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Calcul de la Capacité d’un Assemblage par Boulons

Calcul d’un Assemblage par Boulons

Calcul de la Capacité d’un Assemblage par Boulons

Contexte : Les points névralgiques des structures.

Les assemblages sont les articulations des structures métalliques ; ils connectent les différents éléments (poutres, poteaux, etc.) et assurent la transmission des efforts. Un assemblage par boulons est l'un des types les plus courants. Sa conception est cruciale : un assemblage sous-dimensionné peut entraîner la ruine de toute la structure, même si les poutres et poteaux sont correctement calculés. Cet exercice se concentre sur la vérification d'un assemblage simple, un corbeau (console) fixé sur un poteau, soumis à un effort tranchant, en suivant les règles de l'Eurocode 3Ensemble de normes européennes pour le calcul des structures en acier. Il définit les méthodes de calcul pour garantir la résistance, la stabilité et la durabilité des constructions..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à identifier et à calculer les deux modes de ruine principaux d'un boulon travaillant au cisaillement : la rupture du boulon lui-même (cisaillement) et la rupture de la tôle autour du boulon (pression diamétrale). La résistance de l'assemblage est dictée par le plus faible de ces deux modes.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les modes de défaillance d'un assemblage boulonné simple.
  • Calculer la résistance au cisaillementCapacité d'un boulon à résister à des forces qui tendent à le cisailler, c'est-à-dire à le couper transversalement. d'un boulon.
  • Calculer la résistance à la pression diamétraleCapacité de la tôle d'acier à résister à l'écrasement local dû à la pression exercée par le corps du boulon. des tôles assemblées.
  • Déterminer la résistance de calcul d'un boulon et de l'assemblage complet.
  • Vérifier la sécurité de l'assemblage vis-à-vis d'un effort appliqué.

Données de l'étude

On étudie l'assemblage d'un corbeau en acier sur l'âme d'un poteau HEB 200. L'assemblage est réalisé par 4 boulons de classe 8.8. L'ensemble est soumis à une charge verticale de calcul \(V_{\text{Ed}}\) appliquée sur le corbeau.

Schéma de l'assemblage corbeau/poteau
Âme poteau (t_w) Plat corbeau (t_p) e1 p1 e2 V_Ed
Schéma 3D interactif de l'assemblage
Paramètre Symbole Valeur Unité
Effort tranchant de calcul \(V_{\text{Ed}}\) 150 \(\text{kN}\)
Boulons - 4 x M16, Classe 8.8 -
Nuance d'acier (poteau et corbeau) - S235 -
Épaisseur âme poteau HEB 200 \(t_w\) 9 \(\text{mm}\)
Épaisseur platine corbeau \(t_p\) 10 \(\text{mm}\)
Pince (distance bord/axe boulon) \(e_1\) 40 \(\text{mm}\)
Entraxe vertical \(p_1\) 70 \(\text{mm}\)
Distance rive/axe boulon \(e_2\) 50 \(\text{mm}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance au cisaillement de calcul d'un boulon (\(F_{\text{v,Rd}}\)).
  2. Calculer la résistance à la pression diamétrale de calcul (\(F_{\text{b,Rd}}\)).
  3. Déterminer la résistance de calcul d'un seul boulon.
  4. Vérifier si l'assemblage des 4 boulons est adéquat pour supporter la charge.

Les bases du calcul d'assemblages boulonnés

Avant de commencer, rappelons les principes de vérification selon l'Eurocode 3.

1. Modes de Ruine :
Un assemblage simple cisaillé peut céder de deux manières principales :

  • Cisaillement du boulon : Le corps du boulon est cisaillé par les efforts. La résistance dépend de la nuance d'acier du boulon (\(f_{\text{ub}}\)) et de sa section.
  • Pression diamétrale (ou poinçonnement) : Le boulon, très rigide, écrase et déforme la tôle, plus tendre, jusqu'à la rupture. La résistance dépend de la nuance de l'acier de la tôle (\(f_{\text{u}}\)), de son épaisseur (\(t\)), et de la géométrie de l'assemblage (distances aux bords).

2. Principe de vérification :
Pour chaque mode de ruine, on calcule une résistance de calcul (\(R_{\text{d}}\)). On compare ensuite la sollicitation de calcul (\(S_{\text{d}}\)) à cette résistance. La condition de sécurité est : \[ S_{\text{d}} \le R_{\text{d}} \quad \text{ou} \quad \frac{S_{\text{d}}}{R_{\text{d}}} \le 1.0 \] Pour un assemblage, la résistance globale est limitée par le maillon le plus faible.

3. Coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{M2}}\) :
Pour les assemblages, l'Eurocode 3 utilise un coefficient partiel de sécurité spécifique, \(\gamma_{\text{M2}}\). En France, sa valeur est fixée à 1.25. Il est appliqué sur la résistance des matériaux pour tenir compte des incertitudes.

Correction : Calcul de la Capacité d’un Assemblage par Boulons

Question 1 : Calculer la résistance au cisaillement (\(F_{\text{v,Rd}}\))

Principe (le concept physique)

On calcule la force maximale que le boulon peut supporter avant d'être cisaillé. Cette résistance dépend directement de la "qualité" de l'acier du boulon (sa résistance ultime à la traction \(f_{\text{ub}}\)) et de sa section résistante (\(A_{\text{s}}\)). On applique ensuite un coefficient de sécurité pour obtenir la résistance de calcul.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La classe d'un boulon (ex: 8.8) donne ses propriétés mécaniques. Le premier chiffre (8) multiplié par 100 donne la résistance à la rupture en traction \(f_{\text{ub}}\) en MPa (ici 800 MPa). Le produit des deux chiffres (8x8=64) multiplié par 10 donne la limite élastique \(f_{\text{yb}}\) en MPa (ici 640 MPa). La section résistante \(A_{\text{s}}\) est la section au niveau du filetage, plus faible que la section brute.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la première vérification à faire. Elle ne dépend que du boulon lui-même, pas des tôles qu'il assemble. C'est comme vérifier la résistance d'un maillon de chaîne avant de l'utiliser : si le maillon est trop faible, peu importe la solidité du reste, la chaîne cassera.

Normes (la référence réglementaire)

La formule est issue du Tableau 3.4 de l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-8). Le coefficient \(\alpha_v\) vaut 0.6 pour les classes 4.6, 5.6, 8.8 et 0.5 pour les classes 4.8, 5.8, 6.8, 10.9. Le plan de cisaillement est supposé passer par la partie filetée du boulon, ce qui est l'hypothèse la plus courante et la plus sécuritaire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance au cisaillement par plan de cisaillement :

\[ F_{\text{v,Rd}} = \frac{\alpha_v \cdot f_{\text{ub}} \cdot A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère un seul plan de cisaillement (assemblage simple). On suppose que le filetage du boulon se trouve dans le plan de cisaillement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Boulon M16 Classe 8.8 : \(f_{\text{ub}} = 800 \, \text{MPa}\), \(A_{\text{s}} = 157 \, \text{mm}^2\) (valeur tabulée)
  • Coefficient pour classe 8.8 : \(\alpha_v = 0.6\)
  • Coefficient de sécurité : \(\gamma_{\text{M2}} = 1.25\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Les valeurs de \(A_{\text{s}}\) et \(f_{\text{ub}}\) sont des standards. Les ingénieurs les ont toujours à portée de main dans des tableaux. Pour un M16 8.8, la résistance au cisaillement est une valeur que l'on finit par connaître par cœur !

Schéma (Avant les calculs)
Mode de ruine : Cisaillement du boulon
Plan de cisaillement
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule :

\[ \begin{aligned} F_{\text{v,Rd}} &= \frac{0.6 \cdot (800 \, \text{N/mm}^2) \cdot (157 \, \text{mm}^2)}{1.25} \\ &= \frac{75360 \, \text{N}}{1.25} \\ &= 60288 \, \text{N} \\ &= 60.3 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résistance au cisaillement
60.3 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un seul boulon M16 de classe 8.8 peut reprendre un effort de cisaillement de 60.3 kN avant de rompre (en tenant compte des sécurités). C'est notre première valeur de référence.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'utiliser la section brute du boulon (\(\pi d^2 / 4\)) au lieu de la section résistante au filetage (\(A_{\text{s}}\)). Cela surestime la résistance et peut être dangereux. Toujours utiliser les valeurs tabulées pour \(A_{\text{s}}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au cisaillement dépend de la classe du boulon et de son diamètre.
  • La formule est \(F_{\text{v,Rd}} = (\alpha_v \cdot f_{\text{ub}} \cdot A_{\text{s}}) / \gamma_{\text{M2}}\).
  • Le coefficient \(\gamma_{\text{M2}}\) pour les assemblages vaut 1.25.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans un assemblage à "double cisaillement" (par exemple, une tôle centrale connectée par deux goussets), la résistance du boulon est doublée car il faudrait le cisailler en deux endroits à la fois.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le filetage n'est pas dans le plan de cisaillement ?

Si l'on peut garantir que c'est la partie non filetée du boulon (le fût) qui est cisaillée, on peut utiliser la section brute (\(A\)) au lieu de \(A_{\text{s}}\), ce qui augmente légèrement la résistance. Cependant, cette hypothèse est plus difficile à garantir sur chantier, c'est pourquoi on utilise \(A_{\text{s}}\) par défaut pour plus de sécurité.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de calcul au cisaillement d'un boulon est \(F_{\text{v,Rd}} = 60.3 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la résistance \(F_{\text{v,Rd}}\) (en kN) pour un boulon M20 de classe 10.9 (\(f_{\text{ub}}=1000\) MPa, \(A_{\text{s}}=245 \text{ mm}^2\), \(\alpha_v=0.5\)) ?

Question 2 : Calculer la résistance à la pression diamétrale (\(F_{\text{b,Rd}}\))

Principe (le concept physique)

On vérifie maintenant la tôle. Le boulon, en appuyant sur le bord du trou, exerce une pression très forte qui peut écraser ou déchirer l'acier. La résistance dépend de la "qualité" de l'acier de la tôle (\(f_{\text{u}}\)), de son épaisseur (\(t\)), et surtout de la quantité de matière présente autour du boulon (distances aux bords \(e_1, e_2\) et entraxe \(p_1\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de \(F_{\text{b,Rd}}\) est semi-empirique. Les coefficients \(k_1\) et \(\alpha_b\) traduisent l'influence de la géométrie. \(\alpha_b\) est le plus petit de trois termes : un lié à la distance au bord dans le sens de l'effort (\(e_1\)), un lié à la distance au bord perpendiculaire (\(e_2\)), et un troisième lié à la résistance du boulon lui-même. C'est une manière de s'assurer que la ruine n'est pas initiée par un déchirement prématuré de la tôle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un clou dans une planche de bois fine. Si vous tirez fort sur le clou, ce n'est pas le clou qui va casser, mais le bois qui va s'arracher. C'est exactement le même phénomène ici, mais avec de l'acier. C'est pour cela qu'on doit vérifier à la fois le "clou" (le boulon) et la "planche" (la tôle).

Normes (la référence réglementaire)

La formule est issue du Tableau 3.4 de l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-8). Les calculs des coefficients \(k_1\) et \(\alpha_b\) y sont détaillés. On doit effectuer le calcul pour chaque tôle connectée (ici, l'âme du poteau et le plat du corbeau) et retenir la valeur la plus faible, car c'est elle qui limitera la résistance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance à la pression diamétrale :

\[ F_{\text{b,Rd}} = \frac{k_1 \cdot \alpha_b \cdot f_{\text{u}} \cdot d \cdot t}{\gamma_{\text{M2}}} \]

Avec :

\[ \alpha_b = \min\left(\frac{e_1}{3d_0} \,;\, \frac{p_1}{3d_0} - \frac{1}{4} \,;\, \frac{f_{\text{ub}}}{f_{\text{u}}} \,;\, 1.0\right) \quad \text{(pour les boulons de rive)} \]
\[ k_1 = \min\left(2.8\frac{e_2}{d_0} - 1.7 \,;\, 1.4\frac{p_2}{d_0} - 1.7 \,;\, 2.5\right) \quad \text{(pour les boulons de rive)} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les formules données sont valables pour les boulons de rive (les plus proches du bord). Pour les boulons intérieurs, les formules de \(k_1\) et \(\alpha_b\) sont légèrement différentes. Ici, tous les boulons sont considérés comme des boulons de rive.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Diamètre boulon M16 : \(d = 16 \, \text{mm}\)
  • Diamètre du trou : \(d_0 = 18 \, \text{mm}\) (standard pour M16)
  • Acier S235 : \(f_{\text{u}} = 360 \, \text{MPa}\)
  • Boulon 8.8 : \(f_{\text{ub}} = 800 \, \text{MPa}\)
  • Géométrie : \(e_1=40\) mm, \(p_1=70\) mm, \(e_2=50\) mm
  • Épaisseurs : \(t_{\text{w}}=9\) mm (poteau), \(t_{\text{p}}=10\) mm (corbeau)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul de \(\alpha_b\) et \(k_1\) peut paraître fastidieux. Dans la pratique, les ingénieurs utilisent des logiciels ou des tableurs qui font ces calculs automatiquement. Pour un calcul à la main, l'important est de bien identifier chaque terme et de ne pas oublier de prendre le minimum des valeurs possibles.

Schéma (Avant les calculs)
Mode de ruine : Pression diamétrale
Écrasement de la tôle
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des coefficients \(k_1\) et \(\alpha_b\) (identiques pour les deux tôles) :

\[ \alpha_b = \min\left(\frac{40}{3 \cdot 18}=0.74 \,;\, \frac{70}{3 \cdot 18} - 0.25=1.05 \,;\, \frac{800}{360}=2.22 \,;\, 1.0\right) = 0.74 \]
\[ k_1 = \min\left(2.8\frac{50}{18} - 1.7=6.08 \,;\, 2.5\right) = 2.5 \]

2. Calcul de \(F_{\text{b,Rd}}\) pour l'âme du poteau (\(t=9\) mm) :

\[ \begin{aligned} F_{\text{b,Rd,w}} &= \frac{2.5 \cdot 0.74 \cdot (360 \, \text{N/mm}^2) \cdot (16 \, \text{mm}) \cdot (9 \, \text{mm})}{1.25} \\ &= 76205 \, \text{N} \\ &= 76.2 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Calcul de \(F_{\text{b,Rd}}\) pour le plat du corbeau (\(t=10\) mm) :

\[ \begin{aligned} F_{\text{b,Rd,p}} &= \frac{2.5 \cdot 0.74 \cdot 360 \cdot 16 \cdot 10}{1.25} \\ &= 84672 \, \text{N} \\ &= 84.7 \, \text{kN} \end{aligned} \]

4. On retient la valeur la plus faible :

\[ \begin{aligned} F_{\text{b,Rd}} &= \min(76.2 \, \text{kN} \,;\, 84.7 \, \text{kN}) \\ &= 76.2 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résistance à la pression diamétrale
76.2 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance est limitée par la tôle la plus fine, l'âme du poteau. La capacité de la tôle à résister à l'écrasement est de 76.2 kN. Cette valeur est supérieure à la résistance au cisaillement du boulon (60.3 kN), ce qui est une bonne chose.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de mal calculer les coefficients \(k_1\) et \(\alpha_b\), ou d'oublier de vérifier toutes les tôles de l'assemblage. Chaque tôle a sa propre épaisseur et donc sa propre résistance à la pression diamétrale.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance à la pression diamétrale dépend de la géométrie (\(e_1, p_1, e_2\)) et de la tôle la plus fine.
  • La formule est \(F_{\text{b,Rd}} = (k_1 \cdot \alpha_b \cdot f_{\text{u}} \cdot d \cdot t) / \gamma_{\text{M2}}\).
  • Il faut toujours calculer \(F_{\text{b,Rd}}\) pour chaque épaisseur de tôle et garder la valeur minimale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour augmenter la résistance à la pression diamétrale sans changer de profilé, on peut souder des plaques de renfort, appelées "raidisseurs", de part et d'autre de l'âme du poteau. Cela augmente localement l'épaisseur de la tôle et donc la résistance de l'assemblage.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on \(f_{\text{u}}\) (résistance ultime) et non \(f_{\text{y}}\) (limite élastique) ?

La pression diamétrale est un phénomène très localisé. On accepte une plastification locale (dépassement de \(f_{\text{y}}\)) de l'acier autour du trou, car elle n'entraîne pas la ruine globale de la pièce. La vraie limite est la rupture de l'acier, qui est gouvernée par la résistance ultime \(f_{\text{u}}\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de calcul à la pression diamétrale est limitée par l'âme du poteau et vaut \(F_{\text{b,Rd}} = 76.2 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'épaisseur de l'âme du poteau (\(t_{\text{w}}\)) était de seulement 6 mm, quelle serait la nouvelle valeur de \(F_{\text{b,Rd}}\) en kN ?

Question 3 : Déterminer la résistance de calcul d'un seul boulon

Principe (le concept physique)

Un assemblage est une chaîne de résistances. La résistance globale de la chaîne est celle de son maillon le plus faible. Pour un boulon dans un assemblage, sa capacité réelle est donc la plus petite des deux valeurs que nous venons de calculer : sa propre résistance au cisaillement et la résistance de la tôle qu'il traverse.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce principe du "maillon le plus faible" est fondamental en ingénierie de la sécurité. Il garantit que le dimensionnement est gouverné par le mode de ruine le plus probable. Un bon design d'assemblage vise souvent à ce que la résistance à la pression diamétrale soit légèrement supérieure à celle au cisaillement, pour favoriser une rupture ductile et visible du boulon plutôt qu'une rupture fragile et soudaine de la tôle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est une étape de synthèse très simple mais cruciale. On compare les deux résultats précédents et on ne garde que le plus petit. C'est cette valeur qui représentera la "vraie" résistance d'un boulon dans notre assemblage spécifique.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-8, §3.6.1 (10)) stipule que la résistance de calcul d'un boulon sollicité en cisaillement est le minimum de sa résistance au cisaillement \(F_{\text{v,Rd}}\) et de sa résistance à la pression diamétrale \(F_{\text{b,Rd}}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ F_{\text{Rd}} = \min(F_{\text{v,Rd}} \,;\, F_{\text{b,Rd}}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Aucune nouvelle hypothèse. On utilise les résultats des calculs précédents.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résistance au cisaillement (Q1) : \(F_{\text{v,Rd}} = 60.3 \, \text{kN}\)
  • Résistance à la pression diamétrale (Q2) : \(F_{\text{b,Rd}} = 76.2 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pas d'astuce ici, c'est une simple comparaison de deux nombres !

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Résistances
Cisaillement60.3 kNPression Diam.76.2 kN?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} F_{\text{Rd}} &= \min(60.3 \, \text{kN} \,;\, 76.2 \, \text{kN}) \\ &= 60.3 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résistance du Maillon Faible
Maillon faible :Cisaillement
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Dans ce cas, c'est le boulon lui-même qui est le "maillon faible". La ruine se produirait par cisaillement du boulon avant que la tôle n'ait le temps de se mater. C'est un mode de ruine ductile et donc préférable à une ruine fragile par déchirement de la tôle.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur serait de continuer les calculs avec la mauvaise valeur. Si l'on prenait par erreur la plus grande des deux valeurs, on surestimerait la résistance de l'assemblage, ce qui est une erreur grave en termes de sécurité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La résistance d'un attache est toujours le minimum des résistances de tous ses modes de ruine possibles.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les assemblages parasismiques, on cherche à créer un "fusible" structurel. On dimensionne volontairement l'assemblage pour qu'il soit le maillon faible, mais d'une manière qui lui permet de se déformer plastiquement et de dissiper l'énergie du séisme sans rupture brutale.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce toujours le cisaillement qui est le plus faible ?

Non, pas du tout. Si les tôles sont très fines, ou si les distances aux bords sont trop faibles, la résistance à la pression diamétrale peut devenir bien inférieure à celle du cisaillement. C'est pourquoi il est impératif de toujours vérifier les deux modes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de calcul d'un boulon dans cet assemblage est de \(F_{\text{Rd}} = 60.3 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si \(F_{\text{v,Rd}}\) valait 90 kN et \(F_{\text{b,Rd}}\) valait 85 kN, quelle serait la résistance \(F_{\text{Rd}}\) ?

Question 4 : Vérifier l'assemblage complet

Principe (le concept physique)

C'est l'étape finale. On additionne la capacité de chaque boulon pour obtenir la résistance totale du groupe. On compare ensuite cette résistance totale à l'effort que l'assemblage doit supporter (\(V_{\text{Ed}}\)). Si la résistance est supérieure à l'effort, l'assemblage est déclaré apte au service.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le "ratio de travail" (\(V_{\text{Ed}} / F_{\text{group,Rd}}\)) est un indicateur clé pour l'ingénieur. Un ratio proche de 1.0 (ex: 0.95) indique un design très optimisé et économique. Un ratio faible (ex: 0.40) indique que l'assemblage est surdimensionné, ce qui est sûr mais potentiellement coûteux. Un ratio supérieur à 1.0 signifie que l'assemblage n'est pas conforme et doit être redimensionné.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Nous arrivons au verdict final ! C'est le moment de vérité où l'on répond à la question de base : "Est-ce que ça tient ?". C'est la conclusion de toute notre démarche de calcul.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification finale est l'application du principe de base de l'Eurocode 0 (NF EN 1990, §6.4.1) : il faut vérifier que la valeur de calcul de l'effet des actions (\(E_{\text{d}}\), ici \(V_{\text{Ed}}\)) est inférieure ou égale à la valeur de calcul de la résistance correspondante (\(R_{\text{d}}\), ici \(F_{\text{group,Rd}}\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Résistance du groupe de boulons :

\[ F_{\text{group,Rd}} = n \cdot F_{\text{Rd}} \]

2. Vérification :

\[ \frac{V_{\text{Ed}}}{F_{\text{group,Rd}}} \le 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'effort \(V_{\text{Ed}}\) se répartit uniformément entre les 4 boulons, ce qui est une hypothèse valide pour un assemblage centré comme celui-ci, sollicité uniquement en cisaillement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort de calcul : \(V_{\text{Ed}} = 150 \, \text{kN}\)
  • Nombre de boulons : \(n = 4\)
  • Résistance par boulon (Q3) : \(F_{\text{Rd}} = 60.3 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour avoir une idée rapide, on peut diviser l'effort total par le nombre de boulons (\(150 / 4 = 37.5\) kN/boulon) et comparer cette valeur à la résistance d'un boulon (60.3 kN). Si l'effort par boulon est inférieur à la résistance, ça passe !

Schéma (Avant les calculs)
Verdict : L'assemblage va-t-il tenir ?
Effort V_EdRésistance 4 x F_Rd<= ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance du groupe :

\[ \begin{aligned} F_{\text{group,Rd}} &= 4 \cdot 60.3 \, \text{kN} \\ &= 241.2 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Vérification du ratio de travail :

\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{V_{\text{Ed}}}{F_{\text{group,Rd}}} \\ &= \frac{150 \, \text{kN}}{241.2 \, \text{kN}} \\ &= 0.62 \le 1.0 \Rightarrow \text{CONFORME} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification Finale de l'Assemblage
Effort V_Ed = 150 kNRésistance F_group,Rd = 241.2 kNOK ✔️ (Ratio = 62%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'assemblage est largement sécuritaire. Il travaille à 62% de sa capacité. Cela signifie qu'il existe une marge de sécurité confortable. On aurait pu éventuellement utiliser des boulons de plus faible diamètre (M12) ou de plus faible classe (4.6) pour optimiser le coût, mais la solution actuelle est tout à fait acceptable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier de multiplier la résistance d'un boulon par le nombre total de boulons. Une autre erreur serait de ne pas considérer les efforts supplémentaires (moment, traction) qui peuvent exister dans des assemblages plus complexes et qui réduisent la capacité au cisaillement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance totale d'un groupe de boulons est la somme de leurs résistances individuelles (dans ce cas simple).
  • La vérification finale consiste à s'assurer que l'effort appliqué est inférieur ou égal à la résistance totale.
  • Le ratio de travail est un indicateur clé de l'optimisation du design.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans des assemblages plus complexes, les boulons ne sont pas tous sollicités de la même manière. Par exemple, dans un assemblage soumis à un moment, les boulons les plus excentrés travaillent beaucoup plus que ceux proches du centre de rotation. Le calcul de la répartition des efforts devient alors beaucoup plus complexe.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si l'assemblage n'est pas conforme (ratio > 1.0) ?

Plusieurs solutions sont possibles : augmenter le nombre de boulons (passer à 6 ou 8), augmenter le diamètre des boulons (passer à des M20), utiliser une classe de boulon plus résistante (passer en 10.9), ou augmenter l'épaisseur des tôles si la pression diamétrale est le mode de ruine limitant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'assemblage est conforme. Sa résistance de calcul (241.2 kN) est supérieure à l'effort de calcul (150 kN).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec 6 boulons au lieu de 4, quelle serait la nouvelle résistance du groupe \(F_{\text{group,Rd}}\) en kN ?

Outil Interactif : Paramètres de l'Assemblage

Modifiez les paramètres de l'assemblage pour voir leur influence sur les modes de ruine.

Paramètres d'Entrée
9 mm
150 kN
Résultats Clés (pour 4 boulons)
Résistance Cisaillement (kN) -
Résistance Pression Diamétrale (kN) -
Ratio de Travail Final -

Le Saviez-Vous ?

Il existe des boulons spéciaux dits "à haute résistance contrôlée" (HR ou HRC). Ils sont conçus pour être serrés avec une clé dynamométrique spéciale qui casse une partie de la vis lorsque le couple de serrage optimal est atteint. Cela garantit que tous les boulons de l'assemblage sont précontraints de manière identique, ce qui permet de transmettre les efforts non pas par cisaillement, mais par friction entre les tôles.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le diamètre du trou (\(d_0\)) est-il plus grand que le diamètre du boulon (\(d\)) ?

Le "jeu" de 2 mm (pour un M16) est nécessaire pour permettre un montage facile sur chantier. Les tolérances de fabrication et de montage font qu'il serait impossible d'aligner parfaitement les trous si leur diamètre était identique à celui du boulon.

Que se passe-t-il si les boulons sont trop proches du bord ?

Si la distance au bord \(e_1\) ou \(e_2\) est trop faible, la résistance à la pression diamétrale chute drastiquement. Le mode de ruine devient alors un déchirement de la tôle entre le trou et le bord, une rupture fragile et donc très dangereuse. C'est pourquoi les Eurocodes imposent des distances minimales strictes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour un boulon de classe 10.9, quelle est sa résistance à la rupture en traction (\(f_{\text{ub}}\)) ?

2. Si on augmente l'épaisseur de la tôle la plus fine, quelle résistance est directement améliorée ?

Résistance au cisaillement (\(F_{\text{v,Rd}}\))
Capacité de calcul d'un boulon à résister à des forces qui tendent à le couper transversalement à travers sa section.
Résistance à la pression diamétrale (\(F_{\text{b,Rd}}\))
Capacité de calcul d'une tôle à résister à l'écrasement local et au déchirement autour du trou, sous la pression exercée par le corps du boulon.
Classe de boulon
Codification (ex: 8.8, 10.9) qui définit les propriétés mécaniques de l'acier du boulon, notamment sa résistance à la rupture (\(f_{\text{ub}}\)) et sa limite d'élasticité (\(f_{\text{yb}}\)).
Calcul d’un Assemblage par Boulons

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