Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte

Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte

Comprendre le Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte

Le dimensionnement en flexion d'une section en béton précontraint à l'État Limite Ultime (ELU) implique de déterminer la quantité d'acier de précontrainte (\(A_p\)) nécessaire pour que la section puisse résister au moment fléchissant de calcul (\(M_{Ed}\)). Ce calcul repose sur l'équilibre des forces internes (compression dans le béton et traction dans l'acier de précontrainte) et des moments, en utilisant les résistances de calcul des matériaux et un diagramme de comportement simplifié pour le béton (souvent le diagramme rectangulaire).

Données de l'étude

On souhaite déterminer la section d'acier de précontrainte (\(A_p\)) nécessaire pour une poutre rectangulaire en béton soumise à un moment fléchissant important à l'ELU.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la poutre (\(b\)) : \(400 \, \text{mm}\)
  • Hauteur totale de la poutre (\(h\)) : \(800 \, \text{mm}\)
  • Hauteur utile des aciers de précontrainte (\(d_p\)) : \(700 \, \text{mm}\) (distance de la fibre la plus comprimée au centre de gravité des aciers de précontrainte)
  • Béton : C35/45 (\(f_{ck} = 35 \, \text{MPa}\))
  • Acier de précontrainte : Torons TBP (Très Basse Relaxation) avec \(f_{p0,1k} = 1600 \, \text{MPa}\) (limite d'élasticité caractéristique à 0.1%) et \(f_{pk} = 1860 \, \text{MPa}\) (résistance caractéristique à la rupture).
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\) (béton), \(\gamma_s = 1.15\) (acier de précontrainte)
  • Coefficient \(\alpha_{cc}\) pour charges de longue durée : \(0.85\) (on utilisera \(f_{cd} = \alpha_{cc} f_{ck} / \gamma_c\))

Sollicitations (ELU) :

  • Moment fléchissant de calcul (\(M_{Ed}\)) : \(950 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

Hypothèse : On néglige les armatures passives de flexion. On utilise le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton comprimé. On vise une rupture par plastification de l'acier de précontrainte.

Schéma : Section de Poutre et Diagramme ELU
Section Ap xᵣ b=400 h=800 dp=700 Forces ELU Fₜ 0.8xᵣ fₜₖ Fₚ xᵣ z

Section de poutre et diagramme rectangulaire simplifié des contraintes/forces à l'ELU.

Questions à traiter

  1. Calculer les résistances de calcul des matériaux : \(f_{cd}\) pour le béton et \(f_{pd}\) pour l'acier de précontrainte (\(f_{pd} = f_{p0,1k} / \gamma_s\)).
  2. Calculer le moment réduit (\(\mu_{cu}\)) : \(\mu_{cu} = \frac{M_{Ed}}{b d_p^2 f_{cd}}\).
  3. Déterminer la position relative de l'axe neutre (\(\alpha_u = x_u/d_p\)) en utilisant la formule \(\alpha_u = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{cu}})\). Vérifier que \(\alpha_u\) est inférieur à la limite pour une rupture ductile (ex: \(\alpha_{lim} \approx 0.617\) pour acier TBP).
  4. Calculer le bras de levier (\(z\)) : \(z = d_p (1 - 0.4 \alpha_u)\).
  5. Calculer la section d'acier de précontrainte requise (\(A_p\)) : \(A_p = \frac{M_{Ed}}{z f_{pd}}\).
  6. Vérifier le pourcentage minimal d'acier de précontrainte (si une règle est applicable ou si des aciers passifs minimaux sont également requis). Pour cet exercice, on se concentrera sur le calcul de \(A_p\) basé sur \(M_{Ed}\).

Correction : Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte

Question 1 : Résistances de Calcul (\(f_{cd}, f_{pd}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients partiels de sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\] \[f_{pd} = \frac{f_{p0,1k}}{\gamma_s}\]
Données spécifiques :
  • Béton C35/45 : \(f_{ck} = 35 \, \text{MPa}\)
  • Acier TBP : \(f_{p0,1k} = 1600 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 35 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= \frac{29.75}{1.5} \, \text{MPa} \\ &\approx 19.83 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{pd} &= \frac{1600 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 1391.30 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} \approx 19.83 \, \text{MPa}\) et \(f_{pd} \approx 1391.30 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Moment Réduit (\(\mu_{cu}\))

Principe :

Le moment réduit compare le moment appliqué à la capacité de résistance en compression du béton seul, en utilisant la hauteur utile \(d_p\) des aciers de précontrainte.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\mu_{cu} = \frac{M_{Ed}}{b d_p^2 f_{cd}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed} = 950 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 950 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Largeur poutre (\(b\)) : \(400 \, \text{mm}\)
  • Hauteur utile précontrainte (\(d_p\)) : \(700 \, \text{mm}\)
  • \(f_{cd} \approx 19.83 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \mu_{cu} &= \frac{950 \times 10^6}{400 \times (700)^2 \times 19.83} \\ &= \frac{950 \times 10^6}{400 \times 490000 \times 19.83} \\ &= \frac{950 \times 10^6}{3.88668 \times 10^9} \\ &\approx 0.2444 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le moment réduit est \(\mu_{cu} \approx 0.244\).

Question 3 : Position Relative de l'Axe Neutre (\(\alpha_u\))

Principe :

\(\alpha_u = x_u/d_p\) caractérise la position de l'axe neutre par rapport à la hauteur utile de la précontrainte. On vérifie qu'elle est inférieure à la limite \(\alpha_{lim}\) (environ 0.617 pour un diagramme rectangulaire et acier de classe B ou S, ou une valeur plus précise si disponible pour l'acier de précontrainte).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\alpha_u = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{cu}})\]
Données spécifiques :
  • \(\mu_{cu} \approx 0.244\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \alpha_u &= 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 2 \times 0.244}) \\ &= 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 0.488}) \\ &= 1.25 \times (1 - \sqrt{0.512}) \\ &\approx 1.25 \times (1 - 0.7155) \\ &= 1.25 \times 0.2845 \\ &\approx 0.3556 \end{aligned} \]

Vérification : \(\alpha_u \approx 0.356\). Si on considère une limite de \(\alpha_{lim} \approx 0.617\) (pour acier S500), la condition \(0.356 < 0.617\) est vérifiée. Pour les aciers de précontrainte, la déformation limite peut être différente, mais cette valeur indique généralement une rupture ductile.

Résultat Question 3 : La position relative de l'axe neutre est \(\alpha_u \approx 0.356\).

Question 4 : Calcul du Bras de Levier (\(z\))

Principe :

Le bras de levier \(z\) est la distance entre le centre de gravité des contraintes de compression dans le béton et le centre de gravité des aciers de précontrainte tendus.

Formule(s) utilisée(s) (Diagramme rectangulaire) :
\[z = d_p (1 - 0.4 \alpha_u)\]
Données spécifiques :
  • \(d_p = 700 \, \text{mm}\)
  • \(\alpha_u \approx 0.356\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} z &= 700 \times (1 - 0.4 \times 0.356) \\ &= 700 \times (1 - 0.1424) \\ &= 700 \times 0.8576 \\ &\approx 600.32 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le bras de levier est \(z \approx 600.3 \, \text{mm}\).

Question 5 : Section d'Acier de Précontrainte Requise (\(A_p\))

Principe :

La section d'acier de précontrainte est déterminée par l'équilibre des moments : \(M_{Ed} = A_p f_{pd} z\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_p = \frac{M_{Ed}}{z f_{pd}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed} = 950 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(z \approx 600.32 \, \text{mm}\)
  • \(f_{pd} \approx 1391.30 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_p &= \frac{950 \times 10^6}{600.32 \times 1391.30} \\ &\approx \frac{950 \times 10^6}{835208} \\ &\approx 1137.43 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion en cm² : \(A_p \approx 11.37 \, \text{cm}^2\)

Résultat Question 5 : La section d'acier de précontrainte requise est \(A_p \approx 1137 \, \text{mm}^2\) (ou 11.37 cm²).

Question 6 : Vérification du Pourcentage Minimal d'Acier

Principe :

L'Eurocode 2 spécifie des pourcentages minimaux d'armatures de précontrainte (et/ou d'armatures passives associées) pour assurer un comportement adéquat et contrôler la fissuration. Pour \(A_p\), la condition \(A_p f_{pd} / (A_c f_{ctm}) \geq k_c k\) peut être vérifiée, ou des règles sur \(A_p / A_c\). Pour cet exercice, nous notons simplement que la section calculée doit être fournie par un nombre de torons disponibles commercialement.

Une règle courante pour le pourcentage minimal d'armatures totales (passives + précontrainte) est \(A_{s,tot,min} = 0.26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} b_w d \geq 0.0013 b_w d\). Si la précontrainte seule est utilisée, elle doit être suffisante. Si \(A_p\) calculé est très faible, des aciers passifs minimaux pourraient être requis en complément.

Discussion :

La section calculée \(A_p \approx 1137 \, \text{mm}^2\) doit être comparée aux sections fournies par des torons standards (ex: torons T15.7 de section nominale \(150 \, \text{mm}^2\)).

Nombre de torons T15.7 : \(1137 / 150 \approx 7.58\). On choisirait donc 8 torons T15.7 (\(A_{p,prov} = 8 \times 150 = 1200 \, \text{mm}^2\)).

La vérification des pourcentages minimaux et maximaux d'acier de précontrainte est complexe et dépend des annexes nationales et du type de structure. Pour cet exercice, le calcul de \(A_p\) basé sur \(M_{Ed}\) est l'objectif principal.

Résultat Question 6 : La section d'acier de précontrainte requise est \(A_p \approx 11.37 \, \text{cm}^2\). Un choix pratique serait 8 torons T15.7 (\(A_{p,prov} = 12.00 \, \text{cm}^2\)). Des vérifications supplémentaires de pourcentages minimaux et de non-fragilité seraient nécessaires dans un calcul complet.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Quel est l'objectif principal du calcul de la section d'acier de précontrainte à l'ELU ?

2. La résistance de calcul de l'acier de précontrainte (\(f_{pd}\)) est typiquement basée sur :

3. Si le moment réduit \(\mu_{cu}\) est supérieur au moment réduit limite \(\mu_{lim}\), cela signifie généralement :

Glossaire

Béton Précontraint
Béton dans lequel des contraintes internes (généralement de compression) sont introduites avant l'application des charges de service.
Acier de Précontrainte (\(A_p\))
Armatures à haute résistance (torons, barres, fils) utilisées pour appliquer la force de précontrainte.
Force de Précontrainte (P)
Force de tension appliquée aux aciers, qui se traduit par une compression dans le béton.
Hauteur Utile (\(d_p\))
Distance entre la fibre la plus comprimée de la section de béton et le centre de gravité des aciers de précontrainte.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment sollicitant la section, calculé à l'ELU.
Résistance de Calcul (\(f_{cd}, f_{pd}\))
Résistance des matériaux (béton, acier de précontrainte) utilisée pour les calculs à l'ELU.
Moment Réduit (\(\mu_{cu}\))
Moment de calcul normalisé par rapport à la capacité de compression du béton. Il permet de déterminer le mode de fonctionnement de la section.
Axe Neutre (\(x_u\))
Position de la ligne dans la section où la déformation est nulle à l'ELU.
Bras de Levier (z)
Distance entre la résultante des forces de compression dans le béton et la résultante des forces de traction dans l'acier de précontrainte.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure (rupture, instabilité).
Toron TBP
Toron de précontrainte à Très Basse Relaxation, signifiant qu'il perd peu de tension sous charge constante dans le temps.
Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte - Exercice d'Application

D’autres exercices de béton précontraint :

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *