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1. Fondamentaux Élastiques Avancés

1.1 Tenseur des Contraintes & Déformations

En physique des milieux continus, l'état de contrainte en un point \( M \) n'est pas un scalaire mais un tenseur symétrique d'ordre 2, noté \( \sigma \). Il peut être représenté par une matrice \( 3 \times 3 \) dans une base orthonormée \( (x,y,z) \) :

De même, le tenseur des déformations \( \varepsilon \) décrit les changements géométriques locaux. Il se décompose en une partie sphérique (changement de volume) et une partie déviatorique (changement de forme sans changement de volume, ou distorsion).

1.2 Loi de Hooke Généralisée (Coefficients de Lamé)

Pour un matériau élastique, linéaire, homogène et isotrope, la relation entre contraintes et déformations s'écrit de manière intrinsèque : \[ \sigma = \lambda \cdot \text{tr}(\varepsilon) \cdot I + 2\mu \cdot \varepsilon \] Cette équation fondamentale utilise les Coefficients de Lamé :

• \( \mu \) (Mu) : Identique au module de cisaillement \( G \). Il mesure la résistance à la distorsion angulaire.
  Formule : \[ G = \frac{E}{2(1+\nu)} \]
• \( \lambda \) (Lambda) : Relié à la compressibilité volumique. Il n'a pas de sens physique simple en traction uniaxiale, mais intervient dans les déformations volumiques.
  Formule : \[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} \]

Représentation idéale de la loi de comportement d'un acier ductile (Élasto-plastique).

1.3 Notation Matricielle (Voigt)

Pour le calcul numérique (Éléments Finis), on "déplie" les tenseurs en vecteurs colonnes à 6 composantes (3 normales, 3 cisaillements). La loi de comportement devient un système matriciel : \[ \{ \sigma \} = [C] \cdot \{ \varepsilon \} \] Où \( [C] \) est la matrice de rigidité (Stiffness Matrix) de taille \( 6 \times 6 \).

1.4 Anisotropie & Orthotropie

Tous les matériaux ne sont pas isotropes (égaux dans toutes les directions).

2. Plasticité Théorique

2.1 Surface de Charge et Critères

La plasticité est le domaine des déformations irréversibles. La frontière entre le domaine élastique et plastique est définie par une surface dans l'espace des contraintes, appelée Surface de Charge ou fonction seuil, notée \( f(\sigma) = 0 \).
Si \( f(\sigma) < 0 \) : Comportement élastique.
Si \( f(\sigma) = 0 \) : Écoulement plastique possible.
Si \( f(\sigma) > 0 \) : Impossible (état de contrainte physiquement inatteignable sans écrouissage).

2.2 Écrouissage (Hardening)

L'écrouissage décrit comment la surface de charge évolue lorsque le matériau subit une déformation plastique. C'est le "durcissement" du matériau.

• Écrouissage Isotrope : La surface de charge se dilate uniformément (homothétie) sans se déplacer. Si on tire sur une barre d'acier jusqu'à la plastifier, sa limite d'élasticité augmente en traction ET en compression. Modèle simple, utilisé pour les chargements monotones.
• Écrouissage Cinématique : La surface de charge conserve sa taille mais se translate dans l'espace des contraintes. Cela modélise l'Effet Bauschinger : une plastification en traction diminue la limite d'élasticité en compression. C'est le modèle obligatoire pour les calculs de fatigue et de séisme (chargements cycliques).

2.3 Règle d'Écoulement (Normality Rule)

Une fois le critère atteint, comment se déforme le matériau ? La direction de l'écoulement plastique est donnée par le gradient de la fonction seuil. \[ d\varepsilon^p = d\lambda \cdot \frac{\partial f}{\partial \sigma} \] Cela signifie que le vecteur de déformation plastique est toujours normal (perpendiculaire) à la surface de seuil au point de charge actuel.

2.4 Mécanique de l'Endommagement (Damage Mechanics)

La plasticité suppose un volume constant et une matière qui ne se dégrade pas. L'endommagement (Kachanov) introduit la notion de "trous" ou micro-fissures.
On définit une variable \( D \) (0 ≤ D ≤ 1).
Contrainte Effective : La contrainte réelle supportée par la section saine restante est : \[ \sigma_{eff} = \frac{\sigma}{1 - D} \]
Le module d'élasticité apparent chute : \[ E_{endommagé} = E_0 (1 - D) \] C'est le modèle utilisé pour le béton fissuré.

3. Rhéologie & Viscoélasticité

La réponse mécanique de nombreux matériaux (polymères, bitumes, bois vert) dépend de la durée d'application de la charge. On utilise des modèles analogiques combinant ressorts (élasticité instantanée) et amortisseurs (viscosité différée).

Les modèles rhéologiques de base combinent élasticité (ressort bleu) et viscosité (amortisseur rouge).

3.2 Fluage (Creep) & Relaxation

• Fluage : Évolution de la déformation sous contrainte constante (\( \varepsilon(t) \) avec \( \sigma=\text{Cte} \)). Dans le béton, le coefficient de fluage peut doubler ou tripler la flèche d'une poutre à long terme.
• Relaxation : Évolution de la contrainte sous déformation imposée constante (\( \sigma(t) \) avec \( \varepsilon=\text{Cte} \)). Fondamental pour les aciers de précontrainte qui perdent environ 5 à 10% de leur tension initiale sur la durée de vie de l'ouvrage.

3.3 Le Retrait (Shrinkage)

Phénomène de raccourcissement volumique indépendant de la charge mécanique.
Dans le béton, il est causé par l'hydratation (retrait endogène) et le séchage (retrait de dessiccation). L'équation constitutive s'écrit alors : \[ \varepsilon_{totale} = \varepsilon_{elastique} + \varepsilon_{fluage} + \varepsilon_{thermique} + \varepsilon_{retrait} \]

4. Matériaux Spécifiques

4.1 Acier et Béton

Acier : Modèle élasto-plastique parfait ou écrouissable. Comportement symétrique traction/compression. Très ductile.
Béton : Matériau quasi-fragile. Très résistant en compression (loi parabolique), très faible en traction (loi élastique fragile). Nécessite l'armature pour reprendre la traction.

4.2 Sols et Principe de Terzaghi

La mécanique des sols repose sur le concept de milieu polyphasique (grains solides + eau + air). Karl von Terzaghi a énoncé le principe de la Contrainte Effective :

4.3 Composites (FRP) & Maçonnerie

FRP (Renforts composites) : Comportement purement élastique linéaire jusqu'à la rupture (aucune plasticité). Rupture fragile et explosive. Matériau orthotrope.
Maçonnerie : Souvent modélisée comme un matériau "No-Tension" (résistance à la traction nulle). La stabilité des voûtes et arcs dépend uniquement de la géométrie et de la compression.

4.4 Bitumes

Le bitume est un matériau thermoplastique à comportement viscoélastique très marqué. Il obéit au Principe d'Équivalence Temps-Température : une sollicitation rapide à haute température est équivalente à une sollicitation lente à basse température. Sa rigidité est définie par un module complexe \( E^* \).

5. Critères de Rupture

Comment définir la limite élastique sous un état de contrainte tridimensionnel complexe ?

5.1 Tresca & Von Mises (Métaux)

Ces critères supposent que la pression hydrostatique (moyenne des contraintes normales) n'influence pas la plastification des métaux.

• Tresca : Basé sur la contrainte de cisaillement maximale. Critère prudent (plus restrictif).
  Formule : \[ \max(|\sigma_1 - \sigma_2|, |\sigma_2 - \sigma_3|, |\sigma_3 - \sigma_1|) = \sigma_y \]
• Von Mises : Basé sur l'énergie de distorsion (second invariant du déviateur des contraintes J2). C'est la référence pour l'acier.
  Formule : \[ \sigma_{vm} = \sqrt{\frac{1}{2} [(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2]} = \sigma_y \]

5.2 Mohr-Coulomb (Sols & Roches)

Contrairement aux métaux, la résistance des sols dépend fortement du confinement (pression).
Critère de cisaillement : \[ \tau = c + \sigma_n \cdot \tan(\phi) \]
Où c est la cohésion et \( \phi \) l'angle de frottement interne. La surface de rupture est un cône hexagonal dans l'espace des contraintes principales.

5.3 Drucker-Prager & Rankine

Drucker-Prager : C'est un cône de révolution qui lisse le critère de Mohr-Coulomb (évite les singularités mathématiques dans les coins). Très utilisé en calcul numérique des sols et bétons.
Rankine : Critère de contrainte principale maximale (Traction pure), pour les matériaux fragiles. Si \( \sigma_1 > f_t \), ça casse.

6. Mécanique de la Rupture

Cette science étudie la stabilité des fissures existantes. Elle est vitale pour la construction métallique et nucléaire.

7. Comportement au Feu & Thermique

L'incendie est un chargement accidentel qui modifie drastiquement les lois de comportement.

• Dégradation Mécanique : Les Eurocodes fournissent des courbes de réduction des propriétés. Par exemple, à 500°C, l'acier de construction perd environ 50% de sa limite élastique. Le module d'Young chute également, rendant la structure plus souple.
• Dilatation Thermique Bloquée : \[ \varepsilon_{th} = \alpha \cdot \Delta T \]. Si la structure est hyperstatique (bloquée), cette dilatation génère des efforts de compression colossaux qui peuvent causer le flambement des poteaux ou l'éclatement des appuis.
• Fluage Thermique : À haute température, le fluage devient significatif même pour l'acier, accélérant les grandes déformations avant la ruine.

8. Dynamique & Vitesse de Déformation

8.1 Effet de Vitesse (Strain Rate Effect)

Les matériaux ne réagissent pas de la même façon à une charge statique et à une explosion. La viscosité interne du matériau crée une résistance supplémentaire aux mouvements rapides.
Généralement, plus la vitesse de déformation (\( \dot{\varepsilon} \)) est élevée, plus la résistance apparente (\( Re \)) augmente, mais plus la ductilité diminue (risque de rupture fragile).

8.2 Modèle de Cowper-Symonds

C'est la loi empirique la plus utilisée pour ajuster la limite d'élasticité dans les calculs de crash ou d'impact : \[ \sigma_{dyn} = \sigma_{stat} \cdot \left[ 1 + \left( \frac{\dot{\varepsilon}}{C} \right)^{1/p} \right] \] Où C et p sont des constantes du matériau. Pour l'acier doux, \( C \approx 40 s^{-1} \) et \( p \approx 5 \). Cela peut doubler la résistance apparente lors d'un choc violent.

9. Durabilité & Vieillissement

Les paramètres de la loi de comportement ne sont pas constants sur la durée de vie de l'ouvrage.

• Corrosion de l'acier : Elle réduit la section efficace (A) augmentant la contrainte réelle (\( \sigma = F/A \)). Elle induit aussi une concentration de contraintes et peut fragiliser l'acier (fragilisation par l'hydrogène).
• Carbonatation du béton : Le CO2 transforme la chaux en calcaire. Mécaniquement, le béton carbonaté est plus dur et plus résistant en surface, mais son pH baisse, ce qui dépactive les aciers et permet leur corrosion.
• Fatigue (Wöhler & Miner) : Sous chargement cyclique répété, des micro-dommages s'accumulent. La rupture survient à une contrainte bien inférieure à la limite élastique (\( Re \)). La courbe S-N (Wöhler) définit l'endurance.

10. Essais de Caractérisation