Vérification d'un assemblage boulonné bois-bois en double cisaillement

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un hangar agricole de 12 m de portée est couvert par des fermes en bois massif résineux espacées de 4,50 m. Le bois disponible en scierie ne dépasse pas 6 m de longueur : l'entrait, qui mesure 12 m d'un appui à l'autre, doit donc être abouté en son milieu. La solution retenue par le charpentier est un moisage : deux pièces latérales, appelées moises, viennent enserrer les deux tronçons d'entrait et sont traversées par des boulons M16. L'assemblage travaille donc en double cisaillement, chaque boulon étant coupé par deux plans de glissement. C'est là tout l'enjeu : l'entrait d'une ferme est le tirant de la structure, il reprend l'intégralité de la traction née de la poussée des arbalétriers. Si l'aboutage lâche, la ferme s'ouvre et la toiture s'effondre — il n'existe aucun chemin de reprise de secours.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Un assemblage à trois pièces : l'entrait central de 80 mm d'épaisseur, pris entre deux moises de 60 mm. L'effort de traction transite du tronçon d'entrait vers les moises, puis des moises vers l'autre tronçon, uniquement par les boulons. Le bois n'est ni collé ni cloué : toute la charge passe par la portance locale du bois autour des tiges.
Environnement : Hangar fermé et couvert, ambiance intérieure sèche : on retient la classe de service 1. La combinaison dimensionnante est pilotée par la neige, action de moyen terme. Ces deux informations conditionnent directement la valeur du coefficient \( k_{\text{mod}} \) — un point que beaucoup d'étudiants traitent trop vite.
L'objectif final : Démontrer que les 4 boulons prévus au plan suffisent à transmettre l'effort de traction à l'ELU. Le risque en cas d'insuffisance n'est pas une simple fissure : c'est la ruine par arrachement de l'aboutage, brutale et sans signe précurseur, car un assemblage bois surchargé fend avant de plastifier.
L'astuce de l'ingénieur : Dessinez systématiquement une coupe transversale de l'assemblage avant tout calcul, et repérez-y les plans de cisaillement. C'est le seul moyen fiable de ne pas confondre \( t_1 \) et \( t_2 \), et de ne pas oublier que chaque boulon travaille deux fois ici.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur d'études dans un bureau spécialisé en structures bois. Le charpentier vous transmet son plan d'exécution et vous demande de valider ou non l'aboutage de l'entrait. Votre travail consiste à remonter toute la chaîne de résistance de l'assemblage : d'abord les propriétés locales du couple bois-acier, ensuite la capacité d'un seul organe selon la théorie de Johansen, puis la capacité du groupe de boulons en tenant compte de l'effet de file, et enfin la comparaison à l'effort ELU. Chaque étape s'appuie sur une clause précise de l'EN 1995-1-1 : vous devrez la citer.

Le grand défi : Un assemblage bois n'a pas une seule façon de casser. Il existe plusieurs modes de rupture en concurrence — écrasement du bois, plastification du boulon, ou combinaison des deux — et c'est le plus faible qui gouverne. Il faut donc les calculer tous, puis retenir le minimum.
Votre rôle : Produire une note de calculs traçable : chaque valeur numérique doit être rattachée à une équation numérotée de la norme, et la conclusion doit énoncer un taux de travail clair, accompagné d'un avis technique motivé.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — la note de calculs de l'organe : présenter la portance locale \( f_{\text{h},0,\text{k}} \) et le moment d'écoulement plastique \( M_{\text{y},\text{Rk}} \) du boulon, puis le tableau des quatre modes de rupture de l'équation (8.7) avec, pour chacun, sa valeur en kN. Le mode gouvernant doit être identifié et nommé, pas seulement souligné.
Livrable 2 — la vérification réglementaire : fournir la capacité de calcul \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) de l'assemblage complet après prise en compte du nombre efficace \( n_{\text{ef}} \), le taux de travail en pourcentage, le contrôle des pinces du tableau 8.4, et un avis technique conclusif de deux lignes minimum.

2. Données Techniques & Normes

Toutes les données ci-dessous sont issues du plan d'exécution du charpentier et des normes de référence. Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 (Eurocode 5, partie 1-1), section 8 « Assemblages avec organes métalliques », en retenant les valeurs de l'annexe nationale française. Les caractéristiques mécaniques du bois proviennent de la NF EN 338, celles de l'acier des boulons de la norme produit correspondante. Lisez attentivement les deux tableaux : l'un décrit ce que l'assemblage peut encaisser, l'autre ce qu'il doit encaisser.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Portance locale, boulons — EN 1995-1-1 éq. (8.32) \( f_{\text{h},0,\text{k}} = 0{,}082\,(1 - 0{,}01\,d)\,\rho_{\text{k}} \)
Portance sous un angle au fil — éq. (8.31) \( f_{\text{h},\alpha,\text{k}} = \dfrac{f_{\text{h},0,\text{k}}}{k_{90}\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha} \)
Moment d'écoulement plastique — éq. (8.30) \( M_{\text{y},\text{Rk}} = 0{,}3\,f_{\text{u},\text{k}}\,d^{2,6} \)
Rapport de portances \( \beta = \dfrac{f_{\text{h},2,\text{k}}}{f_{\text{h},1,\text{k}}} \)
Double cisaillement, 4 modes — éq. (8.7) \( F_{\text{v},\text{Rk}} = \min\{ (g);(h);(j);(k) \} \)
Nombre efficace, boulons alignés — éq. (8.34) \( n_{\text{ef}} = \min\left\{ n \,;\, n^{0,9}\sqrt[4]{\dfrac{a_1}{13\,d}} \right\} \)
Passage à la valeur de calcul — § 2.4.3 \( F_{\text{v},\text{Rd}} = \dfrac{k_{\text{mod}}\,F_{\text{v},\text{Rk}}}{\gamma_{\text{M}}} \)
Critère de vérification ELU \( \dfrac{F_{\text{v},\text{Ed}}}{F_{\text{v},\text{Rd}}} \le 1{,}0 \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( \rho_{\text{k}} \)	Masse volumique caractéristique du bois massif résineux C24 NF EN 338 - Tableau 1	350	kg/m³
\( d \)	Diamètre nominal des boulons (M16), tige non filetée dans les plans de cisaillement	16	mm
\( f_{\text{u},\text{k}} \)	Résistance caractéristique en traction de l'acier du boulon, classe 8.8 NF EN ISO 898-1	800	N/mm²
\( t_1 \)	Épaisseur d'une moise latérale (pièce extérieure)	60	mm
\( t_2 \)	Épaisseur de l'entrait (pièce centrale)	80	mm
\( k_{\text{mod}} \)	Coefficient de modification — bois massif, classe de service 1, action de moyen terme EN 1995-1-1 - Tableau 3.1	0,80	—
\( \gamma_{\text{M}} \)	Coefficient partiel de résistance pour les assemblages EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,30	—

Disposition des organes sur le plan d'exécution

Nombre total de boulons : \( n_{\text{tot}} = \mathbf{4} \text{ boulons, en } \mathbf{2} \text{ files de } \mathbf{2} \)
Espacement dans le fil : \( a_{1} = \mathbf{112} \text{ mm} \quad (= 7\,d) \)
Espacement entre files : \( a_{2} = \mathbf{64} \text{ mm} \quad (= 4\,d) \)
Distance à l'extremite chargee : \( a_{3,\text{t}} = \mathbf{120} \text{ mm} \)
Hauteur des pieces et distance de rive : \( h = \mathbf{200} \text{ mm} \;;\; a_{4} = \mathbf{68} \text{ mm} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( F_{\text{v},\text{Ed}} \)	Effort de traction à transmettre par l'assemblage, issu de la combinaison ELU la plus défavorable (donnée d'entrée du problème, calculée en amont) EN 1990 - eq. 6.10	48,0	kN
\( \alpha \)	Angle entre la direction de l'effort et le fil du bois — l'entrait et les moises sont tous trois sollicités dans leur fil	0	degré
\( F_{\text{ax},\text{Rk}} \)	Capacité d'arrachement axial mobilisable pour l'effet de corde — négligée par choix (hypothèse sécuritaire, voir Q2)	0	N
\( n_{\text{plans}} \)	Nombre de plans de cisaillement par boulon — conséquence directe du moisage à trois pièces	2	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Section nette de l'entrait : \( \text{traction} + \text{trous} \Rightarrow \text{EN 1995-1-1 } \S\,6.1.2 \text{ — à traiter séparément} \)
Rupture de bloc en about : \( \text{EN 1995-1-1 Annexe A — non demandée ici} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Extrait Eurocode — Tableau 8.4 : pinces et espacements minimaux pour boulons

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
\( a_1 \) — espacement parallèle au fil, pour \( 0^{\circ} \le \alpha \le 360^{\circ} \)	\( (4 + \|\cos\alpha\|)\,d \)
\( a_2 \) — espacement perpendiculaire au fil, pour \( 0^{\circ} \le \alpha \le 360^{\circ} \)	\( 4\,d \)
\( a_{3,\text{t}} \) — extrémité chargée, pour \( -90^{\circ} \le \alpha \le 90^{\circ} \)	\( \max(7\,d \,;\, 80\ \text{mm}) \)
\( a_{3,\text{c}} \) — extrémité non chargée	\( 4\,d \)
\( a_{4,\text{t}} \) — rive chargée, pour \( 0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ} \)	\( \max\big((2 + 2\sin\alpha)\,d \,;\, 3\,d\big) \)
\( a_{4,\text{c}} \) — rive non chargée, pour \( 180^{\circ} \le \alpha \le 360^{\circ} \)	\( 3\,d \)

Coefficient \( k_{90} \) pour la portance sous un angle — éq. (8.33)

Pour les boulons et broches, le coefficient qui traduit la chute de portance locale lorsque l'effort s'écarte du fil vaut :

Résineux : \( k_{90} = 1{,}35 + 0{,}015\,d \) — soit 1,59 pour un M16
Feuillus : \( k_{90} = 0{,}90 + 0{,}015\,d \) — soit 1,14 pour un M16

Dans notre cas \( \alpha = 0^{\circ} \), donc \( \sin^{2}\alpha = 0 \) et \( \cos^{2}\alpha = 1 \) : le dénominateur de l'équation (8.31) vaut 1 et \( f_{\text{h},\alpha,\text{k}} = f_{\text{h},0,\text{k}} \). Ce coefficient n'intervient donc pas, mais il faut savoir pourquoi il n'intervient pas.

Traçabilité des valeurs — à recouper avec la norme

Les formules et numéros de clauses employés dans ce sujet sont issus de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1 (atelier JRC, section 8 « Connections »). Les valeurs tabulées suivantes doivent être recoupées avec le texte de la NF EN 1995-1-1 et son annexe nationale avant diffusion :

\( \rho_{\text{k}} = 350 \) kg/m³ pour le C24 — NF EN 338, tableau 1
\( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) — tableau 3.1, bois massif, classe de service 1, moyen terme
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) pour les assemblages — tableau 2.3 et annexe nationale

Rappel utile : si les deux pièces assemblées n'ont pas le même \( k_{\text{mod}} \), l'Eurocode 5 impose de retenir la moyenne géométrique \( \sqrt{k_{\text{mod},1} \cdot k_{\text{mod},2}} \). Ici les trois pièces sont en C24, la question ne se pose pas.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Caractériser le couple bois-acier

Lecture normative 20 min | Accessible

But de l'étape : Un assemblage bois n'est jamais caractérisé par la résistance du bois seul ni par celle de l'acier seul : c'est l'interaction des deux qui gouverne. Cette première étape établit les deux grandeurs d'entrée de toute la suite du calcul : la capacité du bois à résister à l'écrasement sous la tige, et la capacité de la tige à plier plastiquement. Sans ces deux nombres, l'équation (8.7) de l'étape suivante est inutilisable.

Énoncé Q1 : Déterminer, en justifiant chaque terme par sa référence normative :

la portance locale caractéristique \( f_{\text{h},0,\text{k}} \) du bois C24 vis-à-vis d'un boulon M16 ;
le moment d'écoulement plastique caractéristique \( M_{\text{y},\text{Rk}} \) du boulon de classe 8.8 ;
le rapport de portances \( \beta \) entre pièce centrale et pièces latérales, en expliquant la valeur obtenue.

Précisez pour chaque résultat son unité et le numéro d'équation de l'EN 1995-1-1 utilisé.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La portance locale ne dépend que de deux paramètres : la masse volumique du bois et le diamètre de l'organe. Observez le signe : quand le diamètre augmente, la portance diminue. Pour \( \beta \), demandez-vous d'abord si les pièces assemblées sont de même essence et sollicitées sous le même angle par rapport au fil.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Utilisez \( f_{\text{h},0,\text{k}} = 0{,}082\,(1 - 0{,}01\,d)\,\rho_{\text{k}} \) — attention, le résultat est en N/mm² alors que \( \rho_{\text{k}} \) est en kg/m³ : la formule est empirique, ne cherchez pas l'homogénéité dimensionnelle. Puis \( M_{\text{y},\text{Rk}} = 0{,}3\,f_{\text{u},\text{k}}\,d^{2,6} \), en N·mm. Vous devez trouver une portance de l'ordre de 24 N/mm².

Question 2 : Capacité d'un boulon par la théorie de Johansen

Modes de rupture 35 min | Intermédiaire

But de l'étape : C'est le cœur de l'Eurocode 5. La théorie de Johansen ne donne pas une résistance mais une famille de résistances, chacune correspondant à un scénario de ruine physiquement distinct. Le but est de comprendre que l'assemblage réel choisira tout seul le scénario le plus économique en énergie : le calculateur doit donc tous les évaluer et retenir le plus faible. Identifier le mode gouvernant renseigne aussi sur le comportement de l'assemblage : fragile ou ductile.

Énoncé Q2 : Pour un boulon et un seul plan de cisaillement, calculer les quatre expressions de l'équation (8.7) de l'EN 1995-1-1 relative au double cisaillement bois-bois, puis :

présenter les résultats dans un tableau en kN, arrondi au centième ;
identifier le mode gouvernant et décrire physiquement la ruine correspondante ;
en déduire la capacité caractéristique d'un boulon complet, c'est-à-dire sur ses deux plans.

L'effet de corde sera négligé : justifiez en une phrase pourquoi cette hypothèse est sécuritaire .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les deux premières expressions (g) et (h) sont de simples produits « portance × épaisseur × diamètre » : elles décrivent une ruine par écrasement du bois seul, le boulon restant droit. Les deux dernières (j) et (k) contiennent \( M_{\text{y},\text{Rk}} \) : le boulon plie. Attention au facteur 0,5 devant (h) — il vient du fait qu'on raisonne par plan alors que la pièce centrale en compte deux.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Travaillez en N et mm du début à la fin, vous ne convertirez qu'à l'affichage. Pour (j), calculez d'abord le terme sous la racine — vous devez trouver environ 6,80, dont la racine vaut 2,61. Le mode gouvernant se situe autour de 13 kN par plan.

Question 3 : Effet de file et capacité de calcul de l'assemblage

Effet de groupe 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Cette étape corrige une intuition fausse mais très répandue : quatre boulons ne résistent pas quatre fois plus qu'un seul. Dans une file parallèle au fil, les organes ne se partagent pas la charge équitablement et le bois fend avant que tous soient plastifiés. L'Eurocode traduit ce phénomène par un nombre efficace \( n_{\text{ef}} \) inférieur au nombre réel. Le but est ensuite de franchir le pas du caractéristique vers le calcul, en introduisant \( k_{\text{mod}} \) et \( \gamma_{\text{M}} \).

Énoncé Q3 : En partant de la capacité d'un boulon obtenue en Q2 :

calculer le nombre efficace \( n_{\text{ef}} \) pour une file de 2 boulons, avec \( a_1 = 112 \) mm ;
en déduire la capacité caractéristique \( F_{\text{v},\text{Rk}} \) de l'assemblage complet, en n'oubliant ni les 2 files, ni les 2 plans ;
convertir en capacité de calcul \( F_{\text{v},\text{Rd}} \), et quantifier en pourcentage la perte due à l'effet de file.

Commentez : cet effet de file est-il négligeable ou déterminant ici ?

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le nombre efficace se calcule file par file, et \( n \) désigne le nombre de boulons alignés dans le fil au sein d'une file — pas le nombre total. Une fois \( n_{\text{ef}} \) obtenu, multipliez successivement par le nombre de files puis par le nombre de plans de cisaillement : dans cet ordre, on ne perd rien.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( n_{\text{ef}} = \min\{ n \,;\, n^{0,9}(a_1/13d)^{1/4} \} \). Avec \( n = 2 \), \( a_1 = 112 \) mm et \( d = 16 \) mm, vous obtenez \( n^{0,9} = 1{,}87 \) et \( (a_1/13d)^{1/4} = 0{,}86 \), donc \( n_{\text{ef}} \approx 1{,}60 \). Puis \( F_{\text{v},\text{Rd}} = k_{\text{mod}} F_{\text{v},\text{Rk}} / \gamma_{\text{M}} \) avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \).

Question 4 (Finale) : Vérification ELU, pinces et avis technique

Synthèse et décision 30 min | BOSS

But de l'étape : Un calcul de résistance ne vaut rien si les règles de disposition ne sont pas respectées : toute la théorie de Johansen suppose que le bois ne fend pas prématurément, ce que garantissent les pinces du tableau 8.4. Cette dernière étape réunit les deux volets — résistance et dispositions constructives — pour aboutir à ce que le charpentier attend réellement : un avis technique motivé, pas un nombre.

Mention spéciale — le piège du plan d'exécution : Sur le plan transmis, l'espacement entre files vaut exactement \( 4\,d = 64 \) mm et la distance de rive 68 mm. Ces valeurs sont à la limite du minimum réglementaire : votre vérification doit le signaler explicitement, car une tolérance de perçage défavorable sur chantier suffirait à rendre l'assemblage non conforme.

Vérifier le critère ELU \( F_{\text{v},\text{Ed}} / F_{\text{v},\text{Rd}} \le 1{,}0 \), calculer le taux de travail en pourcentage, contrôler les cinq pinces \( a_1, a_2, a_{3,\text{t}}, a_{4,\text{t}}, a_{4,\text{c}} \) du tableau 8.4 sous forme de tableau « exigé / prévu / verdict », puis rédiger un avis technique de bureau d'études : l'assemblage est-il accepté, accepté sous réserve, ou refusé ? Que recommandez-vous au charpentier ?

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Pour \( \alpha = 0^{\circ} \), simplifiez d'abord les expressions du tableau 8.4 : \( \cos 0 = 1 \) et \( \sin 0 = 0 \). Vous obtenez des nombres, plus des formules, ce qui rend la comparaison immédiate. N'oubliez pas que la distance de rive doit être comparée à \( a_{4,\text{c}} \) puisque les rives ne sont pas chargées dans le cas d'un effort dans le fil.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Exigences avec \( d = 16 \) mm : \( a_1 \ge 80 \) mm, \( a_2 \ge 64 \) mm, \( a_{3,\text{t}} \ge 112 \) mm, \( a_{4,\text{c}} \ge 48 \) mm. Le taux de travail attendu est légèrement inférieur à 1 : l'assemblage passe, mais sans marge confortable — c'est précisément ce qu'il faut savoir dire au charpentier.

NOTE DE CALCULS

Vérification d'un assemblage boulonné bois-bois en double cisaillement

Question 1 : Portance locale du bois et moment plastique du boulon

Dans la tête de l'ingénieur

"Avant même de sortir ma calculette, je regarde où va passer l'effort. Il quitte le bois, entre dans une tige d'acier, ressort dans du bois. Il y a donc deux matériaux en série, et le plus faible des deux commandera. Le bois, lui, ne travaille pas ici en traction ni en compression globale : il est poinçonné localement par la tige, sur une surface minuscule de l'ordre de \( d \times t \). C'est cette résistance très particulière que l'Eurocode appelle portance locale, et il faut bien comprendre qu'elle n'a rien à voir avec \( f_{\text{c},0,\text{k}} \) : elle est bien plus élevée, parce que le bois environnant confine la zone écrasée. Côté acier, la question n'est pas la rupture du boulon en traction mais sa capacité à plier en formant une rotule plastique."

Observation : Les trois pièces sont dans la même essence et la même classe, le C24, et l'effort est parallèle au fil partout. Cette homogénéité va considérablement simplifier la suite : une seule portance à calculer au lieu de deux, et un rapport \( \beta \) trivial.
Analyse du risque : Le piège serait de prendre la résistance en compression axiale \( f_{\text{c},0,\text{k}} = 21 \) N/mm² du C24 comme portance locale. On sous-estimerait alors la capacité d'environ 15 %, ce qui est certes du côté sécuritaire, mais fausse complètement l'identification du mode de rupture — et donc le diagnostic de ductilité.
Choix stratégique : J'applique l'équation (8.32), formule dédiée aux boulons et broches dans le bois massif et le lamellé-collé. Elle est empirique, calibrée sur des milliers d'essais de portance selon la NF EN 383 : je ne cherche donc pas à en vérifier l'homogénéité dimensionnelle.
Alternative : J'aurais pu utiliser la formule des pointes pré-percées, \( f_{\text{h},\text{k}} = 0{,}082\,\rho_{\text{k}}\,d^{-0,3} \), mais elle est hors domaine : elle vise les organes de petit diamètre. Un M16 relève sans ambiguïté du régime boulon, où l'effet de taille s'exprime en \( (1 - 0{,}01\,d) \) et non en puissance.
Objectif visé : Sortir de cette étape avec trois nombres propres — \( f_{\text{h},0,\text{k}} \), \( M_{\text{y},\text{Rk}} \) et \( \beta \) — qui alimenteront directement les quatre expressions de l'équation (8.7). Toute erreur ici se propage à l'identique jusqu'à la conclusion.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f_{\text{h},0,\text{k}} = 24{,}11 \) N/mm² · \( M_{\text{y},\text{Rk}} = 324\,282 \) N·mm · \( \beta = 1{,}00 \)

Rappel Théorique : la portance locale et la rotule plastique, les deux piliers du modèle

Un assemblage par organes de type tige — boulons, broches, pointes, vis — ne transmet pas l'effort par frottement ni par adhérence, mais par appui direct de la tige sur les parois du trou. Comprendre ce mécanisme, c'est comprendre pourquoi l'Eurocode 5 réclame précisément ces deux grandeurs et pas d'autres.

Principe 1 — la portance locale n'est pas une contrainte de compression ordinaire : Sous la tige, le bois est écrasé sur une surface projetée \( d \times t \), mais il est latéralement confiné par la matière environnante. Ce confinement autorise des contraintes bien supérieures à \( f_{\text{c},0,\text{k}} \). La portance \( f_{\text{h}} \) est donc une grandeur d'assemblage, mesurée par un essai spécifique, et non une propriété de résistance du matériau brut.
Principe 2 — plus le boulon est gros, plus la portance unitaire diminue : Le terme \( (1 - 0{,}01\,d) \) traduit un effet d'échelle : une grosse tige mobilise un volume de bois plus important, où la probabilité de rencontrer un défaut — nœud, fil dévié — augmente. Passer de M12 à M16 fait chuter \( f_{\text{h},0,\text{k}} \) d'environ 5 % ; la capacité totale augmente quand même, car le gain sur \( d \) l'emporte largement.
Principe 3 — la masse volumique est le seul indicateur retenu pour le bois : L'Eurocode ne fait pas intervenir \( f_{\text{m},\text{k}} \) ni le module d'élasticité dans la portance, mais uniquement \( \rho_{\text{k}} \). C'est une simplification puissante : passer du C24 (\( 350 \) kg/m³) au C30 (\( 380 \) kg/m³) améliore la portance de 8,6 %, proportionnellement.
Principe 4 — le moment plastique du boulon, et non sa résistance en traction : Dans un assemblage cisaillé, le boulon fléchit. Ce qui compte est donc le moment qu'il peut développer avant de s'écouler plastiquement. L'exposant 2,6 de l'équation (8.30) est inférieur à l'exposant 3 d'un module plastique circulaire théorique : les gros boulons n'atteignent pas la pleine plastification, car la rotation de l'assemblage reste faible à la ruine.
Principe 5 — le rapport \( \beta \) pilote le partage du travail : \( \beta = f_{\text{h},2,\text{k}} / f_{\text{h},1,\text{k}} \) compare la pièce centrale aux pièces latérales. Lorsque \( \beta = 1 \), les deux bois sont équivalents et les expressions de Johansen se simplifient nettement. Un \( \beta \ne 1 \) apparaît dès qu'on mélange les essences, les classes, ou dès que l'angle au fil diffère d'une pièce à l'autre — cas très fréquent dans les nœuds de treillis.

Équations Fondamentales

Deux équations seulement pour cette étape, mais ce sont les fondations de tout le calcul d'assemblage. Elles proviennent de la section 8 de l'EN 1995-1-1 et sont d'usage direct : aucune itération, aucune inconnue implicite.

Portance locale caractéristique parallèle au fil — équation (8.32) :

Elle fournit la contrainte d'écrasement admissible du bois autour de la tige, dans la direction du fil. C'est la donnée qui alimente les quatre expressions de l'équation (8.7).

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la seule expression que l'Eurocode 5 propose pour les boulons et les broches dans du bois massif ou du lamellé-collé. Les autres formules de la section 8 concernent des familles d'organes différentes — pointes, agrafes, panneaux dérivés du bois — et leur usage ici constituerait une faute normative, même si le résultat numérique semblait plausible.

Contexte de validité : Organes de type boulon ou broche, bois massif ou lamellé-collé, trous pré-percés au diamètre de la tige. Le boulonnage impose de toute façon le pré-perçage.
Avantage : Elle ne demande que deux données, \( \rho_{\text{k}} \) et \( d \), toutes deux connues sans ambiguïté. Aucune interpolation, aucune lecture d'abaque : le risque d'erreur de lecture est nul.
Paramètre clé : \( \rho_{\text{k}} \), qui intervient linéairement. Se tromper de classe de résistance — prendre du C18 pour du C24 — transmet l'erreur intégralement au résultat final.
Vérification : Pour du résineux courant, l'ordre de grandeur attendu se situe entre 20 et 30 N/mm². Un résultat à 2 N/mm² ou à 200 N/mm² signale une erreur d'unité sur \( \rho_{\text{k}} \).
Limite : La formule vaut parallèlement au fil. Dès que l'effort forme un angle \( \alpha \) avec le fil, il faut passer par l'équation (8.31) et le coefficient \( k_{90} \), qui peut réduire la portance de plus de 35 % à 90°.

\[ \begin{aligned} f_{\text{h},0,\text{k}} = 0{,}082\,\bigl(1 - 0{,}01\,d\bigr)\,\rho_{\text{k}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit une chose simple : plus le bois est dense, plus il résiste à être poinçonné, et cette relation est proportionnelle. Le facteur \( (1 - 0{,}01\,d) \) ajoute une nuance : plus la tige est grosse, moins le bois résiste par unité de surface, parce qu'une grosse tige sollicite un plus gros volume de matière, donc statistiquement plus de défauts. Le coefficient 0,082 n'a aucune signification physique : c'est un calage expérimental.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{h},0,\text{k}} \) : portance locale caractéristique parallèle au fil, unité : N/mm²
\( 0{,}082 \) : coefficient de calage expérimental issu des essais NF EN 383, unité : sans dimension explicite
\( d \) : diamètre de la tige, ici le diamètre nominal M16, unité : mm
\( (1 - 0{,}01\,d) \) : terme d'effet d'échelle, vaut 0,84 pour un M16, unité : sans dimension
\( \rho_{\text{k}} \) : masse volumique caractéristique du bois selon NF EN 338, unité : kg/m³

Moment d'écoulement plastique caractéristique du boulon — équation (8.30) :

Elle quantifie la capacité du boulon à plier plastiquement sans se rompre. Elle n'intervient que dans les modes de ruine (j) et (k), ceux où une rotule plastique se forme dans la tige.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la ruine d'un assemblage boulonné bien conçu n'est pas la rupture du boulon en traction : c'est sa flexion combinée à l'écrasement du bois. Or un boulon de gros diamètre ne développe jamais tout son potentiel plastique, car la rotation disponible avant que le bois ne cède est faible. L'exposant 2,6, inférieur au 3 théorique, encaisse exactement cette réalité.

Contexte de validité : Boulons et broches en acier, avec \( f_{\text{u},\text{k}} \) la résistance ultime en traction de la classe de qualité retenue — 400 N/mm² en 4.6, 800 N/mm² en 8.8.
Avantage : Elle évite tout calcul de module plastique et toute hypothèse sur la section filetée ou lisse. Un seul paramètre géométrique, le diamètre nominal.
Paramètre clé : Le diamètre, à cause de l'exposant 2,6 : passer de M16 à M20 augmente \( M_{\text{y},\text{Rk}} \) de 78 %. C'est un levier de dimensionnement beaucoup plus efficace que la classe d'acier.
Vérification : Le résultat s'exprime en N·mm et se compte en centaines de milliers pour un M16. Un résultat en dizaines signale un oubli d'exposant.
Limite : \( \gamma_{\text{M}} \) appliqué ensuite est celui du bois, pas celui de l'acier, puisqu'on vérifie un assemblage. C'est une subtilité assumée du modèle, mentionnée dans la documentation d'accompagnement de l'Eurocode.

\[ \begin{aligned} M_{\text{y},\text{Rk}} = 0{,}3\,f_{\text{u},\text{k}}\,d^{2,6} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici le moment de flexion que ce boulon peut encaisser avant de se plier définitivement. Un acier deux fois plus résistant double ce moment ; un diamètre 25 % plus grand l'augmente de près de 80 %. Retenez le message de conception : pour renforcer un assemblage bois, grossir les tiges est plus payant que monter en classe d'acier.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{y},\text{Rk}} \) : moment d'écoulement plastique caractéristique de l'organe, unité : N·mm
\( 0{,}3 \) : coefficient expérimental intégrant la plastification partielle, unité : sans dimension
\( f_{\text{u},\text{k}} \) : résistance ultime caractéristique en traction de l'acier, unité : N/mm²
\( d \) : diamètre nominal de la tige, unité : mm
\( d^{2,6} \) : terme géométrique à exposant réduit, vaut 1 351 pour \( d = 16 \) mm, unité : mm à la puissance 2,6

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de confondre la portance locale \( f_{\text{h},0,\text{k}} \) avec la résistance en compression axiale \( f_{\text{c},0,\text{k}} \) du bois, et vont chercher 21 N/mm² dans le tableau du C24 au lieu d'appliquer l'équation (8.32)..."

L'approche d'ingénieur : Ces deux grandeurs décrivent deux phénomènes physiques différents, et le fait qu'elles aient des valeurs voisines rend la confusion d'autant plus sournoise : le calcul « marche » et le résultat semble crédible.

L'erreur : \( f_{\text{c},0,\text{k}} \) correspond à un fût comprimé sur toute sa section, sans confinement latéral. La portance locale, elle, décrit un poinçonnement confiné : le bois voisin empêche la matière écrasée de fuir, ce qui autorise une contrainte supérieure.
La bonne méthode : Toujours calculer \( f_{\text{h},0,\text{k}} \) par la formule de la section 8, et ne jamais le lire dans le tableau des propriétés mécaniques du bois. La portance locale n'y figure pas, et pour cause : elle dépend du diamètre de l'organe.
L'astuce de pro : Retenez que \( f_{\text{h},0,\text{k}} \) est toujours supérieure à \( f_{\text{c},0,\text{k}} \) pour un résineux courant. Si votre portance calculée est inférieure à la résistance en compression, vous vous êtes trompé de formule ou d'unité.
Le moyen mnémotechnique : L'indice « h » vient de l'anglais hole, le trou : \( f_{\text{h}} \) est la résistance du trou, pas celle de la pièce. Un trou n'existe que si un organe le traverse — d'où la présence obligatoire de \( d \) dans la formule.
L'impact direct : Sur chantier, cette confusion conduit à surdimensionner le nombre de boulons d'environ 15 %. Chaque boulon supplémentaire, c'est un trou de plus dans l'entrait, donc une section nette réduite — on affaiblit la pièce en croyant sécuriser l'assemblage.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( \rho_{\text{k}} \) : conservée en kg/m³ — la formule (8.32) est empirique, aucune conversion en t/m³ ou en N/mm³
\( d \) : conservé en mm — jamais en cm ni en m, sous peine d'un terme d'échelle absurde
\( f_{\text{u},\text{k}} \) : exprimé en N/mm² — identique au MPa, aucune conversion nécessaire
\( M_{\text{y},\text{Rk}} \) : résultat obtenu en N·mm — à ne pas convertir en kN·m avant l'équation (8.7)
Efforts : calculés en N , convertis en kN uniquement à l'affichage final

Toute la note est menée en newtons et millimètres. C'est la règle d'or du calcul d'assemblage : puisque les épaisseurs sont en mm, les diamètres en mm et les portances en N/mm², les capacités sortent naturellement en N sans le moindre facteur de conversion. On ne convertit qu'au moment de communiquer un résultat, pour la lisibilité.

1. Résolution Numérique Calcul de la portance locale \( f_{\text{h},0,\text{k}} \)

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette valeur apparaît dans les quatre expressions de l'équation (8.7) : elle conditionne à elle seule les modes (g) et (h), et pèse aussi dans (j) et (k). C'est le nombre le plus structurant de tout l'exercice.

Méthodologie du calcul :

On applique directement l'équation (8.32) en substituant les deux données. Il est vivement conseillé de calculer le terme d'échelle séparément avant de multiplier : cela rend l'erreur visible et facilite la relecture par un tiers.

Substitution : \( d = 16 \) mm et \( \rho_{\text{k}} = 350 \) kg/m³, valeur du C24 selon la NF EN 338.
Piège évité : Le terme \( 0{,}01\,d \) vaut 0,16 et non 0,016 : l'erreur d'un facteur 10 ici est la plus fréquente de tout l'exercice.
Hypothèse validée : L'effort étant parallèle au fil dans les trois pièces, \( \alpha = 0^{\circ} \) et l'équation (8.31) redonne \( f_{\text{h},\alpha,\text{k}} = f_{\text{h},0,\text{k}} \). Aucune correction par \( k_{90} \).
Vérification croisée : Ordre de grandeur : \( 0{,}082 \times 0{,}84 \approx 0{,}069 \), et \( 0{,}069 \times 350 \approx 24 \). Le calcul mental confirme le résultat machine.
Finalité : Cette portance sera injectée telle quelle dans les quatre expressions de Johansen à la question 2.

\[ \begin{aligned} f_{\text{h},0,\text{k}} &= 0{,}082\,\bigl(1 - 0{,}01 \times 16\bigr) \times 350 \\ &= 0{,}082 \times \bigl(1 - 0{,}16\bigr) \times 350 \\ &= 0{,}082 \times 0{,}84 \times 350 \\ &= 0{,}06888 \times 350 \\ &= \mathbf{24{,}11} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

24,11 N/mm² : la valeur est cohérente et se prête bien à la lecture critique. Comparons-la aux repères que tout praticien doit avoir en tête.

Ordre de grandeur : Pour du résineux C24 avec un boulon M16, on attend 24 à 25 N/mm². La valeur tombe exactement dans la fourchette.
Impact sur la suite : Comme les trois pièces sont en C24 avec \( \alpha = 0^{\circ} \), on a \( f_{\text{h},1,\text{k}} = f_{\text{h},2,\text{k}} = 24{,}11 \) N/mm², donc \( \beta = \mathbf{1{,}00} \). Les expressions (j) et (k) vont s'en trouver nettement simplifiées.
Cohérence : La portance dépasse \( f_{\text{c},0,\text{k}} = 21 \) N/mm² du C24 d'environ 15 %. C'est bien le sens attendu, et cela confirme l'effet du confinement latéral.
Attention : Si l'effort avait fait 90° avec le fil, il aurait fallu diviser par \( k_{90} = 1{,}35 + 0{,}015 \times 16 = 1{,}59 \), soit une chute à 15,2 N/mm² — près de 37 % de perte.
Comparaison : Avec du lamellé-collé GL24h (\( \rho_{\text{k}} = 385 \) kg/m³), la portance monterait à 26,5 N/mm², soit 10 % de mieux à géométrie inchangée.

Remarque pédagogique : Faites systématiquement écrire aux étudiants la ligne intermédiaire \( 0{,}082 \times 0{,}84 = 0{,}06888 \). Ce nombre isolé s'interprète comme la portance par unité de masse volumique pour un M16 : il permet de recalculer instantanément la portance de n'importe quelle classe de bois par simple produit, ce qui est très pratique en correction d'examen.

Calcul du moment d'écoulement plastique \( M_{\text{y},\text{Rk}} \)

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que sans lui, les modes de rupture (j) et (k) sont incalculables. Or, on le verra, c'est précisément l'un d'eux qui gouverne cet assemblage : ce nombre est donc décisif, pas accessoire.

Méthodologie du calcul :

On applique l'équation (8.30). La seule difficulté est la puissance non entière 2,6, qu'il faut traiter à la calculatrice sans arrondi intermédiaire. Décomposez si besoin : \( 16^{2,6} = 16^{2} \times 16^{0,6} \).

Substitution : \( f_{\text{u},\text{k}} = 800 \) N/mm² pour la classe 8.8, et \( d = 16 \) mm.
Piège évité : Ne pas confondre \( f_{\text{u},\text{k}} = 800 \) N/mm² avec la limite d'élasticité \( f_{\text{y},\text{k}} = 640 \) N/mm² de la classe 8.8. L'Eurocode 5 demande bien la résistance ultime.
Hypothèse validée : La tige est supposée lisse dans les plans de cisaillement. Si le filetage venait à s'y trouver, il faudrait retenir un diamètre efficace réduit — situation à proscrire en conception.
Vérification croisée : \( 16^{2} = 256 \) et \( 16^{0,6} \approx 5{,}28 \), donc \( 16^{2,6} \approx 1\,351 \). Puis \( 0{,}3 \times 800 = 240 \), et \( 240 \times 1\,351 \approx 324\,000 \).
Finalité : Cette valeur alimentera le terme sous la racine de l'expression (j) ainsi que le produit \( 2\,M_{\text{y},\text{Rk}}\,f_{\text{h},1,\text{k}}\,d \) de l'expression (k).

\[ \begin{aligned} M_{\text{y},\text{Rk}} &= 0{,}3 \times 800 \times 16^{2,6} \\ &= 240 \times 1\,351{,}18 \\ &= \mathbf{324\,282} \text{ N} \cdot \text{mm} \;\;(\approx 324{,}3 \text{ kN} \cdot \text{mm}) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

324 282 N·mm, soit environ 324 N·m. Ce chiffre paraît abstrait ; donnons-lui un sens concret et vérifions sa vraisemblance.

Ordre de grandeur : 324 N·m, c'est le moment qu'exercerait un adulte de 80 kg suspendu au bout d'une clé de 40 cm. Pour un M16 en 8.8, c'est parfaitement plausible.
Impact sur la suite : Cette valeur va relever les modes (j) et (k) au-dessus de ce qu'ils vaudraient avec un boulon plus tendre. Sans elle, la ruine se produirait par pliage prématuré de la tige.
Cohérence : Avec un boulon classe 4.6 (\( f_{\text{u},\text{k}} = 400 \) N/mm²), on obtiendrait exactement la moitié, soit 162 141 N·mm. La proportionnalité à \( f_{\text{u},\text{k}} \) est bien respectée.
Attention : Ne convertissez pas en kN·m avant l'équation (8.7). Mélanger des N·mm et des kN·m dans la même racine carrée est l'une des erreurs les plus coûteuses de ce calcul.
Comparaison : Un M20 de même classe donnerait 577 000 N·mm, soit +78 %. C'est le levier à actionner en priorité si l'assemblage se révèle insuffisant.

Remarque pédagogique : Le rapport \( \beta = f_{\text{h},2,\text{k}} / f_{\text{h},1,\text{k}} = 24{,}11 / 24{,}11 = \mathbf{1{,}00} \) mérite un commentaire explicite en cours. Cette valeur n'est pas une coïncidence : elle découle du fait que les trois pièces partagent la même classe de bois et le même angle au fil. Faites chercher aux étudiants un contre-exemple — un nœud de treillis où la diagonale arrive à 45° sur l'entrait — pour qu'ils réalisent que \( \beta = 1 \) est un cas particulier confortable, pas la règle générale.

RÉSULTAT FINAL

\( f_{\text{h},0,\text{k}} \) = 24,11 N/mm²

\( M_{\text{y},\text{Rk}} \) = 324 282 N·mm

\( \beta \) = 1,00 —

"Ces trois valeurs alimentent directement les quatre modes de rupture de l'étape suivante !"

Question 2 : Les quatre modes de rupture de l'équation (8.7)

Dans la tête de l'ingénieur

"Je vais maintenant me demander comment cet assemblage va casser, et non pas combien il résiste. La nuance est capitale. Johansen a compris dès 1949 qu'un assemblage à tige possède plusieurs cinématiques de ruine possibles, et que la nature choisit toujours la moins coûteuse en énergie. Concrètement, soit le bois s'écrase et la tige reste droite — c'est rigide et fragile —, soit la tige plie en formant une ou deux rotules plastiques — c'est ductile, donc bien plus souhaitable en cas de séisme ou de surcharge accidentelle. Mon travail consiste à calculer chacun de ces scénarios, à retenir le plus faible, puis à regarder lequel c'est : le nombre m'indique la résistance, son origine m'indique le comportement."

Observation : La pièce centrale mesure 80 mm et chaque pièce latérale 60 mm. Le rapport \( t_2 / t_1 = 1{,}33 \) est modéré : aucune pièce n'est manifestement trop mince, ce qui laisse les quatre modes en réelle compétition. Il faudra donc vraiment les calculer tous.
Analyse du risque : Si un mode sans plastification l'emportait, l'assemblage serait fragile : il céderait sans avertissement, par fendage du bois. C'est le scénario que l'on cherche à éviter en conception, et la seule façon de le savoir est de lire quel mode gouverne.
Choix stratégique : J'utilise l'équation (8.7), celle du double cisaillement bois-bois. Le repérage est impératif : \( t_1 \) désigne l'épaisseur d'une pièce latérale et \( t_2 \) celle de la pièce centrale. Inverser les deux fausse tout.
Alternative : J'aurais pu tenir compte de l'effet de corde \( F_{\text{ax},\text{Rk}}/4 \), plafonné à 25 % de la capacité pour les boulons. Je l'écarte : il exige de connaître la capacité d'arrachement réelle, donc l'état de serrage des rondelles, incontrôlable dans le temps puisque le bois retrait et fluage.
Objectif visé : Obtenir la capacité caractéristique d'un boulon par plan, puis la doubler pour le boulon complet. Et surtout, pouvoir nommer le mode gouvernant dans la note de calculs remise au charpentier.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( F_{\text{v},\text{Rk}} = 13{,}03 \) kN par plan · mode (j) gouvernant · 26,05 kN par boulon complet

Rappel Théorique : la théorie de Johansen, ou pourquoi il faut quatre formules

Le modèle de Johansen repose sur une idée d'une grande élégance : on suppose que le bois se comporte de façon rigide-plastique parfaite en portance locale, et l'acier de même en flexion. On écrit alors l'équilibre de la tige pour chaque cinématique de ruine imaginable, et chaque cinématique fournit une valeur de résistance. Voici ce que représentent les quatre expressions du double cisaillement.

Mode (g) — écrasement des pièces latérales, tige rigide : La tige reste parfaitement droite et le bois des moises s'écrase sur toute l'épaisseur \( t_1 \). Rupture fragile, typique des pièces latérales minces avec une tige surdimensionnée. Expression : \( f_{\text{h},1,\text{k}}\,t_1\,d \).
Mode (h) — écrasement de la pièce centrale, tige rigide : Même scénario, mais c'est l'entrait qui cède sur son épaisseur \( t_2 \). Le facteur 0,5 s'explique par le raisonnement par plan de cisaillement : la pièce centrale est traversée par deux plans, chacun n'en mobilise donc que la moitié.
Mode (j) — une rotule plastique dans chaque pièce latérale : Le bois s'écrase et la tige plie, avec formation d'une rotule plastique dans les moises. C'est un mode partiellement ductile, le plus fréquent pour des épaisseurs courantes. Il combine \( f_{\text{h},1,\text{k}} \), \( t_1 \) et \( M_{\text{y},\text{Rk}} \).
Mode (k) — deux rotules plastiques par plan de cisaillement : La tige plie deux fois par plan, en formant un « S ». C'est le mode le plus ductile, celui que l'on recherche en zone sismique. Il ne dépend plus des épaisseurs : seuls comptent \( M_{\text{y},\text{Rk}} \), \( f_{\text{h},1,\text{k}} \) et \( d \).
Principe de sélection — le minimum, toujours : La résistance retenue est le minimum des quatre. Conceptuellement, l'assemblage suit le chemin de ruine le plus facile. Corollairement, pour gagner de la ductilité, il faut faire en sorte que ce minimum soit (k) plutôt que (g) ou (h) — donc épaissir le bois ou réduire le diamètre des tiges.

Équations Fondamentales

L'équation (8.7) de l'EN 1995-1-1 se lit comme un minimum de quatre expressions. Nous les présentons en deux familles pour en éclairer la logique : d'abord les modes rigides, ensuite les modes avec plastification. Toutes donnent une capacité par organe et par plan de cisaillement.

Famille 1 — modes rigides (g) et (h), écrasement seul du bois :

Ces deux expressions décrivent la ruine par portance locale pure, la tige demeurant droite. Ce sont de simples produits « contrainte × surface projetée ».

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'il faut borner par le haut ce que le bois seul peut encaisser. Même avec un boulon infiniment résistant, la capacité ne dépassera jamais la portance locale multipliée par la surface projetée de la tige. Ces deux expressions constituent donc le plafond physique de l'assemblage.

Contexte de validité : Assemblage bois-bois à trois pièces, organe traversant, tige supposée infiniment rigide en flexion.
Avantage : Calcul immédiat, sans racine carrée. Ces deux valeurs servent de contrôle de vraisemblance pour (j) et (k), qui doivent toujours leur être inférieurs ou égaux.
Paramètre clé : L'épaisseur de la pièce concernée. Doubler \( t_1 \) double exactement (g) — relation linéaire, contrairement aux modes plastiques.
Vérification : Le facteur 0,5 ne doit apparaître que devant (h), jamais devant (g). S'il apparaît des deux côtés, le raisonnement « par plan » a été mal compris.
Limite : Ces modes ne renseignent en rien sur la ductilité. S'ils gouvernent, l'assemblage est fragile et doit être reconçu si un comportement dissipatif est exigé.

\[ \begin{aligned} (g) &: \; f_{\text{h},1,\text{k}}\,t_{1}\,d \\[4pt] (h) &: \; 0{,}5\,f_{\text{h},2,\text{k}}\,t_{2}\,d \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la tige appuie sur une surface rectangulaire de largeur \( d \) et de hauteur \( t \), et le bois y résiste avec la contrainte \( f_{\text{h}} \). C'est exactement le raisonnement d'une pression de contact. Le 0,5 du mode (h) n'est pas un coefficient de sécurité : c'est un partage géométrique, la pièce centrale étant sollicitée par deux plans à la fois.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{h},1,\text{k}} \) : portance locale des pièces latérales (les moises), unité : N/mm²
\( f_{\text{h},2,\text{k}} \) : portance locale de la pièce centrale (l'entrait), unité : N/mm²
\( t_1 \) : épaisseur d'une seule pièce latérale, unité : mm
\( t_2 \) : épaisseur de la pièce centrale, unité : mm
\( d \) : diamètre de l'organe, largeur de la surface d'appui, unité : mm

Famille 2 — modes plastiques (j) et (k), rotules dans la tige :

Ces deux expressions introduisent \( M_{\text{y},\text{Rk}} \) : la tige plie. Elles décrivent un mécanisme mixte, associant écrasement du bois et plastification de l'acier.

Pourquoi cette formule ?

Parce que dans la réalité, une tige d'acier n'est pas rigide. Dès que l'effort augmente, elle se déforme en flexion, ce qui redistribue les pressions de contact vers les zones les moins sollicitées. Ce mécanisme abaisse la capacité par rapport aux modes rigides, mais il apporte en échange la ductilité — la capacité à se déformer beaucoup avant de rompre.

Contexte de validité : Tige capable de plastifier sans se rompre, et bois suffisamment épais pour développer la rotule. Les pinces du tableau 8.4 doivent impérativement être respectées.
Avantage : Le mode (k) est indépendant des épaisseurs : il constitue une borne inférieure robuste, valable quelle que soit la géométrie du bois.
Paramètre clé : Le groupement \( M_{\text{y},\text{Rk}} / (f_{\text{h},1,\text{k}}\,d\,t_1^{2}) \), sans dimension, qui mesure la compétition entre la flexibilité de la tige et la rigidité du bois.
Vérification : Le terme entre crochets de (j) doit être positif. Un résultat négatif signale une erreur dans la racine, souvent une confusion d'unités sur \( M_{\text{y},\text{Rk}} \).
Limite : Ces expressions supposent le bois non fendu. Si les pinces sont insuffisantes, le fendage précède la plastification et la formule surestime dangereusement la capacité.

\[ \begin{aligned} (j) &: \; 1{,}05\,\frac{f_{\text{h},1,\text{k}}\,t_{1}\,d}{2 + \beta}\left[\sqrt{2\beta(1+\beta) + \frac{4\beta(2+\beta)\,M_{\text{y},\text{Rk}}}{f_{\text{h},1,\text{k}}\,d\,t_{1}^{2}}} \; - \; \beta\right] + \frac{F_{\text{ax},\text{Rk}}}{4} \\[8pt] (k) &: \; 1{,}15\,\sqrt{\frac{2\beta}{1+\beta}}\;\sqrt{2\,M_{\text{y},\text{Rk}}\,f_{\text{h},1,\text{k}}\,d} \; + \; \frac{F_{\text{ax},\text{Rk}}}{4} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le mode (j) dit : la tige plie une fois dans chaque moise, et la capacité résulte d'un compromis entre l'écrasement du bois et le moment plastique disponible. Le mode (k) dit : la tige plie deux fois par plan, en S, et les épaisseurs de bois n'interviennent plus du tout. Les coefficients 1,05 et 1,15 sont des calages expérimentaux : les essais donnent systématiquement un peu plus que la théorie de Johansen pure.

Décomposition des termes :

\( \beta \) : rapport \( f_{\text{h},2,\text{k}} / f_{\text{h},1,\text{k}} \) entre pièce centrale et pièces latérales, unité : sans dimension
\( M_{\text{y},\text{Rk}} \) : moment d'écoulement plastique de la tige, issu de la question 1, unité : N·mm
\( 1{,}05 \) et \( 1{,}15 \) : coefficients de calage sur essais, propres au double cisaillement, unité : sans dimension
\( F_{\text{ax},\text{Rk}}/4 \) : contribution de l'effet de corde, plafonnée à 25 % pour les boulons, ici prise nulle, unité : N
\( t_{1}^{2} \) : épaisseur latérale au carré, au dénominateur du terme adimensionnel, unité : mm²

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de croire que l'équation (8.7) donne la capacité du boulon entier, alors qu'elle donne la capacité par plan de cisaillement — et oublient donc de multiplier par 2..."

L'approche d'ingénieur : C'est l'erreur la plus grave de tout l'exercice, car elle va dans le sens défavorable ou favorable selon l'endroit où on l'oublie, et elle peut se compenser accidentellement avec l'oubli du nombre de files.

L'erreur : Retenir 13,03 kN comme capacité du boulon, alors que c'est la capacité d'un seul plan. On sous-estime la résistance de 50 % et on conclut à tort au refus de l'assemblage.
La bonne méthode : Compter les plans sur le dessin, jamais de mémoire. Dans un moisage à trois pièces, il y a 2 plans par boulon ; dans un simple recouvrement à deux pièces, il n'y en a qu'un.
L'astuce de pro : Tracez les plans en pointillés sur votre croquis et comptez-les à voix haute. Le nombre de plans vaut toujours « nombre d'interfaces bois-bois traversées par la tige ».
Le moyen mnémotechnique : « Un sandwich, deux tranches de pain, deux plans de découpe » : la pièce centrale est la garniture, chaque contact avec le pain est un plan de cisaillement.
L'impact direct : Un bureau d'études qui oublie ce facteur 2 double le nombre de boulons prescrit. Résultat sur chantier : un entrait criblé de trous, une section nette effondrée, et un assemblage moins résistant qu'au départ.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( f_{\text{h},1,\text{k}} = f_{\text{h},2,\text{k}} \) : en N/mm² — valeur 24,11 reprise de la question 1 sans arrondi
\( t_1, t_2, d \) : en mm — le produit \( f_{\text{h}} \cdot t \cdot d \) sort donc en N
\( M_{\text{y},\text{Rk}} \) : en N·mm — impératif pour que le terme adimensionnel le soit vraiment
Terme sous racine de (j) : vérifier qu'il est sans dimension — N·mm divisé par (N/mm² × mm × mm²) donne bien 1
Résultats (g) à (k) : obtenus en N , divisés par 1 000 pour l'affichage en kN

Le calcul se mène en deux temps : d'abord les deux modes rigides, immédiats, puis les deux modes plastiques, qui demandent de la rigueur sur les racines carrées. Avec \( \beta = 1 \), plusieurs termes se simplifient agréablement : \( 2 + \beta = 3 \), \( 2\beta(1+\beta) = 4 \), \( 4\beta(2+\beta) = 12 \) et \( \sqrt{2\beta/(1+\beta)} = 1 \). Notez ces simplifications avant de substituer : la note de calculs y gagne énormément en lisibilité.

1. Résolution Numérique Modes rigides (g) et (h) — écrasement du bois

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir le plafond de capacité imposé par le bois seul. Ces deux valeurs encadrent le résultat final et servent de garde-fou : aucun mode plastique ne peut leur être supérieur.

Méthodologie du calcul :

Deux produits directs. On veille simplement à utiliser la bonne épaisseur pour chaque expression, et à ne pas omettre le facteur 0,5 devant (h).

Substitution : \( f_{\text{h},1,\text{k}} = f_{\text{h},2,\text{k}} = 24{,}108 \) N/mm², \( t_1 = 60 \) mm, \( t_2 = 80 \) mm, \( d = 16 \) mm.
Piège évité : \( t_1 \) est l'épaisseur d'une moise, pas la somme des deux. Utiliser 120 mm serait une erreur de facteur 2.
Hypothèse validée : La tige est réputée rigide dans ces deux modes : \( M_{\text{y},\text{Rk}} \) n'y figure pas, c'est normal et voulu.
Vérification croisée : \( 24{,}108 \times 960 \approx 23\,100 \) N pour (g). Le calcul mental valide immédiatement l'ordre de grandeur.
Finalité : Disposer de deux bornes fiables avant d'aborder les expressions plus délicates (j) et (k).

\[ \begin{aligned} (g) &= f_{\text{h},1,\text{k}}\,t_{1}\,d = 24{,}108 \times 60 \times 16 \\ &= 24{,}108 \times 960 \\ &= 23\,143{,}7 \text{ N} = \mathbf{23{,}14} \text{ kN} \\[10pt] (h) &= 0{,}5\,f_{\text{h},2,\text{k}}\,t_{2}\,d = 0{,}5 \times 24{,}108 \times 80 \times 16 \\ &= 0{,}5 \times 24{,}108 \times 1\,280 \\ &= 15\,429{,}1 \text{ N} = \mathbf{15{,}43} \text{ kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le mode (h) est déjà inférieur au mode (g) : c'est la pièce centrale qui limite, malgré ses 80 mm contre 60 mm. Ce résultat mérite qu'on s'y arrête.

Ordre de grandeur : 15 à 23 kN par plan pour un M16 dans du C24 : les valeurs sont tout à fait usuelles pour ce type d'assemblage.
Impact sur la suite : (h) devient la borne à battre. Si (j) ou (k) descend en dessous de 15,43 kN, c'est un mode plastique qui gouvernera — bonne nouvelle pour la ductilité.
Cohérence : Pourquoi (h) < (g) alors que \( t_2 > t_1 \) ? Parce que le facteur 0,5 l'emporte : il faudrait \( t_2 > 2\,t_1 = 120 \) mm pour que la pièce centrale cesse d'être déterminante.
Attention : Un étudiant qui oublierait le 0,5 trouverait (h) = 30,86 kN et conclurait à tort que ce sont les moises qui limitent — diagnostic inversé.
Comparaison : En portant l'entrait à 120 mm, (h) monterait à 23,14 kN et égalerait (g) : c'est l'optimum géométrique du moisage, à retenir en conception.

Remarque pédagogique : Excellente question à poser en classe : « quelle épaisseur donner à l'entrait pour que les deux modes rigides s'équilibrent ? ». La réponse \( t_2 = 2\,t_1 \) tombe d'elle-même et fait comprendre, sans aucun calcul supplémentaire, la logique de proportion d'un assemblage moisé.

Modes plastiques (j) et (k) — formation de rotules dans la tige

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la tige n'est pas rigide et que ces deux modes sont, dans la grande majorité des assemblages courants, ceux qui gouvernent réellement. C'est aussi eux qui déterminent si l'assemblage sera ductile.

Méthodologie du calcul :

On exploite d'abord les simplifications permises par \( \beta = 1 \), puis on calcule le terme sous la racine en deux morceaux avant de l'additionner. Cette décomposition est la clé d'un calcul sans erreur.

Substitution : \( \beta = 1 \) donne \( 2 + \beta = 3 \), \( 2\beta(1+\beta) = 4 \), \( 4\beta(2+\beta) = 12 \), et \( \sqrt{2\beta/(1+\beta)} = 1 \).
Piège évité : \( t_1^{2} = 3\,600 \) mm² et non 3 600 mm. Une erreur d'exposant ici fausse le terme adimensionnel d'un facteur 60.
Hypothèse validée : \( F_{\text{ax},\text{Rk}} = 0 \) : l'effet de corde est négligé, ce qui est sécuritaire puisqu'il n'aurait pu qu'augmenter la capacité, dans la limite de 25 %.
Vérification croisée : Le terme adimensionnel doit valoir environ 2,8 ; ajouté à 4, la racine de 6,80 donne 2,61. Deux repères à mémoriser pour l'autocontrôle.
Finalité : Obtenir le minimum des quatre modes, puis nommer celui qui gouverne — c'est cette information qualitative qui intéresse le prescripteur.

\[ \begin{aligned} \frac{4\beta(2+\beta)\,M_{\text{y},\text{Rk}}}{f_{\text{h},1,\text{k}}\,d\,t_{1}^{2}} &= \frac{12 \times 324\,282}{24{,}108 \times 16 \times 60^{2}} = \frac{3\,891\,384}{1\,388\,620{,}8} = 2{,}8023 \\[8pt] \sqrt{4 + 2{,}8023} &= \sqrt{6{,}8023} = 2{,}6081 \\[8pt] (j) &= 1{,}05 \times \frac{24{,}108 \times 60 \times 16}{3} \times \bigl(2{,}6081 - 1\bigr) + 0 \\ &= 1{,}05 \times 7\,714{,}6 \times 1{,}6081 \\ &= 13\,026{,}3 \text{ N} = \mathbf{13{,}03} \text{ kN} \\[12pt] (k) &= 1{,}15 \times 1 \times \sqrt{2 \times 324\,282 \times 24{,}108 \times 16} \\ &= 1{,}15 \times \sqrt{250\,177\,000} \\ &= 1{,}15 \times 15\,817{,}0 \\ &= 18\,189{,}3 \text{ N} = \mathbf{18{,}19} \text{ kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Récapitulons les quatre modes : (g) = 23,14 kN · (h) = 15,43 kN · (j) = 13,03 kN · (k) = 18,19 kN. Le minimum est le mode (j).

Ordre de grandeur : 13,03 kN par plan pour un M16 dans du C24 : c'est la valeur que l'on retrouve dans tous les abaques professionnels pour cette configuration.
Impact sur la suite : Un boulon complet vaut donc \( 2 \times 13{,}03 = \mathbf{26{,}05} \) kN caractéristiques. C'est cette valeur qui entrera dans le calcul de groupe de la question 3.
Cohérence : (j) est bien inférieur aux deux modes rigides, comme la théorie l'exige. Le contrôle de vraisemblance est validé.
Attention : Le mode (j) implique une seule rotule par plan, dans les moises : la ductilité est partielle. Pour un ouvrage en zone sismique, il faudrait viser le mode (k) en épaississant les pièces latérales.
Comparaison : Avec des moises de 80 mm au lieu de 60, (j) monterait à environ 15,6 kN et (k) resterait à 18,19 kN : le gain serait de 20 % sans changer un seul boulon.

Remarque pédagogique : Faites toujours présenter les quatre valeurs dans un tableau, même celles qui ne gouvernent pas. D'abord parce qu'un correcteur ou un contrôleur technique doit pouvoir vérifier qu'aucun mode n'a été oublié. Ensuite parce que l'écart entre le minimum et les autres est une information de conception : ici (j) et (h) sont proches — 13,03 contre 15,43 — donc une petite variation de géométrie peut changer le mode gouvernant, et avec lui le caractère fragile ou ductile de l'assemblage.

RÉSULTAT FINAL

\( F_{\text{v},\text{Rk}} \) (par plan) = 13,03 kN — mode (j)

\( F_{\text{v},\text{Rk}} \) (par boulon) = 26,05 kN

"Attention : ce n'est pas encore la capacité de l'assemblage — l'effet de file va tout changer !"

Question 3 : Nombre efficace et capacité de calcul de l'assemblage

Dans la tête de l'ingénieur

"Voici l'étape où l'intuition trahit presque tout le monde. J'ai quatre boulons, chacun capable de 26,05 kN : la tentation est de conclure à 104 kN. C'est faux. Dans une file alignée dans le fil du bois, les boulons ne travaillent pas de manière égale : le premier, du côté de l'effort, encaisse davantage, et surtout chaque trou constitue une amorce de fissure. Le bois fend le long de la file avant que tous les boulons n'aient atteint leur plastification. Jorissen a modélisé cela par la mécanique de la rupture dans les années 1990, et l'Eurocode en a tiré une formule d'apparence anodine mais aux conséquences très concrètes. Je dois ensuite franchir le pas du caractéristique au calcul : \( k_{\text{mod}} \) pour la durée de charge et l'humidité, \( \gamma_{\text{M}} \) pour l'incertitude sur la résistance."

Observation : La disposition comporte 2 files de 2 boulons, l'espacement dans le fil valant \( a_1 = 112 \) mm, soit exactement \( 7\,d \). C'est cet \( a_1 \) qui pilote le nombre efficace : plus les boulons sont espacés, moins l'effet de file pénalise.
Analyse du risque : Ignorer \( n_{\text{ef}} \) conduirait à surestimer la capacité de 25 % sur cet assemblage. Un tel écart n'est pas une approximation : c'est la différence entre un assemblage vérifié et un assemblage ruiné, d'autant que la rupture par fendage est brutale.
Choix stratégique : J'applique l'équation (8.34), réservée aux boulons et broches. Je l'applique file par file : \( n \) est le nombre de boulons alignés dans le fil au sein d'une file, soit 2 ici — jamais le nombre total de 4.
Alternative : J'aurais pu supprimer l'effet de file en disposant les 4 boulons perpendiculairement au fil, sur une seule ligne transversale : \( n_{\text{ef}} = n \) dans ce cas. Je l'écarte car la hauteur de 200 mm ne permet pas de respecter les distances de rive pour 4 organes.
Objectif visé : Aboutir à \( F_{\text{v},\text{Rd}} \), la seule grandeur comparable à l'effort ELU. Tant qu'on reste en caractéristique, aucune vérification réglementaire n'est possible.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( n_{\text{ef}} = 1{,}60 \) par file · \( F_{\text{v},\text{Rk}} = 83{,}29 \) kN · \( F_{\text{v},\text{Rd}} = \mathbf{51{,}26} \) kN

Rappel Théorique : l'effet de file, et le passage du caractéristique au calcul

Deux notions distinctes se superposent dans cette étape, et il est essentiel de ne pas les confondre : l'une est un phénomène mécanique propre au bois, l'autre une convention de sécurité commune à tous les Eurocodes.

Principe 1 — pourquoi les boulons ne se partagent pas la charge équitablement : La rigidité de l'assemblage n'est pas uniforme : le bois entre deux trous se déforme, ce qui fait que le premier boulon rencontré par l'effort reprend une part supérieure. À la ruine, il a déjà atteint sa capacité alors que le dernier travaille encore bien en dessous.
Principe 2 — le vrai mécanisme est le fendage, pas l'écrasement : Chaque trou introduit une concentration de contraintes et une amorce de fissure. Sous charge croissante, ces fissures se rejoignent le long de la file, provoquant une rupture par fendage. L'exposant 0,9 et la racine quatrième de l'équation (8.34) sont issus de la mécanique de la rupture appliquée à ce phénomène.
Principe 3 — l'espacement \( a_1 \) est le levier de correction : Le terme \( (a_1 / 13\,d)^{1/4} \) vaut 1 lorsque \( a_1 = 13\,d \), c'est-à-dire quand les boulons sont assez éloignés pour que l'effet de file disparaisse. En dessous, la pénalité croît. Ici \( a_1 = 7\,d \), soit une réduction de 14 % sur ce seul terme.
Principe 4 — \( k_{\text{mod}} \) traduit le temps et l'humidité, pas la sécurité : Le bois flue : sous charge maintenue, il perd de la résistance. \( k_{\text{mod}} \) intègre conjointement la classe de service (humidité) et la durée d'application de l'action dominante. Ce n'est pas un coefficient de sécurité, c'est un coefficient de comportement physique.
Principe 5 — \( \gamma_{\text{M}} \) couvre la dispersion du matériau et du modèle : Il vaut 1,3 pour les assemblages, valeur intermédiaire entre le bois massif (1,3) et l'acier (1,25 en EC3). Point remarquable : on l'applique aussi au terme contenant \( M_{\text{y},\text{Rk}} \), donc à de l'acier, parce qu'on vérifie un assemblage bois et non une pièce métallique.

Équations Fondamentales

Deux équations, deux natures très différentes : la première est un modèle mécanique propre au bois, la seconde une règle de format partagée par l'ensemble des Eurocodes.

Nombre efficace de boulons alignés dans le fil — équation (8.34) :

Elle transforme le nombre réel de boulons d'une file en un nombre efficace, toujours inférieur ou égal, qui reflète la ruine par fendage.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'additivité simple des capacités est démentie par l'expérience. Les essais montrent qu'une file de boulons atteint systématiquement moins que la somme de ses organes, et que l'écart croît avec le nombre d'organes et se réduit avec l'espacement. Cette formule est la traduction réglementaire de ce constat.

Contexte de validité : Boulons et broches alignés parallèlement au fil. Pour les pointes, l'Eurocode retient une formule empirique différente.
Avantage : Elle fournit un levier de conception direct : augmenter \( a_1 \) améliore la capacité sans ajouter un seul boulon, donc sans percer davantage la pièce.
Paramètre clé : Le rapport \( a_1 / 13\,d \). La valeur 13 d est le seuil au-delà duquel l'effet de file s'annule complètement.
Vérification : Le résultat doit être compris entre 1 et n. Un \( n_{\text{ef}} \) supérieur à \( n \) trahit une erreur : le minimum du couple n'a pas été pris.
Limite : Elle ne s'applique qu'à l'effort parallèle au fil. Perpendiculairement au fil, on prend \( n_{\text{ef}} = n \), mais il faut alors vérifier le fendage transversal selon le paragraphe 8.1.4.

\[ \begin{aligned} n_{\text{ef}} = \min\left\{ \; n \;;\; n^{0,9}\,\sqrt[4]{\dfrac{a_{1}}{13\,d}} \; \right\} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : vos deux boulons alignés n'en valent que 1,6. L'exposant 0,9 exprime que chaque boulon ajouté rapporte de moins en moins ; la racine quatrième exprime que les éloigner rapporte, mais lentement. Message de conception : mieux vaut peu de boulons bien espacés que beaucoup de boulons serrés les uns contre les autres.

Décomposition des termes :

\( n_{\text{ef}} \) : nombre efficace de boulons dans une file, unité : sans dimension
\( n \) : nombre réel de boulons alignés dans le fil au sein de cette file, unité : sans dimension
\( a_1 \) : espacement entre boulons parallèlement au fil, unité : mm
\( d \) : diamètre de l'organe, unité : mm
\( 13\,d \) : espacement seuil annulant l'effet de file, soit 208 mm pour un M16, unité : mm

Passage à la valeur de calcul — paragraphe 2.4.3 :

Elle convertit une résistance caractéristique — un fractile à 5 % issu d'essais — en résistance de calcul, directement comparable aux sollicitations pondérées de l'ELU.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'on ne compare jamais un effort pondéré à une résistance caractéristique : ce serait mélanger deux niveaux de fiabilité. Le format semi-probabiliste des Eurocodes impose de majorer les actions d'un côté et de minorer les résistances de l'autre. Le bois ajoute à cela sa spécificité : sa résistance dépend du temps.

Contexte de validité : Toute vérification à l'ELU en structure bois. À l'ELS, on n'utilise ni \( k_{\text{mod}} \) ni \( \gamma_{\text{M}} \), mais \( k_{\text{def}} \).
Avantage : Format universel : la même écriture sert pour la flexion, le cisaillement, la compression et les assemblages. Seules les valeurs de \( \gamma_{\text{M}} \) changent.
Paramètre clé : \( k_{\text{mod}} \), qui varie de 0,60 à 1,10 selon la durée et l'humidité — soit un facteur 1,8 entre les cas extrêmes. C'est le paramètre le plus discriminant de tout le calcul bois.
Vérification : Le rapport \( k_{\text{mod}} / \gamma_{\text{M}} = 0{,}80/1{,}30 = 0{,}615 \) : la capacité de calcul vaut donc environ 62 % de la caractéristique. Repère précieux pour contrôler un ordre de grandeur.
Limite : \( k_{\text{mod}} \) se choisit d'après l'action de plus courte durée de la combinaison, ce qui est contre-intuitif. Ici la neige, action de moyen terme, gouverne.

\[ \begin{aligned} F_{\text{v},\text{Rd}} = \dfrac{k_{\text{mod}} \; F_{\text{v},\text{Rk}}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : je réduis d'abord la résistance parce que la charge va durer et que le bois va fluer (c'est \( k_{\text{mod}} \)), puis je la réduis encore parce que le bois est un matériau naturel dispersé et que mon modèle de calcul est imparfait (c'est \( \gamma_{\text{M}} \)). Deux réductions, deux causes indépendantes, qu'il ne faut jamais confondre.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : capacité de calcul de l'assemblage au cisaillement, unité : N ou kN
\( F_{\text{v},\text{Rk}} \) : capacité caractéristique de l'assemblage complet, unité : N ou kN
\( k_{\text{mod}} \) : coefficient de modification, classe de service 1 et moyen terme, unité : sans dimension
\( \gamma_{\text{M}} \) : coefficient partiel de résistance pour assemblages, unité : sans dimension
\( k_{\text{mod}}/\gamma_{\text{M}} \) : rendement global du format ELU, ici 0,615, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'appliquer \( n_{\text{ef}} \) au nombre total de boulons — ils prennent \( n = 4 \) au lieu de \( n = 2 \) — ou bien l'oublient purement et simplement..."

L'approche d'ingénieur : Les deux variantes de cette erreur sont fréquentes et leurs effets s'opposent, ce qui rend le diagnostic délicat en correction.

L'erreur : Avec \( n = 4 \), on obtiendrait \( n_{\text{ef}} = 4^{0,9} \times 0{,}857 = 2{,}98 \) pour l'assemblage entier, au lieu de \( 2 \times 1{,}60 = 3{,}20 \). L'écart paraît faible, mais le raisonnement est faux et devient très pénalisant avec plus de files.
La bonne méthode : Appliquer (8.34) à chaque file avec le nombre de boulons de cette file, puis additionner les files. \( n_{\text{ef}} \) est une notion de file, pas d'assemblage.
L'astuce de pro : Repérez d'abord la direction du fil sur votre croquis, puis entourez chaque file parallèle à ce fil. Vous voyez alors immédiatement combien de boulons entrent dans le calcul de \( n \).
Le moyen mnémotechnique : « Le fendage suit le fil » : la fissure se propage le long du fil, donc seuls les boulons alignés dans cette direction se pénalisent mutuellement.
L'impact direct : Oublier complètement \( n_{\text{ef}} \) revient à annoncer 64,1 kN au lieu de 51,26 kN, soit 25 % de capacité fictive. Sur un entrait de ferme, c'est l'écart qui sépare un ouvrage sûr d'un ouvrage qui se fend en silence.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( a_1 \) et \( d \) : tous deux en mm — leur rapport est sans dimension, comme attendu
\( n_{\text{ef}} \) : grandeur sans unité , à conserver avec 2 décimales dans la note
\( F_{\text{v},\text{Rk}} \) par plan : reprise en kN depuis la question 2, soit 13,026 kN
\( k_{\text{mod}} \) et \( \gamma_{\text{M}} \) : grandeurs sans unité — leur rapport ne change pas l'unité du résultat
\( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : exprimé en kN , homogène à l'effort \( F_{\text{v},\text{Ed}} \) de l'énoncé

L'enchaînement se fait en trois multiplications successives, et l'ordre importe pour la clarté : d'abord l'effet de file sur une file, ensuite le nombre de files, enfin le nombre de plans de cisaillement. En procédant ainsi, chaque facteur porte un sens physique identifiable et un contrôleur externe peut suivre le raisonnement ligne par ligne.

1. Résolution Numérique Nombre efficace \( n_{\text{ef}} \) et capacité caractéristique de l'assemblage

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour corriger l'hypothèse fausse d'additivité et obtenir la vraie capacité caractéristique du groupe de quatre boulons, celle qui tient compte du risque de fendage le long des files.

Méthodologie du calcul :

On calcule séparément les deux termes du minimum, on les compare, puis on remonte à l'assemblage complet en multipliant successivement par le nombre de files et par le nombre de plans.

Substitution : \( n = 2 \) boulons par file, \( a_1 = 112 \) mm, \( d = 16 \) mm, donc \( 13\,d = 208 \) mm.
Piège évité : La racine quatrième, et non carrée : \( (0{,}538)^{1/4} = 0{,}857 \) alors que \( (0{,}538)^{1/2} = 0{,}734 \). L'écart sur le résultat final atteindrait 14 %.
Hypothèse validée : Les deux files sont identiques en nombre et en espacement : un seul calcul de \( n_{\text{ef}} \) suffit, qu'on double ensuite.
Vérification croisée : \( n_{\text{ef}} = 1{,}60 \) est bien compris entre 1 et 2. Le résultat est physiquement admissible.
Finalité : Obtenir \( F_{\text{v},\text{Rk}} \) de l'assemblage, dernière valeur caractéristique avant le passage au calcul.

\[ \begin{aligned} n^{0,9} &= 2^{0,9} = 1{,}8661 \\[4pt] \left(\frac{a_{1}}{13\,d}\right)^{1/4} &= \left(\frac{112}{208}\right)^{1/4} = \bigl(0{,}53846\bigr)^{1/4} = 0{,}8566 \\[6pt] n_{\text{ef}} &= \min\{\,2 \;;\; 1{,}8661 \times 0{,}8566\,\} = \min\{\,2 \;;\; 1{,}5985\,\} \\ &= \mathbf{1{,}60} \\[10pt] F_{\text{v},\text{Rk}} &= \underbrace{2}_{\text{files}} \times \underbrace{1{,}5985}_{n_{\text{ef}}} \times \underbrace{2}_{\text{plans}} \times \underbrace{13{,}026}_{\text{kN/plan}} \\ &= 3{,}197 \times 2 \times 13{,}026 \\ &= \mathbf{83{,}29} \text{ kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

\( n_{\text{ef}} = 1{,}60 \) pour 2 boulons : autrement dit, le second boulon ne rapporte que 60 % de ce qu'apporte le premier. Voilà le coût réel de l'alignement dans le fil.

Ordre de grandeur : Une perte de 20 % sur une file de 2 boulons à \( 7\,d \) est parfaitement conforme aux valeurs des abaques professionnels.
Impact sur la suite : Les 4 boulons réels ne comptent que pour 3,20 boulons efficaces. C'est cette valeur, et non 4, qui portera l'effort.
Cohérence : Sans effet de file, on aurait \( 4 \times 26{,}05 = 104{,}2 \) kN. Avec, on obtient 83,29 kN, soit 80 % — la pénalité est bien celle annoncée.
Attention : Porter \( a_1 \) à \( 13\,d = 208 \) mm annulerait la pénalité et donnerait \( n_{\text{ef}} = 2 \), soit 104,2 kN. Mais l'aboutage s'allongerait de 96 mm par file : arbitrage classique entre capacité et encombrement.
Comparaison : Avec 3 boulons par file au même espacement, \( n_{\text{ef}} = 3^{0,9} \times 0{,}857 = 2{,}28 \) : le troisième boulon n'apporterait que 0,68 boulon efficace. Rendement décroissant confirmé.

Remarque pédagogique : Faites calculer \( n_{\text{ef}} \) pour \( n = 1, 2, 3, 4, 5 \) à \( a_1 \) constant, puis tracer la courbe. Les étudiants découvrent visuellement le rendement décroissant et comprennent d'eux-mêmes pourquoi les charpentiers préfèrent peu d'organes de gros diamètre à beaucoup de petits. C'est un exercice de dix minutes qui vaut mieux qu'un long discours.

Capacité de calcul \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) de l'assemblage

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule grandeur que l'on a le droit de comparer à l'effort ELU \( F_{\text{v},\text{Ed}} \). Sans ce passage, aucune conclusion réglementaire n'est possible.

Méthodologie du calcul :

Application directe du paragraphe 2.4.3. Le seul travail réel est en amont : justifier le choix de \( k_{\text{mod}} \), qui dépend de deux informations distinctes fournies par l'énoncé.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) — bois massif, classe de service 1, action de moyen terme (neige) — et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) pour les assemblages.
Piège évité : Ne pas prendre \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) par réflexe acier : on vérifie un assemblage bois, donc 1,30, y compris pour le terme issu de \( M_{\text{y},\text{Rk}} \).
Hypothèse validée : Les trois pièces sont en C24, donc un seul \( k_{\text{mod}} \) : nul besoin de la moyenne géométrique \( \sqrt{k_{\text{mod},1} k_{\text{mod},2}} \).
Vérification croisée : \( 0{,}80/1{,}30 = 0{,}615 \), et \( 83{,}29 \times 0{,}615 \approx 51{,}2 \) kN. Le calcul mental valide le résultat.
Finalité : Disposer enfin d'une valeur directement comparable aux 48 kN de l'énoncé.

\[ \begin{aligned} F_{\text{v},\text{Rd}} &= \frac{k_{\text{mod}} \; F_{\text{v},\text{Rk}}}{\gamma_{\text{M}}} = \frac{0{,}80 \times 83{,}29}{1{,}30} \\[4pt] &= \frac{66{,}63}{1{,}30} \\ &= \mathbf{51{,}26} \text{ kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

51,26 kN : voilà la capacité réelle et réglementaire des quatre boulons. Comparons-la aux valeurs intermédiaires pour mesurer le chemin parcouru.

Ordre de grandeur : Environ 12,8 kN par boulon réel en valeur de calcul. Repère utile pour un pré-dimensionnement rapide en M16 dans du C24.
Impact sur la suite : À comparer aux 48 kN de l'énoncé. La marge existe, mais elle est mince : moins de 7 %.
Cohérence : Le rapport \( 51{,}26 / 104{,}2 = 0{,}49 \) : entre l'estimation naïve « 4 boulons × capacité unitaire caractéristique » et la valeur réglementaire, on perd la moitié. Cela résume à lui seul l'intérêt de la démarche complète.
Attention : Si la combinaison dimensionnante avait été de longue durée (\( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \)), la capacité tomberait à 44,9 kN et l'assemblage serait refusé. Le choix de \( k_{\text{mod}} \) est donc décisif, pas cosmétique.
Comparaison : En classe de service 2 (local non chauffé), \( k_{\text{mod}} \) resterait à 0,80 pour le moyen terme : aucun changement ici. Mais en classe 3, il chuterait à 0,65, soit 41,6 kN — insuffisant.

Remarque pédagogique : Ce calcul est l'occasion idéale de faire comprendre que \( k_{\text{mod}} \) n'est pas un coefficient de sécurité déguisé. Posez la question : « pourquoi le bois résiste-t-il moins sous charge longue ? ». La réponse — le fluage et l'endommagement progressif des fibres — ancre définitivement la différence entre \( k_{\text{mod}} \), qui décrit un comportement du matériau, et \( \gamma_{\text{M}} \), qui couvre une incertitude du modèle.

RÉSULTAT FINAL

\( n_{\text{ef}} \) = 1,60 par file

\( F_{\text{v},\text{Rd}} \) = 51,26 kN

"Il ne reste qu'à comparer aux 48 kN et à contrôler les pinces !"

Question 4 : Vérification ELU, contrôle des pinces et avis technique

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai un nombre, 51,26 kN, et un effort, 48 kN. Le réflexe du débutant est de diviser, d'annoncer « ça passe » et de refermer le dossier. Le réflexe du professionnel est différent : toute la théorie de Johansen que je viens d'appliquer suppose une chose non dite — que le bois ne fend pas avant que les mécanismes d'écrasement et de plastification n'aient pu se développer. Cette hypothèse n'est garantie que si les pinces du tableau 8.4 sont respectées. Si elles ne le sont pas, mes 51,26 kN sont un chiffre sans valeur, et dangereusement rassurant. Je vérifie donc deux choses, et je ne conclus qu'après les deux. Enfin, le charpentier n'attend pas un ratio : il attend un avis, avec un verdict et, le cas échéant, une recommandation exploitable sur son chantier."

Observation : L'effort ELU vaut 48 kN pour une capacité de 51,26 kN. Le ratio sera légèrement inférieur à 1 : l'assemblage passe, mais sans réserve confortable. Cette nuance devra apparaître dans l'avis.
Analyse du risque : Deux valeurs du plan m'inquiètent : \( a_2 = 64 \) mm vaut exactement le minimum \( 4\,d \), et la distance de rive de 68 mm n'excède le minimum que de 20 mm. Une dérive de perçage sur chantier, chose banale en charpente traditionnelle, rendrait l'assemblage non conforme.
Choix stratégique : Je présente les pinces sous forme de tableau « exigé / prévu / verdict ». C'est le format attendu en contrôle technique : il rend l'omission impossible et la relecture immédiate.
Alternative : J'aurais pu m'arrêter au ratio de résistance et renvoyer les dispositions constructives au plan d'exécution. Je l'écarte : séparer résistance et pinces est précisément la faute qui produit des assemblages calculés juste et fendus à la première neige.
Objectif visé : Délivrer un avis technique motivé : verdict clair, réserve explicite sur les points limites, et recommandation chiffrée permettant au charpentier d'agir sans revenir vers le bureau d'études.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Taux de travail = 93,6 % · \( 48 \le 51{,}26 \) kN · pinces conformes · assemblage accepté sous réserve

Rappel Théorique : les pinces, condition de validité de tout le calcul

Les pinces — espacements entre organes, distances aux extrémités et aux rives — ne sont pas des recommandations de bonne pratique : ce sont des conditions de validité du modèle de Johansen. Le tableau 8.4 de l'EN 1995-1-1 les fixe pour les boulons, en fonction de l'angle \( \alpha \) entre l'effort et le fil.

Principe 1 — pourquoi des minima et non des optima : En dessous de ces valeurs, le bois fend avant d'atteindre sa portance locale. Le mécanisme de ruine change de nature : on quitte l'écrasement ductile pour un fendage fragile, que les équations (8.7) ne décrivent absolument pas.
Principe 2 — \( a_1 \) dépend de l'angle, \( a_2 \) non : L'espacement parallèle au fil s'écrit \( (4 + |\cos\alpha|)\,d \) : il vaut 5 d pour un effort dans le fil et 4 d perpendiculairement. L'espacement transversal reste constamment 4 d. Cette asymétrie reflète la directionnalité du fendage.
Principe 3 — extrémité chargée ou non chargée, la distinction cruciale : \( a_{3,\text{t}} \) concerne l'extrémité vers laquelle l'effort pousse le bois, où le risque d'arrachement de bloc est maximal : d'où l'exigence sévère \( \max(7\,d\,;\,80\ \text{mm}) \). \( a_{3,\text{c}} \), à l'opposé, se contente de \( 4\,d \).
Principe 4 — rive chargée ou non chargée : Pour un effort parallèle au fil, aucune rive n'est chargée : c'est \( a_{4,\text{c}} = 3\,d \) qui s'applique. Dès que l'effort possède une composante transversale, la rive vers laquelle il pousse devient chargée et l'exigence monte à \( \max\bigl((2 + 2\sin\alpha)d\,;\,3\,d\bigr) \).
Principe 5 — le critère ELU, dernière étape et non la première : L'inégalité \( F_{\text{v},\text{Ed}} \le F_{\text{v},\text{Rd}} \) ne se prononce qu'après validation des pinces. Un assemblage au ratio de 0,50 mais aux pinces insuffisantes est non conforme ; un assemblage à 0,94 avec pinces respectées est conforme. Le ratio seul ne conclut rien.

Équations Fondamentales

Cette dernière étape mobilise une inégalité et un jeu de minima géométriques. Aucune difficulté de calcul, mais une exigence absolue de rigueur dans la lecture du tableau 8.4.

Critère de vérification à l'état limite ultime :

C'est l'inégalité fondamentale de tous les Eurocodes : la sollicitation de calcul ne doit pas dépasser la résistance de calcul.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle matérialise le format semi-probabiliste : les actions ont été majorées par \( \gamma_{\text{G}} \) et \( \gamma_{\text{Q}} \) d'un côté, la résistance minorée par \( \gamma_{\text{M}} \) et \( k_{\text{mod}} \) de l'autre. Les deux membres se rencontrent avec une probabilité de ruine maîtrisée, de l'ordre de \( 10^{-6} \) par an pour une classe de conséquence courante.

Contexte de validité : Vérification à l'ELU, combinaison fondamentale de l'EN 1990, équation (6.10). Les pinces doivent être préalablement validées.
Avantage : Le taux de travail exprimé en pourcentage est immédiatement lisible par un non-spécialiste : maître d'ouvrage, contrôleur, charpentier.
Paramètre clé : La marge résiduelle. Un taux de 0,99 est réglementairement conforme mais industriellement imprudent : il ne tolère aucune tolérance d'exécution.
Vérification : Les deux membres doivent être dans la même unité, ici le kN. Comparer des kN à des N est l'erreur d'inattention la plus fréquente en fin de note.
Limite : Ce critère ne couvre que le cisaillement des organes. La section nette de l'entrait et la rupture de bloc relèvent d'autres vérifications, hors périmètre de cet exercice.

\[ \begin{aligned} \frac{F_{\text{v},\text{Ed}}}{F_{\text{v},\text{Rd}}} \le 1{,}0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce que la structure doit encaisser, dans le pire scénario réglementaire, reste inférieur à ce qu'elle peut encaisser, dans l'hypothèse la plus défavorable sur le matériau. Les deux « pires cas » ne se produisent presque jamais simultanément : c'est là que se niche la véritable sécurité de l'ouvrage, bien au-delà du simple rapport de deux nombres.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{v},\text{Ed}} \) : effort de cisaillement de calcul dans l'assemblage, issu de la combinaison ELU, unité : kN
\( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : capacité de calcul de l'assemblage, issue de la question 3, unité : kN
Indice « d » : design, valeur de calcul, c'est-à-dire pondérée, unité : sans objet
Indice « E » : effect of actions, effet des actions, unité : sans objet
Indice « R » : resistance, résistance, unité : sans objet

Pinces minimales pour boulons, cas \( \alpha = 0^{\circ} \) — tableau 8.4 :

Les expressions générales du tableau 8.4 se simplifient nettement lorsque l'effort est parallèle au fil : \( \cos 0^{\circ} = 1 \) et \( \sin 0^{\circ} = 0 \).

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle conditionne la validité de tout ce qui précède. Ces minima ne découlent pas d'un calcul de résistance mais de campagnes d'essais sur le fendage : en deçà, la fissure apparaît avant l'écrasement et le modèle s'effondre.

Contexte de validité : Boulons spécifiquement. Les broches, pointes et vis relèvent de tableaux distincts, aux exigences parfois plus sévères.
Avantage : Une fois \( \alpha \) fixé, on obtient de simples nombres en millimètres, directement comparables aux cotes du plan d'exécution.
Paramètre clé : \( a_{3,\text{t}} \), la distance à l'extrémité chargée : c'est la plus exigeante, \( \max(7\,d\,;\,80\ \text{mm}) \), et la plus souvent négligée sur les plans.
Vérification : Toutes les distances se mesurent d'axe à axe pour les espacements, et de l'axe du boulon au bord pour les pinces d'extrémité et de rive.
Limite : Respecter les pinces ne dispense pas de vérifier la section nette de la pièce : deux exigences distinctes, souvent confondues.

\[ \begin{aligned} a_{1,\min} &= (4 + |\cos 0^{\circ}|)\,d = 5\,d = 5 \times 16 = 80 \text{ mm} \\[3pt] a_{2,\min} &= 4\,d = 4 \times 16 = 64 \text{ mm} \\[3pt] a_{3,\text{t},\min} &= \max(7\,d \,;\, 80) = \max(112 \,;\, 80) = 112 \text{ mm} \\[3pt] a_{4,\text{c},\min} &= 3\,d = 3 \times 16 = 48 \text{ mm} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : laissez assez de bois autour de chaque boulon pour que la matière puisse s'écraser sans fendre. Les exigences sont plus fortes dans le sens du fil, parce que le bois se fend naturellement le long de ses fibres — exactement comme une bûche sous la hache. Et l'exigence est maximale du côté vers lequel l'effort pousse, là où un bloc de bois entier pourrait s'arracher.

Décomposition des termes :

\( a_1 \) : espacement d'axe en axe parallèlement au fil, unité : mm
\( a_2 \) : espacement d'axe en axe perpendiculairement au fil, entre files, unité : mm
\( a_{3,\text{t}} \) : distance de l'axe du boulon à l'extrémité chargée, unité : mm
\( a_{4,\text{c}} \) : distance de l'axe du boulon à la rive non chargée, unité : mm
\( \alpha \) : angle entre la direction de l'effort et le fil du bois, unité : degré

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de conclure « ça passe » dès que le ratio est inférieur à 1, sans vérifier les pinces — et sans mentionner que la section nette de l'entrait reste à contrôler..."

L'approche d'ingénieur : Une note de calculs d'assemblage qui s'arrête au ratio de résistance est incomplète, et un contrôleur technique la refusera. Trois vérifications sont indissociables.

L'erreur : Croire que \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) est un nombre inconditionnel. Il n'est valable que si les pinces du tableau 8.4 sont respectées : c'est une capacité sous condition.
La bonne méthode : Vérifier dans cet ordre : les pinces d'abord — sinon le calcul est nul et non avenu —, le ratio ELU ensuite, la section nette de la pièce percée enfin.
L'astuce de pro : Ajoutez systématiquement en fin de note la mention « vérifications complémentaires à traiter » avec la liste explicite. Cela protège votre responsabilité et guide celui qui reprend le dossier.
Le moyen mnémotechnique : « Pinces, puis ratio, puis section » — dans cet ordre. Les pinces conditionnent le modèle, le ratio conclut sur les organes, la section conclut sur la pièce.
L'impact direct : Un entrait de 80 × 200 mm percé de deux trous M16 dans la même section transversale perd 16 % de sa section. Si la traction y était dimensionnante, l'assemblage tiendrait et la pièce casserait à côté — un sinistre classique en charpente.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( F_{\text{v},\text{Ed}} \) : donné en kN — 48,0 kN, valeur issue de la combinaison ELU
\( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : obtenu en kN — 51,26 kN, question 3
Taux de travail : rapport sans unité , converti en pourcentage pour la lecture
Pinces exigées : calculées en mm à partir de \( d = 16 \) mm
Pinces prévues : lues en mm sur le plan d'exécution, d'axe en axe

La conclusion se construit en deux volets indissociables. Le premier est quantitatif : le taux de travail. Le second est géométrique : le respect des pinces, condition de validité du modèle employé. Ce n'est qu'après les deux que l'on rédige l'avis — et cet avis peut parfaitement être « accepté sous réserve », qui est d'ailleurs la conclusion la plus fréquente en bureau d'études réel.

1. Résolution Numérique Vérification du critère ELU et taux de travail

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour répondre à la question posée par le charpentier : les 4 boulons M16 suffisent-ils ? Le taux de travail apporte en outre une information de robustesse que le simple verdict binaire ne donne pas.

Méthodologie du calcul :

Un simple rapport, mais que l'on interprète. On calcule aussi la réserve absolue en kN, plus parlante qu'un pourcentage pour évaluer la sensibilité aux aléas d'exécution.

Substitution : \( F_{\text{v},\text{Ed}} = 48{,}0 \) kN et \( F_{\text{v},\text{Rd}} = 51{,}26 \) kN, valeurs homogènes.
Piège évité : Ne pas inverser le rapport. Le taux de travail met la sollicitation au numérateur : c'est bien \( E/R \) et non \( R/E \).
Hypothèse validée : Les 48 kN correspondent à la combinaison ELU la plus défavorable, avec la neige comme action variable dominante — cohérent avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \).
Vérification croisée : \( 48/51{,}26 \approx 0{,}94 \) : la réserve est d'environ 6 %, soit 3,3 kN. Deux façons de dire la même chose.
Finalité : Alimenter l'avis technique par un chiffre et son interprétation en termes de marge disponible.

\[ \begin{aligned} \frac{F_{\text{v},\text{Ed}}}{F_{\text{v},\text{Rd}}} &= \frac{48{,}0}{51{,}26} = 0{,}9364 \\[4pt] &= \mathbf{93{,}6\ \%} \le 100\ \% \quad \Rightarrow \quad \text{CRITERE VERIFIE} \\[8pt] \text{Reserve} &= 51{,}26 - 48{,}0 = \mathbf{3{,}26} \text{ kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

93,6 % : le critère est satisfait, mais il faut savoir lire ce que ce nombre dit vraiment sur la robustesse de la solution.

Ordre de grandeur : Un taux entre 85 et 95 % caractérise un assemblage bien optimisé : la matière est utilisée sans gaspillage.
Impact sur la suite : Avec seulement 3,26 kN de réserve, toute évolution du projet — surcharge de neige révisée, panneaux photovoltaïques ajoutés en toiture — invaliderait l'assemblage. À signaler dans l'avis.
Cohérence : La ruine serait gouvernée par le mode (j), donc partiellement ductile : l'assemblage avertirait par des déformations visibles avant de céder. C'est un point favorable, à mentionner.
Attention : Un seul boulon mal percé, hors tolérance, et l'effet de file se dégrade : la capacité pourrait descendre sous les 48 kN. La tolérance d'exécution doit être prescrite explicitement.
Comparaison : En passant en M20, la capacité monterait à environ 68 kN et le taux tomberait à 71 % — au prix de pinces plus grandes, donc d'un aboutage plus long.

Remarque pédagogique : Faites toujours exprimer la réserve en kN en plus du pourcentage. Un étudiant qui annonce « 93,6 %, c'est bon » n'a pas la même compréhension que celui qui annonce « il reste 3,26 kN, soit l'équivalent de 25 cm de neige supplémentaire ». Le second raisonne en ingénieur : il rattache le nombre à une réalité physique et sait immédiatement quelle évolution du projet remettrait son calcul en cause.

Contrôle des pinces selon le tableau 8.4

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que sans lui, les 51,26 kN calculés n'ont aucune validité. C'est la vérification qui autorise, rétroactivement, l'emploi des équations de Johansen.

Méthodologie du calcul :

On dresse un tableau comparatif exigé / prévu / verdict. Chaque ligne est une vérification indépendante, et une seule ligne en défaut suffit à invalider l'assemblage.

Substitution : \( \alpha = 0^{\circ} \) et \( d = 16 \) mm, ce qui donne les quatre minima déjà établis : 80, 64, 112 et 48 mm.
Piège évité : Pour un effort dans le fil, les rives ne sont pas chargées : on compare à \( a_{4,\text{c}} = 3\,d \) et non à \( a_{4,\text{t}} \). Se tromper ici durcit inutilement l'exigence.
Hypothèse validée : La distance de rive de 68 mm résulte de la géométrie : \( (200 - 64)/2 = 68 \) mm, avec deux files centrées sur la hauteur.
Vérification croisée : Toutes les cotes prévues sont supérieures ou égales aux minima. Deux d'entre elles sont exactement à la limite ou proches.
Finalité : Valider le modèle de calcul et identifier les points sensibles à porter dans l'avis technique.

\[ \begin{aligned} a_{1} &: \; 112 \text{ mm prevu} \; \ge \; 80 \text{ mm exige} \quad \Rightarrow \quad \text{OK} \; (+40\ \%) \\[3pt] a_{2} &: \; \phantom{1}64 \text{ mm prevu} \; \ge \; 64 \text{ mm exige} \quad \Rightarrow \quad \text{OK a la limite} \; (+0\ \%) \\[3pt] a_{3,\text{t}} &: \; 120 \text{ mm prevu} \; \ge \; 112 \text{ mm exige} \quad \Rightarrow \quad \text{OK} \; (+7\ \%) \\[3pt] a_{4,\text{c}} &: \; \phantom{1}68 \text{ mm prevu} \; \ge \; 48 \text{ mm exige} \quad \Rightarrow \quad \text{OK} \; (+42\ \%) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les quatre pinces sont conformes, mais avec des marges très inégales — de 0 % à 42 %. Cette dispersion est l'information la plus utile du tableau.

Ordre de grandeur : \( a_1 \) à \( 7\,d \) et \( a_2 \) à \( 4\,d \) correspondent aux dispositions courantes en charpente traditionnelle française.
Impact sur la suite : \( a_2 \) étant exactement au minimum, c'est le point à surveiller en exécution. Un gabarit de perçage devient nécessaire, le traçage à la main ne suffit pas.
Cohérence : \( a_1 = 112 \) mm dépasse largement le minimum de 80 mm, ce qui est heureux : c'est cette cote qui pilote aussi \( n_{\text{ef}} \). La réduire pénaliserait deux fois.
Attention : Le modèle de Johansen n'est validé que parce que ces quatre lignes passent. Avec \( a_2 = 60 \) mm au lieu de 64, tout le calcul serait à reprendre par une vérification de fendage.
Comparaison : En portant \( a_2 \) à \( 5\,d = 80 \) mm, la distance de rive tomberait à 60 mm — encore conforme — et l'on gagnerait une marge de tolérance sans changer la capacité.

Remarque pédagogique : Demandez systématiquement la marge en pourcentage sur chaque pince, et non un simple « OK ». C'est ce qui distingue une vérification administrative d'une analyse de risque d'exécution. Ici, la colonne des marges désigne immédiatement \( a_2 \) comme le point faible du plan — information que le charpentier peut exploiter dès demain matin sur son établi, alors qu'une colonne de quatre « OK » ne lui apprend rien.

RÉSULTAT FINAL

Taux de travail = 93,6 %

Pinces = 4/4 conformes

"Assemblage vérifié — mais avec une réserve de seulement 3,26 kN à signaler au charpentier !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai systématiquement vérifié les unités (notamment MPa, kN, m) avant mes applications numériques. J'ai bien distingué les calculs à l' ELU (sécurité globale) et à l' ELS (déformations et confort). J'ai compris pourquoi j'ai utilisé cette formule précise de la norme, plutôt que de l'appliquer aveuglément. J'ai compté les plans de cisaillement sur le croquis, et non de mémoire, et j'ai bien identifié \( t_1 \) et \( t_2 \). J'ai calculé les quatre modes de rupture et je peux nommer celui qui gouverne, pas seulement donner sa valeur. J'ai appliqué \( n_{\text{ef}} \) file par file , et vérifié les pinces du tableau 8.4 avant de conclure.

Avis technique — assemblage ACCEPTÉ SOUS RÉSERVE. L'aboutage de l'entrait par moises boulonnées transmet les 48 kN de traction à l'ELU pour une capacité de calcul de 51,26 kN, soit un taux de travail de 93,6 %. Les quatre exigences de pinces du tableau 8.4 sont satisfaites. Le mode de rupture gouvernant est le mode (j), avec formation d'une rotule plastique dans chaque moise : l'assemblage présente donc une ductilité partielle et se déformerait de façon visible avant de céder, ce qui constitue un point favorable pour la sécurité des personnes. Le client peut être informé que la solution du charpentier est techniquement valide en l'état.

Deux réserves conditionnent cet avis, et elles doivent figurer au plan d'exécution. D'une part, la réserve de capacité n'est que de 3,26 kN : toute évolution du projet — révision de la charge de neige, ajout de panneaux en toiture, changement de couverture pour un matériau plus lourd — invaliderait ce calcul et imposerait une nouvelle vérification. D'autre part, l'espacement entre files \( a_2 = 64 \) mm est exactement au minimum réglementaire : un gabarit de perçage doit être imposé à l'exécution, le traçage manuel n'offrant pas la précision requise. Si le maître d'ouvrage souhaite une marge plus confortable, la recommandation du bureau d'études est de porter \( a_1 \) de 112 à 150 mm, ce qui améliore le nombre efficace et gagne environ 8 % de capacité sans ajouter un seul boulon ni percer davantage la pièce. Enfin, deux vérifications restent à mener hors du présent périmètre : la section nette de l'entrait en traction selon le § 6.1.2, la pièce perdant environ 16 % de sa section au droit des perçages, et la rupture de bloc en about selon l'annexe A de l'EN 1995-1-1. La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas de valider un nombre de boulons, elle identifie le mode de ruine, quantifie la marge disponible, désigne le point sensible d'exécution et énonce ce qui reste à contrôler.

Vérification d'un assemblage boulonné bois-bois en double cisaillement

Vérification d'un assemblage boulonné bois-bois en double cisaillement

Vérification d'un assemblage boulonné bois-bois en double cisaillement

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Caractériser le couple bois-acier

Question 2 : Capacité d'un boulon par la théorie de Johansen

Question 3 : Effet de file et capacité de calcul de l'assemblage

Question 4 (Finale) : Vérification ELU, pinces et avis technique

Vérification d'un assemblage boulonné bois-bois en double cisaillement

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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