Études de cas pratique

EGC

Durée de propagation des Ondes Sismiques

Durée de Propagation des Ondes Sismiques

Durée de Propagation des Ondes Sismiques

Comprendre la Durée de Propagation des Ondes Sismiques

L'ingénierie sismique utilise la propagation des ondes sismiques pour caractériser le sous-sol. Lorsqu'une source d'énergie (comme un impact ou une petite explosion) est générée à la surface, des ondes se propagent à travers les différentes couches géologiques. Les temps d'arrivée de ces ondes à des capteurs (géophones) placés à des distances connues permettent de déduire les vitesses des ondes dans les couches et les épaisseurs de ces couches. Les principaux types d'ondes utilisés en sismique réfraction sont l'onde directe (qui voyage directement de la source au géophone dans la première couche) et l'onde réfractée (ou conique), qui se propage le long d'une interface entre deux couches à une vitesse plus élevée avant de remonter vers la surface. L'analyse des temps de parcours (hodochrones) est fondamentale pour l'interprétation.

Données de l'étude

On réalise un profil de sismique réfraction simple avec une source et plusieurs géophones alignés. Le sous-sol est supposé être constitué de deux couches horizontales.

Paramètres du dispositif et du sous-sol :

  • Épaisseur de la première couche (\(h_1\)) : \(10 \, \text{m}\)
  • Vitesse des ondes P dans la première couche (\(V_1\)) : \(800 \, \text{m/s}\)
  • Vitesse des ondes P dans la deuxième couche (substratum) (\(V_2\)) : \(2000 \, \text{m/s}\)
  • Distance entre la source et un géophone (\(x\)) : \(60 \, \text{m}\)

Hypothèse : On s'intéresse uniquement aux premières arrivées d'ondes P. On néglige l'effet des ondes S et des ondes de surface pour cet exercice simplifié.

Schéma : Propagation des Ondes Sismiques (2 couches)
Couche 1 (\(V_1\), \(h_1\)) Couche 2 (Substratum, \(V_2\)) Source (S) Géophone (G) Onde Directe (\(t_d\)) Onde Réfractée (\(t_r\)) \(i_c\) \(i_c\) Distance \(x\) \(h_1\)

Trajets simplifiés de l'onde directe et de l'onde réfractée dans un modèle à deux couches.

Questions à traiter

  1. Calculer le temps de parcours de l'onde directe (\(t_d\)) de la source au géophone.
  2. Calculer l'angle critique de réfraction (\(i_c\)) à l'interface entre les deux couches.
  3. Calculer le temps de parcours de l'onde réfractée (\(t_r\)) de la source au géophone. La formule générale pour l'onde réfractée dans un modèle à deux couches est : \(t_r = \frac{x}{V_2} + \frac{2 h_1 \cos(i_c)}{V_1}\).
  4. Déterminer quelle onde (directe ou réfractée) arrive en premier au géophone situé à \(x = 60 \, \text{m}\).
  5. Calculer la distance critique (\(x_c\)), c'est-à-dire la distance à partir de laquelle l'onde réfractée arrive avant l'onde directe.
  6. Si un géophone est placé exactement à la distance critique \(x_c\), quel sera le temps d'arrivée de la première onde ?

Correction : Durée de Propagation des Ondes Sismiques

Question 1 : Temps de parcours de l'onde directe (\(t_d\))

Principe :

L'onde directe se propage de la source au géophone en ligne droite dans la première couche, à la vitesse \(V_1\). Le temps de parcours est simplement la distance divisée par la vitesse.

Formule(s) utilisée(s) :
\[t_d = \frac{x}{V_1}\]
Données spécifiques :
  • Distance source-géophone (\(x\)) : \(60 \, \text{m}\)
  • Vitesse dans la première couche (\(V_1\)) : \(800 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_d &= \frac{60 \, \text{m}}{800 \, \text{m/s}} \\ &= 0.075 \, \text{s} \end{aligned} \]

Soit \(75 \, \text{millisecondes (ms)}\).

Résultat Question 1 : Le temps de parcours de l'onde directe est \(t_d = 0.075 \, \text{s}\) (ou \(75 \, \text{ms}\)).

Question 2 : Angle critique de réfraction (\(i_c\))

Principe :

L'angle critique de réfraction est l'angle d'incidence pour lequel l'onde réfractée se propage le long de l'interface entre les deux couches. Il est défini par la loi de Snell-Descartes : \(\sin(i_c) = V_1 / V_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sin(i_c) = \frac{V_1}{V_2}\] \[i_c = \arcsin\left(\frac{V_1}{V_2}\right)\]
Données spécifiques :
  • Vitesse dans la première couche (\(V_1\)) : \(800 \, \text{m/s}\)
  • Vitesse dans la deuxième couche (\(V_2\)) : \(2000 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sin(i_c) &= \frac{800 \, \text{m/s}}{2000 \, \text{m/s}} \\ &= 0.4 \\ i_c &= \arcsin(0.4) \\ &\approx 23.578^\circ \end{aligned} \]

Il est aussi utile de calculer \(\cos(i_c)\) pour la question suivante : \(\cos(i_c) = \sqrt{1 - \sin^2(i_c)} = \sqrt{1 - (0.4)^2} = \sqrt{1 - 0.16} = \sqrt{0.84} \approx 0.9165\).

Résultat Question 2 : L'angle critique de réfraction est \(i_c \approx 23.58^\circ\).

Question 3 : Temps de parcours de l'onde réfractée (\(t_r\))

Principe :

L'onde réfractée parcourt une partie du trajet dans la couche 1, puis le long de l'interface dans la couche 2, et remonte dans la couche 1 jusqu'au géophone. Sa formule de temps de parcours est donnée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[t_r = \frac{x}{V_2} + \frac{2 h_1 \cos(i_c)}{V_1}\]
Données spécifiques :
  • Distance source-géophone (\(x\)) : \(60 \, \text{m}\)
  • Vitesse dans la première couche (\(V_1\)) : \(800 \, \text{m/s}\)
  • Vitesse dans la deuxième couche (\(V_2\)) : \(2000 \, \text{m/s}\)
  • Épaisseur de la première couche (\(h_1\)) : \(10 \, \text{m}\)
  • \(\cos(i_c) \approx 0.9165\) (calculé précédemment)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_r &= \frac{60 \, \text{m}}{2000 \, \text{m/s}} + \frac{2 \times 10 \, \text{m} \times 0.9165}{800 \, \text{m/s}} \\ &= 0.03 \, \text{s} + \frac{18.33 \, \text{m}}{800 \, \text{m/s}} \\ &= 0.03 \, \text{s} + 0.0229125 \, \text{s} \\ &\approx 0.05291 \, \text{s} \end{aligned} \]

Soit environ \(52.91 \, \text{ms}\).

Résultat Question 3 : Le temps de parcours de l'onde réfractée est \(t_r \approx 0.0529 \, \text{s}\) (ou \(52.9 \, \text{ms}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'épaisseur \(h_1\) de la première couche augmentait, le temps de parcours de l'onde réfractée (\(t_r\)) pour une même distance \(x\) :

Question 4 : Première arrivée à \(x = 60 \, \text{m}\)

Principe :

On compare les temps de parcours calculés pour l'onde directe (\(t_d\)) et l'onde réfractée (\(t_r\)) à cette distance. L'onde qui arrive avec le temps le plus court est la première arrivée.

Données spécifiques :
  • \(t_d = 0.075 \, \text{s}\)
  • \(t_r \approx 0.0529 \, \text{s}\)
Comparaison :

On a \(0.0529 \, \text{s} < 0.075 \, \text{s}\), donc \(t_r < t_d\).

Résultat Question 4 : À \(x = 60 \, \text{m}\), l'onde réfractée arrive en premier.

Question 5 : Distance critique (\(x_c\))

Principe :

La distance critique est la distance \(x\) pour laquelle les temps d'arrivée de l'onde directe et de l'onde réfractée sont égaux (\(t_d = t_r\)). Au-delà de cette distance, l'onde réfractée arrive en premier.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{x_c}{V_1} = \frac{x_c}{V_2} + \frac{2 h_1 \cos(i_c)}{V_1}\] En réarrangeant pour \(x_c\) : \[x_c \left(\frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2}\right) = \frac{2 h_1 \cos(i_c)}{V_1}\] \[x_c \left(\frac{V_2 - V_1}{V_1 V_2}\right) = \frac{2 h_1 \cos(i_c)}{V_1}\] \[x_c = \frac{2 h_1 \cos(i_c)}{V_1} \times \frac{V_1 V_2}{V_2 - V_1}\] \[x_c = 2 h_1 \cos(i_c) \frac{V_2}{V_2 - V_1}\] Ou plus simplement, en utilisant \(\cos(i_c) = \sqrt{1 - (V_1/V_2)^2}\) : \[x_c = 2 h_1 \sqrt{\frac{V_2 + V_1}{V_2 - V_1}}\]

Utilisons la première forme simplifiée avec \(\cos(i_c)\) déjà calculé.

Données spécifiques :
  • \(h_1 = 10 \, \text{m}\)
  • \(V_1 = 800 \, \text{m/s}\)
  • \(V_2 = 2000 \, \text{m/s}\)
  • \(\cos(i_c) \approx 0.9165\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} x_c &= 2 \times 10 \, \text{m} \times 0.9165 \times \frac{2000 \, \text{m/s}}{2000 \, \text{m/s} - 800 \, \text{m/s}} \\ &= 18.33 \, \text{m} \times \frac{2000}{1200} \\ &= 18.33 \, \text{m} \times 1.6666... \\ &\approx 30.55 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La distance critique est \(x_c \approx 30.55 \, \text{m}\).

Question 6 : Temps d'arrivée à la distance critique (\(x_c\))

Principe :

À la distance critique, les temps de parcours des ondes directe et réfractée sont égaux. On peut calculer ce temps en utilisant l'une ou l'autre des formules avec \(x = x_c\). Utilisons la formule de l'onde directe qui est plus simple.

Formule(s) utilisée(s) :
\[t_{\text{arrivee_critique}} = \frac{x_c}{V_1}\]
Données spécifiques :
  • Distance critique (\(x_c\)) : \(30.55 \, \text{m}\)
  • Vitesse dans la première couche (\(V_1\)) : \(800 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_{\text{arrivee_critique}} &= \frac{30.55 \, \text{m}}{800 \, \text{m/s}} \\ &\approx 0.0381875 \, \text{s} \end{aligned} \]

Soit environ \(38.19 \, \text{ms}\).

Résultat Question 6 : Le temps d'arrivée de la première onde à la distance critique est \(t_{\text{arrivee_critique}} \approx 0.0382 \, \text{s}\) (ou \(38.2 \, \text{ms}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si \(V_2\) était beaucoup plus grande que \(V_1\), la distance critique \(x_c\) serait généralement :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'onde directe se propage :

2. L'angle critique de réfraction dépend :

3. Laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant la distance critique (\(x_c\)) ?

Glossaire

Onde Sismique
Onde d'énergie qui se propage à travers la Terre, résultant de séismes, d'explosions ou d'autres sources d'énergie.
Onde P (Onde Primaire)
Onde de compression (longitudinale) qui est la plus rapide des ondes sismiques. Elle peut se propager dans les solides, les liquides et les gaz.
Onde S (Onde Secondaire)
Onde de cisaillement (transversale) qui est plus lente que l'onde P et ne peut se propager que dans les solides.
Sismique Réfraction
Méthode géophysique qui utilise la réfraction des ondes sismiques sur les interfaces entre couches de différentes vitesses pour déterminer la structure du sous-sol.
Onde Directe
Onde sismique qui voyage directement de la source au récepteur (géophone) à travers la couche la plus superficielle.
Onde Réfractée (ou Onde Conique)
Onde sismique qui, après avoir atteint une interface entre deux couches sous un angle critique, se propage le long de cette interface à la vitesse de la couche inférieure (plus rapide) avant de retourner à la surface.
Angle Critique (\(i_c\))
Angle d'incidence d'une onde sur une interface pour lequel l'angle de réfraction est de 90 degrés. Condition nécessaire pour la génération d'une onde conique.
Hodochrone (Temps de Parcours)
Courbe représentant les temps d'arrivée des ondes sismiques en fonction de la distance source-récepteur.
Distance Critique (\(x_c\))
En sismique réfraction à deux couches, distance source-géophone à laquelle les temps d'arrivée de l'onde directe et de l'onde réfractée sont égaux. C'est le point de croisement des hodochrones.
Géophone
Capteur qui détecte les vibrations du sol (ondes sismiques) et les convertit en signaux électriques.
Substratum
Couche rocheuse sous-jacente, généralement plus consolidée et avec une vitesse sismique plus élevée que les couches superficielles.
Durée de Propagation des Ondes Sismiques - Exercice d'Application

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