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Analyse du Retrait de Dessiccation d’une Dalle en Béton

Analyse du Retrait de Dessiccation d'une Dalle en Béton

Analyse du Retrait de Dessiccation d'une Dalle en Béton

Contexte : Le Retrait de DessiccationDiminution de volume du béton durci due à la perte d'eau par évaporation vers l'air ambiant. d'une dalle en béton.

Le retrait est un phénomène inhérent au béton qui se traduit par une diminution de volume au cours du temps. Parmi les différentes formes de retrait, le retrait de dessiccation est particulièrement important pour les éléments de grande surface exposés à l'air, comme les dalles. Il résulte de la perte d'eau du béton durci vers l'environnement. S'il est empêché (par exemple, par des liaisons, des appuis ou du ferraillage), ce retrait peut induire des contraintes de traction internes pouvant mener à la fissuration du béton. Cet exercice vise à évaluer la déformation due au retrait de dessiccation d'une dalle en béton armé selon les prescriptions de l'Eurocode 2.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de comprendre les mécanismes du retrait de dessiccation, d'identifier les paramètres influents et d'appliquer la méthode de calcul de l'Eurocode 2 pour estimer cette déformation cruciale pour la durabilité des ouvrages en béton.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le phénomène de retrait de dessiccation et ses causes.
  • Identifier les paramètres principaux influençant le retrait de dessiccation.
  • Calculer l'épaisseur moyenne notionnelle \( h_0 \).
  • Déterminer les coefficients nécessaires au calcul selon l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1).
  • Calculer la déformation de retrait de dessiccation \( \varepsilon_{cd}(t, t_s) \) à un instant \( t \).

Données de l'étude

On étudie une dalle rectangulaire en béton armé simplement appuyée sur ses quatre bords, coulée à l'intérieur d'un bâtiment. La face supérieure de la dalle est exposée à l'air ambiant après décoffrage.

Caractéristiques de la dalle et de l'environnement
Caractéristique Valeur
Épaisseur de la dalle (h) 200 mm
Classe de résistance du béton C30/37
Type de ciment CEM 42,5 N (Classe N)
Humidité relative ambiante (RH) 50 %
Âge du béton au début du séchage \( t_s \) 7 jours
Instant d'évaluation du retrait \( t \) 3650 jours (environ 10 ans)
Schéma de la Dalle (Section Transversale)
Béton C30/37 h=200mm Séchage par la face supérieure (RH = 50%)

Questions à traiter

  1. Calculer l'épaisseur moyenne notionnelle \( h_0 \) de la dalle.
  2. Déterminer le coefficient \( \beta_{RH} \) en fonction de l'humidité relative \( RH \).
  3. Calculer le coefficient \( \beta_{ds}(t, t_s) \) décrivant l'évolution temporelle.
  4. Calculer le coefficient \( k_h \) en fonction de \( h_0 \).
  5. Calculer la déformation de retrait de dessiccation \( \varepsilon_{cd}(t, t_s) \) à l'instant \( t = 3650 \) jours.

Les bases sur le Retrait de Dessiccation (Eurocode 2)

Le retrait de dessiccation (ou retrait de séchage) est la diminution de volume du béton due à la perte d'eau vers l'air ambiant. L'Eurocode 2 (EN 1992-1-1, Annexe B) propose une méthode pour estimer cette déformation, notée \( \varepsilon_{cd}(t, t_s) \).

1. Composantes du Retrait de Dessiccation
La déformation de retrait de dessiccation \( \varepsilon_{cd}(t, t_s) \) se développe dans le temps et dépend de nombreux facteurs. Sa valeur finale (théorique à l'infini) dépend principalement de l'humidité relative ambiante et de la composition du béton. La vitesse à laquelle ce retrait se développe dépend de la taille de l'élément (son épaisseur notionnelle \( h_0 \)) et des conditions ambiantes. \[ \varepsilon_{cd}(t, t_s) = \beta_{ds}(t, t_s) \cdot k_h \cdot \varepsilon_{cd,0} \] Où :

  • \( \varepsilon_{cd,0} \) est le coefficient de retrait de dessiccation notionnel.
  • \( k_h \) est un coefficient dépendant de l'épaisseur moyenne notionnelle \( h_0 \).
  • \( \beta_{ds}(t, t_s) \) décrit l'évolution du retrait dans le temps.

2. Coefficient de Retrait Notionnel \( \varepsilon_{cd,0} \)
Il dépend de la résistance du béton (\( f_{\text{ck}} \)) et de l'humidité relative (\( \text{RH} \)). \[ \varepsilon_{cd,0} = 0,85 \cdot [(220 + 110 \cdot \alpha_{ds1}) \cdot \exp(-\alpha_{ds2} \cdot \frac{f_{\text{cm}}}{f_{\text{cmo}}})] \cdot 10^{-6} \cdot \beta_{\text{RH}} \] \[ \beta_{\text{RH}} = 1,55 \cdot [1 - (\frac{\text{RH}}{\text{RH}_0})^3] \] Avec \( f_{\text{cm}} = f_{\text{ck}} + 8 \) (\(\text{MPa}\)), \( f_{\text{cmo}} = 10 \) \(\text{MPa}\), \( \text{RH}_0 = 100\% \). Les coefficients \( \alpha_{ds1} \) et \( \alpha_{ds2} \) dépendent du type de ciment (Classe N : \( \alpha_{ds1}=4, \alpha_{ds2}=0.12 \)).

3. Évolution Temporelle \( \beta_{ds}(t, t_s) \)
Elle décrit comment la déformation de retrait se développe entre le début du séchage \( t_s \) et l'instant considéré \( t \). \[ \beta_{ds}(t, t_s) = \frac{(t - t_s)}{(t - t_s) + 0,04 \cdot \sqrt{h_0^3}} \] Où \( t \) et \( t_s \) sont en jours, et \( h_0 \) est l'épaisseur moyenne notionnelle en \(\text{mm}\).

4. Épaisseur Moyenne Notionnelle \( h_0 \)
Elle caractérise la "massivité" de l'élément vis-à-vis du séchage via la formule \( h_0 = 2 A_c / u \), où \( A_c \) est l'aire de la section et \( u \) est le périmètre exposé au séchage. Pour une dalle d'épaisseur \(h\) séchant par une seule face (cas de l'exercice), \( h_0 = 2h \). Si elle séchait par les deux faces, \( h_0 = h \).

Correction : Analyse du Retrait de Dessiccation d'une Dalle en Béton

Question 1 : Calculer l'épaisseur moyenne notionnelle \( h_0 \) de la dalle.

Principe

L'épaisseur moyenne notionnelle \( h_0 \) représente une dimension caractéristique de l'élément qui influence la vitesse de séchage (et donc la cinétique du retrait). Elle est définie comme le double du rapport entre l'aire de la section droite \( A_c \) et le périmètre \( u \) exposé au séchage.

Mini-Cours

La formule générale est \( h_0 = 2 A_c / u \). Pour une dalle de grande étendue horizontalement et d'épaisseur \( h \), si le séchage ne se fait que par la face supérieure, le périmètre exposé au séchage \( u \) peut être assimilé à la largeur considérée (car la longueur est très grande). L'aire de la section correspondante est la largeur multipliée par l'épaisseur \( h \). Dans ce cas, l'Eurocode 2 (Tableau B.1) simplifie et indique que pour une dalle exposée d'un seul côté, \( h_0 = 2h \).

Remarque Pédagogique

Visualisez la section de la dalle. L'eau s'évapore par le haut. Plus la "distance moyenne" que l'eau doit parcourir pour sortir est grande, plus le séchage est lent. C'est ce que représente \( h_0 \). Si le séchage se faisait des deux côtés, l'eau aurait moins de chemin à faire en moyenne, donc \( h_0 \) serait plus petit (\( h_0=h \)).

Normes

Eurocode 2 - EN 1992-1-1 - Annexe B.6.

Formule(s)

Formule de l'épaisseur notionnelle (dalle séchant sur 1 face)

\[ h_0 = 2h \]
Hypothèses

Le calcul de \(h_0\) selon la formule simplifiée suppose que la dalle est suffisamment étendue pour que les effets de bord sur le séchage soient négligeables par rapport au séchage par la face supérieure.

  • La dalle est considérée comme un élément de grande surface par rapport à son épaisseur.
  • Le séchage ne se produit que par la face supérieure.
Donnée(s)

Les données pertinentes pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Épaisseur de la dalleh200mm
Astuces

Pour les formes simples (dalles, poutres, poteaux), le tableau B.1 de l'Annexe B de l'EC2 donne directement la formule pour \(h_0\) selon les faces exposées. C'est plus rapide que de recalculer \(A_c/u\).

Schéma (Avant les calculs)

Représentation de la section de la dalle avec indication de l'épaisseur \( h \) et de la face exposée au séchage.

Section Transversale de la Dalle
h=200mm Séchage par la face supérieure
Calcul(s)

Calcul de \( h_0 \)

\[ \begin{aligned} h_0 &= 2 \times h \\ &= 2 \times 200 \, \text{mm} \\ &= 400 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

La section de la dalle reste la même après le calcul de \(h_0\).

Section Transversale de la Dalle (Identique)
h=200mm Séchage par la face supérieure
Réflexions

L'épaisseur notionnelle est de 400 mm. Cette valeur, relativement élevée, indique que le séchage sera assez lent comparé à un élément plus mince.

Points de vigilance

Attention à bien identifier les faces exposées au séchage. Si la dalle séchait par les deux faces (supérieure et inférieure), on aurait \( u = 2 \times \text{largeur} \) et \( h_0 \) serait égal à \( h \) (soit 200 mm ici).

Points à retenir

La définition de \( h_0 = 2 A_c / u \) est essentielle. Pour les cas courants (dalle, poutre), retenir les formules simplifiées ou savoir les retrouver rapidement.

Le saviez-vous ?

L'épaisseur notionnelle \(h_0\) est aussi utilisée dans le calcul du fluage du béton selon l'Eurocode 2, car la vitesse du fluage (dit de dessiccation) est également liée à la vitesse de séchage de l'élément.

FAQ

Questions fréquentes sur \(h_0\).

Pourquoi utilise-t-on \(A_c/u\) ?

Ce rapport représente une "longueur caractéristique" pour les phénomènes de diffusion (comme le séchage ou l'échange de chaleur). Le facteur 2 dans \(h_0 = 2 A_c / u\) est une convention de l'Eurocode.

Et pour une poutre rectangulaire \(b \times h\) séchant sur toutes ses faces ?

Dans ce cas, \(A_c = b \times h\) et \(u = 2(b+h)\). Donc \(h_0 = 2 \frac{bh}{2(b+h)} = \frac{bh}{b+h}\).

Résultat Final
L'épaisseur moyenne notionnelle de la dalle est \( h_0 = 400 \, \text{mm} \).
A vous de jouer

Quelle serait la valeur de \( h_0 \) si la dalle, toujours de 200 mm d'épaisseur, séchait par ses deux faces (supérieure et inférieure) ?

Question 2 : Déterminer le coefficient \( \beta_{\text{RH}} \) en fonction de \( \text{RH} \).

Principe

Le coefficient \( \beta_{\text{RH}} \) module l'amplitude maximale du retrait de dessiccation en fonction de l'humidité relative ambiante \( \text{RH} \). Plus l'air est sec (RH faible), plus le retrait potentiel est important.

Mini-Cours

L'Eurocode 2 fournit une formule empirique pour \( \beta_{\text{RH}} \). Pour \( \text{RH} < 99\% \cdot \beta_{s} \), la formule est \( \beta_{\text{RH}} = 1,55 \cdot [1 - (\frac{\text{RH}}{\text{RH}_0})^3] \). Avec \( \text{RH}_0 = 100\% \). Le terme \( \beta_s = 1 - \exp(-0.2 \cdot t_s^{0.5}) \) est généralement proche de 1 pour des débuts de séchage \( t_s \) de quelques jours, donc la condition \( \text{RH} < 99\% \) est souvent vérifiée pour des RH usuelles.

Remarque Pédagogique

Cette formule montre que la relation entre RH et le retrait n'est pas linéaire. Une baisse de RH de 100% à 80% a moins d'impact qu'une baisse de 60% à 40%. Le facteur 1,55 amplifie l'effet pour les faibles humidités.

Normes

Eurocode 2 - EN 1992-1-1 - Équation (B.12) et paragraphe B.8.1 (2).

Formule(s)

Formule du coefficient \( \beta_{\text{RH}} \)

\[ \beta_{\text{RH}} = 1,55 \cdot [1 - (\frac{\text{RH}}{100})^3] \]

Où RH est l'humidité relative en %.

Hypothèses

La formule est empirique, basée sur des essais. Elle suppose que l'humidité relative RH reste constante pendant la période de séchage considérée.

Donnée(s)

La donnée pertinente est :

ParamètreSymboleValeurUnité
Humidité relative ambianteRH50%
Astuces

Pour \(\text{RH}=100\%\), \( \beta_{\text{RH}}=0 \) (pas de retrait de dessiccation). Pour \(\text{RH}=0\%\) (air parfaitement sec), \( \beta_{\text{RH}}=1.55 \). Les valeurs usuelles sont entre ces deux extrêmes.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma illustrant la dalle dans son environnement avec l'humidité relative ambiante.

Dalle et Humidité Ambiante
Air ambiant : RH = 50% Dalle Béton
Calcul(s)

Calcul de \( \beta_{\text{RH}} \)

\[ \begin{aligned} \beta_{\text{RH}} &= 1,55 \cdot [1 - (\frac{50}{100})^3] \\ &= 1,55 \cdot [1 - (0,5)^3] \\ &= 1,55 \cdot [1 - 0,125] \\ &= 1,55 \cdot 0,875 \\ &\approx 1,356 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Graphique montrant la variation de \( \beta_{\text{RH}} \) en fonction de RH.

Variation de \( \beta_{\text{RH}} \) avec RH
Réflexions

La valeur de \( \beta_{\text{RH}} \) est supérieure à 1, ce qui est normal pour une humidité relative inférieure à 100%. Elle module le retrait de base calculé pour une RH de 100%.

Points de vigilance

Vérifier que l'humidité relative RH est bien exprimée en pourcentage dans la formule (division par 100). Ne pas confondre avec d'autres coefficients \( \beta \).

Points à retenir

\( \beta_{\text{RH}} \) quantifie l'influence de l'humidité ambiante sur l'amplitude du retrait. Air sec (RH faible) \(\Rightarrow\) \( \beta_{\text{RH}} \) élevé \(\Rightarrow\) Retrait potentiel important.

Le saviez-vous ?

Dans des environnements très humides (proches de 100% RH), le béton peut même gonfler légèrement (retrait négatif) au lieu de se rétracter par dessiccation.

FAQ

Questions fréquentes sur \( \beta_{\text{RH}} \).

Cette formule est-elle toujours applicable ?

Elle est donnée par l'EC2. D'autres modèles de retrait existent (ACI, fib Model Code, etc.) avec des formulations différentes, mais le principe reste le même : le retrait augmente quand RH diminue.

Que faire si RH varie dans le temps ?

L'EC2 suppose une RH constante. Pour des variations complexes, des analyses plus poussées (par éléments finis avec prise en compte de l'historique d'humidité) peuvent être nécessaires, mais sont hors du cadre de cet exercice.

Résultat Final
Le coefficient lié à l'humidité relative est \( \beta_{\text{RH}} \approx 1,356 \).
A vous de jouer

Calculez \( \beta_{\text{RH}} \) pour une humidité relative de 80%.

Question 3 : Calculer le coefficient \( \beta_{ds}(t, t_s) \) décrivant l'évolution temporelle.

Principe

Le coefficient \( \beta_{ds}(t, t_s) \) décrit la cinétique du retrait de dessiccation. Il représente la fraction du retrait total potentiel qui s'est produite à l'instant \( t \), sachant que le séchage a commencé à l'instant \( t_s \). Sa valeur varie de 0 (à \( t = t_s \)) à 1 (théoriquement à \( t = \infty \)).

Mini-Cours

L'Eurocode 2 donne la formule suivante pour l'évolution temporelle du retrait de dessiccation : \[ \beta_{ds}(t, t_s) = \frac{(t - t_s)}{(t - t_s) + 0,04 \cdot \sqrt{h_0^3}} \] Cette formule montre que la vitesse du retrait dépend fortement de l'épaisseur notionnelle \( h_0 \). Plus \( h_0 \) est grand, plus le dénominateur est grand, et plus le retrait met de temps à se développer ( \( \beta_{ds} \) augmente lentement).

Remarque Pédagogique

Imaginez l'eau s'évaporant d'une éponge. Une éponge fine sèche vite, une éponge épaisse sèche lentement. C'est le même principe ici : \( h_0 \) représente l'"épaisseur" de l'éponge. Le terme \( \sqrt{h_0^3} \) montre que l'effet de l'épaisseur est très marqué.

Normes

Eurocode 2 - EN 1992-1-1 - Équation (B.11).

Formule(s)

Formule du coefficient d'évolution temporelle \( \beta_{ds}(t, t_s) \)

\[ \beta_{ds}(t, t_s) = \frac{(t - t_s)}{(t - t_s) + 0,04 \cdot \sqrt{h_0^3}} \]

Avec \( t \) et \( t_s \) en \(\text{jours}\), et \( h_0 \) en \(\text{mm}\).

Hypothèses

La formule suppose des conditions de séchage constantes (température, humidité) après \( t_s \). Elle représente une évolution moyenne du retrait dans la section.

Donnée(s)

Les données nécessaires, incluant le résultat de Q1, sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Instant d'évaluationt3650jours
Âge au début du séchage\( t_s \)7jours
Épaisseur moyenne notionnelle (Q1)\( h_0 \)400mm
Astuces

Le terme \( 0.04 \sqrt{h_0^3} \) représente grosso modo le temps (en \(\text{jours}\)) nécessaire pour atteindre environ la moitié du retrait final. Ici, \( 320 \, \text{jours} \).

Schéma (Avant les calculs)

Représentation schématique de l'évolution du retrait dans le temps.

Évolution Temporelle du Retrait
t (temps) βds(t, ts) 1 ts 0 t βds(t,ts)
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la durée de séchage \( (t - t_s) \)

\[ \begin{aligned} t - t_s &= 3650 - 7 \\ &= 3643 \, \text{jours} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul du terme dépendant de \( h_0 \)

\[ \begin{aligned} \sqrt{h_0^3} &= \sqrt{400^3} \\ &= \sqrt{(20^2)^3} \\ &= \sqrt{20^6} \\ &= 20^3 \\ &= 8000 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 0,04 \cdot \sqrt{h_0^3} &= 0,04 \times 8000 \\ &= 320 \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul de \( \beta_{ds}(t, t_s) \)

\[ \begin{aligned} \beta_{ds}(3650, 7) &= \frac{3643}{3643 + 320} \\ &= \frac{3643}{3963} \\ &\approx 0,919 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le graphique du simulateur (voir section Simulateur) illustre l'évolution temporelle du retrait, qui suit la courbe de \( \beta_{ds} \).

Réflexions

Après 10 ans (\( \approx \) 3650 jours) de séchage débuté à 7 jours, environ 91,9% du retrait de dessiccation potentiel s'est produit pour cette dalle. Cela montre que le retrait est un phénomène lent, surtout pour des éléments épais.

Points de vigilance

Utiliser les bonnes unités : \( t \) et \( t_s \) en \(\text{jours}\), \( h_0 \) en \(\text{mm}\). Ne pas confondre \( \beta_{ds}(t, t_s) \) avec d'autres coefficients.

Points à retenir

\( \beta_{ds}(t, t_s) \) représente la cinétique du retrait. Elle dépend de la durée de séchage \( (t-t_s) \) et de l'épaisseur notionnelle \( h_0 \).

Le saviez-vous ?

La cure du béton (maintien humide après coulage) pendant les premiers jours (avant \(t_s\)) est cruciale. Elle permet une meilleure hydratation du ciment et limite le retrait précoce, ce qui réduit les risques de fissuration.

FAQ

Questions fréquentes sur \( \beta_{ds} \).

Pourquoi le retrait est-il si lent ?

L'eau met du temps à migrer à travers les pores du béton pour atteindre la surface et s'évaporer. Ce processus de diffusion est lent, surtout dans les bétons denses et les éléments épais.

Le retrait s'arrête-t-il un jour ?

Théoriquement, il tend vers une valeur limite lorsque l'équilibre hydrique est atteint avec l'ambiance, mais cela peut prendre des décennies pour des éléments massifs. La formule de l'EC2 tend vers 1 lorsque \(t \to \infty\).

Résultat Final
Le coefficient d'évolution temporelle du retrait est \( \beta_{ds}(3650, 7) \approx 0,919 \).
A vous de jouer

Calculez \( \beta_{ds}(t, t_s) \) pour la même dalle, mais après seulement 1 an (t=365 jours) de séchage ( \( t_s = 7 \) jours).

Question 4 : Calculer le coefficient \( k_h \) en fonction de \( h_0 \).

Principe

Le coefficient \( k_h \) ajuste l'amplitude du retrait de dessiccation notionnel en fonction de l'épaisseur moyenne notionnelle \( h_0 \). Pour des éléments plus épais, le retrait final est légèrement réduit, car le "cœur" de l'élément sèche moins que la surface.

Mini-Cours

Le coefficient \( k_h \) est donné par interpolation dans le Tableau 3.3 de l'EN 1992-1-1 en fonction de l'épaisseur moyenne notionnelle \( h_0 \). Ce tableau reflète le fait que le retrait n'est pas uniforme dans une section épaisse ; la surface se rétracte plus que le noyau. \(k_h\) représente un facteur moyen.
Valeurs du Tableau 3.3 :

  • \( h_0 = 100 \, \text{mm} \Rightarrow k_h = 1.0 \)
  • \( h_0 = 200 \, \text{mm} \Rightarrow k_h = 0.85 \)
  • \( h_0 = 300 \, \text{mm} \Rightarrow k_h = 0.75 \)
  • \( h_0 \ge 500 \, \text{mm} \Rightarrow k_h = 0.70 \)
Il faut interpoler linéairement pour les valeurs intermédiaires.

Remarque Pédagogique

L'interpolation linéaire est une méthode simple pour estimer une valeur entre deux points connus. On suppose que la variation est une droite entre ces deux points. C'est une approximation courante en ingénierie lorsque les données exactes ne sont pas disponibles ou que la loi physique est complexe.

Normes

Eurocode 2 - EN 1992-1-1 - Tableau 3.3.

Formule(s)

Formule d'interpolation linéaire

\[ k_h = k_{h,1} + \frac{k_{h,2} - k_{h,1}}{h_{0,2} - h_{0,1}} \cdot (h_0 - h_{0,1}) \]
Hypothèses

L'interpolation suppose une variation linéaire de \( k_h \) entre les valeurs tabulées de \( h_0 \). C'est une approximation acceptable dans la plage considérée.

Donnée(s)

La donnée nécessaire (résultat Q1) et les points d'interpolation sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Épaisseur moyenne notionnelle (Q1)\( h_0 \)400mm
Point 1\(h_{0,1}\), \(k_{h,1}\)300, 0.75mm, -
Point 2\(h_{0,2}\), \(k_{h,2}\)500, 0.70mm, -
Astuces

Vérifiez que votre \( h_0 \) est bien entre \( h_{0,1} \) et \( h_{0,2} \). Calculez d'abord la pente \((k_{h,2} - k_{h,1}) / (h_{0,2} - h_{0,1})\), puis multipliez par l'écart \( (h_0 - h_{0,1}) \) et ajoutez à \( k_{h,1} \).

Schéma (Avant les calculs)

Graphique montrant les points du Tableau 3.3 et le segment utilisé pour l'interpolation.

Interpolation de k_h
Calcul(s)

Calcul de \( k_h \) par interpolation

\[ \begin{aligned} k_h &= k_{h,1} + \frac{k_{h,2} - k_{h,1}}{h_{0,2} - h_{0,1}} \cdot (h_0 - h_{0,1}) \\ &= 0,75 + \frac{0,70 - 0,75}{500 \, \text{mm} - 300 \, \text{mm}} \cdot (400 \, \text{mm} - 300 \, \text{mm}) \\ &= 0,75 + \frac{-0,05}{200 \, \text{mm}} \cdot (100 \, \text{mm}) \\ &= 0,75 - 0,05 \times \frac{100}{200} \\ &= 0,75 - 0,05 \times 0,5 \\ &= 0,75 - 0,025 \\ &= 0,725 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le même graphique que précédemment, mettant en évidence le point interpolé (\(h_0=400, k_h=0.725\)).

Interpolation de k_h (avec résultat)
Réflexions

Pour une épaisseur notionnelle de 400 mm, le coefficient réducteur \( k_h \) est de 0,725. Il réduit l'amplitude du retrait calculée par \( \varepsilon_{cd,0} \).

Points de vigilance

Bien choisir les bons points pour l'interpolation. Vérifier que la valeur obtenue est bien comprise entre les valeurs des points d'interpolation.

Points à retenir

\( k_h \) réduit l'amplitude du retrait pour les éléments épais. Sa valeur est obtenue par interpolation du Tableau 3.3 de l'EC2.

Le saviez-vous ?

Pour des éléments très massifs (barrages, fondations épaisses), le cœur de l'élément peut ne quasiment pas sécher pendant la durée de vie de l'ouvrage. Le retrait moyen est alors bien plus faible que celui prédit pour des épaisseurs plus courantes.

FAQ

Questions fréquentes sur \( k_h \).

Pourquoi \(k_h\) diminue-t-il avec \(h_0\)?

Dans un élément épais, seul le béton proche de la surface exposée perd beaucoup d'eau. Le béton au cœur reste plus humide et se rétracte moins. \(k_h\) représente l'effet moyen sur toute la section, qui est donc réduit par rapport à un élément mince où le séchage est plus uniforme.

Peut-on extrapoler au-delà de 500 mm ?

L'EC2 indique \(k_h=0.70\) pour \(h_0 \ge 500\) mm. Il n'est généralement pas nécessaire d'extrapoler pour des valeurs encore plus faibles, car l'effet devient moins sensible pour les très grandes épaisseurs.

Résultat Final
Le coefficient correcteur lié à l'épaisseur est \( k_h = 0,725 \).
A vous de jouer

Calculez \( k_h \) pour une épaisseur notionnelle \( h_0 = 250 \, \text{mm} \).

Question 5 : Calculer la déformation de retrait de dessiccation \( \varepsilon_{cd}(t, t_s) \) à l'instant \( t = 3650 \) jours.

Principe

Maintenant que nous avons calculé tous les coefficients nécessaires (\( \beta_{\text{RH}} \), \( k_h \), \( \beta_{ds}(t, t_s) \)), nous pouvons assembler les morceaux pour calculer la déformation finale de retrait de dessiccation \( \varepsilon_{cd}(t, t_s) \) à l'instant considéré.

Mini-Cours

La formule principale est : \[ \varepsilon_{cd}(t, t_s) = \beta_{ds}(t, t_s) \cdot k_h \cdot \varepsilon_{cd,0} \] Le coefficient de retrait de dessiccation notionnel \( \varepsilon_{cd,0} \) représente la déformation potentielle maximale pour un béton donné dans une ambiance donnée. Il est calculé par : \[ \varepsilon_{cd,0} = 0,85 \cdot [(220 + 110 \cdot \alpha_{ds1}) \cdot \exp(-\alpha_{ds2} \cdot \frac{f_{\text{cm}}}{f_{\text{cmo}}})] \cdot 10^{-6} \cdot \beta_{\text{RH}} \] Il dépend des propriétés intrinsèques du béton (type de ciment via \( \alpha_{ds1}, \alpha_{ds2} \), résistance via \( f_{\text{cm}} \)) et de l'environnement (\( \beta_{\text{RH}} \)).

Remarque Pédagogique

Le calcul final est l'aboutissement des étapes précédentes. Il combine l'amplitude potentielle (\( \varepsilon_{cd,0} \)), la réduction due à l'épaisseur (\( k_h \)) et la progression dans le temps (\( \beta_{ds} \)). C'est comme calculer la distance parcourue : il faut la vitesse potentielle, un facteur de réduction (ralentissement) et le temps écoulé.

Normes

Eurocode 2 - EN 1992-1-1 - Équations (B.11), (B.12), (3.1).

Formule(s)

Formule de la déformation de retrait de dessiccation

\[ \varepsilon_{cd}(t, t_s) = \beta_{ds}(t, t_s) \cdot k_h \cdot \varepsilon_{cd,0} \]

Formule du retrait notionnel \( \varepsilon_{cd,0} \)

\[ \varepsilon_{cd,0} = 0,85 \cdot [(220 + 110 \cdot \alpha_{ds1}) \cdot \exp(-\alpha_{ds2} \cdot \frac{f_{\text{cm}}}{f_{\text{cmo}}})] \cdot 10^{-6} \cdot \beta_{\text{RH}} \]

Formule de la résistance moyenne \( f_{\text{cm}} \)

\[ f_{\text{cm}} = f_{\text{ck}} + 8 \]
Hypothèses

On reprend les hypothèses des calculs précédents : humidité constante, séchage uniforme sur la face exposée, validité des formules empiriques de l'EC2.

Donnée(s)

Données de l'énoncé et résultats des questions précédentes :

ParamètreSymboleValeurUnité
Classe de résistanceC30/37
Résistance caractéristique\( f_{\text{ck}} \)30MPa
Type de cimentCEM N
Coefficient ciment\( \alpha_{ds1} \)4
Coefficient ciment\( \alpha_{ds2} \)0.12
Coefficient RH (Q2)\( \beta_{\text{RH}} \)1,356
Coefficient épaisseur (Q4)\( k_h \)0,725
Coefficient temps (Q3)\( \beta_{ds}(3650, 7) \)0,919
Constante\( f_{\text{cmo}} \)10MPa
Instant d'évaluation\( t \)3650jours
Début séchage\( t_s \)7jours
Astuces

Faites les calculs intermédiaires (\(f_{\text{cm}}\), terme exponentiel, \( \varepsilon_{cd,0} \)) séparément pour éviter les erreurs de saisie dans la calculatrice. Gardez suffisamment de décimales dans les calculs intermédiaires.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation de la dalle subissant un raccourcissement dû au retrait.

Illustration du Retrait
Position Initiale (L) L Position après retrait (L - ΔL) Retrait Retrait ΔL = εcd * L
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \( f_{\text{cm}} \)

\[ \begin{aligned} f_{\text{cm}} &= f_{\text{ck}} + 8 \\ &= 30 \, \text{MPa} + 8 \, \text{MPa} \\ &= 38 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul du terme exponentiel

\[ \begin{aligned} \exp(-\alpha_{ds2} \cdot \frac{f_{\text{cm}}}{f_{\text{cmo}}}) &= \exp(-0,12 \cdot \frac{38 \, \text{MPa}}{10 \, \text{MPa}}) \\ &= \exp(-0,12 \times 3,8) \\ &= \exp(-0,456) \\ &\approx 0,634 \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul du terme lié au ciment

\[ \begin{aligned} (220 + 110 \cdot \alpha_{ds1}) &= (220 + 110 \times 4) \\ &= (220 + 440) \\ &= 660 \end{aligned} \]

Étape 4 : Calcul de \( \varepsilon_{cd,0} \)

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{cd,0} &= 0,85 \times [660 \times 0,634] \times 10^{-6} \times \beta_{\text{RH}} \\ &= 0,85 \times 418,44 \times 10^{-6} \times 1,356 \\ &\approx 355,67 \times 10^{-6} \times 1,356 \\ &\approx 482,3 \times 10^{-6} \end{aligned} \]

Étape 5 : Calcul de \( \varepsilon_{cd}(t, t_s) \)

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{cd}(3650, 7) &= \beta_{ds}(3650, 7) \cdot k_h \cdot \varepsilon_{cd,0} \\ &= 0,919 \times 0,725 \times (482,3 \times 10^{-6}) \\ &\approx 0,666 \times 482,3 \times 10^{-6} \\ &\approx 321,2 \times 10^{-6} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le graphique du simulateur montre l'évolution du retrait calculé \( \varepsilon_{cd} \) en fonction du temps, incluant la valeur finale calculée.

Réflexions

La déformation de retrait de dessiccation estimée à 10 ans est d'environ \( 321 \times 10^{-6} \), soit 0,321 \(\text{mm/m}\). C'est une déformation significative qui doit être prise en compte dans le dimensionnement, notamment pour le calcul des armatures minimales et la vérification de la fissuration. Si ce retrait est empêché, il peut générer des contraintes de traction de l'ordre de \( \sigma = E_c \times \varepsilon_{cd} \). Avec \( E_{\text{cm}} \approx 33000 \) \(\text{MPa}\) pour un C30/37, cela donne \( \sigma \approx 33000 \times 321 \times 10^{-6} \approx 10.6 \) \(\text{MPa}\), ce qui est bien supérieur à la résistance en traction du béton (\( f_{\text{ctm}} \approx 2.9 \) \(\text{MPa}\)) et causera donc de la fissuration si le retrait est totalement bridé.

Points de vigilance

Attention à la manipulation des exposants (\( 10^{-6} \)). Utiliser la bonne valeur de \( f_{\text{ck}} \) pour calculer \( f_{\text{cm}} \). Vérifier les valeurs de \( \alpha_{ds1} \) et \( \alpha_{ds2} \) selon le type de ciment (N, R ou S).

Points à retenir

La déformation de retrait de dessiccation se calcule en combinant un coefficient notionnel \( \varepsilon_{cd,0} \) (dépendant de RH, fcm, ciment), un coefficient de forme \( k_h \) (dépendant de \( h_0 \)) et un coefficient d'évolution temporelle \( \beta_{ds}(t, t_s) \).

Le saviez-vous ?

Le retrait total du béton inclut aussi le retrait endogène (ou retrait d'autodessiccation), qui se produit même sans échange d'eau avec l'extérieur, dû aux réactions chimiques d'hydratation. L'Eurocode 2 fournit aussi une méthode pour l'estimer (\( \varepsilon_{ca} \)). Le retrait total est \( \varepsilon_{cs} = \varepsilon_{cd} + \varepsilon_{ca} \).

FAQ

Questions fréquentes sur \( \varepsilon_{cd} \).

Cette valeur de retrait est-elle grande ?

Une déformation de \(300-400 \times 10^{-6}\) est typique pour un béton courant dans des conditions d'humidité modérées (50%). Elle est suffisamment importante pour causer des fissures si elle n'est pas gérée (armatures minimales, joints de retrait).

Comment réduire le retrait ?

Utiliser des bétons à faible retrait (granulats spécifiques, faible dosage en eau), assurer une bonne cure initiale, augmenter l'humidité ambiante (si possible), utiliser des adjuvants réducteurs de retrait.

Résultat Final
La déformation due au retrait de dessiccation à 10 ans est \( \varepsilon_{cd}(3650, 7) \approx 321 \times 10^{-6} \).
A vous de jouer

Recalculez \( \varepsilon_{cd}(t, t_s) \) pour \( t=3650 \) \(\text{jours}\), mais avec une humidité relative \( \text{RH} = 80\% \). Utilisez les résultats intermédiaires \( k_h=0,725 \) et \( \beta_{ds}=0,919 \), mais recalculez \( \beta_{\text{RH}} \) et \( \varepsilon_{cd,0} \).

Outil Interactif : Simulateur de Retrait

Explorez l'influence de l'humidité relative (RH) et de l'épaisseur notionnelle (\(h_0\)) sur la déformation de retrait de dessiccation \( \varepsilon_{cd} \) à long terme (t=10000 jours, ts=7 jours) pour un béton C30/37 avec ciment CEM N.

Paramètres d'Entrée
50 %
400 mm
Résultats Clés (à t=10000 j)
Coef. \( \beta_{\text{RH}} \) -
Coef. \( k_h \) -
Coef. \( \beta_{ds}(t,t_s) \) -
Retrait notionnel \( \varepsilon_{cd,0} \) (x 10⁻⁶) -
Retrait dessiccation \( \varepsilon_{cd} \) (x 10⁻⁶) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le retrait de dessiccation ?

2. Quel paramètre principal influence l'amplitude finale (potentielle) du retrait de dessiccation ?

3. Pour une dalle d'épaisseur h = 150 mm séchant par le dessus uniquement, quelle est l'épaisseur notionnelle \( h_0 \) ?

4. Comment évolue le coefficient \( \beta_{ds}(t, t_s) \) avec le temps \( t \) ?

5. À épaisseur notionnelle \( h_0 \) égale, une humidité relative RH plus faible entraîne un retrait de dessiccation \( \varepsilon_{cd} \) :

Glossaire

Retrait de Dessiccation (\( \varepsilon_{cd} \))
Déformation (raccourcissement) du béton durci due à la perte d'eau par évaporation vers l'air ambiant.
Retrait Endogène (\( \varepsilon_{ca} \))
Déformation (raccourcissement) du béton due à la consommation d'eau interne par les réactions d'hydratation, se produisant même sans échange avec l'extérieur.
Retrait Total (\( \varepsilon_{cs} \))
Somme du retrait de dessiccation et du retrait endogène : \( \varepsilon_{cs} = \varepsilon_{cd} + \varepsilon_{ca} \).
Épaisseur Moyenne Notionnelle (\( h_0 \))
Dimension caractéristique de la section d'un élément en béton, utilisée pour évaluer la vitesse des phénomènes de séchage (retrait) et d'hydratation. \( h_0 = 2 A_c / u \).
Humidité Relative (RH)
Rapport (en %) entre la quantité de vapeur d'eau contenue dans l'air et la quantité maximale que l'air pourrait contenir à la même température.
f_ck
Résistance caractéristique à la compression du béton à 28 \(\text{jours}\), mesurée sur cylindre.
f_cm
Résistance moyenne à la compression du béton (\( f_{\text{cm}} = f_{\text{ck}} + 8 \) \(\text{MPa}\)).
t_s
Âge du béton (en \(\text{jours}\)) au début du séchage.
Analyse du Retrait de Dessiccation - Eurocode 2

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