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Calcul du Coefficient de Dilatation Thermique d’un Béton

Exercice: Coefficient de Dilatation Thermique du Béton

Calcul du Coefficient de Dilatation Thermique d'un Béton

Contexte : Le Dilatation Thermique du BétonLa tendance du béton à se dilater ou se contracter avec les changements de température..

Le béton, comme la plupart des matériaux, réagit aux variations de température. Comprendre et calculer son coefficient de dilatation thermique (\(\alpha\)) est fondamental en génie civil pour concevoir des structures durables, notamment pour le dimensionnement des joints de dilatation dans les ponts, les dalles et les chaussées.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à estimer le coefficient de dilatation thermique d'un béton composite en fonction de ses constituants.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre l'importance du coefficient de dilatation thermique (\(\alpha\)) pour le béton.
  • Apprendre la formule de la loi des mélanges (simplifiée) pour estimer l'\(\alpha\) d'un composite.
  • Calculer le coefficient global d'un béton à partir des propriétés de ses composants (granulats et pâte de ciment).

Données de l'étude

On souhaite estimer le coefficient de dilatation thermique linéaire (\(\alpha_c\)) d'un béton de structure. Ce béton est considéré comme un matériau composite biphasé : des granulats (phase granulaire) enrobés dans une pâte de ciment (phase liante).

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Phase 1 (Granulats) Granulats Siliceux (Type Quartz)
Phase 2 (Liant) Pâte de Ciment Hydratée (CEM I)
Modèle d'estimation Loi des mélanges (simplifiée, base volumique)
Modélisation du Béton Composite (Biphasé)
Béton (Composite) Granulat (Va) Pâte de Ciment (Vp)
Paramètre Symbole Valeur Unité
Proportion volumique des granulats \(V_a\) 70 %
Proportion volumique de la pâte \(V_p\) 30 %
Coef. dilatation des granulats (Siliceux) \(\alpha_a\) 12.0 \(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)
Coef. dilatation de la pâte \(\alpha_p\) 18.5 \(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)

Questions à traiter

  1. Vérifier que la somme des proportions volumiques (\(V_a + V_p\)) est cohérente.
  2. Énoncer la formule de la loi des mélanges (règle de proportionnalité volumique) pour calculer le coefficient de dilatation thermique du béton (\(\alpha_c\)).
  3. Calculer le coefficient de dilatation thermique global du béton (\(\alpha_c\)) avec les granulats siliceux.
  4. Recalculer \(\alpha_c\) en supposant que l'on utilise des granulats calcaires (\(\alpha_a = 7.0 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)), en conservant \(V_a = 70\%\).
  5. Comparer les deux résultats (\( \alpha_c \text{ siliceux} \) vs \( \alpha_c \text{ calcaire} \)) et conclure sur l'influence de la nature des granulats.

Les bases sur la Dilatation Thermique

La dilatation thermique est la variation de volume (ou de longueur) d'un corps lorsque sa température change. Elle est quantifiée par le coefficient de dilatation thermique \(\alpha\).

1. Dilatation Linéaire
Pour un changement de température \(\Delta T\), la variation de longueur \(\Delta L\) est donnée par : \[ \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T \] Où \(L_0\) est la longueur initiale et \(\alpha\) est le coefficient de dilatation thermique linéaire (en \(/^\circ\text{C}\) ou \(/ \text{K}\)).

2. Loi des Mélanges pour les Composites
Pour un matériau composite comme le béton, le coefficient global (\(\alpha_c\)) peut être estimé par une moyenne pondérée des coefficients de ses phases, basée sur leurs fractions volumiques (\(V_i\)) : \[ \alpha_c = \sum_{i} \alpha_i V_i \] Pour notre béton biphasé (granulats 'a' et pâte 'p') : \[ \alpha_c = (\alpha_a \cdot V_a) + (\alpha_p \cdot V_p) \]

Correction : Calcul du Coefficient de Dilatation Thermique d'un Béton

Question 1 : Vérifier que la somme des proportions volumiques (\(V_a + V_p\)) est cohérente.

Principe

Cette étape est une simple vérification de bon sens. Un matériau composite est composé de 100% de ses constituants. La somme de leurs fractions (ou pourcentages) volumiques doit être égale à 1 (ou 100%).

Mini-Cours

La fraction volumique \(V_i\) d'un constituant \(i\) est le rapport du volume de ce constituant \(V_{\text{const}}\) au volume total \(V_{\text{total}}\). Par définition, la somme de toutes les fractions volumiques est l'unité : \(\sum V_i = 1\).

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas les proportions volumiques (basées sur le volume) et les proportions massiques (basées sur la masse/poids). Les formules de mélange sont différentes et celles basées sur la masse sont plus complexes.

Formule(s)

Vérification de la somme

\[ V_a + V_p = 1 \quad (\text{ou 100%}) \]
Donnée(s)

Nous extrayons les proportions volumiques de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Proportion granulats\(V_a\)70%
Proportion pâte\(V_p\)30%
Calcul(s)

On commence par convertir les pourcentages en fractions décimales pour les calculs. C'est indispensable pour que les formules s'appliquent correctement.

Étape 1 : Conversion des pourcentages en fractions

On divise la valeur en pourcentage par 100 pour obtenir sa représentation décimale.

\[ V_a = 70\% = \frac{70}{100} = 0.70 \] \[ V_p = 30\% = \frac{30}{100} = 0.30 \]

Nous avons maintenant nos deux fractions volumiques, \(V_a = 0.70\) et \(V_p = 0.30\), prêtes à être utilisées.

Étape 2 : Vérification de la somme

On additionne les fractions obtenues pour s'assurer que le volume total est bien de 1 (ou 100%).

\[ \text{Somme} = V_a + V_p = 0.70 + 0.30 = 1.00 \]

Le résultat est 1.00. Cela confirme que nos deux phases (granulats et pâte) représentent bien 100% du volume total du béton. Les données sont cohérentes.

Réflexions

La somme est égale à 1.00 (soit 100%). Les données sont cohérentes et peuvent être utilisées pour la suite des calculs.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser les fractions (ex: 0.70) et non les pourcentages (ex: 70) dans les formules de calcul qui suivent, sinon le résultat sera erroné d'un facteur 100.

Points à retenir
  • La somme des fractions volumiques de tous les constituants d'un mélange est toujours égale à 1.
Résultat Final
La somme des proportions volumiques est de 100% (soit 1.0), ce qui est cohérent.
Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Cohérence des données d'un composite.
  • Formule Essentielle : \(\sum V_i = 1\).

Question 2 : Énoncer la formule de la loi des mélanges (règle de proportionnalité volumique) pour calculer \(\alpha_c\).

Principe

Il s'agit d'établir la relation mathématique qui lie le coefficient de dilatation du béton (\(\alpha_c\)) à ceux de ses composants (granulats \(\alpha_a\) et pâte \(\alpha_p\)) en fonction de leur volume respectif (\(V_a\) et \(V_p\)).

Formule(s)

Loi des Mélanges pour \(\alpha_c\) (biphasé)

La formule est une moyenne pondérée. On multiplie le coefficient de chaque phase par sa fraction volumique, puis on additionne les résultats.

\[ \alpha_c = (\alpha_a \cdot V_a) + (\alpha_p \cdot V_p) \]
Mini-Cours

Cette loi, simple et efficace, est la première approximation pour les composites. Elle suppose que les phases sont en "parallèle" et se déforment ensemble. Le coefficient global \(\alpha_c\) sera donc toujours une valeur intermédiaire, comprise entre \(\alpha_a\) et \(\alpha_p\).

Points de vigilance

Attention, ce modèle fonctionne avec les fractions volumiques (ex: 0.70), et non massiques (en kg). L'utilisation de proportions en masse donnerait un résultat erroné.

Hypothèses

Ce modèle suppose une liaison parfaite entre les phases et une répartition homogène, tout en négligeant les contraintes internes dues à la différence de rigidité entre la pâte et les granulats.

Résultat Final
La formule de la loi des mélanges (simplifiée) est : \(\alpha_c = \alpha_a V_a + \alpha_p V_p\).
Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Loi des mélanges (moyenne pondérée).
  • Formule : \(\alpha_c = \alpha_a V_a + \alpha_p V_p\).

Question 3 : Calculer le coefficient de dilatation thermique global du béton (\(\alpha_c\)) avec les granulats siliceux.

Principe

Appliquer numériquement la formule de la loi des mélanges (vue à la Q2) avec les données numériques de l'énoncé (vérifiées à la Q1).

Mini-Cours

Le calcul consiste à pondérer chaque coefficient (\(\alpha_a\), \(\alpha_p\)) par sa fraction volumique (0.70 et 0.30) puis à additionner les résultats. Cela donne l'apport de chaque phase à la dilatation globale.

Remarque Pédagogique

Notez bien que le granulat, bien que son \(\alpha_a\) (12.0) soit plus faible que celui de la pâte \(\alpha_p\) (18.5), représente 70% du volume. Son influence sur le résultat final sera donc prépondérante.

Formule(s)
\[ \alpha_c = (\alpha_a \cdot V_a) + (\alpha_p \cdot V_p) \]
Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de l'énoncé, avec les proportions en fractions.

ParamètreSymboleValeurUnité
Proportion granulats\(V_a\)0.70(sans unité)
Proportion pâte\(V_p\)0.30(sans unité)
Coef. granulats (Siliceux)\(\alpha_a\)12.0\(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)
Coef. pâte\(\alpha_p\)18.5\(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)
Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul avec les puissances de 10, vous pouvez calculer la valeur 'de base' (12.0 \(\times\) 0.70 + 18.5 \(\times\) 0.30) et multiplier le résultat final par \(10^{-6}\). L'unité sera \(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous allons combiner 70% d'un matériau à "12.0" avec 30% d'un matériau à "18.5".

Pondération des phases
70% Granulats (αa = 12.0) 30% Pâte (αp = 18.5)
Calcul(s)

Nous allons appliquer la formule \(\alpha_c = (\alpha_a \cdot V_a) + (\alpha_p \cdot V_p)\) en substituant les valeurs de l'énoncé. On garde le facteur \(\times 10^{-6}\) pour la fin.

Étape 1 : Substitution des valeurs dans la formule

On remplace les symboles (\(\alpha_a, V_a, \alpha_p, V_p\)) par leurs valeurs numériques. C'est ici qu'on voit "d'où viennent les chiffres".

\[ \alpha_c = (\underbrace{12.0}_{\alpha_a} \cdot \underbrace{0.70}_{V_a}) + (\underbrace{18.5}_{\alpha_p} \cdot \underbrace{0.30}_{V_p}) \quad [\text{en } \times 10^{-6} /^\circ\text{C}] \]

La formule est maintenant posée avec les bonnes valeurs. L'étape suivante consiste à résoudre cette équation.

Étape 2 : Calcul de la contribution de chaque phase

On calcule d'abord la part des granulats (\(12.0 \times 0.70\)), puis la part de la pâte (\(18.5 \times 0.30\)).

\[ \text{Part granulats} (\text{Part}_a) = 12.0 \times 0.70 = 8.4 \] \[ \text{Part pâte} (\text{Part}_p) = 18.5 \times 0.30 = 5.55 \]

Ces résultats intermédiaires montrent l'influence de chaque phase. Les granulats, occupant 70% du volume, contribuent à hauteur de 8.4. La pâte, avec 30% du volume, contribue à hauteur de 5.55.

Étape 3 : Somme finale

On additionne les deux contributions (\(8.4 + 5.55\)) pour trouver le coefficient global du béton.

\[ \begin{aligned} \alpha_c &= \text{Part}_a + \text{Part}_p \\ &= 8.4 + 5.55 \\ &= 13.95 \end{aligned} \]

Le résultat numérique de la moyenne pondérée est 13.95.

On n'oublie pas de remettre l'unité que l'on avait mise de côté :

\[ \alpha_c = 13.95 \times 10^{-6} /^\circ\text{C} \]

C'est notre résultat final pour le béton de granulats siliceux.

Réflexions

Le coefficient du béton (13.95) est bien une valeur intermédiaire entre celui des granulats (12.0) et celui de la pâte (18.5). Il est logiquement plus proche de celui des granulats (12.0) que de celui de la pâte (18.5), car les granulats occupent 70% du volume total.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser les proportions (multiplier \(\alpha_a\) par \(V_p\)). Vérifiez toujours que vous multipliez la propriété de la phase A par la proportion de la phase A.

Points à retenir
  • La valeur de \(13.95 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\) est une valeur élevée pour un béton, typique des bétons à base de granulats siliceux.
Le saviez-vous ?

Pourquoi \(\alpha_p\) (pâte) est-il si élevé ? Car il contient de l'eau adsorbée (liée aux CSH) qui est très sensible aux variations de température, bien plus que le squelette solide (CSH, Portlandite) lui-même.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Est-ce que l'on fait \((12.0 + 18.5) / 2\) ?

Non, surtout pas ! Ce serait une moyenne simple (arithmétique), qui ne fonctionnerait que si les deux phases étaient à 50/50. La loi des mélanges est une moyenne *pondérée* par l'importance (le volume) de chaque phase.

Résultat Final
Le coefficient de dilatation thermique estimé du béton (granulats siliceux) est \(\alpha_c = 13.95 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\).
A vous de jouer

Que se passerait-il si la proportion de granulats n'était que de 60% (\(V_a=0.6\)) ? (et donc \(V_p=0.4\)). Calculez le nouveau \(\alpha_c\) (en \(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Application de la loi des mélanges.
  • Calcul : \(\alpha_c = (12.0 \times 0.70) + (18.5 \times 0.30) = 13.95\).
  • Unité : Ne pas oublier le \(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\).

Question 4 : Recalculer \(\alpha_c\) avec des granulats calcaires (\(\alpha_a = 7.0 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)).

Principe

Refaire le calcul de la Q3 en changeant une seule variable (\(\alpha_a\)) pour voir son impact. C'est une analyse de sensibilité : on isole l'influence d'un seul paramètre (la nature du granulat) sur le résultat final.

Mini-Cours

Les granulats calcaires (issus de roches sédimentaires comme le calcaire ou la dolomie) ont une structure cristalline (calcite) qui se dilate beaucoup moins sous l'effet de la chaleur que le quartz (silice), qui est le composant principal des granulats siliceux.

Remarque Pédagogique

Nous allons voir ici l'effet "bénéfique" des granulats calcaires : en ayant un \(\alpha_a\) faible, ils "retiennent" la pâte de ciment (qui veut se dilater fortement) et abaissent le coefficient global du composite.

Normes

L'Eurocode 2 reconnaît cette différence. Il donne une valeur moyenne de \(\alpha_c = 12 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\) mais précise qu'elle peut varier de \(7\) (calcaire) à \(13\) (siliceux) \(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\) en fonction des granulats.

Formule(s)
\[ \alpha_c = (\alpha_a \cdot V_a) + (\alpha_p \cdot V_p) \]
Hypothèses

L'hypothèse clé ici est que le changement de granulat (Calcaire vs Siliceux) ne modifie pas les proportions volumiques (\(V_a\) et \(V_p\)) ni les propriétés de la pâte (\(\alpha_p\)), ce qui est une simplification acceptable pour cet exercice.

Donnée(s)

Seule la donnée \(\alpha_a\) est modifiée.

ParamètreSymboleValeurUnité
Proportion granulats\(V_a\)0.70(sans unité)
Proportion pâte\(V_p\)0.30(sans unité)
Coef. granulats (Calcaire)\(\alpha_a\)7.0\(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)
Coef. pâte\(\alpha_p\)18.5\(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)
Astuces

Puisque la contribution de la pâte (\(\text{Part}_p\)) ne change pas, nous pouvons réutiliser le résultat de la Q3. \(\text{Part}_p = 5.55 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\). Il suffit de recalculer \(\text{Part}_a\).

Calcul(s)

On utilise la même formule et les mêmes proportions, mais on change la valeur de \(\alpha_a\).

Étape 1 : Substitution des nouvelles valeurs

La seule valeur qui change est \(\alpha_a\), qui passe de 12.0 à 7.0. La partie \(\alpha_p \cdot V_p\) reste identique à la question 3.

\[ \alpha_c = (\underbrace{7.0}_{\alpha_a \text{ calcaire}} \cdot \underbrace{0.70}_{V_a}) + (\underbrace{18.5}_{\alpha_p} \cdot \underbrace{0.30}_{V_p}) \quad [\text{en } \times 10^{-6} /^\circ\text{C}] \]

La substitution est faite. On voit que seul le premier terme (\(\alpha_a\)) a changé par rapport à la question 3.

Étape 2 : Calcul de la contribution de chaque phase

La contribution de la pâte est inchangée (5.55), on recalcule seulement celle des granulats (\(7.0 \times 0.70\)).

\[ \text{Part granulats} (\text{Part}_a) = 7.0 \times 0.70 = 4.9 \] \[ \text{Part pâte} (\text{Part}_p) = 18.5 \times 0.30 = 5.55 \quad (\text{inchangé}) \]

La contribution des granulats (4.9) est maintenant plus faible que celle de la pâte (5.55), même s'ils sont plus volumineux, car leur \(\alpha_a\) est très bas.

Étape 3 : Somme finale

On additionne la nouvelle contribution des granulats (4.9) avec celle, inchangée, de la pâte (5.55).

\[ \begin{aligned} \alpha_c &= \text{Part}_a + \text{Part}_p \\ &= 4.9 + 5.55 \\ &= 10.45 \end{aligned} \]

L'addition des deux parties nous donne 10.45.

On remet l'unité :

\[ \alpha_c = 10.45 \times 10^{-6} /^\circ\text{C} \]

C'est notre résultat final pour le béton de granulats calcaires.

Réflexions

Le nouveau résultat (10.45) est nettement plus bas que le précédent (13.95). Il est même plus proche de \(\alpha_a\) (7.0) que de \(\alpha_p\) (18.5), ce qui est normal car \(V_a > V_p\).

Points à retenir
  • Un béton de granulats calcaires a un coefficient de dilatation thermique significativement plus faible qu'un béton de granulats siliceux.
  • Cette valeur de \(\approx 10.5 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\) est très proche de celle de l'acier (\(\approx 12 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)), ce qui améliore la compatibilité thermique dans le béton armé.
Résultat Final
Le nouveau coefficient \(\alpha_c\) (béton calcaire) est \(10.45 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\).
A vous de jouer

Si la pâte de ciment était plus jeune et avait un \(\alpha_p = 22.0 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\) ? (garder \(\alpha_a\) calcaire = 7.0 et \(V_a=0.7\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Analyse de sensibilité (impact de \(\alpha_a\)).
  • Calcul : \(\alpha_c = (7.0 \times 0.70) + (18.5 \times 0.30) = 10.45\).
  • Conclusion : \(\alpha_c\) (calcaire) < \(\alpha_c\) (siliceux).

Question 5 : Comparer les deux résultats et conclure sur l'influence de la nature des granulats.

Principe

Mettre en relation les deux valeurs calculées (\(\alpha_c\) béton siliceux vs \(\alpha_c\) béton calcaire) pour en tirer une conclusion d'ingénierie concrète. C'est l'étape la plus importante : transformer un calcul en savoir-faire.

Mini-Cours

En génie civil, la compatibilité des déformations est clé. L'acier des armatures a un \(\alpha_{\text{acier}} \approx 12 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\). Si le \(\alpha_c\) du béton est très différent, des contraintes internes apparaissent lors des cycles chaud/froid, pouvant fissurer le béton ou décoller l'interface acier-béton. Un \(\alpha_c\) proche de \(\alpha_{\text{acier}}\) est donc souhaitable.

Formule(s)

Calcul de la variation relative

\[ \text{Variation} (\%) = \frac{\alpha_c(\text{siliceux}) - \alpha_c(\text{calcaire})}{\alpha_c(\text{calcaire})} \times 100 \]
Donnée(s)

Synthèse des deux résultats.

Type de Béton (Granulats)Coefficient \(\alpha_c\) (\(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\))
Béton (Granulats Siliceux)13.95
Béton (Granulats Calcaires)10.45
Calcul(s)

Pour quantifier la différence, on calcule l'écart en pourcentage du béton siliceux par rapport au béton calcaire (pris comme référence).

Formule de l'écart relatif

On utilise la formule standard de variation en pourcentage : \((\text{Valeur finale} - \text{Valeur initiale}) / \text{Valeur initiale}\).

\[ \text{Variation} (\%) = \frac{\text{Valeur}_{2} - \text{Valeur}_{1}}{\text{Valeur}_{1}} \times 100 \]

Cette formule standard nous permet de calculer un écart en pourcentage en utilisant le béton calcaire comme valeur de référence (au dénominateur).

Application numérique

On substitue les valeurs calculées en Q3 (\(\alpha_c \text{ siliceux} = 13.95\)) et Q4 (\(\alpha_c \text{ calcaire} = 10.45\)).

\[ \begin{aligned} \text{Variation} (\%) &= \frac{\alpha_c(\text{siliceux}) - \alpha_c(\text{calcaire})}{\alpha_c(\text{calcaire})} \times 100 \\ &= \frac{13.95 - 10.45}{10.45} \times 100 \\ &= \frac{3.5}{10.45} \times 100 \\ &\approx 33.5 \% \end{aligned} \]

Un écart de 33.5% est très important en génie civil et confirme que la nature du granulat n'est pas un détail, mais un paramètre de conception majeur.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la différence des résultats (graphique à barres).

Comparaison des Coefficients de Dilatation
15 7.5 0 αc (x 10⁻⁶ /°C) 13.95 Béton Siliceux 10.45 Béton Calcaire
Réflexions

On observe une différence significative : le coefficient du béton siliceux est 33.5% plus élevé que celui du béton calcaire. Cela montre que le béton n'est pas un matériau unique : ses propriétés dépendent fortement de ses constituants.

Points de vigilance

Ne pas conclure qu'un \(\alpha_c\) faible (calcaire) est "toujours" meilleur. Pour une chaussée en béton non armé, un \(\alpha_c\) faible est excellent car il réduit les mouvements aux joints. Mais un béton calcaire peut être moins résistant à l'abrasion (trafic intense) qu'un béton siliceux. Le choix est un compromis.

Points à retenir

Conclusion : La nature minéralogique des granulats est le facteur le plus influent sur la dilatation thermique du béton. En effet, les granulats constituent la majeure partie du volume (le 'squelette' du béton) et leur propre coefficient \(\alpha_a\) 'dicte' le comportement global.

Le saviez-vous ?

Cette différence est capitale en ingénierie ! Pour un pont de 100m, une variation de température de 30°C provoque un allongement de \(\Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T\).
- Béton Siliceux : \(\Delta L = (13.95 \times 10^{-6}) \times 100 \times 30 \approx 4.19 \text{ cm}\).
- Béton Calcaire : \(\Delta L = (10.45 \times 10^{-6}) \times 100 \times 30 \approx 3.14 \text{ cm}\).
C'est plus d'1 cm d'écart que le joint de dilatation doit être capable d'absorber !

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Doit-on toujours préférer le béton calcaire pour le béton armé ?

C'est souvent un avantage ! Avoir \(\alpha_c \approx 10.5\) (calcaire) le rend plus proche de \(\alpha_{\text{acier}} \approx 12\) que ne l'est \(\alpha_c \approx 14\) (siliceux). Cette meilleure compatibilité réduit les contraintes internes de cisaillement à l'interface acier/béton lors des variations de température.

Résultat Final
Conclusion : Le type de granulat a une influence majeure (plus de 30% d'écart) sur le coefficient de dilatation du béton.
A vous de jouer

Si un pont en béton calcaire (\(\alpha_c=10.45 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)) de 50m de long subit un \(\Delta T\) de 35°C, quel est son allongement total \(\Delta L\) en millimètres ?

Rappel : \(\Delta L = \alpha_c \cdot L_0 \cdot \Delta T\).
Attention aux unités !
\(\Delta L = (10.45 \times 10^{-6}) \times (50 \text{ m}) \times (35^\circ\text{C}) = 0.0182875 \text{ m}\).
Convertissez ce résultat en millimètres (m \(\times\) 1000).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : L'influence des granulats est prépondérante.

Outil Interactif : Simulateur d'\(\alpha_c\)

Utilisez les curseurs pour voir l'influence de la proportion des granulats (\(V_a\)) et de leur nature (\(\alpha_a\)) sur le coefficient global du béton (\(\alpha_c\)). (On suppose \(\alpha_p = 18.5 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\) fixe).

Paramètres d'Entrée
70 %
12.0 x 10⁻⁶ /°C
Résultats Clés
Proportion Pâte (\(V_p\)) -
Coef. Béton (\(\alpha_c\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est le constituant qui influence le PLUS l'\(\alpha\) du béton ?

  • Les granulats (leur nature minéralogique et leur volume)
  • L'eau de gâchage (le rapport E/C)

2. Un béton avec \(\alpha = 14 \times 10^{-6} /^\circ\text{C}\) est posé en été à 35°C. En hiver, la température chute à -5°C (\(\Delta T = -40^\circ\text{C}\)). Que se passe-t-il ?

  • Il se contracte (raccourcissement)

3. La loi des mélanges \(\alpha_c = \alpha_a V_a + \alpha_p V_p\) est basée sur une moyenne pondérée par...

  • La résistance des matériaux

4. Si \(\alpha_a = 10\) et \(\alpha_p = 20\) (en \(10^{-6}/^\circ\text{C}\)), et que \(V_a = 80\%\) (\(V_p = 20\%\)), que vaut \(\alpha_c\) ?

  • 18.0 \(\times 10^{-6} /^\circ\text{C}\)

5. En génie civil, pourquoi dimensionne-t-on des "joints de dilatation" ?

  • Pour faciliter la coulée du béton en plusieurs phases.

Glossaire

Coefficient de Dilatation Thermique (\(\alpha\))
Mesure de la variation de dimension (longueur, volume) d'un matériau pour une variation de température de 1°C (ou 1 Kelvin). Unité : \(/^\circ\text{C}\) (ou \(\text{K}^{-1}\)).
Loi des Mélanges
Modèle simple (souvent trop simple) estimant la propriété d'un composite comme la moyenne des propriétés de ses phases, pondérée par leurs proportions (généralement volumiques).
Pâte de Ciment
Le 'liant' dans le béton, composé de ciment hydraté (CSH), de portlandite, et de pores. Elle a généralement un \(\alpha\) élevé, sensible à l'humidité.
Granulats
Le 'squelette' du béton (sable, graviers, cailloux). Ils occupent la majorité du volume (60-80%) et ont une influence majeure sur l'\(\alpha\) global et la stabilité dimensionnelle.
Exercice : Coefficient de Dilatation Thermique

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