Calcul la résistance d’une planche de bois
De : Jean-Marc T. (Directeur de Travaux)
À : Pôle Ingénierie & Structure Bois
Objet : 🚨 URGENT - Validation madriers pour passerelle provisoire Secteur B
Salut l'équipe,
On a un imprévu géotechnique sur le chantier du Secteur B. La tranchée principale s'est effondrée et on a dû l'élargir. Pour maintenir la circulation des ouvriers, on doit poser un platelage piéton provisoire en urgence.
🪵 Le Matériel : J'ai un gros stock de madriers en sapin de pays (classe C24, section brute 50x200 mm).
📏 La Géométrie : La tranchée fait exactement 2,40 m de vide. On va faire reposer les madriers sur des cales de répartition de 10 cm de largeur de chaque côté.
⚖️ Les Charges : Le coordinateur sécurité exige qu'on garantisse une charge d'exploitation de 250 kg par mètre linéaire sur chaque madrier. En ajoutant le poids propre du bois humide et de l'OSB, comptez 20 kg par mètre linéaire de charge permanente.
🌧️ L'Environnement : Les madriers sont stockés sous abri ouvert depuis des mois, ils sont soumis à l'humidité ambiante (Classe de service 2).
J'ai besoin de la note de calcul validée avant midi pour autoriser la pose. Je compte sur vous !
📝 Contexte de l'Étude
Dans le cadre de l'aménagement temporaire et de la sécurisation du chantier "Secteur B", une passerelle d'accès franchissant une fouille doit être mise en œuvre.
Contrairement à un exercice d'école classique, les données d'entrée fournies ici sont des relevés de chantier bruts. L'enjeu de cette étude de cas est de transformer ces contraintes physiques en un véritable modèle mécanique de calcul.
Vous devrez ensuite vérifier la résistance des matériaux aux États Limites Ultimes (ELU). L'étude portera sur un madrier isolé, considéré comme la pièce la plus défavorable, soumis à la flexion simple et au cisaillement longitudinal.
Convertir les données terrain en modèle conforme à l'Eurocode 5, dimensionner la section de bois aux ELU et statuer officiellement sur la faisabilité du franchissement avec le stock disponible.
- 📐 Détermination géométrique de la portée de calcul réelle \( L \).
- ⚖️ Conversion des masses en charges linéiques pondérées à l'ELU.
- 💥 Vérification rigoureuse de la contrainte de flexion maximale.
- 🪚 Vérification du cisaillement aux appuis, en intégrant la réduction de section liée au retrait du bois.
Les valeurs mécaniques du matériau ne vous sont pas livrées "toutes cuites". Vous devrez auditer le dossier technique et extraire vous-même les paramètres depuis la norme NF EN 338 et l'Eurocode 5.
Pour mener à bien cette vérification express de structure bois, l'équipe travaux a relevé les dimensions exactes sur site. Votre rôle d'expert est d'extraire les paramètres mécaniques correspondants aux matériaux livrés.
🧩 TABLEAU 1 : PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES DES BOIS MASSIFS RÉSINEUX (NF EN 338)
| Classe de Résistance | Flexion \( f_{\text{m,k}} \) | Cisaillement \( f_{\text{v,k}} \) | Module Axial \( E_{\text{0,mean}} \) |
|---|---|---|---|
| C18 | 18,0 MPa | 3,4 MPa | 9 000 MPa |
| C24 | 24,0 MPa | 4,0 MPa | 11 000 MPa |
| C30 | 30,0 MPa | 4,0 MPa | 12 000 MPa |
📊 TABLEAU 2 : VALEURS DU COEFFICIENT MODIFICATEUR \( k_{\text{mod}} \) (EUROCODE 5)
| Classe de durée de charge | Exemples d'actions | Classe de Service 1 | Classe de Service 2 | Classe de Service 3 |
|---|---|---|---|---|
| Permanente | Poids propre, superstructures | 0,60 | 0,60 | 0,50 |
| Moyen terme | Charges d'exploitation (Bâtiments) | 0,80 | 0,80 | 0,65 |
| Court terme | Neige, Ouvriers / Piétons | 0,90 | 0,90 | 0,70 |
| Instantanée | Vent, chocs, explosions | 1,10 | 1,10 | 0,90 |
🛡️ TABLEAU 3 : COEFFICIENTS PARTIELS DE SÉCURITÉ \( \gamma_{\text{M}} \)
| Matériau | Valeur du \( \gamma_{\text{M}} \) |
|---|---|
| Bois massif | 1,30 |
| Bois Lamellé-Collé (BLC) | 1,25 |
| Panneaux structuraux (OSB, Contreplaqué) | 1,20 |
Pour le dimensionnement au cisaillement des éléments fléchis en bois massif, il convient d'anticiper la présence de fentes de retrait. La largeur efficace de la section transversale doit impérativement être calculée en utilisant un facteur de réduction \( k_{\text{cr}} \). Pour le matériau bois massif, la norme impose \( k_{\text{cr}} = 0,67 \).
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les 4 étapes méthodiques exigées par les bureaux d'études structure.
Question 1 : Modélisation Statique et Descente de Charges
- En analysant les dimensions de la fouille et des appuis fournies par le Directeur de Travaux, déterminez la portée de calcul réelle \( L \) du madrier.
- Convertissez les masses brutes en charges linéiques, puis calculez la charge uniformément répartie totale pondérée à l'État Limite Ultime, notée \( p_{\text{ELU}} \) (en \( \text{kN/m} \)).
💡 Conseil du Bureau d'Études
En génie civil, la portée de calcul se prend toujours entre les axes géométriques des appuis, et non de bord à bord du vide ! Prenez \( g = 10 \text{ m/s}^2 \) pour faciliter vos conversions de masses en efforts.
Question 2 : Caractéristiques Mécaniques de Calcul (Eurocode 5)
- Relevez les résistances caractéristiques de base \( f_{\text{m,k}} \) et \( f_{\text{v,k}} \).
- Calculez les résistances de calcul de dimensionnement à la flexion \( f_{\text{m,d}} \) et au cisaillement \( f_{\text{v,d}} \).
Question 3 : Vérification de la Sécurité en Flexion Simple
- Calculez le moment fléchissant maximal \( M_{\text{max}} \) généré par \( p_{\text{ELU}} \).
- Déterminez la contrainte de flexion maximale de calcul \( \sigma_{\text{m,d}} \) subie par les fibres extrêmes du bois.
- Concluez quant à la viabilité de la section en flexion (le critère \( \sigma_{\text{m,d}} \leq f_{\text{m,d}} \) est-il respecté ?).
💡 Conseil du Bureau d'Études
La rigueur sur les unités vous sauvera ! Basculez toutes vos dimensions en Newtons (N) et en millimètres (mm) au moment du calcul pour obtenir naturellement une contrainte en MPa (\( \text{N/mm}^2 \)).
Question 4 (Finale) : L'Épreuve du Cisaillement Longitudinal
- Calculez l'effort tranchant maximal \( V_{\text{max}} \) généré aux appuis.
- Calculez la contrainte de cisaillement maximale \( \tau_{\text{d}} \) sur la fibre neutre, en appliquant rigoureusement l'Article 6.1.7 de l'Eurocode 5 concernant la largeur efficace.
🛑 Sas de Préparation
Avant de consulter la correction détaillée, assurez-vous d'avoir pris le temps de chercher. La vraie progression se trouve dans la réflexion, pas dans la lecture passive !
Calcul la résistance d’une planche de bois
Pour passer du monde physique à un modèle statique rigoureux, nous allons procéder en trois étapes claires :
📏 Définir la ligne neutre de notre poutre (la portée de calcul se mesure entre les axes géométriques des appuis).
⚖️ Convertir les masses relevées en un véritable effort linéaire, en démontrant le passage des kilos aux KiloNewtons.
💥 Appliquer les coefficients de pondération réglementaires pour obtenir la charge finale à l'État Limite Ultime (ELU).
👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Charge linéique pondérée : \( p_{\text{ELU}} = 4,02 \text{ kN/m} \)
En résistance des matériaux, on considère qu'une poutre reposant sur des cales transmet ses efforts exactement au centre de ces surfaces de contact. La distance de calcul \( L \) n'est donc pas le vide franchi, mais bien la distance entre le centre de la cale gauche et le centre de la cale droite.
Cette formule permet de définir la longueur exacte du modèle statique, d'un axe d'appui à l'autre.
- \( L_{\text{vide}} \) : Largeur réelle de la tranchée à franchir, unité : m
- \( l_{\text{appui}} \) : Longueur de repos du madrier sur le sol ou la cale, unité : m
Cette équation applique la règle de combinaison fondamentale pour sécuriser l'ouvrage face aux surcharges.
- \( g \) : Charge permanente linéique, unité : kN/m
- \( q \) : Charge d'exploitation linéique, unité : kN/m
- \( \gamma_{\text{G}}, \gamma_{\text{Q}} \) : Coefficients partiels de sécurité de l'Eurocode 0.
Ne mélangez jamais les masses (en \( \text{kg} \)) et les forces (en \( \text{N} \) ou \( \text{kN} \)). La norme Eurocode fonctionne exclusivement avec des forces. L'accélération de la pesanteur permet de réaliser cette bascule indispensable.
Exécution de la Note de Calculs
- Vide de la fouille = \( 2,40 \text{ m} \) (Source : E-mail du Directeur)
- Appuis sur cales = \( 0,10 \text{ m} \) de chaque côté (Source : E-mail du Directeur)
- Masse permanente = \( 20 \text{ kg/m} \) (Source : E-mail du Directeur)
- Masse d'exploitation = \( 250 \text{ kg/m} \) (Source : E-mail du Directeur)
Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour définir l'envergure exacte du modèle "poutre" avant de lancer la moindre descente de charge.
💡 Remarque pédagogique : La portée de calcul sera toujours légèrement supérieure au vide réel. Faire l'impasse sur cet ajustement conduit inévitablement à sous-estimer les efforts fléchissants !
Conversion des masses en charges linéiquesPourquoi fait-on ce calcul ? Pour démontrer rigoureusement la conversion des masses (\( \text{kg} \)) en forces applicables (\( \text{kN} \)). Nous appliquons la loi de Newton : Force = masse * accélération (avec \( a \approx 10 \text{ m/s}^2 \)).
💡 Remarque pédagogique : Cette transparence totale vous évitera les fameuses erreurs d'un "facteur 10", qui sont un grand classique en bureau d'études.
Calcul de la charge pondérée à l'ELUPourquoi fait-on ce calcul ? Pour pondérer les charges physiques avec les coefficients de sécurité (\( 1,35 \) et \( 1,50 \)) imposés par l'Eurocode 0.
💡 Remarque pédagogique : Observez comment la charge d'exploitation (\( 3,75 \text{ kN/m} \)) domine totalement la charge permanente du bois (\( 0,27 \text{ kN/m} \)). C'est le comportement typique des structures légères !
INTERPRÉTATION : Notre modèle statique est désormais une poutre isostatique de \( 2,50 \text{ m} \) de long, supportant une charge uniformément répartie descendante de \( 4,02 \text{ kN/m} \).
La charge d'exploitation est de \( 250 \text{ kg/m} \), ce qui représente environ le poids de 3 ouvriers (avec leur matériel) par mètre linéaire. Appliquer plus de \( 400 \text{ kg/m} \) (\( 4 \text{ kN/m} \)) à l'ELU représente donc une marge de sécurité tout à fait cohérente.
Sur un vrai chantier, les madriers ne sont jamais parfaitement rectilignes. S'ils sont chargés, ils peuvent fléchir latéralement (se tordre). C'est pourquoi le platelage en OSB joue un rôle de diaphragme : une fois cloué, il empêche le déversement des poutres.
Et si la tranchée faisait 4 mètres de large et que l'on ajoutait un appui intermédiaire parfait au centre ? Que deviendrait ce modèle de calcul statique ?
Prendre la largeur du vide (\( 2,40 \text{ m} \)) comme portée de calcul sous-estime les efforts internes d'environ \( 8 \% \). Cela rogne dangereusement sur la sécurité globale de l'ouvrage.
❓ Question Fréquente (Optionnel)
Pourquoi majorer le bois de 1,35 et les ouvriers de 1,50 ? L'Eurocode 0 estime que le poids propre des matériaux varie très peu dans la vie d'un ouvrage. En revanche, l'accumulation exceptionnelle de personnes sur une passerelle est beaucoup plus imprévisible.
Nous devons extraire les résistances théoriques du madrier C24 depuis le dossier normatif.
Le bois étant un matériau vivant, sa résistance est altérée par l'humidité de l'air et la durée de la charge. Nous allons donc minorer ces valeurs à l'aide de la formule réglementaire de l'Eurocode 5, qui intègre les coefficients correcteurs.
👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Résistance de calcul au cisaillement : \( f_{\text{v,d}} = 2,77 \text{ MPa} \)
En construction bois, la résistance d'un élément n'est jamais fixe. La lettre "k" indique une valeur caractéristique (théorique, issue de tests parfaits en laboratoire). La lettre "d" indique une valeur de calcul (design, minorée et sécurisée), apte à être utilisée en ingénierie.
Cette formule s'applique pour convertir n'importe quelle résistance caractéristique du bois en résistance finale de dimensionnement.
- \( f_{\text{k}} \) : Résistance caractéristique issue de la norme, unité : MPa
- \( k_{\text{mod}} \) : Coefficient modificateur lié au climat et à la durée de la charge.
- \( \gamma_{\text{M}} \) : Coefficient partiel de sécurité lié aux défauts internes du matériau bois.
Surlignez systématiquement les 3 paramètres vitaux lors de l'analyse du projet : Classe de résistance, Classe de service, et Durée de charge. Ce sont vos clés d'entrée incontournables pour lire les tableaux de la norme.
Exécution de la Note de Calculs
- Résistance de base flexion \( f_{\text{m,k}} \) = \( 24,0 \text{ MPa} \) (Source : Tableau 1 pour bois C24)
- Résistance de base cisaillement \( f_{\text{v,k}} \) = \( 4,0 \text{ MPa} \) (Source : Tableau 1 pour bois C24)
- Ambiance et durée \( k_{\text{mod}} \) = \( 0,90 \) (Source : Tableau 2 pour Classe de Service 2 + Action Court Terme)
- Sécurité Matériau \( \gamma_{\text{M}} \) = \( 1,30 \) (Source : Tableau 3 pour Bois Massif)
Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour déterminer la contrainte limite admissible en flexion, après avoir pénalisé le matériau pour ses défauts naturels et son exposition à l'humidité du chantier.
💡 Remarque pédagogique : Ne conservez que deux décimales. Une précision supérieure n'a absolument aucun sens physique face à un matériau aussi hétérogène que le bois.
Calcul de la résistance de calcul au cisaillementPourquoi fait-on ce calcul ? Pour déterminer la limite de rupture au cisaillement (le glissement interne des fibres), tout en appliquant la même logique de sécurisation.
💡 Remarque pédagogique : Le cisaillement admissible dans le bois est toujours très faible (ici inférieur à \( 3 \text{ MPa} \)). C'est le véritable talon d'Achille de ce matériau.
INTERPRÉTATION : La pénalisation imposée par la norme ampute la résistance théorique de la pièce de près de 30%. C'est avec ces valeurs minorées rigoureuses (\( 16,62 \text{ MPa} \) et \( 2,77 \text{ MPa} \)) que nous devrons affronter les contraintes réelles des questions 3 et 4.
L'interaction du coefficient \( k_{\text{mod}} \) (\( 0,90 \)) et de \( \gamma_{\text{M}} \) (\( 1,30 \)) fait que l'on multiplie globalement la résistance initiale par environ \( 0,7 \). Obtenir des valeurs de calcul autour de \( 16 \text{ MPa} \) pour un C24 est un ordre de grandeur cohérent à retenir !
Imaginons que ce chantier dure des années (charge permanente dominante) et que le bois ne soit pas protégé de la pluie (Classe de service 3). Le \( k_{\text{mod}} \) chuterait alors à \( 0,50 \). Ce même madrier serait deux fois moins résistant ! L'environnement fait tout dans le bois.
Pourquoi le bois lamellé-collé bénéficie-t-il d'un coefficient \( \gamma_{\text{M}} \) plus avantageux (\( 1,25 \)) que le bois massif traditionnel (\( 1,30 \)) ?
Oublier purement et simplement le \( k_{\text{mod}} \). Diviser la résistance uniquement par le coefficient de sécurité donne un résultat beaucoup trop optimiste. En cas de sinistre, la responsabilité pénale du concepteur serait immédiatement engagée.
❓ Question Fréquente (Optionnel)
Que signifie exactement C24 ? Le "C" vient de Conifer (Résineux, comme le sapin ou l'épicéa). Le "24" désigne la valeur garantie en rupture à la flexion en laboratoire, soit \( 24 \text{ MPa} \).
Notre plan d'attaque est méthodique :
* Modéliser l'effort interne maximum, c'est-à-dire le moment fléchissant au centre de la poutre.
* Démontrer une conversion d'unités stricte pour obtenir des Newton-millimètres.
* Utiliser le module de flexion de la section pour convertir cet effort en contrainte sur les fibres extrêmes du bois.
* Comparer cette contrainte finale à notre limite admissible calculée précédemment.
👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Vérification : \( 9,42 \text{ MPa} \leq 16,62 \text{ MPa} \)
La contrainte de flexion n'est pas uniforme. Elle atteint son maximum sur les fibres extrêmes (les fibres supérieures s'écrasent en compression, les fibres inférieures s'étirent en traction). Le profil de notre madrier étant rectangulaire, son module de flexion se calcule très facilement.
L'effort de flexion culmine exactement au milieu d'une travée isostatique supportant une charge uniformément répartie.
- \( p_{\text{ELU}} \) : Charge linéaire pondérée, unité : kN/m
- \( L \) : Portée de calcul entre appuis, unité : m
Ce module définit la capacité géométrique d'une section rectangulaire pleine à s'opposer à la courbure.
- \( b \) : Largeur de la base, unité : mm
- \( h \) : Hauteur de la section, unité : mm
Cette équation de Navier traduit l'effort global en une pression subie par le matériau.
- \( M_{\text{max}} \) : Effort fléchissant (converti en \( \text{N}\cdot\text{mm} \))
- \( W \) : Module de flexion de la pièce, unité : \( \text{mm}^3 \)
Rappelez-vous pour toujours que \( 1 \text{ MPa} = 1 \text{ N/mm}^2 \). Si vous prenez le réflexe d'injecter uniquement des Newtons et des millimètres dans vos formules de RDM, vous n'aurez plus jamais d'erreur d'échelle !
Exécution de la Note de Calculs
- Charge pondérée \( p_{\text{ELU}} \) = \( 4,02 \text{ kN/m} \) (Source : Calcul de la Q1)
- Portée de calcul \( L \) = \( 2,50 \text{ m} \) (Source : Calcul de la Q1)
- Section géométrique \( b \) et \( h \) = \( 50 \text{ mm} \) et \( 200 \text{ mm} \) (Source : E-mail du Directeur)
Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour quantifier la flexion maximale générée en plein centre de la poutre par le poids gravitationnel (ouvriers + bois).
Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour assurer une transparence d'unités totale avant de croiser les efforts avec la géométrie. Nous transformons les \( \text{kN} \) en \( \text{N} \) (\( \cdot 10^3 \)), et les \( \text{m} \) en \( \text{mm} \) (\( \cdot 10^3 \)).
💡 Remarque pédagogique : Rédiger cette démonstration est l'antidote absolu contre le fameux facteur \( 10^{-6} \) qui ruine les examens de RDM.
Calcul du module de flexionPourquoi fait-on ce calcul ? Pour caractériser la résistance géométrique propre de notre section rectangulaire.
💡 Remarque pédagogique : Remarquez que la hauteur \( h \) est au carré ! L'orientation de la pièce (mise sur chant) est ce qui lui donne toute son inertie.
Vérification de la contraintePourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier si les fibres du bois supportent physiquement l'effort, en comparant la contrainte agissante à la contrainte admissible.
💡 Remarque pédagogique : Ayant injecté des \( \text{N} \) et des \( \text{mm} \), le résultat est implicitement en \( \text{N/mm}^2 \), ce qui équivaut très exactement à des Mégapascals (\( \text{MPa} \)).
INTERPRÉTATION : La contrainte subie par le bois est de \( 9,42 \text{ MPa} \). La résistance limite admissible que nous avions fixée est de \( 16,62 \text{ MPa} \). Le critère d'État Limite Ultime est largement respecté. La poutre ne cassera pas en flexion, avec un taux de travail sécurisant de \( 56% \).
Un madrier robuste de \( 20 \text{ cm} \) de haut franchissant "seulement" \( 2,5 \text{ m} \) est un élément extrêmement rigide pour le passage de piétons. Il est donc mathématiquement logique que le taux de travail en flexion ne soit pas flirtant avec les \( 100% \).
En ingénierie bois contemporaine, la rupture par flexion n'est presque jamais le facteur limitant initial pour un plancher. C'est la vérification de la flèche (déformation élastique à l'ELS) qui conditionne le choix de la section, afin d'éviter l'inconfort ou l'effet "trampoline" sous les pas.
Si, par grave erreur sur le chantier, un ouvrier inattentif posait le madrier à plat (hauteur \( 50 \text{ mm} \), largeur \( 200 \text{ mm} \)), par quel ratio la contrainte de flexion serait-elle multipliée ?
Le drame des unités mixtes ! Diviser directement des \( \text{kNm} \) par des \( \text{mm}^3 \) sans conversion préalable donne un résultat mathématiquement absurde, ce qui invalide instantanément toute la note de calculs aux yeux d'un bureau de contrôle.
❓ Question Fréquente (Optionnel)
D'où vient la formule magique \( \frac{b \cdot h^2}{6} \) ? Elle provient du rapport mécanique fondamental \( \frac{I}{v} \), où \( I \) est l'inertie du rectangle (\( \frac{b \cdot h^3}{12} \)) et \( v \) représente la distance de l'axe neutre à la fibre la plus sollicitée (\( \frac{h}{2} \)).
C'est le "Boss" final pour le bois :
* Évaluer l'effort tranchant maximal, qui se situe toujours au niveau des appuis de la passerelle.
* Démontrer sa conversion rigoureuse en Newtons.
* Appliquer la théorie de Jourawski sur les sections rectangulaires pour déterminer le glissement au cœur de la poutre.
* Appliquer la règle de l'Eurocode 5 réduisant la largeur \( b \) pour anticiper les micro-fissures du matériau.
👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Vérification : \( 1,13 \text{ MPa} \leq 2,77 \text{ MPa} \)
Contrairement à la flexion (qui frappe les bords extrêmes), la contrainte de cisaillement n'est pas maximale sur les surfaces extérieures. Elle suit une répartition parabolique et atteint son maximum exact au milieu de la hauteur de la pièce (la fibre neutre). C'est pour cela qu'une poutre en bois a tendance à se fendre en deux horizontalement près des appuis.
Définit la force de cisaillement verticale pure régnant aux extrémités de la poutre isostatique.
- \( p_{\text{ELU}} \) : Charge linéaire pondérée, unité : kN/m
- \( L \) : Portée de calcul, unité : m
Traduit l'effort tranchant en contrainte tangentielle à la fibre neutre, en intégrant la largeur efficace de la norme (\( b_{\text{eff}} = k_{\text{cr}} \cdot b \)).
- \( V_{\text{max}} \) : Effort tranchant impérativement en Newtons (N)
- \( k_{\text{cr}} \) : Coefficient normatif de réduction de la largeur
- \( b, h \) : Dimensions géométriques de la section, unité : mm
Ne foncez pas tête baissée dans la formule de Jourawski. Prenez toujours une ligne pour préparer toutes vos variables (effort en \( \text{N} \), dimensions en \( \text{mm} \)). L'équation finale ne sera alors qu'une simple formalité de calculatrice.
Exécution de la Note de Calculs
- Charge et géométrie = \( 4,02 \text{ kN/m} \) sur \( 2,50 \text{ m} \) (Source : Calculs Q1)
- Section \( b \cdot h \) = \( 50 \text{ mm} \) et \( 200 \text{ mm} \) (Source : E-mail du Directeur)
- Facteur de réduction \( k_{\text{cr}} \) = \( 0,67 \) (Source : Dossier technique, Eurocode 5)
Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour isoler la valeur absolue de la force de cisaillement pure qui tente de "trancher" le madrier au droit de son contact avec la cale de répartition.
Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour éviter toute erreur d'échelle dans l'équation de Jourawski, nous démontrons la conversion des KiloNewtons en Newtons (\( 1 \text{ kN} = 10^3 \text{ N} \)).
💡 Remarque pédagogique : Le terrain est préparé. Maintenant, toutes nos variables sont compatibles.
Vérification de la contrainte tangentiellePourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier le risque de refendage du bois en prenant compte de l'affaiblissement réglementaire de la largeur efficace de la poutre. Nous appliquons un arrondi sécuritaire à la valeur supérieure.
💡 Remarque pédagogique : Le rapport final donne \( 1,13 \text{ N/mm}^2 \), soit de beaux \( \text{MPa} \). Comparez cette valeur avec votre limite admissible \( f_{\text{v,d}} = 2,77 \text{ MPa} \).
INTERPRÉTATION : La contrainte de glissement interne culmine à \( 1,13 \text{ MPa} \). C'est largement inférieur à la limite de cisaillement admissible fixée à \( 2,77 \text{ MPa} \). Aucun risque de refendage du bois au niveau des cales.
L'absence du facteur de retrait \( k_{\text{cr}} \) aurait donné une contrainte minorée et fausse de \( 0,75 \text{ MPa} \). L'Eurocode 5 augmente artificiellement l'impact calculé du cisaillement de \( +50% \) pour prévenir la ruine par fendage naturel du matériau, avant même l'application physique de la charge.
Sur les charpentes séculaires, on observe très souvent de longues fissures longitudinales partant des appuis. C'est l'illustration physique de cette fameuse contrainte tangente \( \tau \) qui a fini par dépasser la résistance transversale du bois lors d'épisodes de forte charge couplés à un retrait hygroscopique extrême.
Et si l'on taillait une encoche (un "sifflet") sous le madrier au niveau de l'appui pour l'emboîter parfaitement dans la cale ? Que deviendrait sa résistance au cisaillement ?
Oublier le facteur géométrique parabolique (le facteur \( 1,5 \) ou \( \frac{3}{2} \)) de l'équation de Jourawski, et utiliser bêtement le ratio "Force / Surface" (\( \frac{V}{S} \)). C'est applicable pour obtenir une contrainte moyenne globale, mais très dangereux (et faux !) pour identifier le point critique d'une section rectangulaire pleine.
❓ Question Fréquente (Optionnel)
Pourquoi \( k_{\text{cr}} \) vaut-il exactement 0,67 en bois massif ? C'est une convention empirique européenne, visant à considérer que \( 33% \) de la section du bois est potentiellement déjà fissurée, ou virtuellement affaiblie par les défauts naturels du matériau.
BILAN FINAL & PERFORMANCES
La vérification complète de la passerelle provisoire en bois massif (section 50x200 mm, classe C24) est achevée avec succès.
L'étude technique démontre que le madrier, modélisé sur une portée de calcul stricte de \( 2,50 \text{ m} \), résiste parfaitement aux sollicitations extrêmes de l'État Limite Ultime. La contrainte de flexion maximale atteint un taux de travail d'environ 56%. De plus, le cisaillement longitudinal, même sévèrement pénalisé par le coefficient de fissuration obligatoire de l'Eurocode 5 (\( k_{\text{cr}} \)), reste confiné à un rassurant 41% de la capacité maximale du matériau.
Le stock actuel du parc matériel est donc parfaitement adapté à la demande du coordinateur sécurité. La plus-value de ce dimensionnement express permet au chantier d'éviter la location de passerelles métalliques onéreuses, tout en garantissant un risque d'effondrement nul pour le personnel.
RÉSUMÉ DES FACTEURS DE SÉCURITÉ (ELU)
📊 Tableau de Bord des Performances
DÉCISION DU DIRECTEUR TECHNIQUE
"L'audit structurel est clair, précis et sécuritaire. Les équations de conversion d'unités ont été démontrées et tous les coefficients de la norme Eurocode 5 ont été rigoureusement respectés. Le matériel disponible sur parc est validé pour l'usage provisoire demandé. Je donne l'autorisation de pose immédiate."
