Études de cas pratique

EGC

Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte

Calcul de l’Excentricité de la Force de Précontrainte

Comprendre le Calcul de l’Excentricité de la Force de Précontrainte

En béton précontraint, l'excentricité (\(e\)) de la force de précontrainte est un paramètre clé. Elle représente la distance entre le point d'application de la force résultante de précontrainte (centre de gravité des aciers de précontrainte) et le centre de gravité de la section brute de béton. Cette excentricité crée un moment interne (\(M_p = P \times e\)) qui s'oppose aux moments créés par les charges externes, permettant de contrôler les contraintes et la fissuration du béton.

Données de l'étude

On étudie une section en Té d'une poutre en béton précontraint.

Caractéristiques géométriques de la section en Té :

  • Largeur de la table de compression (\(b_f\)) : \(800 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de la table de compression (\(h_f\)) : \(150 \, \text{mm}\)
  • Largeur de l'âme (\(b_w\)) : \(250 \, \text{mm}\)
  • Hauteur totale de la poutre (\(h\)) : \(700 \, \text{mm}\)

Position des aciers de précontrainte :

  • Un groupe de tendons de section \(A_p = 1200 \, \text{mm}^2\) est positionné à une distance \(y_{p,inf} = 100 \, \text{mm}\) de la fibre inférieure de la poutre.

Hypothèse : On calcule l'excentricité par rapport au centre de gravité de la section brute de béton. On mesure les distances verticales à partir de la fibre inférieure.

Schéma : Section en Té et Position des Aciers
Section en Té G Ap bf=800 h=700 bw=250 hf=150 yp,inf=100 yG = ? e = ?

Section en Té. Les distances sont mesurées depuis la fibre inférieure.

Questions à traiter

  1. Décomposer la section en Té en deux rectangles simples (table et âme). Calculer l'aire de chaque partie (\(A_1, A_2\)) et l'aire totale (\(A_c\)).
  2. Déterminer la position du centre de gravité de chaque partie (\(y_1, y_2\)) par rapport à la fibre inférieure.
  3. Calculer la position du centre de gravité de la section totale en Té (\(y_G\)) par rapport à la fibre inférieure en utilisant la formule des moments statiques : \(y_G = \frac{\sum (A_i y_i)}{\sum A_i}\).
  4. Déterminer la position du centre de gravité des aciers de précontrainte (\(y_p\)) par rapport à la fibre inférieure.
  5. Calculer l'excentricité (\(e\)) de la force de précontrainte : \(e = y_G - y_p\). Préciser le signe (positif si P est sous G, négatif si P est au-dessus de G).

Correction : Calcul de l'Excentricité de la Précontrainte

Question 1 : Aires des Parties et Aire Totale (\(A_1, A_2, A_c\))

Principe :

On décompose la section en Té en une table rectangulaire (partie 1) et une âme rectangulaire (partie 2). On calcule l'aire de chaque rectangle.

Partie 1 (Table) : \(b_f \times h_f\)

Partie 2 (Âme) : \(b_w \times (h - h_f)\)

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_1 = b_f \times h_f\] \[A_2 = b_w \times (h - h_f)\] \[A_c = A_1 + A_2\]
Données spécifiques (unités mm) :
  • \(b_f = 800 \, \text{mm}\)
  • \(h_f = 150 \, \text{mm}\)
  • \(b_w = 250 \, \text{mm}\)
  • \(h = 700 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_1 &= 800 \, \text{mm} \times 150 \, \text{mm} \\ &= 120000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Hauteur de l'âme : \(h - h_f = 700 - 150 = 550 \, \text{mm}\)

\[ \begin{aligned} A_2 &= 250 \, \text{mm} \times 550 \, \text{mm} \\ &= 137500 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_c &= A_1 + A_2 \\ &= 120000 + 137500 \\ &= 257500 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion en cm² : \(A_c = 2575 \, \text{cm}^2\).

Résultat Question 1 : \(A_1 = 120000 \, \text{mm}^2\), \(A_2 = 137500 \, \text{mm}^2\), \(A_c = 257500 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Position des Centres de Gravité Partiels (\(y_1, y_2\))

Principe :

On détermine la position verticale du centre de gravité de chaque rectangle par rapport à la fibre inférieure de la section totale.

Formule(s) utilisée(s) :

Pour un rectangle, le centre de gravité est au milieu de sa hauteur.

\[y_1 = (h - h_f) + \frac{h_f}{2}\] \[y_2 = \frac{h - h_f}{2}\]
Données spécifiques (unités mm) :
  • \(h = 700 \, \text{mm}\)
  • \(h_f = 150 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de l'âme : \(h - h_f = 550 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_1 &= 550 + \frac{150}{2} \\ &= 550 + 75 \\ &= 625 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y_2 &= \frac{550}{2} \\ &= 275 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les positions des centres de gravité partiels par rapport à la fibre inférieure sont \(y_1 = 625 \, \text{mm}\) et \(y_2 = 275 \, \text{mm}\).

Question 3 : Position du Centre de Gravité Total (\(y_G\))

Principe :

La position du centre de gravité de la section composée est la moyenne pondérée des positions des centres de gravité des parties, pondérée par leurs aires respectives.

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_G = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} = \frac{\sum (A_i y_i)}{A_c}\]
Données spécifiques (unités mm) :
  • \(A_1 = 120000 \, \text{mm}^2\), \(y_1 = 625 \, \text{mm}\)
  • \(A_2 = 137500 \, \text{mm}^2\), \(y_2 = 275 \, \text{mm}\)
  • \(A_c = 257500 \, \text{mm}^2\)
Calcul :

Moment statique de la partie 1 :

\[ A_1 y_1 = 120000 \times 625 = 75 \times 10^6 \, \text{mm}^3 \]

Moment statique de la partie 2 :

\[ A_2 y_2 = 137500 \times 275 = 37.8125 \times 10^6 \, \text{mm}^3 \]

Somme des moments statiques :

\[ \sum (A_i y_i) = (75 + 37.8125) \times 10^6 = 112.8125 \times 10^6 \, \text{mm}^3 \]

Position du centre de gravité total :

\[ \begin{aligned} y_G &= \frac{112.8125 \times 10^6 \, \text{mm}^3}{257500 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 438.11 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion en cm : \(y_G \approx 43.81 \, \text{cm}\).

Résultat Question 3 : La position du centre de gravité de la section en Té par rapport à la fibre inférieure est \(y_G \approx 438.1 \, \text{mm}\).

Question 4 : Position du Centre de Gravité des Aciers (\(y_p\))

Principe :

La position du centre de gravité des aciers (\(y_p\)) est donnée directement dans l'énoncé par rapport à la fibre inférieure.

Données spécifiques (unités mm) :
  • \(y_{p,inf} = 100 \, \text{mm}\)
Valeur :
\[ y_p = y_{p,inf} = 100 \, \text{mm} \]
Résultat Question 4 : La position du centre de gravité des aciers par rapport à la fibre inférieure est \(y_p = 100 \, \text{mm}\).

Question 5 : Calcul de l'Excentricité (\(e\))

Principe :

L'excentricité \(e\) est la distance entre le centre de gravité de la section de béton (\(y_G\)) et le centre de gravité des aciers de précontrainte (\(y_p\)).

Convention : Si \(y_G > y_p\) (le centre de gravité du béton est au-dessus de celui de l'acier, cas courant avec précontrainte en partie basse), l'excentricité est considérée comme positive.

Formule(s) utilisée(s) :
\[e = y_G - y_p\]
Données spécifiques (unités mm) :
  • \(y_G \approx 438.1 \, \text{mm}\)
  • \(y_p = 100 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} e &= 438.1 - 100 \, \text{mm} \\ &= 338.1 \, \text{mm} \end{aligned} \]

L'excentricité est positive, indiquant que les aciers sont situés sous le centre de gravité de la section de béton.

Conversion en cm : \(e \approx 33.81 \, \text{cm}\).

Résultat Question 5 : L'excentricité de la force de précontrainte est \(e \approx +338.1 \, \text{mm}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Qu'est-ce que l'excentricité de la précontrainte ?

2. Comment calcule-t-on le centre de gravité (\(y_G\)) d'une section composée (comme un T) ?

3. Une excentricité positive (selon la convention de cet exercice) signifie que les câbles de précontrainte sont situés :

Glossaire

Précontrainte
Technique consistant à introduire des contraintes internes (généralement de compression) dans un matériau (le béton) avant sa mise en service, pour améliorer sa résistance aux contraintes de traction induites par les charges externes.
Force de Précontrainte (P)
Force de tension appliquée aux aciers de précontrainte (tendons) et transmise au béton sous forme de compression.
Excentricité (e)
Distance entre le point d'application de la force résultante de précontrainte (centre de gravité des tendons) et le centre de gravité de la section brute de béton.
Centre de Gravité (G)
Point géométrique représentant le point moyen de la masse d'un corps ou de l'aire d'une section. Pour une section, c'est le point où le moment statique est nul.
Moment Statique
Produit d'une aire par la distance de son centre de gravité à un axe de référence. Utilisé pour déterminer le centre de gravité d'une section composée.
Section en Té
Section transversale de poutre ayant la forme d'un T, composée d'une table (partie horizontale large) et d'une âme (partie verticale étroite).
Table (ou Membrure)
Partie horizontale large d'une section en Té ou en I.
Âme (ou Nervure)
Partie verticale étroite d'une section en Té ou en I, reliant les membrures.
Fibre Inférieure / Supérieure
Points extrêmes (le plus bas et le plus haut) de la section transversale.
Calcul de l’Excentricité de la Précontrainte - Exercice d'Application

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