EGC

Calcul des efforts dans un treillis métallique simple

Génie Civil : Calcul des Efforts dans les Barres d'un Treillis Métallique Simple

Calcul des efforts dans les barres d'un treillis métallique simple

Contexte : L'Efficacité des Structures Triangulées

Les treillisStructure composée de barres droites assemblées en nœuds pour former des triangles. Cette triangulation la rend très rigide et efficace pour reprendre les charges., ou structures triangulées, sont des systèmes porteurs extrêmement efficaces et légers. En assemblant des barres pour former des triangles, on crée une structure indéformable où les barres ne sont soumises (idéalement) qu'à des efforts de traction ou de compression purs. Pour dimensionner un treillis, il est essentiel de connaître l'effort dans chaque barre. La méthode des nœudsMéthode d'analyse des treillis qui consiste à isoler chaque nœud (point de connexion des barres) et à appliquer les équations de l'équilibre statique pour trouver les efforts inconnus dans les barres. est une technique fondamentale qui permet de calculer ces efforts en appliquant les principes de la statique à chaque point de connexion.

Remarque Pédagogique : La clé de la méthode des nœuds est de considérer que chaque nœud est en équilibre. La somme des forces (verticales et horizontales) qui s'y appliquent doit être nulle. En résolvant ce système d'équations pour chaque nœud, on peut "propager" le calcul des efforts à travers toute la structure, d'une barre à l'autre.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le fonctionnement d'une structure en treillis.
  • Calculer les réactions d'appui d'un treillis isostatique.
  • Appliquer la méthode des nœuds pour déterminer les efforts internes.
  • Distinguer un effort de traction (tirant) d'un effort de compression (potelet).
  • Résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

Données de l'étude

On étudie un treillis métallique simple de type "Pratt", isostatique, reposant sur un appui simple en A et un appui à rouleau en C. Une charge verticale ponctuelle de \(F = 100 \, \text{kN}\) est appliquée au nœud D.

Schéma du treillis et des charges
A B E C F = 100 kN Portée = 6 m H = 2 m

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui verticales en A (\(V_A\)) et en E (\(V_E\)).
  2. En isolant le nœud A, calculer les efforts dans les barres AB (\(N_{AB}\)) et AC (\(N_{AC}\)).
  3. En isolant le nœud E, calculer les efforts dans les barres BE (\(N_{BE}\)) et CE (\(N_{CE}\)).
  4. En isolant le nœud B, calculer l'effort dans la barre BC (\(N_{BC}\)). Préciser si les barres sont en traction ou en compression.

Correction : Calcul des efforts dans un treillis métallique simple

Question 1 : Réactions d'Appui (\(V_A\) et \(V_E\))

Principe :
F VA VE

Pour que le treillis soit en équilibre global, la somme des forces et des moments qui s'appliquent sur lui doit être nulle. En écrivant que la somme des moments par rapport à un point d'appui (par exemple A) est nulle, on peut trouver la réaction d'appui à l'autre extrémité (E). Ensuite, en écrivant que la somme des forces verticales est nulle, on trouve la première réaction d'appui.

Remarque Pédagogique :

Le choix du pivot : On peut choisir n'importe quel point pour calculer la somme des moments. Mais il est astucieux de choisir un point d'appui. Pourquoi ? Car le moment de la réaction d'appui en ce point est nul (bras de levier = 0), ce qui simplifie l'équation en éliminant une inconnue.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum M_{/A} = 0 \Rightarrow (F \times 3) - (V_E \times 6) = 0 \]
\[ \sum F_{/vert} = 0 \Rightarrow V_A + V_E - F = 0 \]
Donnée(s) :
  • Force appliquée \(F = 100 \, \text{kN}\)
  • Portée totale = 6 m
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} V_E &= \frac{F \times 3}{6} = \frac{100 \times 3}{6} \\ &= 50 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_A &= F - V_E = 100 - 50 \\ &= 50 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le signe des moments : Il est crucial d'adopter une convention de signe (par exemple, "positif" pour les moments qui font tourner dans le sens anti-horaire) et de s'y tenir pour toute l'équation. Une erreur de signe sur un seul terme fausse tout le calcul.

Le saviez-vous ?

Le fait que les réactions soient égales (\(V_A = V_E = F/2\)) est dû à la symétrie du chargement et de la géométrie. Si la force F avait été appliquée à un autre nœud, les réactions auraient été différentes.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi n'y a-t-il pas de réaction horizontale en E ?

L'appui en E est un appui à rouleau (ou appui simple), qui par définition ne peut reprendre que des efforts verticaux. Il peut se déplacer librement horizontalement. C'est l'appui fixe en A (rotule) qui reprend la totalité des efforts horizontaux (ici, il n'y en a pas, donc \(H_A = 0\)).

Résultat : Les réactions d'appui sont \(V_A = 50 \, \text{kN}\) et \(V_E = 50 \, \text{kN}\).

Question 2 : Efforts au Nœud A (\(N_{AB}\) et \(N_{AC}\))

Principe :
VA NAB NAC Équilibre du nœud A

On "isole" mentalement le nœud A. On connaît la force extérieure qui s'y applique (la réaction d'appui \(V_A\)). On écrit que la somme des forces verticales et horizontales appliquées à ce nœud (réaction + efforts inconnus des barres) est nulle. Cela nous donne un système de deux équations à deux inconnues (\(N_{AB}\) et \(N_{AC}\)).

Remarque Pédagogique :

L'hypothèse de départ : Pour résoudre, on suppose toujours que les barres sont en traction (l'effort "sort" du nœud). Si le résultat du calcul est négatif, cela signifie simplement que notre hypothèse était fausse et que la barre est en réalité en compression.

Formule(s) utilisée(s) :

L'angle \(\alpha\) de la barre AB avec l'horizontale est tel que \(\tan(\alpha) = 2/3\), donc \(\alpha \approx 33.7^\circ\).

\[ \sum F_{/vert} = 0 \Rightarrow V_A + N_{AB} \sin(\alpha) = 0 \]
\[ \sum F_{/horiz} = 0 \Rightarrow N_{AC} + N_{AB} \cos(\alpha) = 0 \]
Donnée(s) :
  • \(V_A = 50 \, \text{kN}\)
  • \(\alpha = 33.7^\circ\) (\(\sin(\alpha) \approx 0.555\), \(\cos(\alpha) \approx 0.832\))
Calcul(s) :
\[ N_{AB} = - \frac{V_A}{\sin(\alpha)} = - \frac{50}{0.555} \approx -90.1 \, \text{kN} \]
\[ N_{AC} = - N_{AB} \cos(\alpha) = -(-90.1) \times 0.832 \approx 75.0 \, \text{kN} \]
Résultat : \(N_{AB} \approx 90.1 \, \text{kN}\) (Compression) et \(N_{AC} \approx 75.0 \, \text{kN}\) (Traction).

Question 3 : Efforts au Nœud E (\(N_{BE}\) et \(N_{CE}\))

Principe :

La démarche est identique à celle du nœud A. On isole le nœud E, on applique la force connue (\(V_E\)) et on écrit les deux équations d'équilibre pour trouver les deux efforts inconnus (\(N_{BE}\) et \(N_{CE}\)). En raison de la symétrie de la structure et du chargement, on s'attend à trouver des efforts de même magnitude qu'au nœud A.

Remarque Pédagogique :

La symétrie, un outil puissant : Reconnaître la symétrie d'un problème peut faire gagner un temps considérable. Ici, on peut déduire directement que \(N_{BE} = N_{AB}\) et que l'effort dans la barre CE est égal à l'effort dans la barre AC. Le calcul sert alors de vérification.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_{/vert} = 0 \Rightarrow V_E + N_{BE} \sin(\alpha) = 0 \]
\[ \sum F_{/horiz} = 0 \Rightarrow -N_{CE} - N_{BE} \cos(\alpha) = 0 \]
Donnée(s) :
  • \(V_E = 50 \, \text{kN}\)
  • \(\alpha = 33.7^\circ\)
Calcul(s) :
\[ N_{BE} = - \frac{V_E}{\sin(\alpha)} = - \frac{50}{0.555} \approx -90.1 \, \text{kN} \]
\[ N_{CE} = - N_{BE} \cos(\alpha) = -(-90.1) \times 0.832 \approx 75.0 \, \text{kN} \]
Résultat : \(N_{BE} \approx 90.1 \, \text{kN}\) (Compression) et \(N_{CE} \approx 75.0 \, \text{kN}\) (Traction).

Question 4 : Effort dans la Barre BC (\(N_{BC}\))

Principe :
F NAB NBE NBC Équilibre du nœud B

On isole le nœud B. On connaît maintenant les efforts dans les barres AB et BE, ainsi que la force extérieure F. On peut écrire l'équilibre vertical du nœud pour trouver la dernière inconnue, l'effort dans la barre verticale BC.

Remarque Pédagogique :

La propagation des calculs : La méthode des nœuds est séquentielle. On doit commencer par un nœud avec au maximum deux inconnues. Une fois les efforts de ce nœud trouvés, ils deviennent des données connues pour les nœuds adjacents, ce qui permet de continuer la résolution de proche en proche.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_{/vert} = 0 \Rightarrow -F - N_{AB}\sin(\alpha) - N_{BE}\sin(\alpha) - N_{BC} = 0 \]
Donnée(s) :
  • \(F = 100 \, \text{kN}\)
  • \(N_{AB} = -90.1 \, \text{kN}\)
  • \(N_{BE} = -90.1 \, \text{kN}\)
  • \(\alpha = 33.7^\circ\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} N_{BC} &= -F - N_{AB}\sin(\alpha) - N_{BE}\sin(\alpha) \\ &= -100 - (-90.1 \times 0.555) - (-90.1 \times 0.555) \\ &= -100 + 50 + 50 \\ &= 0 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat : L'effort dans la barre BC est nul (\(N_{BC} = 0 \, \text{kN}\)). C'est une "barre à effort nul".

Simulation Interactive : Efforts dans le Treillis

Faites varier la charge appliquée au sommet du treillis pour voir comment les efforts de traction (bleu) et de compression (rouge) évoluent dans les différentes barres.

Paramètres de Chargement
Effort Membrure Supérieure (AB, BE) :
Effort Membrure Inférieure (AC, CE) :
Visualisation du Treillis
A B E C

Pour Aller Plus Loin : La Méthode des Sections (ou de Ritter)

Pour trouver rapidement l'effort dans une barre située au milieu d'un grand treillis, la méthode des nœuds peut être longue. La méthode des sectionsMéthode d'analyse des treillis qui consiste à faire une "coupe" imaginaire à travers 3 barres, à isoler une partie du treillis et à appliquer les équations de l'équilibre global (notamment la somme des moments) pour trouver directement l'effort dans l'une des barres coupées., ou méthode de Ritter, est plus directe. Elle consiste à couper le treillis en deux à travers trois barres, à isoler une des deux moitiés, et à écrire l'équilibre des moments de cette moitié par rapport à un point judicieusement choisi (souvent l'intersection des deux autres barres coupées) pour trouver directement l'effort dans la troisième barre.

Le Saviez-Vous ?

Les treillis de type "Pratt", comme celui de l'exercice, ont été brevetés en 1844. Ils sont conçus pour que les barres les plus longues (les diagonales) travaillent en traction, ce qui est idéal pour l'acier. Les treillis "Howe", inventés en 1840, ont des diagonales dans l'autre sens et travaillent en compression, ce qui était plus adapté aux structures en bois où les assemblages en compression sont plus simples à réaliser.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la barre BC a-t-elle un effort nul ?

Dans ce cas de charge précis (une seule force verticale au sommet), la barre BC ne sert à rien pour l'équilibre statique. C'est une "barre à effort nul". Cependant, elle n'est pas inutile : elle sert à raidir la membrure supérieure AB-BE et à l'empêcher de flamber sous l'effet de la compression. Si les charges étaient réparties sur la membrure inférieure, l'effort dans la barre BC ne serait plus nul.

Que se passe-t-il si le treillis n'est pas isostatique ?

Si l'on ajoute des barres superflues, le treillis devient "hyperstatique". Les équations de la statique ne suffisent plus pour trouver les efforts, car il y a plus d'inconnues que d'équations. Il faut alors utiliser des méthodes plus avancées qui prennent en compte la rigidité et la déformation des barres pour répartir les efforts. Ces structures sont plus robustes mais plus complexes à calculer.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans notre treillis, la membrure inférieure (barres AC et CE) travaille en :

2. Si l'on double la hauteur du treillis (H=4m) tout en gardant la même charge F, l'effort de compression dans les membrures supérieures (AB et BE) va :

Glossaire

Treillis
Structure composée de barres droites assemblées en nœuds pour former des triangles. Cette triangulation la rend très rigide et efficace pour reprendre les charges.
Méthode des Nœuds
Méthode d'analyse des treillis qui consiste à isoler chaque nœud (point de connexion des barres) et à appliquer les équations de l'équilibre statique pour trouver les efforts inconnus dans les barres.
Isostatique
Se dit d'une structure pour laquelle le nombre d'inconnues (efforts dans les barres et réactions d'appui) est exactement égal au nombre d'équations d'équilibre disponibles. La structure est stable et calculable par la statique seule.
Traction / Compression
La traction est un effort qui tend à allonger une barre (effort positif). La compression est un effort qui tend à la raccourcir (effort négatif).
Calcul des efforts dans les barres d'un treillis métallique simple

D’autres exercices de structure métallique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *