\(\lambda\))
Enduit2.0 cm0.80 W/(m·K)
Béton20.0 cm1.75 W/(m·K)
Isolant EPS12.0 cm0.040 W/(m·K)
Plâtre1.3 cm0.25 W/(m·K)
Astuces

Avant même de calculer, observez les valeurs de \(\lambda\). L'isolant a un \(\lambda\) très faible (0.040) comparé au béton (1.75). Vous pouvez donc vous attendre à ce que sa résistance thermique soit de loin la plus élevée, même avec une épaisseur moindre.

Schéma (Avant les calculs)
Représentation des couches du mur
EnduitBétonIsolantPlâtreR enduitR bétonR isolantR plâtre
Calcul(s)

Conversion des épaisseurs en mètres

  • \(e_{\text{enduit}} = 2.0 \text{ cm} \Rightarrow 0.020 \text{ m}\)
  • \(e_{\text{béton}} = 20.0 \text{ cm} \Rightarrow 0.200 \text{ m}\)
  • \(e_{\text{isolant}} = 12.0 \text{ cm} \Rightarrow 0.120 \text{ m}\)
  • \(e_{\text{plâtre}} = 1.3 \text{ cm} \Rightarrow 0.013 \text{ m}\)

Calcul de la résistance de l'enduit

\[ \begin{aligned} R_{\text{enduit}} &= \frac{0.020 \text{ m}}{0.80 \text{ W/(m·K)}} \\ &= 0.025 \text{ m²·K/W} \end{aligned} \]

Calcul de la résistance du béton

\[ \begin{aligned} R_{\text{béton}} &= \frac{0.200 \text{ m}}{1.75 \text{ W/(m·K)}} \\ &= 0.114 \text{ m²·K/W} \end{aligned} \]

Calcul de la résistance de l'isolant

\[ \begin{aligned} R_{\text{isolant}} &= \frac{0.120 \text{ m}}{0.040 \text{ W/(m·K)}} \\ &= 3.000 \text{ m²·K/W} \end{aligned} \]

Calcul de la résistance du plâtre

\[ \begin{aligned} R_{\text{plâtre}} &= \frac{0.013 \text{ m}}{0.25 \text{ W/(m·K)}} \\ &= 0.052 \text{ m²·K/W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Résistances Thermiques
Composants du murRésistance Thermique (m²·K/W)Enduit0.025Béton0.114Isolant3.000Plâtre0.0523.0
Réflexions

En observant les résultats, on constate que la résistance de l'isolant (3.000) est plus de 26 fois supérieure à celle du béton (0.114), alors que le béton est plus épais. Cela démontre de manière quantitative l'efficacité cruciale de la couche d'isolation dans une paroi.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les épaisseurs, généralement données en centimètres (cm), en mètres (m) avant le calcul. La formule \(R = e/\lambda\) requiert que \(e\) soit en mètres pour être cohérente avec le \(\lambda\) en W/(m·K).

Points à retenir

La résistance thermique d'une couche dépend à la fois de son épaisseur et de sa nature (sa conductivité). Un matériau n'est pas "résistant" en soi, c'est une épaisseur donnée de ce matériau qui l'est. La formule \(R = e/\lambda\) est fondamentale.

Le saviez-vous ?

Le polystyrène expansé (EPS) est composé à 98% d'air ! C'est l'air emprisonné dans de petites billes de polystyrène qui lui confère ses excellentes propriétés isolantes. L'air immobile est l'un des meilleurs isolants thermiques qui existent.

FAQ

Pourquoi la conductivité du béton est-elle si élevée ?

Le béton est un matériau dense et poreux, ce qui facilite le transfert de chaleur par conduction à travers sa matrice solide. Plus un matériau est dense, plus sa conductivité a tendance à être élevée.

Résultat Final
Les résistances thermiques des couches sont : Enduit = 0.025, Béton = 0.114, Isolant = 3.000, et Plâtre = 0.052 m²·K/W.
A vous de jouer

Quelle serait la résistance thermique de l'isolant si on remplaçait l'EPS par 12 cm de laine de bois, dont le \(\lambda\) est de 0.048 W/(m·K) ?

Question 2 : Calculer la résistance thermique totale (\(R_t\))

Principe

Les résistances thermiques des différentes couches s'additionnent, tout comme des résistances électriques en série. Pour obtenir la résistance totale, il faut sommer les résistances de chaque couche matérielle ainsi que les résistances d'échange en surface (air intérieur calme et air extérieur agité).

Mini-Cours

La résistance thermique totale (\(R_t\)) représente la résistance globale de la paroi au passage de la chaleur, de l'air ambiant intérieur à l'air ambiant extérieur. Elle inclut non seulement la résistance des matériaux solides (conduction), mais aussi la résistance aux échanges de chaleur entre la surface de la paroi et l'air (par convection et rayonnement). Ces résistances de surface, \(R_{si}\) (intérieure) et \(R_{se}\) (extérieure), sont cruciales pour un calcul précis.

Remarque Pédagogique

Une erreur fréquente est d'oublier les résistances de surface \(R_{si}\) et \(R_{se}\). Imaginez que la chaleur doit faire un "saut" de l'air ambiant à la surface du mur, puis un autre "saut" de l'autre côté. Ces "sauts" ne sont pas instantanés et créent une résistance supplémentaire. Ne les oubliez jamais !

Normes

Les valeurs des résistances superficielles \(R_{si}\) et \(R_{se}\) sont fixées par la norme EN ISO 6946. Elles dépendent de la direction du flux de chaleur (horizontal, ascendant, descendant) et de l'exposition au vent de la surface. Les valeurs de l'énoncé (0.13 et 0.04) sont des valeurs standards pour un mur vertical (flux horizontal).

Formule(s)

Formule de la résistance thermique totale

\[ R_t = R_{se} + \sum R_{\text{couches}} + R_{si} \]
Hypothèses

En plus des hypothèses de la Question 1, nous supposons ici qu'il y a un contact parfait entre les couches, sans lame d'air ou défaut qui pourrait introduire des résistances supplémentaires non calculées.

Donnée(s)

Nous reprenons les résistances calculées à la question 1, ainsi que les résistances superficielles données dans l'énoncé.

ComposantSymboleValeurUnité
Résistance superficielle extérieure\(R_{se}\)0.040m²·K/W
Résistance de l'enduit\(R_{\text{enduit}}\)0.025m²·K/W
Résistance du béton\(R_{\text{béton}}\)0.114m²·K/W
Résistance de l'isolant\(R_{\text{isolant}}\)3.000m²·K/W
Résistance du plâtre\(R_{\text{plâtre}}\)0.052m²·K/W
Résistance superficielle intérieure\(R_{si}\)0.130m²·K/W
Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul, listez toutes les résistances verticalement dans une colonne et faites la somme. Cela permet de vérifier visuellement que vous n'avez oublié aucune couche, ni les deux résistances de surface.

Schéma (Avant les calculs)
Modèle des résistances en série
T extT intRseR enduitR bétonR iso.R plâtreRsi
Calcul(s)

Sommation des résistances

\[ \begin{aligned} R_t &= R_{se} + R_{\text{enduit}} + R_{\text{béton}} + R_{\text{isolant}} + R_{\text{plâtre}} + R_{si} \\ &= 0.040 + 0.025 + 0.114 + 3.000 + 0.052 + 0.130 \\ &= 3.361 \text{ m²·K/W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil de Température à travers le Mur
Position dans le murTempératureT extT intGrande chute de T°dans l'isolant
Réflexions

La résistance totale de 3.361 est très largement dominée par la résistance de l'isolant (3.000). Les autres couches, y compris le béton de 20 cm, ne contribuent qu'à environ 10% de la performance globale. Cela confirme que l'isolation est le facteur déterminant.

Points de vigilance

Assurez-vous d'inclure les DEUX résistances superficielles. L'oublie de \(R_{si}\) ou \(R_{se}\) est une erreur classique qui fausse le résultat final. Vérifiez également que vous avez bien additionné toutes les couches du mur.

Points à retenir

La résistance totale d'une paroi composite est la somme des résistances de toutes ses couches, y compris les résistances superficielles. C'est l'addition en série qui s'applique.

Le saviez-vous ?

La résistance superficielle extérieure (\(R_{se}=0.04\)) est plus faible que l'intérieure (\(R_{si}=0.13\)) car on suppose que l'air extérieur est en mouvement (vent), ce qui augmente les échanges par convection et diminue donc la résistance de surface.

FAQ

Que se passe-t-il s'il y a une lame d'air dans le mur ?

Une lame d'air possède sa propre résistance thermique, qui dépend de son épaisseur et de sa ventilation. Elle doit être ajoutée dans la somme de \(R_t\) comme n'importe quelle autre couche.

Résultat Final
La résistance thermique totale de la paroi est \(R_t = 3.361\) m²·K/W.
A vous de jouer

Quelle serait la nouvelle résistance totale \(R_t\) si on remplaçait le béton par 20 cm de brique creuse (\(R_{\text{brique}} = 0.25\) m²·K/W) ?

Question 3 : Déterminer le coefficient de transmission thermique (\(U_p\))

Principe

Le coefficient \(U_p\) est simplement l'inverse de la résistance thermique totale \(R_t\). Il représente la facilité avec laquelle la chaleur traverse la paroi. C'est la valeur la plus utilisée pour caractériser la performance d'un élément de construction.

Mini-Cours

Le coefficient U quantifie le taux de transfert de chaleur. Un \(U_p\) de 0.30 W/(m²·K) signifie que pour chaque degré de différence de température entre l'intérieur et l'extérieur, 0.30 Watt d'énergie s'échappent à travers chaque mètre carré du mur. L'objectif est donc d'avoir un U le plus petit possible.

Remarque Pédagogique

Pensez à R et U comme deux facettes d'une même pièce. R est la "force" de l'isolant (on veut qu'elle soit grande). U est la "faiblesse" de la paroi (on veut qu'elle soit petite). Passer de l'un à l'autre est une simple inversion mathématique, mais le concept est fondamental.

Normes

Les réglementations thermiques (comme la RE2020 en France) et les labels de performance énergétique (Passivhaus, BBC...) fixent des exigences sur les valeurs U maximales des parois opaques et vitrées.

Formule(s)

Formule du coefficient de transmission thermique

\[ U_p = \frac{1}{R_t} \]
Hypothèses

Le calcul de U repose sur les mêmes hypothèses que celui de \(R_t\). Cette valeur de \(U_p\) est celle de la partie courante du mur, hors ponts thermiques.

Donnée(s)

L'unique donnée d'entrée pour ce calcul est la résistance thermique totale calculée à la question précédente : \(R_t = 3.361 \text{ m²·K/W}\).

Schéma (Avant les calculs)
Relation Inverse entre R et U
R(Grande Résistance)U(Faible Flux) = 1 / R
Calcul(s)

Calcul du coefficient \(U_p\)

\[ \begin{aligned} U_p &= \frac{1}{3.361 \text{ m²·K/W}} \\ &= 0.2975 \text{ W/(m²·K)} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat : Performance du Mur
Coefficient U0.30W/(m²·K)
Réflexions

Le résultat est généralement arrondi à deux ou trois décimales. Une valeur de 0.298 ou 0.30 W/(m²·K) est une représentation fidèle. Cette valeur nous permettra, dans la question suivante, de juger de la conformité réglementaire du mur.

Points de vigilance

Attention à ne pas vous tromper d'unité. La résistance R est en m²·K/W, tandis que le coefficient U est en W/(m²·K). C'est une inversion simple mais une source d'erreur fréquente si l'on n'est pas attentif.

Points à retenir

La performance d'une paroi est définie par son coefficient \(U_p\). C'est l'indicateur final. Pour l'obtenir, il faut d'abord passer par le calcul de la résistance totale \(R_t\). La relation est \(U_p = 1/R_t\).

Le saviez-vous ?

Le concept de "valeur U" a été popularisé en Amérique du Nord et s'est ensuite répandu en Europe, où il a remplacé l'ancien "coefficient K". Aux États-Unis, on utilise encore souvent la "valeur R" (en unités impériales) pour communiquer sur la performance des isolants au grand public.

FAQ

Pourquoi utilise-t-on U au lieu de R dans les réglementations ?

Le coefficient U est plus direct pour calculer les déperditions thermiques totales d'un bâtiment. La formule des déperditions est \(P = U \times A \times \Delta T\), ce qui rend les calculs plus intuitifs qu'en utilisant R.

Résultat Final
Le coefficient de transmission thermique du mur est \(U_p \approx 0.30\) W/(m²·K).
A vous de jouer

Si une toiture a une résistance totale \(R_t = 5.0\) m²·K/W, quel est son coefficient U ?

Question 4 : Comparer \(U_p\) avec l'exigence de la RE2020

Principe

Les réglementations thermiques fixent des seuils de performance pour les différents éléments de l'enveloppe du bâtiment afin de garantir un niveau minimal d'efficacité énergétique. Il est donc crucial de comparer les valeurs calculées à ces seuils réglementaires.

Mini-Cours

La RE2020 (Réglementation Environnementale 2020) en France ne se contente pas de fixer des exigences sur les composants (comme le \(U_p\) des murs). Elle impose des indicateurs globaux sur la performance du bâtiment, comme le besoin bioclimatique (Bbio). Cependant, pour atteindre ces objectifs globaux, des exigences implicites sur les performances des parois sont nécessaires. Les valeurs maximales de U sont des garde-fous pour s'assurer qu'aucun élément de l'enveloppe n'est trop déperditif.

Remarque Pédagogique

Un calcul technique n'a de sens que s'il est comparé à une référence. Cette référence peut être une ancienne conception, un produit concurrent, ou, comme ici, une exigence légale. La conclusion d'un ingénieur n'est pas seulement "la valeur est X", mais "la valeur est X, ce qui est conforme/non conforme pour telle ou telle raison".

Normes

La Réglementation Environnementale 2020 (RE2020) en France impose des exigences de performance. Pour un mur en contact avec l'extérieur, une valeur maximale indicative pour \(U_p\) est de 0.28 W/(m²·K).

Donnée(s)

Nous utilisons les deux valeurs à comparer :

  • \(U_{p,\text{calculé}} \approx 0.30 \text{ W/(m²·K)}\)
  • \(U_{p,\text{max, RE2020}} = 0.28 \text{ W/(m²·K)}\)
Schéma (Avant les calculs)
Seuil Réglementaire RE2020
Umax = 0.28Zone ConformeZone Non Conforme
Réflexions

Nous comparons la valeur calculée avec la valeur maximale autorisée. Pour être conforme, il faut que \(U_{p,\text{calculé}} \le U_{p,\text{max}}\).

Comparaison à la norme

\[ 0.30 \text{ W/(m²·K)} > 0.28 \text{ W/(m²·K)} \]

Comme la valeur calculée est supérieure à la valeur maximale exigée, le mur n'est pas conforme à cette exigence de la RE2020. Il faudrait améliorer son isolation, par exemple en augmentant l'épaisseur de l'isolant.

Schéma (Après les calculs)
Positionnement du Mur Calculé
Umax = 0.28Zone ConformeZone Non ConformeNotre Mur (0.30)
Points de vigilance

Attention à bien interpréter l'inégalité. Pour les coefficients U, la performance est meilleure quand la valeur est PLUS PETITE. Il faut donc que le résultat du calcul soit inférieur ou égal au seuil, et non supérieur.

Points à retenir

La conformité réglementaire est une étape finale et non négociable de la conception d'un bâtiment. Un calcul, même juste, qui mène à une solution non conforme, doit impérativement être suivi d'une proposition de modification pour corriger le tir.

Le saviez-vous ?

La RE2020, en plus de la performance thermique, a introduit une exigence majeure sur l'analyse du cycle de vie (ACV) des bâtiments, calculant leur empreinte carbone de la construction à la démolition. Le choix d'un isolant biosourcé (comme la laine de bois) plutôt qu'un isolant pétrosourcé (comme l'EPS) peut ainsi être valorisé, même à performance thermique égale.

FAQ

Cette valeur de 0.28 est-elle stricte ?

Dans l'esprit de la RE2020, c'est la performance globale du bâtiment qui compte. On pourrait éventuellement compenser un mur légèrement moins performant par une toiture ou des fenêtres ultra-performantes. Cependant, les valeurs par élément sont des guides très forts pour assurer une conception homogène et cohérente.

Résultat Final
Le mur, avec un \(U_p\) de 0.30 W/(m²·K), n'est pas conforme à l'exigence de 0.28 W/(m²·K) de la RE2020.
A vous de jouer

De combien de centimètres faudrait-il augmenter l'épaisseur de l'isolant EPS pour que le mur devienne conforme (atteindre \(U_p = 0.28\) W/(m²·K)) ?

Outil Interactif : Simulateur de Performance Thermique

Utilisez les curseurs pour faire varier l'épaisseur de l'isolant et observez en temps réel l'impact sur la résistance totale et le coefficient Up du mur. Le graphique montre comment la performance s'améliore (Up diminue) avec l'ajout d'isolant.

Paramètres d'Entrée
12 cm
Résultats Clés
Résistance Totale (\(R_t\)) - m²·K/W
Coefficient Up - W/(m²·K)

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de la résistance thermique (R) ?

2. Si l'épaisseur d'une couche d'isolant double (à \(\lambda\) constant), sa résistance thermique...

3. Un coefficient \(U_p\) très faible indique que la paroi est...

4. La formule correcte pour le coefficient de transmission thermique est :

Glossaire

Coefficient de Transmission Thermique (U)
Quantifie le flux de chaleur qui passe à travers une paroi. C'est la mesure de performance d'isolation. Plus U est faible, meilleure est l'isolation. Unité : W/(m²·K).
Résistance Thermique (R)
Mesure la capacité d'un matériau ou d'une paroi à s'opposer au passage de la chaleur. C'est l'inverse du coefficient U. Unité : m²·K/W.
Conductivité Thermique (\(\lambda\))
Propriété d'un matériau à conduire la chaleur. Un bon isolant a une faible conductivité thermique. Unité : W/(m·K).
Exercice : Calcul du Coefficient de Transmission Thermique U (Up)

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