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Vérification à la Fatigue du Gousset Soudé

Vérification à la Fatigue du Gousset Soudé

Vérification à la Fatigue du Gousset Soudé

Contexte : La durée de vie des structures.

Contrairement aux charges statiques, les charges variables et répétées (comme le trafic sur un pont ou le passage d'un pont roulant) peuvent provoquer la ruine d'un élément même si la contrainte maximale n'atteint jamais la limite d'élasticité de l'acier. Ce phénomène, appelé fatigue, est dû à l'amorçage et à la propagation de fissures microscopiques au fil des cycles de chargement. La vérification à la fatigue, régie par l'Eurocode 3 - Partie 1-9Norme européenne (EN 1993-1-9) spécifiquement dédiée au calcul à la fatigue des structures en acier. Elle fournit les catégories de détail, les courbes S-N et les méthodes de calcul du dommage., est donc essentielle pour garantir la sécurité et la durabilité des ouvrages d'art et des bâtiments industriels.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la méthode de vérification à la fatigue basée sur la contrainte nominale. L'objectif est de s'assurer que le "dommage" cumulé par les différents cycles de contrainte sur la durée de vie de la structure reste inférieur à une limite acceptable. La clé de l'exercice est d'identifier correctement la "qualité" du détail d'assemblage (sa catégorie de détail) et d'appliquer la règle de cumul de dommage de Palmgren-Miner.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier la catégorie d'un détail soudé à l'aide des tables de l'Eurocode 3-1-9.
  • Calculer la variation de contrainte nominale (\(\Delta\sigma\)) dans un élément fléchi.
  • Utiliser une courbe S-N (Wöhler) pour déterminer la résistance à la fatigue d'un détail.
  • Appliquer la règle de cumul linéaire de dommage de Palmgren-Miner.
  • Comprendre l'importance des limites de fatigue à amplitude constante (\(\Delta\sigma_D\)) et de la limite de non-propagation (\(\Delta\sigma_L\)).

Données de l'étude

On étudie la semelle inférieure d'une poutre IPE 400 en acier S355, sur laquelle est soudé un gousset vertical. Ce détail est situé en travée d'une poutre de pont-route et est soumis à des cycles de contraintes de flexion dus au passage des véhicules. On souhaite vérifier sa résistance à la fatigue pour une durée de vie de 50 ans.

Détail du Gousset Soudé sur Semelle
Semelle inférieure IPE 400 Gousset Pied de cordon Zone critique Δσ
Paramètre Symbole Valeur Unité
Profilé - IPE 400 -
Module d'inertie élastique \(W_{\text{el,y}}\) 1160 \(\text{cm}^3\)
Spectre de contrainte (par an) \(n_i(\Delta\sigma_i)\) Voir tableau ci-dessous -
Durée de vie requise - 50 ans
Coefficient partiel de fatigue \(\gamma_{\text{Mf}}\) 1.15 -

Spectre de variation de moment fléchissant annuel :

Variation de moment \(\Delta M_i\) (kNm) 40 60 80
Nombre de cycles par an \(n_i\) 200 000 50 000 5 000

Questions à traiter

  1. Déterminer la catégorie de détail \(\Delta\sigma_c\) pour le gousset soudé à la semelle.
  2. Calculer les variations de contrainte nominale \(\Delta\sigma_i\) pour chaque niveau de moment.
  3. Vérifier si les variations de contrainte sont potentiellement dommageables.
  4. Calculer le dommage total cumulé sur 50 ans et conclure sur la sécurité du détail.

Les bases de la Vérification à la Fatigue

La méthode de l'Eurocode 3-1-9 repose sur la comparaison entre la contrainte appliquée et la résistance du détail, donnée par une courbe S-N (Contrainte - Nombre de cycles).

1. Catégorie de Détail (\(\Delta\sigma_c\)) :
Chaque type d'assemblage, de soudure ou de trou a une "qualité" intrinsèque vis-à-vis de la fatigue, appelée catégorie de détail. C'est un nombre (en MPa) qui représente la résistance en fatigue pour 2 millions de cycles. Plus le nombre est élevé, meilleur est le détail. On le trouve dans les tables de l'EN 1993-1-9.

2. Courbe S-N (ou de Wöhler) :
Cette courbe donne le nombre de cycles (\(N\)) qu'un détail peut supporter pour une variation de contrainte (\(\Delta\sigma\)) donnée. Elle est bi-logarithmique et a généralement deux pentes : \(m=3\) pour \(N < 5 \times 10^6\) cycles, et \(m=5\) au-delà. \[ \Delta\sigma^m \cdot N = \Delta\sigma_c^m \cdot (2 \times 10^6) \]

3. Règle de Palmgren-Miner :
Lorsqu'une structure subit des cycles de contraintes d'amplitudes différentes, on calcule le "dommage" causé par chaque niveau de contrainte. Le dommage est le rapport entre le nombre de cycles appliqués (\(n_i\)) et le nombre de cycles à la ruine pour ce niveau de contrainte (\(N_i\)). On somme les dommages de tous les niveaux. La structure est considérée sûre si le dommage total \(D\) est inférieur ou égal à 1.0. \[ D = \sum \frac{n_i}{N_i} \le 1.0 \]

Correction : Vérification à la Fatigue du Gousset Soudé

Question 1 : Déterminer la catégorie de détail

Principe (le concept physique)

La première étape de toute vérification à la fatigue est de classer le détail étudié. La géométrie, le type de soudure et la direction de la contrainte déterminent la sévérité de la concentration de contraintes au point critique (ici, le pied du cordon de soudure) et donc sa résistance à la fatigue. Cette classification est normalisée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La concentration de contraintes est un phénomène où les contraintes locales sont beaucoup plus élevées que la contrainte nominale (calculée par des formules simples de RDM) en raison de discontinuités géométriques. Les soudures, par leur forme et les micro-défauts inhérents, sont des zones de forte concentration de contraintes, ce qui en fait des points faibles pour l'amorçage de fissures de fatigue.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez l'écoulement des efforts dans la semelle comme l'eau dans une rivière. Le gousset est un rocher qui perturbe cet écoulement. Des "tourbillons" de contraintes se forment à la base du rocher (le pied de la soudure), créant des pics de contrainte bien plus élevés que dans le reste de la rivière. La catégorie de détail quantifie la dangerosité de ces "tourbillons".

Normes (la référence réglementaire)

On utilise l'EN 1993-1-9, Tableau 8.4 "Goussets". Le cas correspond à un gousset soudé sur une semelle non raidie. La contrainte est appliquée dans la semelle, parallèlement à la soudure. Le tableau indique une catégorie de détail de 50.

Description du détail (Extrait du Tableau 8.4) Schéma du détail Catégorie \(\Delta\sigma_c\)
Gousset soudé sur la semelle d'une poutre ou d'un poteau. Contrainte dans la semelle. 50
Gousset soudé sur l'âme d'une poutre. 71
Formule(s) (l'outil mathématique)

Il n'y a pas de formule pour cette étape. La détermination de la catégorie de détail se fait par identification visuelle et lecture dans les tableaux normatifs.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le détail constructif est réalisé conformément aux plans et aux normes de soudage, et qu'il correspond précisément à l'un des cas répertoriés dans les tableaux de l'Eurocode.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Type de détail : Gousset soudé sur semelle par des soudures d'angle.
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour naviguer dans les tableaux de l'Eurocode, identifiez d'abord le type d'élément principal (ici, un gousset, Tableau 8.4), puis la géométrie exacte et enfin la direction de la contrainte par rapport au détail. Une bonne identification est cruciale car une erreur de catégorie peut changer radicalement le résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Identification du Détail dans l'Eurocode 3-1-9
Tableau 8.4 - GoussetsDétailΔσc = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Consultation directe du Tableau 8.4 de l'EN 1993-1-9.

Schéma (Après les calculs)
Catégorie de Détail Identifiée
Tableau 8.4 - GoussetsDétailΔσc = 50
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une catégorie de 50 MPa est une performance en fatigue relativement faible. Elle est typique des détails soudés où la soudure est transversale à l'effort, créant une forte concentration de contraintes. Cela signifie que ce détail sera sensible aux variations de contrainte et nécessitera une vérification attentive.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est de mal interpréter le schéma du tableau normatif ou de ne pas bien identifier la direction de la contrainte principale par rapport à la soudure. Une erreur de lecture peut conduire à choisir une catégorie trop optimiste (par ex. 80 au lieu de 50) et à une conception non sécuritaire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La catégorie de détail est la première et la plus importante étape de la vérification.
  • Elle dépend de la géométrie, du type de soudure et de la direction de la contrainte.
  • Elle est déterminée par consultation des tableaux de l'EN 1993-1-9.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Des techniques d'amélioration post-soudage, comme le martelage (hammer peening) ou le traitement par ultrasons (UIT), peuvent être utilisées pour améliorer la catégorie de fatigue. Elles introduisent des contraintes résiduelles de compression au pied de la soudure, ce qui retarde l'amorçage des fissures et peut augmenter la catégorie de détail de 30% à 50%.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si mon détail n'est pas exactement dans les tableaux ?

Si un détail n'est pas explicitement listé, l'ingénieur doit faire preuve de jugement. Il doit choisir par sécurité la catégorie du détail tabulé le plus proche mais plus sévère. Dans des cas complexes, des essais en laboratoire ou des analyses par éléments finis peuvent être nécessaires pour déterminer une catégorie de détail appropriée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le détail correspond à la catégorie \(\Delta\sigma_c = 50 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En consultant l'EN 1993-1-9 (Tableau 8.1), quelle serait la catégorie d'une simple tôle laminée sans aucun trou ni soudure ?

Question 2 : Calculer les variations de contrainte nominale

Principe (le concept physique)

La fatigue est causée par la variation de contrainte, pas par sa valeur absolue. On utilise la formule de flexion de la RDM (\(\sigma = M/W\)) pour convertir chaque variation de moment fléchissant \(\Delta M_i\) en une variation de contrainte nominale \(\Delta\sigma_i\) dans la semelle de la poutre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(\sigma = M \cdot y / I\) est fondamentale en RDM. Pour la contrainte maximale dans la fibre la plus éloignée, on simplifie en \(\sigma_{\text{max}} = M / W_{\text{el}}\), où \(W_{\text{el}} = I / y_{\text{max}}\) est le module d'inertie élastique. Pour la fatigue, on s'intéresse à la variation de contrainte \(\Delta\sigma\) due à une variation de moment \(\Delta M\), la relation reste donc linéaire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est crucial de comprendre que la fatigue ne "voit" que la partie cyclique de la charge. Imaginez une contrainte qui varie de +100 MPa à +120 MPa. La variation \(\Delta\sigma\) est de 20 MPa. Si elle varie de -10 MPa à +10 MPa, la variation est aussi de 20 MPa. Pour la fatigue, ces deux cas sont équivalents en première approche, même si les contraintes absolues sont très différentes.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la contrainte nominale est basé sur les principes de la Résistance des Matériaux, codifiés dans l'EN 1993-1-1 pour les propriétés des sections.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \Delta\sigma_i = \frac{\Delta M_i}{W_{\text{el,y}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section de la poutre se comporte de manière linéairement élastique (hypothèse de Navier-Bernoulli : les sections planes restent planes après déformation).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Module d'inertie : \(W_{\text{el,y}} = 1160 \, \text{cm}^3 = 1160 \times 10^3 \, \text{mm}^3\)
  • Variations de moment : \(\Delta M_1 = 40, \Delta M_2 = 60, \Delta M_3 = 80 \, \text{kNm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La plus grande source d'erreur est la gestion des unités. Prenez l'habitude de tout convertir en unités de base (N, mm, MPa). \(1 \, \text{kNm} = 10^6 \, \text{Nmm}\) et \(1 \, \text{cm}^3 = 1000 \, \text{mm}^3\). En respectant cela, le résultat sera directement en MPa (\(\text{N/mm}^2\)).

Schéma (Avant les calculs)
Distribution de Contrainte dans une Section IPE
F.N.CompressionTractionΔσ=?
Calcul(s) (l'application numérique)

On convertit les moments en N·mm (\(1 \, \text{kNm} = 10^6 \, \text{Nmm}\)).

\[ \begin{aligned} \Delta\sigma_1 &= \frac{40 \times 10^6 \, \text{Nmm}}{1160 \times 10^3 \, \text{mm}^3} \\ &= 34.5 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta\sigma_2 &= \frac{60 \times 10^6 \, \text{Nmm}}{1160 \times 10^3 \, \text{mm}^3} \\ &= 51.7 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta\sigma_3 &= \frac{80 \times 10^6 \, \text{Nmm}}{1160 \times 10^3 \, \text{mm}^3} \\ &= 69.0 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des Variations de Contrainte
F.N.34.5 MPa51.7 MPa69.0 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les contraintes calculées (jusqu'à 69 MPa) sont bien inférieures à la limite d'élasticité de l'acier S355 (\(f_y = 355 \, \text{MPa}\)). En calcul statique, ces contraintes seraient tout à fait acceptables. Cependant, en fatigue, même ces faibles niveaux de contrainte, s'ils sont répétés des millions de fois, peuvent conduire à la ruine.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur est la conversion d'unités. Une erreur d'un facteur 1000 (par exemple, oublier de convertir les cm³ en mm³) est fréquente et conduit à un résultat complètement erroné. Vérifiez toujours l'homogénéité de vos unités avant de calculer.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La variation de contrainte \(\Delta\sigma\) est directement proportionnelle à la variation de moment \(\Delta M\).
  • Elle est inversement proportionnelle au module d'inertie de la section \(W_{\text{el}}\).
  • Une gestion rigoureuse des unités est indispensable.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres en acier, des contraintes résiduelles importantes existent, dues au processus de laminage à chaud et au refroidissement inégal. Ces contraintes peuvent atteindre 30% à 50% de la limite d'élasticité. C'est pourquoi, pour les détails soudés, on suppose que la contrainte varie toujours dans le domaine de la traction, ce qui justifie l'utilisation de la variation totale de contrainte \(\Delta\sigma\) dans les calculs de fatigue.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on le module élastique \(W_{\text{el}}\) et non le module plastique \(W_{\text{pl}}\) ?

La fatigue est un phénomène qui se produit à des niveaux de contrainte bien inférieurs à la limite d'élasticité. La structure doit donc toujours rester dans le domaine élastique sous les charges de service. Le module plastique n'est utilisé que pour les vérifications à l'état limite ultime (ELU) où l'on autorise la plastification de la section.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les variations de contrainte sont \(\Delta\sigma_1 = 34.5 \, \text{MPa}\), \(\Delta\sigma_2 = 51.7 \, \text{MPa}\) et \(\Delta\sigma_3 = 69.0 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec une variation de moment de 60 kNm, quelle serait la contrainte dans une poutre IPE 500 (\(W_{\text{el,y}} = 1947 \, \text{cm}^3\)) ?

Question 3 : Vérifier si les contraintes sont dommageables

Principe (le concept physique)

L'Eurocode définit deux seuils de contrainte. La limite de fatigue à amplitude constante (\(\Delta\sigma_D\)) est la contrainte en dessous de laquelle un détail peut supporter un très grand nombre de cycles (ici \(5 \times 10^6\)). La limite de non-propagation de fissure (\(\Delta\sigma_L\)) est un seuil plus bas (\(10^8\) cycles) en dessous duquel les cycles ne sont pas considérés comme contribuant au dommage. Il faut comparer nos contraintes de calcul à ces limites.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La courbe S-N n'est pas une ligne droite infinie dans un diagramme log-log. \(\Delta\sigma_D\) représente la "limite d'endurance" conventionnelle. En dessous, la durée de vie augmente rapidement (la pente passe de m=3 à m=5). \(\Delta\sigma_L\) représente le seuil de non-propagation : en dessous de cette contrainte, on considère que les micro-fissures existantes ne grandiront pas, et la durée de vie est donc considérée comme infinie.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à ces limites comme à des "franchises". Si une variation de contrainte est en dessous de \(\Delta\sigma_L\), elle est "gratuite" et n'utilise pas le "budget fatigue" de la structure. Si elle est entre \(\Delta\sigma_L\) et \(\Delta\sigma_D\), elle coûte un peu. Si elle est au-dessus de \(\Delta\sigma_D\), elle coûte très cher en termes de dommage.

Normes (la référence réglementaire)

Les définitions et formules pour \(\Delta\sigma_D\) et \(\Delta\sigma_L\) sont données dans l'EN 1993-1-9, Section 7.1.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \Delta\sigma_D = \left( \frac{2 \times 10^6}{5 \times 10^6} \right)^{1/3} \Delta\sigma_c \]
\[ \Delta\sigma_L = \left( \frac{5 \times 10^6}{10^8} \right)^{1/5} \Delta\sigma_D \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les courbes S-N normalisées de l'Eurocode, avec leurs pentes et leurs limites, sont applicables à notre détail.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Catégorie de détail : \(\Delta\sigma_c = 50 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Les facteurs de conversion sont constants : \((2/5)^{1/3} \approx 0.737\) et \((5/100)^{1/5} \approx 0.549\). Vous pouvez mémoriser ces valeurs pour accélérer les calculs : \(\Delta\sigma_D \approx 0.737 \Delta\sigma_c\) et \(\Delta\sigma_L \approx 0.549 \Delta\sigma_D\).

Schéma (Avant les calculs)
Courbe S-N et ses Limites Caractéristiques
log(N)log(Δσ)ΔσDΔσLm=3m=5
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \Delta\sigma_D &= \left( \frac{2}{5} \right)^{1/3} \times 50 \\ &= 0.737 \times 50 \\ &= 36.8 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta\sigma_L &= \left( \frac{5}{100} \right)^{1/5} \times 36.8 \\ &= 0.549 \times 36.8 \\ &= 20.2 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Comparaison :

  • \(\Delta\sigma_1 = 34.5 \, \text{MPa} < \Delta\sigma_D\). Ce cycle sera vérifié avec une pente \(m=5\).
  • \(\Delta\sigma_2 = 51.7 \, \text{MPa} > \Delta\sigma_D\). Ce cycle sera vérifié avec une pente \(m=3\).
  • \(\Delta\sigma_3 = 69.0 \, \text{MPa} > \Delta\sigma_D\). Ce cycle sera vérifié avec une pente \(m=3\).

Toutes les variations de contrainte sont supérieures à \(\Delta\sigma_L = 20.2 \, \text{MPa}\), donc tous les cycles sont dommageables et doivent être inclus dans le calcul de cumul.

Schéma (Après les calculs)
Position des Contraintes sur la Courbe S-N
log(N)log(Δσ)36.820.2Δσ3=69.0Δσ2=51.7Δσ1=34.5
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'analyse montre que deux des trois niveaux de contrainte se situent sur la partie la plus raide de la courbe S-N (pente m=3), ce qui signifie qu'ils sont particulièrement dommageables. Le niveau de contrainte le plus faible, bien que très fréquent, se situe sur la partie moins pentue (m=5), son impact sur la durée de vie sera donc moindre. Le fait qu'aucune contrainte ne soit en dessous de la limite de non-propagation \(\Delta\sigma_L\) confirme que la fatigue est un phénomène à considérer sérieusement pour ce détail.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'oublier de comparer les contraintes aux seuils \(\Delta\sigma_D\) et \(\Delta\sigma_L\) et d'appliquer une pente unique (généralement m=3) pour tous les calculs. Cela peut conduire à une sous-estimation ou une sur-estimation significative de la durée de vie.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les contraintes doivent être comparées à \(\Delta\sigma_D\) pour déterminer la pente de la courbe S-N à utiliser (m=3 ou m=5).
  • Les contraintes inférieures à \(\Delta\sigma_L\) sont considérées comme non dommageables et peuvent être ignorées.
  • Ces deux seuils dépendent directement de la catégorie de détail \(\Delta\sigma_c\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La position des "genoux" de la courbe S-N (\(N=5 \times 10^6\) et \(N=10^8\) cycles) est une convention de l'Eurocode. D'autres normes, notamment dans l'industrie pétrolière ou automobile, peuvent utiliser des courbes de forme et de limites différentes, adaptées aux matériaux et aux conditions d'environnement spécifiques.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la pente change-t-elle de m=3 à m=5 ?

Ce changement de pente représente une transition dans le mécanisme de rupture. Pour les contraintes élevées (pente m=3), la durée de vie est dominée par la propagation de fissures. Pour les contraintes plus faibles (pente m=5), la phase d'amorçage de la fissure devient plus significative, ce qui allonge considérablement la durée de vie pour une faible diminution de la contrainte.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La limite de fatigue à amplitude constante est \(\Delta\sigma_D = 36.8 \, \text{MPa}\) et la limite de non-propagation est \(\Delta\sigma_L = 20.2 \, \text{MPa}\). Toutes les contraintes sont dommageables.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une catégorie de détail \(\Delta\sigma_c = 80 \, \text{MPa}\), quelle serait la valeur de la limite de fatigue \(\Delta\sigma_D\) ?

Question 4 : Calculer le dommage total cumulé

Principe (le concept physique)

On calcule la durée de vie en nombre de cycles (\(N_i\)) pour chaque niveau de contrainte \(\Delta\sigma_i\) en utilisant la courbe S-N appropriée (pente m=3 ou m=5). Ensuite, on calcule le dommage partiel pour chaque niveau sur la durée de vie totale de 50 ans. Enfin, on somme ces dommages partiels pour obtenir le dommage total, qui doit être inférieur à 1.0.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La règle de Palmgren-Miner est une hypothèse de cumul linéaire. Elle postule que chaque cycle de contrainte "consomme" une fraction de la durée de vie totale, et que ces fractions s'additionnent. Si la somme atteint 1 (soit 100% de la vie "consommée"), la rupture se produit. Bien que ce soit une simplification (l'ordre des charges peut avoir un effet), c'est la méthode la plus couramment utilisée en ingénierie pour sa simplicité et son caractère généralement conservateur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au dommage comme à un "taux de travail en fatigue". Un dommage de 2.63 signifie que la structure a subi 2.63 fois sa durée de vie admissible en 50 ans. Autrement dit, la rupture interviendrait probablement après environ \(50 / 2.63 \approx 19\) ans, ce qui est bien inférieur à la durée de vie requise.

Normes (la référence réglementaire)

La règle de cumul de dommage est décrite dans l'EN 1993-1-9, Section 8. Le critère de vérification est \(D \le 1.0\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour \(\Delta\sigma_i > \Delta\sigma_D\) (pente m=3) :

\[ N_i = \frac{\Delta\sigma_c^3 \cdot (2 \times 10^6)}{(\gamma_{\text{Mf}} \cdot \Delta\sigma_i)^3} \]

Pour \(\Delta\sigma_L < \Delta\sigma_i \le \Delta\sigma_D\) (pente m=5) :

\[ N_i = \frac{\Delta\sigma_D^5 \cdot (5 \times 10^6)}{(\gamma_{\text{Mf}} \cdot \Delta\sigma_i)^5} \]

Dommage total :

\[ D = \sum_{i=1}^{3} \frac{n_i \times 50 \, \text{ans}}{N_i} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la règle de cumul linéaire de Palmgren-Miner est valide et que l'ordre d'application des cycles de contrainte n'a pas d'influence sur le dommage total.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Durées de vie \(N_i\) calculées à l'étape précédente.
  • Nombre de cycles annuels \(n_i\) donnés dans l'énoncé.
  • Durée de vie de la structure : 50 ans.
Astuces(Pour aller plus vite)

Lors du calcul du dommage, il est souvent utile de calculer le dommage annuel d'abord (\(d_i = n_i / N_i\)), puis de sommer et de multiplier par la durée de vie. Cela permet de mieux identifier quels types de cycles contribuent le plus au dommage chaque année.

Schéma (Avant les calculs)
Concept du Cumul de Dommage (Règle de Miner)
Limite D=1.0"Budget" de Durée de VieDommage 1Dommage 2Dommage 3
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer les durées de vie \(N_i\). Ne pas oublier d'appliquer \(\gamma_{\text{Mf}}\) aux contraintes.

\[ \begin{aligned} N_1 (\text{pente 5}) &= \frac{(36.8)^5 \cdot (5 \times 10^6)}{(1.15 \times 34.5)^5} \\ &= 3.48 \times 10^8 \text{ cycles} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} N_2 (\text{pente 3}) &= \frac{(50)^3 \cdot (2 \times 10^6)}{(1.15 \times 51.7)^3} \\ &= 1.19 \times 10^6 \text{ cycles} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} N_3 (\text{pente 3}) &= \frac{(50)^3 \cdot (2 \times 10^6)}{(1.15 \times 69.0)^3} \\ &= 5.02 \times 10^5 \text{ cycles} \end{aligned} \]

2. Calculer le dommage total D sur 50 ans.

\[ \begin{aligned} D &= \frac{200000 \times 50}{3.48 \times 10^8} + \frac{50000 \times 50}{1.19 \times 10^6} + \frac{5000 \times 50}{5.02 \times 10^5} \\ &= 0.029 + 2.10 + 0.50 \\ &= 2.629 \end{aligned} \]

3. Comparer le dommage à la limite :

\[ D = 2.629 > 1.0 \quad (\text{NON OK!}) \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat du Cumul de Dommage
Limite D=1.0D = 2.63 > 1.0
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le dommage total (2.629) est largement supérieur à la limite de 1.0. Cela signifie que le détail n'est pas sûr vis-à-vis de la fatigue et qu'une rupture est probable bien avant la fin de la durée de vie de 50 ans. On remarque que le dommage est principalement causé par les cycles de contrainte moyenne (\(\Delta\sigma_2\)), qui sont fréquents et supérieurs à la limite de fatigue \(\Delta\sigma_D\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur classique est d'appliquer le coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{Mf}}\) à la résistance (\(\Delta\sigma_c\)) plutôt qu'à la contrainte (\(\Delta\sigma_i\)). L'Eurocode stipule bien de majorer les effets des actions. Oublier de multiplier le nombre de cycles annuels par la durée de vie totale est également une omission fréquente.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le dommage est le rapport entre le nombre de cycles appliqués et le nombre de cycles admissibles (\(n/N\)).
  • Le dommage total est la somme des dommages partiels pour chaque niveau de contrainte.
  • La vérification est satisfaite si le dommage total \(D \le 1.0\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La catastrophe de la plate-forme pétrolière Alexander L. Kielland en 1980, qui a coûté la vie à 123 personnes, a été initiée par la rupture par fatigue d'un contreventement. Une petite fissure, issue d'une soudure de mauvaise qualité, s'est propagée sous l'effet des vagues jusqu'à la rupture de l'élément, entraînant un effondrement en cascade de la structure.

FAQ (pour lever les doutes)
La règle de Miner est-elle toujours conservative ?

En général, oui, mais pas toujours. Elle ne tient pas compte des effets de séquence : un petit nombre de cycles à forte amplitude au début de la vie peut causer des dommages importants et accélérer la propagation des fissures dues aux cycles suivants de plus faible amplitude. Pour des structures très critiques, des modèles de dommage non-linéaires plus complexes peuvent être utilisés.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le dommage cumulé est de 2.63, ce qui est supérieur à 1.0. Le détail d'assemblage n'est pas résistant à la fatigue pour la durée de vie requise.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le nombre de cycles pour \(\Delta\sigma_2\) était seulement de 10 000 par an, quel serait le nouveau dommage total ?

Outil Interactif : Courbe S-N et Dommage

Modifiez la catégorie du détail pour voir son influence sur la résistance à la fatigue et le dommage cumulé.

Paramètres d'Entrée
50 MPa
Résultats Clés
Limite de Fatigue \(\Delta\sigma_D\) - MPa
Dommage Cumulé Total -
Verdict -

Le Saviez-Vous ?

L'accident ferroviaire d'Eschede en Allemagne en 1998, l'un des plus graves de l'histoire, a été causé par la rupture par fatigue d'un bandage de roue. Une fissure de fatigue, non détectée, s'est propagée jusqu'à la rupture complète de la roue, provoquant le déraillement du train à grande vitesse et causant 101 morts. Cet événement a radicalement changé les procédures d'inspection et de maintenance dans l'industrie ferroviaire.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que faire si le calcul de dommage est supérieur à 1.0 ?

Si le détail ne passe pas la vérification, l'ingénieur doit trouver une solution. Il peut soit améliorer le détail pour obtenir une meilleure catégorie de fatigue (par exemple, en meulant les soudures), soit augmenter la section de l'élément pour réduire les contraintes nominales (par exemple, utiliser un IPE 450 au lieu d'un IPE 400), soit limiter les charges si possible.

La contrainte moyenne a-t-elle une influence ?

Dans la méthode de la contrainte nominale de l'Eurocode pour les détails soudés, l'influence de la contrainte moyenne est implicitement prise en compte dans la classification des détails, en supposant des contraintes résiduelles de traction élevées. On ne considère donc que la variation de contrainte \(\Delta\sigma\). Pour d'autres types de détails (non soudés) ou des méthodes plus avancées, l'effet de la contrainte moyenne peut être pris en compte explicitement.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un détail avec une catégorie \(\Delta\sigma_c = 80\) est, en fatigue :

2. Selon la règle de Miner, si un détail subit la moitié des cycles à la ruine pour un niveau de contrainte A, combien de cycles peut-il encore subir au niveau B avant la ruine ?

Catégorie de Détail
Classification normalisée d'un détail constructif (soudure, trou, etc.) qui définit sa résistance à la fatigue. Elle correspond à la variation de contrainte admissible (en MPa) pour 2 millions de cycles.
Courbe S-N (ou de Wöhler)
Relation graphique ou mathématique entre l'amplitude d'une contrainte cyclique (S) et le nombre de cycles à la rupture (N). C'est l'outil de base pour le dimensionnement en fatigue.
Règle de Palmgren-Miner
Hypothèse de cumul linéaire des dommages utilisée en fatigue pour évaluer l'effet d'un spectre de chargement à amplitudes variables. La ruine est prédite lorsque la somme des dommages partiels atteint 1.
Vérification à la Fatigue du Gousset Soudé

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