Calcul du coefficient de correction d'une route

Contexte : L'ingénierie des transports et la planification routière.

Lors de la planification de l'entretien ou de la réhabilitation d'une chaussée, il est crucial d'estimer le trafic futur qu'elle devra supporter. Le Trafic Moyen Journalier Annuel (TMJA)Le nombre moyen de véhicules qui passent par un point donné d'une route au cours d'une journée, calculé sur une année entière. est une donnée de base, mais il ne suffit pas. Le coefficient de correction d'itinéraire (Ci) est un facteur multiplicatif qui permet d'ajuster les prévisions de trafic en tenant compte de l'évolution probable des conditions de circulation sur le réseau (par exemple, la création d'une nouvelle autoroute qui pourrait détourner une partie du trafic).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer et à interpréter ce coefficient essentiel pour estimer la charge de trafic réelle sur une période de service donnée, une compétence fondamentale pour le dimensionnement des infrastructures routières.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le rôle du coefficient de correction d'itinéraire (Ci).
Calculer le trafic cumulé sur une période de service.
Appliquer la formule du coefficient de correction.
Analyser l'impact du taux de croissance du trafic sur le coefficient.

Données de l'étude

Une étude est menée sur un tronçon de route nationale existante. On souhaite évaluer le trafic pour un projet de renforcement prévu pour une durée de service de 15 ans.

Schéma de la situation

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Trafic Moyen Journalier Annuel (année 0)	\(\text{TMJA}_0\)	8 500	\(\text{véhicules/jour}\)
Taux de croissance annuel du trafic	\(r\)	3.5	%
Durée de service du projet	\(n\)	15	\(\text{ans}\)

Questions à traiter

Calculer le trafic \(\text{TMJA}_1\) pour la première année de service.
Déterminer le trafic cumulé \(N\) sur les 15 ans de la durée de service.
Calculer le coefficient de correction d'itinéraire \(C_i\).
Si le taux de croissance passait à 5%, quel serait le nouveau coefficient \(C_i\) ? Conclure.

Bases Théoriques

Pour dimensionner une chaussée, on doit connaître le nombre total de poids lourds qui circuleront pendant sa durée de vie. Le coefficient de correction d'itinéraire \(C_i\) aide à affiner cette estimation.

1. Trafic Cumulé (N)
C'est le nombre total de véhicules attendus sur la période. Il est calculé en additionnant le trafic de chaque année, en tenant compte de la croissance. La formule est celle de la somme d'une suite géométrique : \[ N = 365 \times \text{TMJA}_0 \times \frac{(1+r)^n - 1}{r} \] Où \(r\) est le taux de croissance sous forme décimale (ex: 4% = 0.04).

2. Coefficient de Correction d'Itinéraire (Ci)
Ce coefficient rapporte le trafic cumulé réel (avec croissance) à un trafic théorique qui serait resté constant (égal à \(\text{TMJA}_0\)) pendant toute la période. Il montre l'effet "amplificateur" de la croissance du trafic. \[ C_i = \frac{N}{365 \times n \times \text{TMJA}_0} = \frac{(1+r)^n - 1}{n \times r} \]

correction : Calcul du coefficient de correction d’une route

Question 1 : Calculer le trafic \(\text{TMJA}_1\) pour la première année de service.

Principe

Le trafic évolue dans le temps. Le trafic de la première année de service n'est donc pas le trafic initial mesuré aujourd'hui (année 0). Il faut lui appliquer une année de croissance pour projeter sa valeur au début de la période du projet.

Mini-Cours

La croissance du trafic est souvent modélisée par une suite géométrique. Chaque année, le trafic est multiplié par un facteur (1+r), où 'r' est le taux de croissance. Ainsi, le trafic de l'année 'k' est \(\text{TMJA}_k = \text{TMJA}_0 \times (1+r)^k\). Pour la première année, k=1.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de bien distinguer l'année de mise en service (année 1) de l'année de l'étude (année 0). C'est une étape préliminaire indispensable avant de calculer le trafic sur toute la durée de vie du projet.

Normes

Les méthodologies de prévision de trafic et de calcul de chaussée en France sont souvent encadrées par des guides techniques publiés par le CEREMA (anciennement SETRA), qui fournissent les modèles de croissance à utiliser.

Formule(s)

Formule du trafic à l'année 1

\text{TMJA}_1 = \text{TMJA}_0 \times (1 + r)

Hypothèses

Le taux de croissance \(r\) est supposé constant sur la première année.
Le \(\text{TMJA}_0\) est considéré comme une donnée fiable et représentative du trafic actuel.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
\(\text{Trafic Moyen Journalier Annuel (année 0)}\)	\(\text{TMJA}_0\)	8 500	\(\text{véhicules/jour}\)
\(\text{Taux de croissance annuel}\)	\(r\)	3.5	%

Astuces

Pour une estimation rapide, calculez mentalement 1% de 8500 (soit 85), puis multipliez par 3.5. Cela donne environ 297.5. Le résultat final doit donc être proche de 8500 + 297.5 = 8797.5.

Schéma (Avant les calculs)

Projection du trafic de l'année 0 à l'année 1

Calcul(s)

Conversion du taux

r = 3.5\% = 0.035

Application numérique

\begin{aligned} \text{TMJA}_1 &= 8500 \times (1 + 0.035) \\ &= 8500 \times 1.035 \\ &\Rightarrow \text{TMJA}_1 = 8797.5 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat de la projection

Réflexions

Le résultat montre une augmentation de près de 300 véhicules par jour en seulement un an. Bien que cela puisse paraître faible, cette croissance, si elle est maintenue, aura un effet cumulatif très important sur la durée de vie de la chaussée.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir le pourcentage en valeur décimale avant le calcul (calculer avec 3.5 au lieu de 0.035). Une autre erreur est de considérer que le trafic de la première année est le \(\text{TMJA}_0\).

Points à retenir

Le trafic est un phénomène dynamique. La valeur à l'instant 't' sert de base pour calculer la valeur à l'instant 't+1'. Le trafic de mise en service est la première valeur de la série à considérer pour le calcul de dimensionnement.

Le saviez-vous ?

Le concept de "croissance composée", utilisé ici pour le trafic, est le même que celui utilisé en finance pour calculer les intérêts composés sur un placement. C'est un principe mathématique puissant qui montre comment de petites augmentations régulières peuvent conduire à de grands résultats sur le long terme.

FAQ

Résultat Final

Le trafic moyen journalier pour la première année de service sera d'environ 8 798 \(\text{véhicules/jour}\).

A vous de jouer

En utilisant le résultat de cette question, quel serait le trafic pour la deuxième année de service (\(\text{TMJA}_2\)) ?

Question 2 : Déterminer le trafic cumulé \(N\) sur les 15 ans.

Principe

Pour dimensionner la route, il ne suffit pas de connaître le trafic à un instant donné, mais la somme de tous les véhicules qui passeront durant sa vie. On doit donc sommer le trafic de chaque année, de l'année 1 à l'année 15.

Mini-Cours

La somme des trafics annuels successifs qui augmentent à un taux constant 'r' forme une suite géométrique. Plutôt que d'additionner 15 termes un par un, on utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, ce qui simplifie grandement le calcul et le rend plus précis.

Remarque Pédagogique

Cette étape est le cœur du calcul de dimensionnement. Le trafic cumulé est directement lié à l'endommagement de la chaussée. Comprendre comment il est obtenu est essentiel pour justifier l'épaisseur des couches de la route.

Normes

La formule utilisée est un standard mathématique, mais son application dans le dimensionnement des chaussées est spécifiée dans les normes de conception, comme le catalogue des structures types de chaussées neuves en France.

Formule(s)

Formule du trafic cumulé

N = 365 \times \text{TMJA}_0 \times \frac{(1+r)^n - 1}{r}

Hypothèses

Le taux de croissance \(r\) est constant sur toute la période de 15 ans.
Le nombre de jours dans une année est fixé à 365.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
\(\text{TMJA (année 0)}\)	\(\text{TMJA}_0\)	8 500	\(\text{véh./jour}\)
\(\text{Taux de croissance}\)	\(r\)	0.035	\(\text{(décimal)}\)
\(\text{Durée de service}\)	\(n\)	15	\(\text{ans}\)

Astuces

Séparez le calcul en plusieurs blocs : calculez d'abord le terme \((1+r)^n\), puis le numérateur, puis la fraction, et enfin multipliez par le trafic annuel initial. Cela réduit les risques d'erreurs de saisie dans la calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

Sommation du trafic sur 15 ans

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} N &= 365 \times 8500 \times \frac{(1+0.035)^{15} - 1}{0.035} \\ &= 3,102,500 \times \frac{(1.035)^{15} - 1}{0.035} \\ &= 3,102,500 \times \frac{1.67534 - 1}{0.035} \\ &= 3,102,500 \times \frac{0.67534}{0.035} \\ &= 3,102,500 \times 19.2954 \\ &\Rightarrow N \approx 59,868,388 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du trafic cumulé

Réflexions

Ce chiffre de près de 60 millions de véhicules représente la charge totale que la route doit pouvoir supporter. C'est cette valeur (ou plutôt son équivalent en poids lourds) qui sera utilisée par les ingénieurs pour choisir la structure de la chaussée (épaisseur de l'enrobé, de la couche de base, etc.).

Points de vigilance

Attention à l'ordre des opérations. Il faut d'abord calculer la puissance, puis la soustraction, puis la division, et enfin les multiplications. L'utilisation des parenthèses sur la calculatrice est essentielle.

Points à retenir

Le trafic cumulé est l'indicateur clé pour le dimensionnement. Il intègre trois paramètres fondamentaux : le trafic initial (\(\text{TMJA}_0\)), son évolution dans le temps (\(r\)), et la durée sur laquelle on analyse (\(n\)).

Le saviez-vous ?

Pour des projets très importants (autoroutes), les modèles de prévision de trafic sont beaucoup plus complexes. Ils utilisent des simulations informatiques qui prennent en compte les changements d'itinéraires des usagers, l'urbanisation future, les péages, et des dizaines d'autres paramètres socio-économiques.

FAQ

Résultat Final

Le trafic cumulé sur 15 ans est d'environ 59.87 millions de véhicules.

A vous de jouer

Si la durée de service était de 20 ans au lieu de 15, quel serait le trafic cumulé (en millions de véhicules) ?

Question 3 : Calculer le coefficient de correction d'itinéraire \(C_i\).

Principe

Le coefficient \(C_i\) est un ratio qui exprime de combien le trafic cumulé réel (avec croissance) est supérieur à un trafic fictif qui serait resté constant (égal à \(\text{TMJA}_0\)) pendant 15 ans. C'est une façon de quantifier l'impact de la croissance.

Mini-Cours

En simplifiant la formule \(C_i = N / (365 \times n \times \text{TMJA}_0)\) en y remplaçant N par son expression, on obtient une formule plus directe qui ne dépend que de \(r\) et \(n\). Cela montre que le coefficient est une caractéristique intrinsèque de la dynamique du trafic, indépendante du volume de trafic initial.

Remarque Pédagogique

Le \(C_i\) est un outil très pratique pour les ingénieurs. Il permet de discuter de l'effet de la croissance du trafic de manière simple. Un projet avec un \(C_i\) de 1.5 est bien plus contraignant qu'un projet avec un \(C_i\) de 1.1, même si le trafic initial est identique.

Normes

Les guides de dimensionnement fournissent souvent des abaques ou des tableaux donnant la valeur de \(C_i\) en fonction de \(n\) et \(r\), ce qui évite de devoir refaire le calcul à chaque fois.

Formule(s)

Formule du coefficient de correction

C_i = \frac{(1+r)^n - 1}{n \times r}

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour le calcul du trafic cumulé : un taux de croissance constant sur toute la période.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
\(\text{Taux de croissance}\)	\(r\)	0.035	\(\text{(décimal)}\)
\(\text{Durée de service}\)	\(n\)	15	\(\text{ans}\)

Astuces

Vous avez déjà calculé le terme \(((1+r)^n - 1)/r\) à la question précédente (il valait 19.295). Il suffit de diviser ce résultat par \(n\) (15 ans) pour trouver \(C_i\) directement : \(19.295 / 15 \approx 1.286\).

Schéma (Avant les calculs)

Rapport entre trafic réel et trafic constant

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} C_i &= \frac{(1+0.035)^{15} - 1}{15 \times 0.035} \\ &= \frac{1.67534 - 1}{0.525} \\ &= \frac{0.67534}{0.525} \\ &\Rightarrow C_i \approx 1.286 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Valeur du coefficient

Réflexions

Un coefficient de 1.286 signifie que le trafic cumulé réel est 28.6% plus élevé que si le trafic était resté constant à sa valeur initiale pendant 15 ans. Cela montre l'importance de prendre en compte la croissance du trafic pour ne pas sous-dimensionner la chaussée.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien multiplier \(n\) par \(r\) au dénominateur. Une erreur fréquente est de l'oublier et de diviser uniquement par \(r\), ce qui donnerait un résultat 15 fois trop grand.

Points à retenir

Le coefficient \(C_i\) est un nombre sans dimension, supérieur à 1 (pour un trafic en croissance), qui synthétise l'effet combiné de la durée et du taux de croissance. C'est un multiplicateur de charge.

Le saviez-vous ?

Dans certains cas, le trafic peut être en décroissance (par exemple, dans une ville dont l'industrie principale ferme). Dans ce cas, le taux \(r\) est négatif et le coefficient \(C_i\) devient inférieur à 1, ce qui signifie que la chaussée subira moins de trafic que prévu initialement.

FAQ

Résultat Final

Le coefficient de correction d'itinéraire est \(C_i \approx 1.286\).

A vous de jouer

Quel serait le coefficient \(C_i\) pour un projet plus court de 10 ans, mais avec le même taux de croissance de 3.5% ?

Question 4 : Si le taux de croissance passait à 5%, quel serait le nouveau coefficient \(C_i\) ?

Principe

Cette question vise à évaluer la sensibilité du coefficient \(C_i\) au paramètre du taux de croissance. On refait le même calcul que précédemment, mais en changeant la valeur de \(r\) pour analyser l'impact de cette variation.

Mini-Cours

La formule du \(C_i\) montre une relation non-linéaire avec le taux \(r\). Cela signifie qu'une augmentation de \(r\) n'entraîne pas une augmentation proportionnelle de \(C_i\). L'effet de la croissance est de plus en plus marqué à mesure que le taux augmente, à cause du terme exponentiel \((1+r)^n\).

Remarque Pédagogique

Faire des analyses de sensibilité comme celle-ci est une pratique courante en ingénierie. Cela permet de comprendre quels paramètres ont le plus d'influence sur le résultat et de mesurer les risques si les estimations initiales s'avèrent incorrectes.

Normes

Les études de trafic doivent toujours présenter plusieurs scénarios (pessimiste, moyen, optimiste) pour le taux de croissance, afin que le maître d'ouvrage puisse prendre une décision éclairée sur le niveau de risque qu'il accepte.

Formule(s)

Formule du nouveau coefficient

C_i' = \frac{(1+r')^n - 1}{n \times r'}

Hypothèses

La seule hypothèse qui change est la valeur du taux de croissance. La durée de service \(n\) reste fixée à 15 ans.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
\(\text{Nouveau taux de croissance}\)	\(r'\)	0.05	\(\text{(décimal)}\)
\(\text{Durée de service}\)	\(n\)	15	\(\text{ans}\)

Astuces

Puisque \(r\) a augmenté, le résultat pour \(C_i\) doit obligatoirement être supérieur à celui de la question 3 (1.286). Si vous trouvez une valeur inférieure, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison des scénarios de croissance

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} C_i' &= \frac{(1+0.05)^{15} - 1}{15 \times 0.05} \\ &= \frac{(1.05)^{15} - 1}{0.75} \\ &= \frac{2.0789 - 1}{0.75} \\ &= \frac{1.0789}{0.75} \\ &\Rightarrow C_i' \approx 1.438 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Impact sur le coefficient

Réflexions

Avec une croissance de 5%, le trafic cumulé est 43.8% plus élevé que le trafic de base (contre 28.6% auparavant). Une "petite" augmentation du taux de croissance de 1.5 points a un impact très significatif sur le coefficient (+15.2 points), ce qui nécessiterait un dimensionnement plus robuste de la chaussée.

Points de vigilance

Ne vous contentez pas de calculer, concluez ! La question demande explicitement de conclure. Il faut comparer la nouvelle valeur à l'ancienne et expliquer ce que cette différence implique en termes d'ingénierie.

Points à retenir

La prévision du taux de croissance est l'un des paramètres les plus incertains et les plus influents dans un projet routier. Une analyse de sensibilité sur ce paramètre est une étape indispensable pour une conception routière fiable et durable.

Le saviez-vous ?

Le "trafic induit" est un phénomène bien connu : la création ou l'amélioration d'une route peut elle-même générer une augmentation du trafic supérieure au taux de croissance naturel, car la nouvelle infrastructure rend les déplacements plus faciles et encourage plus de gens à l'utiliser.

FAQ

Résultat Final

Avec un taux de croissance de 5%, le nouveau coefficient serait \(C_i' \approx 1.438\).

A vous de jouer

Quel serait le coefficient \(C_i\) pour un taux de croissance pessimiste de 2% sur 15 ans ?

Outil Interactif : Simulateur de \(C_i\)

Utilisez les curseurs pour voir comment la durée de service et le taux de croissance influencent le coefficient de correction d'itinéraire et le trafic cumulé.

Paramètres d'Entrée

Taux de croissance (%) 3.5 %

Durée de service (ans) 15 ans

Résultats Clés

Coefficient de Correction \(C_i\) -

Trafic Cumulé (millions véh.) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À quoi sert principalement le coefficient de correction d'itinéraire (\(C_i\)) ?

À calculer la vitesse moyenne des véhicules.
À ajuster les prévisions de trafic en fonction de sa croissance.
À mesurer la longueur exacte d'une route.

2. Si le taux de croissance du trafic est nul (r=0%), que vaut le coefficient \(C_i\) ?

0
Il ne peut pas être calculé.
1

3. Une augmentation de la durée de service (n), à taux de croissance constant, va...

Augmenter la valeur de \(C_i\).
Diminuer la valeur de \(C_i\).
N'avoir aucun impact sur \(C_i\).

\(\text{TMJA}\) (Trafic Moyen Journalier Annuel): Le nombre moyen de véhicules circulant en un point d'une route sur 24 heures, moyenné sur une année entière. C'est l'indicateur de base pour quantifier le trafic.
\(\text{Coefficient de Correction d'Itinéraire } (C_i)\): Facteur sans dimension utilisé pour prendre en compte l'effet de la croissance du trafic sur le volume total de véhicules sur une période donnée. Il est crucial pour le dimensionnement des chaussées.
Durée de Service: Période pendant laquelle une infrastructure (comme une route) est censée fonctionner sans nécessiter de réhabilitation majeure. C'est l'horizon de temps pour les calculs de trafic.