Calcul des réactions d’appui
📝 Situation du Projet
Dans le cadre de la rénovation du secteur "Fluides & Énergies" du complexe industriel Alpha-Chimie, une nouvelle passerelle de maintenance doit être installée au-dessus d'un réseau de tuyauterie haute pression. Cette passerelle permettra aux opérateurs d'accéder à une vanne de régulation critique située en hauteur. Contrairement à une structure standard, cette passerelle doit supporter non seulement le passage des techniciens (charge répartie), mais également le stockage temporaire d'un groupe moto-pompe lourd nécessaire aux opérations de maintenance (charge ponctuelle).
Le bureau d'études structure a pré-dimensionné la poutre principale (un profilé HEA en acier S235), mais il est impératif de valider le dimensionnement des ancrages au sol et sur la structure existante. Une défaillance des appuis pourrait entraîner l'effondrement de la passerelle sur les conduites de gaz situées en contrebas, provoquant un accident industriel majeur.
En tant qu'Ingénieur Structure Junior, vous devez calculer les réactions d'appui aux extrémités de la poutre principale isolée. Ces valeurs (actions de contact) serviront ensuite à sélectionner les chevilles d'ancrage chimique et à vérifier la résistance au cisaillement des boulons de fixation.
"Attention, pour ce calcul, nous considérons le système comme ISOSTATIQUE. Ne prenez pas en compte l'hyperstaticité due à la continuité des lisses pour l'instant. Concentrez-vous sur l'équilibre statique pur de la travée centrale. Vérifiez bien vos unités (kN et mètres)."
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet. Ces données sont issues des relevés sur site et des fiches techniques du fournisseur d'acier. Elles constituent la base intangible de votre note de calculs.
📚 Référentiel Normatif
NF EN 1990 (Eurocode 0) NF EN 1993-1-1 (Eurocode 3)| ACIER DE CONSTRUCTION S235 | |
| Module de Young (Élasticité) | \(E = 210 000\) MPa |
| Limite élastique | \(f_y = 235\) MPa |
| PROFILÉ HEA 160 | |
| Masse linéique (Poids propre inclus dans \(q\)) | 30.4 kg/m |
| Moment d'inertie (Flexion) | \(I_y = 1673\) cm4 |
📐 Géométrie de la Travée
- Portée entre nus d'appuis : \(L = 6.00\) m
- Position de la charge \(P\) : \(d = 4.00\) m (depuis la gauche)
- Hauteur libre sous poutre : ~ 4.50 m
⚖️ Sollicitations (ELU)
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur Poutre | \(L\) | 6.00 | m |
| Distance Charge \(P\) | \(d\) | 4.00 | m |
| Charge Répartie | \(q\) | 2.5 | kN/m |
| Charge Ponctuelle | \(P\) | 18.0 | kN |
E. Protocole de Résolution
Pour déterminer les efforts transmis par la poutre aux fondations, nous allons appliquer le Principe Fondamental de la Statique (PFS) selon la séquence rigoureuse suivante :
Modélisation & Isolement
Identification du système, des actions extérieures et des liaisons cinématiques (remplacement des appuis par des forces).
Principe Fondamental de la Statique (PFS)
Expression littérale des équations d'équilibre (Somme des Forces et Somme des Moments).
Calcul de la Réaction en B (Rouleau)
Résolution de l'équation des moments au point A pour isoler l'inconnue \(Y_B\).
Calcul de la Réaction en A & Vérification
Utilisation de la somme des forces verticales pour trouver \(Y_A\) et vérification de l'équilibre global.
Calcul des réactions d’appui
🎯 Objectif
L'objectif primordial de cette étape est de traduire la réalité physique complexe du chantier (poutres, murs, chevilles, gravité) en un modèle mathématique abstrait mais rigoureux : le Schéma Mécanique. Il s'agit d'identifier précisément toutes les actions qui s'exercent sur la poutre et de définir la nature des liaisons avec l'environnement pour préparer la mise en équation.
📚 Référentiel
NF EN 1990 (Bases de calcul) Théorie des Liaisons (Cinématique)Nous devons isoler la poutre. Cela signifie que nous "coupons" virtuellement les liens avec le mur \(A\) et le poteau \(B\). Pour maintenir l'équilibre, nous devons remplacer ces liens coupés par des forces (les Réactions).
En \(A\), la poutre est scellée mais peut fléchir : c'est une Articulation (Pivot) qui bloque les translations \(X\) et \(Y\) mais laisse libre la rotation \(Z\). Elle génère donc deux inconnues : \(X_A\) et \(Y_A\).
En \(B\), la poutre repose simplement pour dilater : c'est un Appui Simple (Rouleau) qui bloque uniquement la translation verticale \(Y\). Elle génère une seule inconnue : \(Y_B\).
Enfin, la charge répartie \(q\) est peu pratique pour les équations de moment. Nous allons anticiper en calculant sa résultante équivalente \(Q\).
Une charge répartie uniforme \(q\) (en N/m ou kN/m) appliquée sur une longueur \(L\) est statiquement équivalente à une force ponctuelle unique \(Q\).
Cette force résultante a pour intensité l'aire du diagramme de charge (ici un rectangle) et s'applique au centre géométrique de cette surface (le centre de gravité).
📋 Données d'Entrée
| Symbole | Description | Valeur |
|---|---|---|
| \(L\) | Longueur totale de la poutre | 6.00 m |
| \(q\) | Charge linéique (Poids + Exploitation) | 2.5 kN/m |
Dessinez toujours la résultante \(Q\) en pointillés sur votre schéma de résolution. Cela vous rappelle qu'elle est "fictive" (juste pour le calcul statique) et vous évite de l'oublier dans l'équation des moments !
🔍 Schéma de Corps Libre (Isolement)
📝 Calcul Détaillé 1 : Intensité de la Résultante Q
Nous appliquons la formule \(Q = q \times L\). Nous remplaçons \(q\) par 2.5 kN/m et \(L\) par 6.00 m.
Application Numérique Pas à Pas :Interprétation : L'ensemble des charges réparties (poids propre, caillebotis, piétons) pèse 1,5 tonne (15 kN). Pour l'équilibre statique global, tout se passe comme si cette masse était concentrée au centre de la poutre (à 3m).
✅ Interprétation Globale de l'étape
Nous avons maintenant transformé notre problème physique en un schéma vectoriel simple comportant 3 forces connues (\(P\), \(Q\) et sa position) et 3 inconnues de liaison (\(X_A, Y_A, Y_B\)). Le système est prêt à être résolu.
L'ordre de grandeur de \(Q\) (15 kN) est comparable à celui de \(P\) (18 kN). C'est cohérent : la structure et les piétons pèsent presque autant que la machine lourde qu'elle supporte. Aucune force n'est négligeable ici.
Ne confondez pas la position de \(Q\) (à \(L/2 = 3m\)) avec la position de \(P\) (à \(d = 4m\)). Ce sont deux points d'application différents qui généreront des moments différents.
🎯 Objectif
Il s'agit de poser les fondations mathématiques de la résolution. Nous allons écrire les équations universelles de l'équilibre statique appliquées spécifiquement à notre poutre. L'objectif est d'obtenir un système d'équations où nos inconnues (\(Y_A, Y_B\)) apparaissent explicitement.
📚 Référentiel
Première Loi de Newton Théorème de la Résultante StatiqueUn corps est à l'équilibre si rien ne le pousse (Somme des Forces = 0) et si rien ne le fait tourner (Somme des Moments = 0).
Pour un problème plan 2D, cela nous donne 3 équations scalaires. C'est suffisant pour trouver nos 3 inconnues.
Stratégie : L'équation des moments est la plus puissante. En choisissant intelligemment le point de rotation (ici le point \(A\)), nous pouvons éliminer d'un coup toutes les inconnues qui passent par ce point (\(X_A\) et \(Y_A\)) pour trouver directement \(Y_B\).
Le moment \(M\) mesure la tendance d'une force à faire pivoter un objet autour d'un point \(O\).
La formule scalaire simple (si la force est perpendiculaire au bras) est :
\( M_{/O}(\vec{F}) = \pm ||\vec{F}|| \times d \)
Où \(d\) est la distance perpendiculaire (bras de levier). Le signe est déterminé par la convention (Anti-horaire positif).
A. Somme des Forces :
B. Somme des Moments (en un point A) :
📋 Données d'Entrée pour l'écriture des équations
| Force | Bras de levier / A | Sens de rotation |
|---|---|---|
| \(Q\) | \(L/2\) | Horaire (-) |
| \(P\) | \(d\) | Horaire (-) |
| \(Y_B\) | \(L\) | Anti-horaire (+) |
Posez toujours vos équations avec des lettres (littéral) avant de remplacer par les chiffres. Cela permet de vérifier l'homogénéité (Force x Distance) et de retrouver facilement une erreur de signe.
📝 Écriture 1 : Équilibre Horizontal
Nous projetons toutes les forces sur l'axe \(X\). Aucune force active n'est inclinée, seule la réaction \(X_A\) existe potentiellement.
Interprétation : Pas de forces horizontales extérieures (vent négligé), donc le mur ne subit aucune poussée latérale.
📝 Écriture 2 : Équilibre Vertical
Nous projetons toutes les forces sur l'axe \(Y\) (Haut positif).
Interprétation : La somme des réactions doit être égale au poids total (\(Y_A + Y_B = Q + P\)).
📝 Écriture 3 : Équilibre des Moments en A
Nous écrivons la somme des moments autour du pivot \(A\).
- \(Y_B\) est à une distance \(L\) et pousse vers le haut (rotation anti-horaire +).
- \(Q\) est à \(L/2\) et pousse vers le bas (rotation horaire -).
- \(P\) est à \(d\) et pousse vers le bas (rotation horaire -).
Interprétation : Le moment "redresseur" de l'appui \(B\) compense les moments "basculants" des charges \(P\) et \(Q\).
✅ Interprétation Globale
Nous disposons désormais d'un système d'équations prêt à l'emploi. L'équation des moments ne contient qu'une seule inconnue (\(Y_B\)). C'est la "clé" qui va déverrouiller tout le problème.
Les signes sont cohérents : les forces résistantes (appuis) ont des signes opposés aux forces actives (charges) dans les équations.
Attention au sens de rotation ! Dans notre convention, \(Y_B\) pousse vers le haut donc tourne en sens positif (+) autour de \(A\). \(P\) et \(Q\) poussent vers le bas donc tournent en sens négatif (-).
🎯 Objectif
Calculer la valeur numérique exacte de la force verticale reprise par l'appui \(B\). Cette valeur est critique car elle déterminera la charge transmise au nouveau poteau et donc le dimensionnement de sa fondation.
📚 Référentiel
Algèbre élémentaireNous manipulons l'équation des moments en \(A\). Puisque \(Y_B\) est la seule inconnue, nous allons l'isoler mathématiquement.
Physiquement, on s'attend à ce que \(Y_B\) soit assez élevée car la charge lourde \(P\) (18 kN) est située à 4m, donc beaucoup plus proche de \(B\) (à 6m) que de \(A\) (à 0m). L'appui \(B\) prendra la majorité de la charge \(P\).
Pour résoudre \(a \cdot x - b - c = 0\), on passe les termes constants de l'autre côté (ils changent de signe) : \(a \cdot x = b + c\). Puis on divise par le coefficient devant l'inconnue : \(x = (b+c)/a\). Ici, notre inconnue \(x\) est \(Y_B\).
📋 Données d'Entrée Numériques
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(P\) | 18.0 kN |
| \(d\) | 4.00 m |
| \(Q\) | 15.0 kN |
| \(L\) | 6.00 m |
Vérifiez toujours si le résultat est positif. Une réaction d'appui simple (rouleau) négative signifierait que la poutre décolle de son support !
🔄 Schéma des Moments au point A
📝 Calcul Détaillé 1 : Calcul du Numérateur (Somme des Moments)
Commençons par calculer le moment total généré par les charges. Nous remplaçons :
- \(P\) par 18
- \(d\) par 4
- \(Q\) par 15
- \(L/2\) par 3
Interprétation : Les charges combinées génèrent un couple de basculement de 117 kN.m autour du point \(A\).
📝 Calcul Détaillé 2 : Division par le Bras de Levier (L)
Pour trouver la force capable de contrer ce moment de 117 kN.m avec un bras de levier de 6m, nous effectuons la division.
Interprétation : L'appui \(B\) doit pousser vers le haut avec une force de 19.5 kN pour empêcher la rotation et maintenir la poutre à l'horizontale.
✅ Interprétation Globale
La valeur de \(Y_B\) (19.5 kN) est supérieure à la moitié de la charge totale (\(P+Q = 33\) kN). C'est normal car la charge ponctuelle est décentrée vers \(B\). La répartition n'est pas symétrique.
19.5 kN correspond à environ 2 tonnes. C'est une charge significative pour un poteau métallique standard, mais réaliste pour une structure industrielle.
Assurez-vous d'avoir utilisé \(L/2\) (3m) pour le bras de levier de \(Q\), et non \(L\) entier ! C'est une erreur classique.
🎯 Objectif
Dernière étape du calcul statique : déterminer la réaction à l'appui \(A\) (mur existant) en utilisant l'équilibre vertical, puis valider impérativement l'ensemble par une équation de contrôle indépendante. Un bon ingénieur ne livre jamais un résultat sans l'avoir recoupé.
📚 Référentiel
Principe de Vérification CroiséeMaintenant que \(Y_B\) est connu, l'équation de la somme des forces verticales (\(\Sigma F_y = 0\)) ne contient plus qu'une seule inconnue : \(Y_A\). C'est la méthode la plus rapide pour conclure.
Pour la vérification, nous allons faire un "Test de Vérité" : calculer la somme des moments en \(B\). Si nos valeurs de \(Y_A\) et \(Y_B\) sont justes, ce moment doit être strictement nul.
Dans un système statique, n'importe quel point du plan peut servir de pivot pour le calcul des moments. Si l'équilibre est vérifié en \(A\), il doit l'être obligatoirement en \(B\), en \(C\) ou n'importe où ailleurs. Utiliser un second point permet de détecter les erreurs de calcul précédentes.
📋 Données d'Entrée Finales
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Somme Charges (\(P+Q\)) | 33.0 kN |
| Réaction \(Y_B\) (calculée) | 19.5 kN |
| Bras de levier \(P\) / \(B\) | \(L - d = 2.0\) m |
La somme des réactions (\(Y_A + Y_B\)) doit toujours être égale au poids total que vous avez mis sur la poutre. C'est le premier réflexe à avoir pour vérifier un résultat mentalement.
🛡️ Schéma de Vérification au point B
📝 Calcul Détaillé 1 : Détermination de \(Y_A\)
Nous appliquons la formule des forces verticales. Le poids total est \(15 + 18 = 33\) kN. On soustrait la part déjà prise par \(B\) (19.5 kN).
Interprétation : L'appui \(A\) supporte le reste de la charge, soit 13.5 kN.
📝 Calcul Détaillé 2 : Vérification (Check)
Nous recalculons la somme des moments, mais cette fois en tournant autour de \(B\).
Attention aux bras de levier :
- \(Y_A\) est à 6m.
- \(Q\) est à 3m.
- \(P\) est maintenant à 2m de \(B\) (car \(6 - 4 = 2\)).
Interprétation : Le résultat est strictement zéro. Cela prouve mathématiquement que nos valeurs \(Y_A = 13.5\) et \(Y_B = 19.5\) sont correctes.
✅ Interprétation Globale
Nous avons déterminé les deux réactions avec certitude. La somme \(13.5 + 19.5 = 33\) kN correspond bien au chargement total. La répartition asymétrique est confirmée (\(Y_B > Y_A\)).
Les ordres de grandeur sont corrects pour du génie civil. Aucune valeur n'est aberrante (ex: 1000 kN ou 0.1 kN). Les ancrages devront être dimensionnés pour ces valeurs de service.
Attention : Pour la vérification des moments en \(B\), le bras de levier de la force \(P\) devient \(L-d = 2m\) (distance entre \(P\) et \(B\)), et non plus \(d\) ! C'est la source de confusion la plus fréquente lors de la vérification.
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