Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Fermeture Angulaire

Calcul de la Fermeture Angulaire en Topographie

Calcul de la Fermeture Angulaire en Topographie

Comprendre la Fermeture Angulaire

En topographie, lors du levé d'un polygone fermé (cheminement fermé), la somme des angles intérieurs mesurés sur le terrain doit théoriquement être égale à une valeur géométrique précise, dépendant du nombre de côtés du polygone. En pratique, des erreurs de mesure sont inévitables. La différence entre la somme des angles mesurés et la somme théorique est appelée "fermeture angulaire" (ou écart de fermeture angulaire, \(f_a\)). Le calcul de cette fermeture est une étape cruciale pour vérifier la qualité des mesures angulaires. Si la fermeture est inférieure à une tolérance admissible, elle est répartie (compensée) sur les angles mesurés pour satisfaire la condition géométrique. Si elle dépasse la tolérance, les mesures doivent être refaites.

Données de l'étude

Un topographe a mesuré les angles intérieurs d'un polygone fermé à 5 sommets (pentagone). Les valeurs mesurées sont les suivantes :

Sommet Angle Intérieur Mesuré
A \(107.9950^\circ\)
B \(108.0080^\circ\)
C \(107.9880^\circ\)
D \(108.0120^\circ\)
E \(107.9920^\circ\)

La tolérance angulaire pour ce type de levé est donnée par \(T_a = \pm 0.0100^\circ \sqrt{n}\), où \(n\) est le nombre de sommets du polygone.

Schéma : Polygone à 5 sommets
A B C D E α_A α_B α_C α_D α_E Polygone fermé à 5 sommets

Schéma d'un polygone fermé (pentagone) avec ses angles intérieurs.

Questions à traiter

  1. Définir la fermeture angulaire et expliquer son importance dans un levé polygonal.
  2. Calculer la somme théorique des angles intérieurs (\(S_{\text{th}}\)) pour ce polygone.
  3. Calculer la somme des angles intérieurs mesurés (\(S_{\text{mes}}\)).
  4. Calculer la fermeture angulaire (\(f_a\)).
  5. Calculer la tolérance angulaire admissible (\(T_a\)) pour ce levé.
  6. Comparer la fermeture angulaire à la tolérance. Les mesures sont-elles acceptables ?
  7. Si les mesures sont acceptables, calculer la correction à appliquer à chaque angle mesuré et déterminer les angles compensés.

Correction : Calcul de la Fermeture Angulaire

Question 1 : Définition et importance de la fermeture angulaire

Définition :

La fermeture angulaire (\(f_a\)) dans un polygone fermé est la différence entre la somme des angles intérieurs (ou extérieurs) mesurés sur le terrain et la somme théorique que ces angles devraient avoir géométriquement.

Importance :

Le calcul de la fermeture angulaire est une vérification essentielle de la précision des mesures angulaires effectuées lors d'un levé polygonal.

  • Il permet de détecter des erreurs grossières de mesure ou de lecture.
  • Il quantifie l'erreur globale accumulée sur les mesures d'angles.
  • Si la fermeture est dans les limites de tolérance acceptables, elle peut être répartie (compensée) sur les angles mesurés pour satisfaire la condition géométrique du polygone.
  • Si la fermeture dépasse la tolérance, cela indique que les mesures ne sont pas assez précises et doivent généralement être refaites.
Une fermeture angulaire correcte est la première étape pour s'assurer de la validité des calculs ultérieurs de coordonnées des sommets du polygone.

Résultat Question 1 : La fermeture angulaire est l'écart entre la somme des angles mesurés et leur somme théorique. Elle est cruciale pour valider la précision des mesures angulaires d'un polygone.

Question 2 : Somme théorique des angles intérieurs (\(S_{\text{th}}\))

Principe :

La somme théorique des angles intérieurs d'un polygone simple à \(n\) côtés (ou sommets) est donnée par la formule géométrique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_{\text{th}} = (n - 2) \times 180^\circ\]
Données spécifiques :
  • Nombre de sommets \(n = 5\) (pentagone)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{\text{th}} &= (5 - 2) \times 180^\circ \\ &= 3 \times 180^\circ \\ &= 540.0000^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La somme théorique des angles intérieurs du pentagone est \(S_{\text{th}} = 540.0000^\circ\).

Question 3 : Somme des angles intérieurs mesurés (\(S_{\text{mes}}\))

Principe :

On additionne tous les angles intérieurs qui ont été mesurés sur le terrain.

Données spécifiques :
  • Angle A : \(107.9950^\circ\)
  • Angle B : \(108.0080^\circ\)
  • Angle C : \(107.9880^\circ\)
  • Angle D : \(108.0120^\circ\)
  • Angle E : \(107.9920^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{\text{mes}} &= 107.9950^\circ + 108.0080^\circ + 107.9880^\circ + 108.0120^\circ + 107.9920^\circ \\ &= 539.9950^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La somme des angles intérieurs mesurés est \(S_{\text{mes}} = 539.9950^\circ\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'angle mesuré au sommet A était de \(108.0000^\circ\) au lieu de \(107.9950^\circ\), la nouvelle \(S_{\text{mes}}\) serait :

Question 4 : Calcul de la fermeture angulaire (\(f_a\))

Principe :

La fermeture angulaire est la différence entre la somme des angles mesurés et la somme théorique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_a = S_{\text{mes}} - S_{\text{th}}\]
Données spécifiques :
  • \(S_{\text{mes}} = 539.9950^\circ\)
  • \(S_{\text{th}} = 540.0000^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_a &= 539.9950^\circ - 540.0000^\circ \\ &= -0.0050^\circ \end{aligned} \]

Une fermeture négative signifie que la somme des angles mesurés est inférieure à la somme théorique.

Résultat Question 4 : La fermeture angulaire est \(f_a = -0.0050^\circ\).

Question 5 : Calcul de la tolérance angulaire admissible (\(T_a\))

Principe :

La tolérance angulaire définit l'écart maximal acceptable pour la fermeture angulaire. Elle dépend souvent du nombre de sommets (ou d'angles mesurés) et de la précision de l'instrument et de la méthode.

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_a = \pm C \sqrt{n}\]

Où \(C\) est un coefficient dépendant de la précision souhaitée (ici \(0.0100^\circ\)) et \(n\) est le nombre de sommets.

Données spécifiques :
  • Coefficient \(C = 0.0100^\circ\)
  • Nombre de sommets \(n = 5\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_a &= \pm 0.0100^\circ \times \sqrt{5} \\ &\approx \pm 0.0100^\circ \times 2.2360679 \\ &\approx \pm 0.02236^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tolérance angulaire admissible est \(T_a \approx \pm 0.0224^\circ\).

Question 6 : Comparaison de la fermeture à la tolérance

Principe :

Pour que les mesures soient acceptables, la valeur absolue de la fermeture angulaire (\(|f_a|\)) doit être inférieure ou égale à la tolérance admissible (\(T_a\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[|f_a| \le T_a\]
Données spécifiques :
  • \(f_a = -0.0050^\circ\)
  • \(T_a \approx 0.0224^\circ\)
Comparaison :
\[ |-0.0050^\circ| = 0.0050^\circ \]
\[ 0.0050^\circ \le 0.0224^\circ \]

La condition est vérifiée. Les mesures sont donc acceptables.

Résultat Question 6 : Puisque \(|f_a| = 0.0050^\circ\) est inférieur à \(T_a \approx 0.0224^\circ\), les mesures angulaires sont acceptables.

Question 7 : Correction et angles compensés

Principe :

Si la fermeture angulaire est acceptable, elle est répartie (compensée) sur tous les angles mesurés pour que leur somme soit égale à la somme théorique. La correction totale à apporter est l'opposé de la fermeture (\(-f_a\)). Cette correction totale est ensuite divisée par le nombre d'angles (ou de sommets) pour obtenir la correction individuelle à appliquer à chaque angle (en supposant une répartition égale, ce qui est courant pour des mesures de précision similaire).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Correction totale} = -f_a \]
\[ \text{Correction par angle } (c) = \frac{-f_a}{n} \]
\[ \text{Angle compensé} = \text{Angle mesuré} + c \]
Données spécifiques :
  • \(f_a = -0.0050^\circ\)
  • \(n = 5\)
  • Angles mesurés : A=\(107.9950^\circ\), B=\(108.0080^\circ\), C=\(107.9880^\circ\), D=\(108.0120^\circ\), E=\(107.9920^\circ\)
Calcul :

Correction totale :

\[ \text{Correction totale} = -(-0.0050^\circ) = +0.0050^\circ \]

Correction par angle :

\[ c = \frac{+0.0050^\circ}{5} = +0.0010^\circ \]

Angles compensés :

\[ \begin{aligned} A_{\text{comp}} &= 107.9950^\circ + 0.0010^\circ = 107.9960^\circ \\ B_{\text{comp}} &= 108.0080^\circ + 0.0010^\circ = 108.0090^\circ \\ C_{\text{comp}} &= 107.9880^\circ + 0.0010^\circ = 107.9890^\circ \\ D_{\text{comp}} &= 108.0120^\circ + 0.0010^\circ = 108.0130^\circ \\ E_{\text{comp}} &= 107.9920^\circ + 0.0010^\circ = 107.9930^\circ \end{aligned} \]

Vérification de la somme des angles compensés :

\[ S_{\text{comp}} = 107.9960 + 108.0090 + 107.9890 + 108.0130 + 107.9930 = 540.0000^\circ \]

La somme des angles compensés est égale à la somme théorique \(S_{\text{th}}\).

Résultat Question 7 : La correction à appliquer à chaque angle est de \(+0.0010^\circ\). Les angles compensés sont :
  • \(A_{\text{comp}} = 107.9960^\circ\)
  • \(B_{\text{comp}} = 108.0090^\circ\)
  • \(C_{\text{comp}} = 107.9890^\circ\)
  • \(D_{\text{comp}} = 108.0130^\circ\)
  • \(E_{\text{comp}} = 107.9930^\circ\)

Quiz Intermédiaire 1 : Si la fermeture angulaire \(f_a\) était de \(+0.0100^\circ\) pour ce pentagone, la correction individuelle à appliquer à chaque angle serait de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. La somme théorique des angles intérieurs d'un hexagone (6 côtés) est :

9. Si la fermeture angulaire \(f_a\) est positive, cela signifie que :

10. La compensation angulaire vise à :

Glossaire

Polygone Fermé (Cheminement Fermé)
Série de lignes droites connectées formant une figure fermée, où le point de départ et le point d'arrivée coïncident.
Angle Intérieur
Angle formé à l'intérieur d'un polygone par deux côtés adjacents.
Somme Théorique des Angles Intérieurs
Valeur géométrique que la somme des angles intérieurs d'un polygone à \(n\) côtés doit avoir, calculée par \((n-2) \times 180^\circ\).
Fermeture Angulaire (\(f_a\))
Différence entre la somme des angles intérieurs mesurés d'un polygone fermé et leur somme théorique. \(f_a = S_{\text{mes}} - S_{\text{th}}\).
Tolérance Angulaire (\(T_a\))
Écart maximal admissible pour la fermeture angulaire, au-delà duquel les mesures sont considérées comme inacceptables.
Compensation Angulaire
Processus de répartition de la fermeture angulaire (si elle est dans la tolérance) sur les angles mesurés pour que leur somme corrigée soit égale à la somme théorique.
Angle Compensé
Angle mesuré auquel une correction a été appliquée pour satisfaire la condition de fermeture géométrique.
Calcul de la Fermeture Angulaire - Exercice d'Application

D’autres exercices de topographie:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *