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Analyse de l’interaction sol-structure pour un portique

Génie Civil : Analyse de l'Interaction Sol-Structure pour un Portique sur Semelles

Analyse de l'interaction sol-structure pour un portique sur semelles

Contexte : Le Dialogue entre la Structure et le Sol

Une structure ne flotte pas dans les airs ; elle repose sur le sol via ses fondations. Le sol n'est pas infiniment rigide : il se déforme sous le poids du bâtiment. Ce phénomène, appelé tassementEnfoncement vertical du sol sous l'effet des charges appliquées par une fondation. Un tassement uniforme est généralement acceptable, mais un tassement différentiel peut endommager la structure., est au cœur de l'interaction sol-structure. Un calcul de structure suppose souvent des appuis parfaits (articulés ou encastrés), mais la réalité est que l'appui est un sol déformable. Il est donc crucial de vérifier que la pression exercée par la fondation ne dépasse pas la capacité portanteContrainte maximale que le sol peut supporter avant de subir une rupture par poinçonnement. C'est une caractéristique essentielle du sol déterminée par une étude géotechnique. du sol et que les tassements restent dans des limites acceptables.

Remarque Pédagogique : L'interaction sol-structure est un dialogue. La structure charge le sol, qui se déforme. Cette déformation (tassement) modifie la position des appuis de la structure, ce qui peut à son tour redistribuer les efforts dans la structure. Cet exercice propose une approche simplifiée de cette interaction en vérifiant la pression au sol et le tassement qui en résulte.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la descente de charge d'un portique sur ses fondations.
  • Dimensionner une semelle de fondation sous un poteau.
  • Vérifier la contrainte au sol par rapport à la capacité portante.
  • Calculer le tassement d'une semelle à l'aide du module de réaction du solAussi appelé "module de Westergaard" (ks), il représente la raideur du sol. Il lie la contrainte appliquée au sol au tassement qui en résulte (σ = ks × s). Il est exprimé en MN/m³..
  • Comprendre l'importance de l'étude géotechnique.

Données de l'étude

On étudie la fondation d'un portique métallique. Chaque poteau transmet une charge verticale de service permanente \(N_{G,k} = 200 \, \text{kN}\) et une charge de service d'exploitation \(N_{Q,k} = 150 \, \text{kN}\). Chaque poteau repose sur une semelle carrée en béton armé.

Schéma de la fondation
Semelle B x B Sol N_Ed B

Données réglementaires et géotechniques :

  • Combinaison d'actions à l'ELU : \(1.35 N_{G,k} + 1.5 N_{Q,k}\)
  • Combinaison d'actions à l'ELS (quasi-permanente) : \(N_{G,k} + 0.3 N_{Q,k}\)
  • Capacité portante admissible du sol : \(q_{adm} = 200 \, \text{kPa} = 0.20 \, \text{MPa}\)
  • Module de réaction du sol : \(k_s = 30 \, \text{MN/m}^3 = 30 \, \text{N/mm}^3\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort de calcul à l'ELU (\(N_{Ed}\)) sur la semelle.
  2. Dimensionner la largeur minimale (\(B\)) de la semelle carrée pour respecter la capacité portante du sol.
  3. Avec la dimension de semelle choisie, calculer la contrainte de service sur le sol (\(\sigma_{ser}\)).
  4. Calculer le tassement final (\(s\)) de la semelle.

Correction : Analyse de l'interaction sol-structure

Question 1 : Effort de Calcul à l'ELU (\(N_{Ed}\))

Principe :
NGk NQk + NEd (ELU) 1.35NGk + 1.5NQk

La première étape pour dimensionner la fondation est de déterminer la charge maximale qu'elle devra supporter. On utilise la combinaison d'actions à l'État Limite Ultime (ELU) pour calculer l'effort de calcul \(N_{Ed}\) transmis par le poteau.

Remarque Pédagogique :

Dimensionnement à l'ELU : La surface de la fondation est presque toujours déterminée à l'ELU. C'est la vérification de la résistance du sol (ne pas le "poinçonner") qui est la plus critique et qui fixe la taille de la semelle. Le tassement est ensuite vérifié à l'ELS avec la dimension trouvée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ N_{Ed} = 1.35 N_{G,k} + 1.5 N_{Q,k} \]
Donnée(s) :
  • \(N_{G,k} = 200 \, \text{kN}\)
  • \(N_{Q,k} = 150 \, \text{kN}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} N_{Ed} &= (1.35 \times 200) + (1.5 \times 150) \\ &= 270 + 225 \\ &= 495 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Cohérence des unités : Il est primordial de travailler avec des unités cohérentes. Ici, les calculs sont faits en kilonewtons (kN). Il faudra penser à convertir cet effort en Newtons (N) pour les calculs de résistance impliquant des Mégapascals (MPa).

Le saviez-vous ?

Les coefficients de sécurité des Eurocodes sont calibrés pour assurer un niveau de fiabilité cible sur une durée de vie de référence (généralement 50 ans pour un bâtiment). Ils sont le fruit d'analyses probabilistes complexes à l'échelle européenne.

FAQ en rapport avec la question :
Existe-t-il d'autres combinaisons de charges ?

Oui. L'Eurocode 0 définit plusieurs combinaisons, notamment pour les situations accidentelles (choc, incendie) ou sismiques, avec des coefficients différents. Pour les bâtiments courants, la combinaison \(1.35G_k + 1.5Q_k\) est la plus utilisée et souvent la plus dimensionnante pour les charges gravitaires.

Résultat : L'effort de calcul à l'ELU sur la semelle est \(N_{Ed} = 495 \, \text{kN}\).

Question 2 : Dimensionnement de la Semelle (\(B_{min}\))

Principe :
σ_sol = N_Ed / A ≤ q_adm A_req = N_Ed / q_adm

La contrainte exercée par la semelle sur le sol (\(\sigma_{sol}\)) est l'effort \(N_{Ed}\) divisé par l'aire de la semelle (\(A = B^2\)). Cette contrainte doit rester inférieure ou égale à la capacité portante admissible du sol (\(q_{adm}\)). On peut donc en déduire l'aire minimale requise, et par suite la largeur minimale B.

Remarque Pédagogique :

L'étude de sol est non négociable : La valeur de \(q_{adm}\) est la donnée la plus importante et la plus incertaine du calcul. Elle ne peut être déterminée que par une étude géotechnique sérieuse (sondages, essais pressiométriques...). Utiliser une valeur forfaitaire ou "supposée" est extrêmement dangereux et non conforme aux règles de l'art.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{sol} = \frac{N_{Ed}}{A} \le q_{adm} \Rightarrow A_{req} \ge \frac{N_{Ed}}{q_{adm}} \]
\[ B = \sqrt{A_{req}} \]
Donnée(s) :
  • \(N_{Ed} = 495 \, \text{kN}\)
  • \(q_{adm} = 200 \, \text{kPa} = 200 \, \text{kN/m}^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} A_{req} &\ge \frac{495 \, \text{kN}}{200 \, \text{kN/m}^2} \\ &\ge 2.475 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B_{min} &\ge \sqrt{2.475} \\ &\ge 1.573 \, \text{m} \end{aligned} \]

On choisit une dimension constructive simple et supérieure. On retient une semelle carrée de 1.60 m x 1.60 m.

Points de vigilance :

Poids propre de la fondation : Pour être rigoureux, il faudrait ajouter le poids propre de la semelle et des terres au-dessus à l'effort \(N_{Ed}\). Cela augmenterait légèrement la surface requise. Cette simplification est acceptable en phase de prédimensionnement.

Le saviez-vous ?

La capacité portante d'un sol n'est pas une constante. Elle diminue fortement si le sol est saturé d'eau. C'est pourquoi le drainage autour des fondations est un aspect crucial de la construction pour garantir la stabilité à long terme.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si le sol est de mauvaise qualité ?

Si la capacité portante \(q_{adm}\) est très faible, la surface de semelle requise peut devenir très grande. Il peut alors être plus économique de changer de type de fondation : utiliser un radier général (une dalle en béton sous tout le bâtiment) ou des fondations profondes (pieux, micropieux) pour aller chercher un meilleur sol en profondeur.

Résultat : La dimension minimale est de 1.58 m. On choisit une semelle de \(B = 1.60 \, \text{m}\).

Question 3 : Contrainte de Service sur le Sol (\(\sigma_{ser}\))

Principe :

Le tassement est un phénomène à long terme, on le calcule donc avec les charges de service (ELS) et non les charges ultimes (ELU). On calcule d'abord l'effort de service quasi-permanent (\(N_{ser}\)), puis on en déduit la contrainte de service sur le sol avec la dimension de semelle que l'on a choisie.

Remarque Pédagogique :

Deux calculs, deux objectifs : Le calcul à l'ELU (avec \(N_{Ed}\)) sert à dimensionner la surface pour ne pas casser le sol. Le calcul à l'ELS (avec \(N_{ser}\)) sert à vérifier la déformation du sol avec la surface déjà choisie. Ce sont deux étapes bien distinctes du processus de conception.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ N_{ser} = N_{G,k} + \psi_2 N_{Q,k} \]
\[ \sigma_{ser} = \frac{N_{ser}}{A} \]
Donnée(s) :
  • \(N_{G,k} = 200 \, \text{kN}\) ; \(N_{Q,k} = 150 \, \text{kN}\) ; \(\psi_2 = 0.3\)
  • Aire de la semelle \(A = 1.60 \, \text{m} \times 1.60 \, \text{m} = 2.56 \, \text{m}^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} N_{ser} &= 200 + (0.3 \times 150) \\ &= 245 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{ser} &= \frac{245 \, \text{kN}}{2.56 \, \text{m}^2} \\ &\approx 95.7 \, \text{kPa} = 0.0957 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le bon coefficient \(\psi_2\) : Le coefficient \(\psi_2\) dépend du type d'usage du bâtiment. Pour des bureaux, il est de 0.3. Pour des zones de stockage, il peut monter à 0.8. Utiliser le bon coefficient est essentiel pour une estimation réaliste des effets à long terme.

Le saviez-vous ?

Dans les bâtiments historiques, les charges d'exploitation étaient bien plus faibles qu'aujourd'hui. La réhabilitation de ces bâtiments pour un usage moderne (bureaux, bibliothèques) nécessite souvent un renforcement important des planchers et des fondations pour supporter les nouvelles charges.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi ne pas utiliser la combinaison caractéristique (\(G_k + Q_k\)) pour la flèche ?

On peut l'utiliser pour calculer la flèche "instantanée" totale. Cependant, pour les désordres liés au long terme (comme le fluage des matériaux ou le tassement du sol), il est plus réaliste de considérer qu'une partie seulement de la charge d'exploitation est présente en permanence, d'où l'utilisation de la combinaison quasi-permanente.

Résultat : La contrainte de service sur le sol est \(\sigma_{ser} \approx 95.7 \, \text{kPa}\).

Question 4 : Tassement Final de la Semelle (\(s\))

Principe :
Contrainte σ_ser Tassement s = σ_ser / ks

Le tassement est modélisé de manière simplifiée en considérant le sol comme une série de ressorts. Le module de réaction du sol (\(k_s\)) représente la raideur de ces ressorts. Le tassement (\(s\)) est alors simplement la contrainte de service divisée par cette raideur.

Remarque Pédagogique :

Un modèle très simplifié : Ce modèle (dit de "Winkler") est une grande simplification du comportement réel du sol. Des modèles plus avancés (utilisant le module d'Young du sol, le coefficient de Poisson, etc.) sont nécessaires pour des calculs précis, notamment pour les radiers ou les fondations profondes. Mais pour une semelle isolée, cette approche donne un bon ordre de grandeur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ s = \frac{\sigma_{ser}}{k_s} \]
Donnée(s) :
  • \(\sigma_{ser} = 95.7 \, \text{kPa} = 0.0957 \, \text{MN/m}^2\)
  • \(k_s = 30 \, \text{MN/m}^3\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} s &= \frac{0.0957 \, \text{MN/m}^2}{30 \, \text{MN/m}^3} \\ &= 0.00319 \, \text{m} \\ &\approx 3.2 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Cohérence des unités : Le module \(k_s\) est souvent donné en MN/m³. Pour obtenir un tassement en mètres, il est impératif que la contrainte soit exprimée en MN/m² (1 MPa = 1 MN/m²). Une erreur d'un facteur 1000 est vite arrivée entre kPa et MPa.

Le saviez-vous ?

La Tour de Pise ne s'est pas inclinée à cause d'une erreur de structure, mais à cause d'un tassement différentiel. Le sol sous un côté de la tour était beaucoup plus compressible que sous l'autre, provoquant son inclinaison progressive dès le début de la construction au 12ème siècle. C'est l'exemple le plus célèbre d'une interaction sol-structure problématique.

FAQ en rapport avec la question :
Ce tassement est-il acceptable ?

Un tassement total de 3.2 mm est très faible et parfaitement acceptable pour la plupart des structures. Les limites de tassement absolu sont généralement de l'ordre de 25 à 50 mm. Le plus important est le "tassement différentiel" (la différence de tassement entre deux appuis), qui ne doit pas dépasser environ L/500 pour éviter de créer des désordres dans la structure.

Résultat : Le tassement final de la semelle est d'environ \(s \approx 3.2 \, \text{mm}\).

Simulation Interactive : Tassement d'une Semelle

Faites varier les paramètres du sol et de la fondation pour voir leur influence sur la contrainte au sol et le tassement.

Paramètres du Projet
Résultats du Calcul
Contrainte de service sur le sol (\(\sigma_{ser}\)) :
Tassement calculé (\(s\)) :

Pour Aller Plus Loin : Le Tassement Différentiel

Le véritable ennemi de l'ingénieur n'est pas le tassement en lui-même, mais le tassement différentiel, c'est-à-dire une différence de tassement entre deux points d'appui. Si un poteau d'un portique s'enfonce de 2 cm et l'autre de 1 cm seulement, cela crée une rotation de la traverse qui induit des moments de flexion supplémentaires très importants dans la structure. La vérification du tassement différentiel (\(\Delta s\)) est donc une étape cruciale pour les structures hyperstatiques sensibles aux déplacements d'appuis.

Le Saviez-Vous ?

Pour construire sur des sols de très mauvaise qualité (argile molle, vase), on utilise des fondations profondes (pieux) qui vont chercher le "bon sol" à plusieurs dizaines de mètres de profondeur. Une autre technique est l'amélioration de sol, qui consiste à injecter du ciment ou à compacter le sol en place pour augmenter sa raideur et sa capacité portante.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le poids de la semelle et des terres au-dessus est-il pris en compte ?

Oui. Dans un calcul complet, la contrainte totale sur le sol est la somme de la contrainte due à la charge du poteau ET de la contrainte due au poids propre de la semelle et des terres de remblai situées au-dessus. Pour simplifier, cet exercice a négligé ce poids, ce qui est une approximation acceptable si la semelle n'est pas très profonde.

Que se passe-t-il si la charge sur la fondation n'est pas centrée ?

Si la charge est excentrée (ce qui est le cas s'il y a un moment au pied du poteau), la répartition des contraintes sous la semelle n'est plus uniforme. Elle est trapézoïdale ou triangulaire. Il faut alors vérifier que la contrainte maximale en bord de semelle ne dépasse pas la capacité portante admissible. Cela conduit souvent à devoir augmenter la taille de la semelle.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'on double la largeur (B) d'une semelle carrée, la contrainte sur le sol est :

2. Le dimensionnement de la surface d'une semelle (sa taille en plan) est principalement dicté par :

Glossaire

Tassement
Enfoncement vertical du sol sous l'effet des charges appliquées par une fondation. Un tassement uniforme est généralement acceptable, mais un tassement différentiel peut endommager la structure.
Capacité Portante
Contrainte maximale que le sol peut supporter avant de subir une rupture par poinçonnement. C'est une caractéristique essentielle du sol déterminée par une étude géotechnique.
Module de Réaction du Sol (\(k_s\))
Aussi appelé "module de Westergaard", il représente la raideur du sol. Il lie la contrainte appliquée au sol au tassement qui en résulte (\(\sigma = k_s \times s\)). Il est exprimé en MN/m³.
ELS (État Limite de Service)
État au-delà duquel les critères d'aptitude au service d'une structure ne sont plus respectés. Il concerne principalement les déformations, les vibrations et l'aspect.
Analyse de l'interaction sol-structure pour un portique sur semelles

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