Vérifier le non-écrasement des bielles de béton
📝 Situation du Projet
Le projet concerne la construction d'une extension de 2500 m² pour une plateforme logistique située sur la zone portuaire du Havre. Ce bâtiment est destiné au stockage de charges lourdes sur racks, impliquant des sollicitations dynamiques importantes dues à la circulation d'engins de levage. La structure porteuse est constituée d'une ossature en béton armé préfabriqué.
Nous nous concentrons spécifiquement sur la Poutre de Reprise PO-105, située au niveau R+1 (plancher technique). Cette poutre de grande portée subit des efforts tranchants majeurs à proximité de ses appuis, du fait de la concentration des charges transmises par les poutrelles secondaires. L'intégrité structurelle de cet élément est critique pour la stabilité de la zone de stockage A2.
En tant qu'Ingénieur Structure Confirmé, vous devez effectuer la vérification des bielles de béton comprimé (Vérification du non-écrasement des bielles) au niveau de l'appui gauche de la poutre PO-105, conformément à l'Eurocode 2. Vous devrez valider si la section de béton actuelle et la nuance choisie permettent de résister à l'effort tranchant de calcul sans rupture fragile par compression oblique.
- Localisation
Le Havre (76), Zone Portuaire - Maître d'Ouvrage
LogisTrans Solutions SA - Lot Concerné
Lot 02 - Gros Œuvre / Structure BA
"Attention, nous avons optimisé la hauteur de la poutre pour gagner en hauteur libre sous plafond. Cela augmente la contrainte de compression dans les bielles. Vérifiez bien que l'angle θ choisi (cot θ = 2.5) ne provoque pas l'écrasement du béton avant même la mise en tension des cadres. Soyez rigoureux sur le coefficient de réduction de résistance fissurée."
Pour mener à bien cette vérification, vous disposez des extraits normatifs, des spécifications du CCTP et des relevés géométriques issus de la maquette numérique BIM. Chaque paramètre ci-dessous a été rigoureusement sélectionné pour répondre aux contraintes spécifiques du site.
📚 Référentiel Normatif Applicable
Le calcul doit impérativement respecter la hiérarchie des normes européennes en vigueur pour le génie civil :
- NF EN 1990 (Eurocode 0) : Bases de calcul des structures. Définit les coefficients de sécurité partiels pour les charges (ELU/ELS).
- NF EN 1991 (Eurocode 1) : Actions sur les structures. Définit les charges d'exploitation pour les zones de stockage industriel (Catégorie E1).
- NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) : Calcul des structures en béton. C'est la référence centrale pour notre étude, et plus spécifiquement la section 6.2 "Effort Tranchant" qui décrit le modèle du treillis de Mörsch généralisé.
- Annexe Nationale France : Fixe les paramètres déterminés au niveau national (notamment les valeurs de \( \nu_1 \) pour la fissuration).
[Art. 3.2] CHOIX DU BÉTON STRUCTUREL
La localisation en zone portuaire impose une vigilance accrue vis-à-vis de la durabilité. Nous sommes en classe d'exposition XS1 (Embruns marins). Pour garantir une compacité suffisante et protéger les aciers contre la corrosion par les chlorures, un béton C30/37 a été prescrit (fck = 30 MPa). Une classe inférieure (C25/30) aurait été insuffisante en termes de durabilité, et une classe supérieure (C40/50) économiquement injustifiée pour ces portées.
[Art. 3.4] ARMATURES PASSIVES
L'étude sismique impose une bonne ductilité des aciers pour dissiper l'énergie en cas de séisme. Nous imposons donc la nuance B500B (Haute Adhérence, fyk = 500 MPa, classe de ductilité B). L'utilisation d'aciers lisses ou de nuance B500A est proscrite pour les cadres d'effort tranchant.
[Art. 5.1] HYPOTHÈSES DE CALCUL DU TREILLIS
Afin d'optimiser la quantité d'acier transversal (cadres) et de réduire la congestion du ferraillage, nous autorisons l'inclinaison minimale des bielles de compression. L'angle \( \theta \) sera choisi tel que cot(θ) = 2.5 (soit \( \theta \approx 21.8^\circ \)). Nota Bene : Ce choix maximise l'efficacité des cadres mais génère les contraintes de compression les plus élevées dans le béton, rendant la présente vérification des bielles critique.
La section de la poutre n'est pas le fruit du hasard. La largeur de 30 cm correspond à l'épaisseur des poteaux préfabriqués standards, facilitant les assemblages. La hauteur de 60 cm a été strictement limitée par l'architecte pour permettre le passage des gaines de ventilation (CVC) en sous-face sans réduire la hauteur libre de stockage de 4.50m. Ce ratio Hauteur/Portée (60cm / 8.50m ≈ 1/14) est tendu et génère des contraintes de cisaillement importantes.
| GÉOMÉTRIE DE LA SECTION | |
| Largeur de l'âme (b_w) | 0.30 m Alignement sur poteaux 30x30 |
| Hauteur totale (h) | 0.60 m Limite architecturale stricte |
| Hauteur utile (d) | 0.54 m d ≈ 0.9h (Enrobage 3cm + Cadre 8mm + 1/2 Barre 20mm) |
| SOLLICITATION À L'ELU | |
| Effort Tranchant Max (V_Ed) | 450 kN (0.450 MN) Issu de la descente de charge (G+Q pondérés) |
| PARAMÈTRES DE SÉCURITÉ | |
| Résistance caractéristique (f_ck) | 30 MPa (C30/37) |
| Coef. sécurité matière (γ_c) | 1.5 (Situation Durable/Transitoire) |
| Coef. réduction durée (α_cc) | 1.0 (Annexe Nationale France) |
E. Protocole de Résolution
Pour garantir la sécurité structurelle vis-à-vis de l'écrasement des bielles de béton, nous suivrons rigoureusement les étapes normatives suivantes :
Calcul de la Résistance de Calcul du Béton
Déterminer la contrainte de compression ultime f_cd en tenant compte des coefficients de sécurité partiels.
Détermination des Facteurs de Réduction
Calcul du bras de levier (z) et du coefficient de réduction de résistance (ν1) pour le béton fissuré par l'effort tranchant.
Calcul de la Capacité Maximale V_Rd,max
Application de la formule de l'Eurocode 2 pour la résistance des bielles comprimées, fonction de l'angle θ choisi.
Vérification et Conclusion
Comparaison directe entre la sollicitation agissante V_Ed et la résistance calculée. Validation ou rejet de la conception.
Vérifier le non-écrasement des bielles de béton
🎯 Objectif & 📚 Référentiel
L'objectif premier est de passer d'une résistance caractéristique sur cylindre (valeur statistique à 28 jours, \( f_{ck} \)) à une valeur de calcul sécuritaire utilisable pour le dimensionnement ELU (\( f_{cd} \)). Cette étape est fondamentale : si la résistance de base du matériau est surestimée, toute la suite du calcul devient dangereuse. Nous nous basons strictement sur l'Eurocode 2, clause 3.1.6.
Le béton est un matériau hétérogène par nature. Sur chantier, les conditions de mise en œuvre (vibration, température) et de cure peuvent varier, entraînant des disparités de résistance. De plus, sous des charges de très longue durée, la résistance effective du béton diminue par effet de fluage et de fatigue statique (effet Rusch). C'est pourquoi le code impose d'appliquer deux coefficients correcteurs : un coefficient de sécurité partiel \( \gamma_c \) (qui divise la résistance pour couvrir les incertitudes statistiques) et un coefficient de tenue dans le temps \( \alpha_{cc} \).
La résistance de calcul en compression est obtenue en divisant la résistance caractéristique par le coefficient de sécurité du matériau, pondéré par le coefficient de tenue dans le temps :
Où \( \alpha_{cc} \) est le coefficient de tenue dans le temps (1.0 en France), \( f_{ck} \) la résistance caractéristique cylindrique à 28 jours, et \( \gamma_c \) le coefficient partiel de sécurité pour le béton.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Résistance caractéristique | \( f_{ck} \) | 30 MPa (C30/37) |
| Coefficient de sécurité | \( \gamma_c \) | 1.5 (Situation Durable) |
| Coefficient annexe nationale | \( \alpha_{cc} \) | 1.0 (France) |
Ne confondez jamais f_ck (la "marque" commerciale du béton commandé à la centrale) et f_cd (la valeur "dégradée" utilisée pour le calcul). C'est toujours f_cd qui gouverne la résistance de vos bielles.
📝 Calcul Détaillé
Nous appliquons la formule avec les valeurs numériques pour obtenir la contrainte maximale admissible dans le béton sain.
La résistance de calcul retenue pour ce béton C30/37 est donc de 20 MPa.
✅ Interprétation
La valeur de résistance utilisable pour nos calculs de structure est de 20 MPa. Cela signifie que pour toute vérification ELU, nous considérerons que le béton commence à rompre dès qu'il atteint cette contrainte, et non pas 30 MPa. Cette réduction de 33% est notre marge de sécurité principale côté matériau.
Le résultat de 20 MPa est physiquement cohérent. Il est nécessairement inférieur à 30 MPa. Un résultat supérieur à fck aurait indiqué une erreur grave dans la formule (multiplication au lieu de division par le coefficient de sécurité).
Attention à la situation de projet : si nous étions en situation accidentelle (incendie, choc), le coefficient \( \gamma_c \) passerait de 1.5 à 1.2, augmentant ainsi la résistance de calcul. Ici, en situation durable, nous restons sur 1.5.
🎯 Objectif & 📚 Référentiel
Pour calculer la force maximale que peut reprendre la bielle de béton, nous avons besoin de définir sa géométrie interne (via le bras de levier \( z \)) et surtout de qualifier l'état de dégradation du béton. En effet, dans une âme de poutre cisaillée, le béton est fissuré obliquement par la traction. Sa résistance effective à la compression est donc inférieure à \( f_{cd} \). Nous utilisons l'Eurocode 2, clause 6.2.3 (3) pour quantifier cet effet.
Le bras de levier \( z \) représente la distance verticale entre la résultante de compression dans le béton (en partie haute) et la résultante de traction dans les aciers (en partie basse). Par simplification usuelle autorisée par l'EC2 pour les sections rectangulaires sans précontrainte, on adopte \( z = 0.9d \). Par ailleurs, l'effet de fissuration est pris en compte par le coefficient d'efficacité \( \nu_1 \) (nu). Ce coefficient traduit un phénomène physique simple : plus le béton est résistant, plus il est "cassant" et fragile, et donc plus sa capacité à travailler en compression diminue lorsqu'il est fissuré transversalement. La formule dépend donc directement de \( f_{ck} \).
Le bras de levier estimé et le facteur de réduction de résistance pour fissuration à l'effort tranchant sont donnés par :
Avec \( d \) la hauteur utile et \( f_{ck} \) en MPa. Notez que la valeur de base 0.6 est recommandée par l'Annexe Nationale France.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Hauteur utile | \( d \) | 0.54 m |
| Résistance caractéristique | \( f_{ck} \) | 30 MPa |
Le facteur \( \nu_1 \) est toujours inférieur à 0.6 pour des bétons courants. Si vous trouvez une valeur supérieure à 1, vérifiez vos unités (fck doit être en MPa).
📝 Calcul Détaillé
Calculons d'abord le bras de levier, puis le coefficient de réduction spécifique à l'effort tranchant.
Le bras de levier est de 48.6 cm. Le béton de la bielle ne travaillera qu'à 52.8% de sa capacité nominale à cause de la fissuration transversale.
✅ Interprétation
La valeur de \( \nu_1 = 0.528 \) montre l'impact sévère de la fissuration sur la résistance du béton. Dans une bielle comprimée "saine" (comme dans un poteau), on utiliserait 100% de la résistance. Ici, à cause des fissures de traction diagonale qui traversent la bielle, on perd presque la moitié de la capacité portante du matériau.
Le bras de levier \( z \) est légèrement inférieur à la hauteur utile \( d \), ce qui est géométriquement correct. Le coefficient \( \nu_1 \) est bien compris entre 0 et 0.6, ce qui valide l'ordre de grandeur.
Attention : Pour des bétons à Hautes Performances (> C60), la formule de \( \nu_1 \) change dans l'Eurocode. Ici, avec un C30/37, nous sommes bien dans le domaine d'application de la formule standard.
🎯 Objectif & 📚 Référentiel
C'est l'étape cruciale de l'exercice. Nous allons calculer l'effort tranchant maximum absolu que la poutre peut supporter avant que le béton ne s'écrase par compression oblique. Si l'effort appliqué dépasse cette valeur limite, ajouter des cadres d'acier ne servira strictement à rien : la poutre explosera brutalement par compression du béton. Cette vérification est régie par l'Eurocode 2, équation 6.9.
Dans le modèle du treillis de Mörsch, l'effort tranchant est repris par une bielle de béton inclinée d'un angle \( \theta \). Plus l'angle est faible (bielle plate), plus la composante verticale est faible pour une même force de compression axiale. Nous avons choisi \( \cot \theta = 2.5 \) (soit \( \theta \approx 21.8^\circ \)), ce qui est la limite basse autorisée. C'est le cas le plus défavorable pour la compression du béton : pour reprendre une charge verticale donnée, la force de compression interne dans une bielle "plate" est énorme, augmentant le risque d'écrasement.
La résistance ultime à l'effort tranchant limitée par la compression des bielles est :
Avec \( \alpha_{cw} = 1.0 \) (coefficient pour l'état de contrainte, valant 1.0 pour les structures non précontraintes), \( b_w \) la largeur de l'âme, et les autres termes définis précédemment.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Largeur de l'âme | \( b_w \) | 0.30 m |
| Bras de levier | \( z \) | 0.486 m |
| Facteur réduction | \( \nu_1 \) | 0.528 |
| Résistance calcul béton | \( f_{cd} \) | 20 MPa (soit 20 MN/m²) |
| Inclinaison bielle | \( \cot \theta \) | 2.5 |
Si \( \cot \theta = 2.5 \), alors \( \tan \theta = 1 / 2.5 = 0.4 \). La somme trigonométrique au dénominateur sera donc \( 2.5 + 0.4 = 2.9 \).
📝 Calcul Détaillé
Remplaçons les termes dans la formule maîtresse. Attention cruciale aux unités : nous travaillons en Mégapascal (MN/m²) et en Mètres, le résultat sortira donc directement en Méganewton (MN).
La bielle de béton peut supporter au maximum une force tranchante de 0.531 MN, soit 531 kN.
✅ Interprétation
Ce chiffre de 531 kN est la "ligne rouge" absolue de la poutre. Quelle que soit la quantité d'acier que l'on mettra ensuite, on ne pourra jamais dépasser cette valeur sans changer les dimensions du béton (largeur ou hauteur) ou sa classe de résistance.
Le résultat de 531 kN semble cohérent pour une poutre de cette dimension (30x60). Si nous avions trouvé 50 kN, la poutre serait structurellement aberrante. Si nous avions trouvé 5000 kN, il y aurait eu une erreur de calcul (probablement d'unité). Ici, l'ordre de grandeur correspond bien à une poutre lourdement chargée.
Si \( \cot \theta \) avait été choisi à 1.0 (45°), la résistance aurait été beaucoup plus élevée (car le dénominateur aurait été 2.0 au lieu de 2.9). Le choix de \( \cot \theta = 2.5 \) pénalise fortement la résistance de la bielle (perte d'environ 30% de capacité) au profit de l'économie d'acier.
🎯 Objectif & 📚 Référentiel
L'étape finale consiste simplement à comparer la résistance calculée (\( V_{Rd,max} \)) à la sollicitation réelle agissante sur la poutre (\( V_{Ed} \)). C'est une comparaison binaire : ça passe ou ça casse. Ceci conclut la vérification normative ELU de l'Eurocode 2.
La condition de sécurité à l'État Limite Ultime (ELU) est respectée si la capacité est strictement supérieure à la demande. Si ce n'est pas le cas, nous devons rejeter la conception (redimensionner la poutre ou augmenter la classe de béton).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Sollicitation Agissante | \( V_{Ed} \) | 450 kN (Donnée initiale) |
| Résistance Calculée | \( V_{Rd,max} \) | 531 kN (Résultat Q3) |
Calculez toujours le taux de travail (Ratio = Sollicitation / Résistance). Il donne une idée précise de la marge de sécurité restante.
📝 Calcul Détaillé
Confrontons nos valeurs dans une inégalité stricte.
Le critère de non-écrasement des bielles est vérifié avec succès.
✅ Interprétation
La section de béton de 30x60 cm en C30/37 est SUFFISANTE pour reprendre l'effort tranchant sans risque d'écrasement des bielles, même avec l'angle le plus agressif (cot θ = 2.5). Nous pouvons donc conserver ces dimensions et passer à l'étape suivante du projet : le calcul des cadres d'acier (Asw).
Le taux de travail est de \( 450 / 531 = 0.85 \), soit 85%. C'est un taux élevé mais acceptable. Cela signifie que la géométrie est optimisée : nous n'avons pas gaspillé de béton inutilement (surdimensionnement), mais nous gardons une petite marge de sécurité de 15%.
Nous sommes à 85% de la capacité maximale du béton. C'est une zone de contrainte élevée. Si l'architecte demande ultérieurement de percer l'âme de la poutre pour passer des gaines (réservations) près des appuis, cette vérification sera CADUQUE et la poutre risquera la rupture immédiate. Il faut impérativement signaler que l'âme est structurellement très sollicitée et intouchable.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
NOTE DE CALCULS VALIDÉE - POUTRE PO-105
| Désignation | Valeur / Description |
|---|---|
| 1. Hypothèses Générales | |
| Élément Structurel | Poutre BA 30x60 - Appui G |
| Matériaux | Béton C30/37 - Acier B500B |
| Sollicitation ELU (V_Ed) | 0.450 MN |
| 2. Paramètres de Calcul (Bielles) | |
| Angle de la bielle (θ) | 21.8° (cot θ = 2.5) |
| Facteur réduction (ν1) | 0.528 |
| Résistance calcul béton (f_cd) | 20.0 MPa |
| 3. Résultats de la Vérification | |
| Résistance Max Bielle (V_Rd,max) | 0.531 MN |
| Marge de Sécurité | + 18 % |
| Conclusion | SECTION VALIDÉE (Pas d'écrasement) |
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