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Analyse de l’interaction sol-structure pour un portique

Analyse de l’Interaction Sol-Structure pour un Portique Métallique

Analyse de l’interaction sol-structure pour un portique

Contexte : L'importance des fondations flexibles.

En génie civil, l'hypothèse d'appuis parfaitement rigides (encastrés ou articulés) est une simplification courante. En réalité, le sol se déforme sous l'effet des charges, ce qui modifie la répartition des efforts dans la structure. Cette interaction sol-structure (ISS)Phénomène par lequel la réponse du sol influence le comportement de la structure, et vice-versa. Ignorer l'ISS peut conduire à un dimensionnement incorrect. est cruciale, notamment pour les portiques en acier sur semelles superficielles. Cet exercice vous guide dans l'analyse d'un portique simple en considérant la flexibilité du sol, modélisée par des ressorts.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous initie à une approche plus réaliste du calcul de structures. Vous apprendrez à modéliser le sol, à calculer le tassement des fondations et à évaluer comment ce tassement redistribue les moments fléchissants dans la superstructure, un concept fondamental de la géotechnique et du calcul de structures avancées.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le concept de module de réaction du solAussi appelé "raideur du sol" (k), il représente la pression nécessaire pour provoquer un tassement unitaire du sol. Unité : kN/m³. (modèle de Winkler).
  • Calculer la raideur équivalente d'un appui sur semelle superficielle.
  • Déterminer le tassementEnfoncement vertical d'une fondation dans le sol sous l'effet des charges appliquées. d'une fondation sous une charge donnée.
  • Analyser la redistribution des efforts (moments fléchissants) due à la flexibilité des appuis.
  • Comparer les résultats avec l'hypothèse d'appuis rigides.

Données de l'étude

On étudie un portique métallique simple, composé de deux poteaux et d'une traverse, reposant sur deux semelles superficielles carrées. Le portique est soumis à une charge verticale centrée sur la traverse.

Schéma du Portique Métallique
F = 100 kN Portée, L = 6.0 m Hauteur, H = 5.0 m
Vue 3D interactive du Portique et ses Fondations

Utilisez la souris pour faire pivoter, zoomer et déplacer la vue.

Paramètre Notation Valeur Unité
Portée du portique \(L\) 6.0 \(\text{m}\)
Hauteur des poteaux \(H\) 5.0 \(\text{m}\)
Charge verticale \(F\) 100 \(\text{kN}\)
Inertie des profilés (poteaux/traverse) \(I\) 3070 \(\text{cm}^4\)
Module d'Young de l'acier \(E\) 210 000 \(\text{MPa}\)
Dimensions de la semelle carrée \(B \times B\) 1.2 x 1.2 \(\text{m}\)
Module de réaction du sol \(k_s\) 20 000 \(\text{kN/m}^3\)

Questions à traiter

  1. Calculer la raideur verticale \(K_v\) de la fondation (semelle + sol).
  2. Déterminer le tassement vertical \(\delta_v\) sous chaque appui.
  3. Calculer le moment d'encastrement parfait \(M_{AB}^0\) et \(M_{BA}^0\) dans la traverse (considérée comme une poutre bi-encastrée).
  4. En utilisant la méthode des déplacements, calculer la rotation \(\theta_B\) au nœud B (et \(\theta_A\) par symétrie).
  5. Déterminer la valeur finale du moment fléchissant aux appuis \(M_A\) et \(M_B\), et comparer avec le cas d'appuis rigides.

Les bases de l'Interaction Sol-Structure

Pour analyser l'effet du sol, on doit le modéliser. L'approche la plus simple et la plus répandue est le modèle de Winkler.

1. Le Modèle de Winkler
Ce modèle représente le sol comme une série de ressorts indépendants les uns des autres. La raideur de ces ressorts est caractérisée par le module de réaction du sol, \(k_s\). \[ p = k_s \times \delta \] Où \(p\) est la pression appliquée sur le sol (en \(\text{kPa}\) ou \(\text{kN/m}^2\)) et \(\delta\) est le tassement (en \(\text{m}\)). \(k_s\) (en \(\text{kN/m}^3\)) est une propriété du sol : un sol dense aura un \(k_s\) élevé, un sol lâche aura un \(k_s\) faible.

2. Raideur d'une Fondation Superficielle
Pour une fondation rigide de surface \(S\), la force verticale totale \(V\) et le tassement \(\delta\) sont liés par une raideur équivalente \(K_v\). On peut l'estimer en intégrant la pression sur toute la surface : \[ V = \int_S p \,dS = \int_S (k_s \times \delta) \,dS \] Pour un tassement uniforme \(\delta\), on obtient : \(V = (k_s \times S) \times \delta\). La raideur du ressort équivalent est donc : \[ K_v = k_s \times S \quad (\text{en kN/m}) \]

Correction : Analyse de l’interaction sol-structure pour un portique

Question 1 : Calculer la raideur verticale \(K_v\) de la fondation

Principe (le concept physique)

On modélise l'ensemble {sol + semelle} comme un unique ressort vertical. Sa raideur, \(K_v\), représente la force nécessaire pour provoquer un enfoncement de 1 mètre. Elle dépend directement de la rigidité intrinsèque du sol (\(k_s\)) et de la surface de la semelle qui répartit la charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le modèle de Winkler suppose que le tassement en un point ne dépend que de la pression en ce même point. C'est une simplification, car en réalité, une charge ponctuelle crée une "cuvette" de tassement. Cependant, pour des fondations rigides et des calculs de pré-dimensionnement, cette approche donne des résultats satisfaisants et faciles à mettre en œuvre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette première étape est fondamentale. La valeur de raideur que vous calculez ici conditionne l'ensemble de l'analyse. Une erreur sur la surface de la semelle ou sur le module du sol se propagera à tous les résultats suivants. Double-vérifiez toujours vos unités !

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) fournit des lignes directrices pour la détermination des paramètres du sol, y compris le module de réaction \(k_s\), qui doit être dérivé d'essais in situ (pressiomètre, pénétromètre) ou de corrélations empiriques validées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Raideur verticale de la fondation :

\[ K_v = k_s \times S = k_s \times B^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la semelle de fondation est parfaitement rigide (elle ne se plie pas) et que le sol sous-jacent est homogène, avec un module de réaction constant sur toute la surface.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Module de réaction du sol, \(k_s = 20\,000 \, \text{kN/m}^3\)
  • Côté de la semelle carrée, \(B = 1.2 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez la cohérence de vos unités avant de multiplier : \((\text{kN}/\text{m}^3) \times \text{m}^2\) donne bien des \(\text{kN}/\text{m}\), l'unité d'une raideur. C'est un moyen rapide de s'assurer que la formule est correcte.

Schéma (Avant les calculs)
Modélisation de la fondation
S = B x BKv = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la surface de la semelle :

\[ \begin{aligned} S &= B^2 \\ &= (1.2 \, \text{m})^2 \\ &= 1.44 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul de la raideur verticale :

\[ \begin{aligned} K_v &= 20\,000 \, \text{kN/m}^3 \times 1.44 \, \text{m}^2 \\ &= 28\,800 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Raideur Verticale Équivalente
Kv = 28 800 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une raideur de 28 800 kN/m signifie qu'il faut appliquer une force de 28 800 kN (environ 2880 tonnes) pour enfoncer la fondation de 1 mètre. Cette valeur, qui semble énorme, sera utilisée pour calculer les tassements réels, qui eux, seront de l'ordre du millimètre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est l'incohérence des unités. Le module \(k_s\) est souvent donné en MN/m³ ou kPa/m. Assurez-vous de tout convertir en kN et en mètres avant le calcul pour obtenir une raideur en kN/m.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La raideur d'une fondation superficielle dépend de deux facteurs : les propriétés du sol (\(k_s\)) et la géométrie de la fondation (\(S\)).
  • Le modèle de Winkler est une simplification qui transforme un problème de milieu continu (le sol) en un problème discret (un ressort).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Karl von Terzaghi, considéré comme le père de la mécanique des sols moderne, a été le premier à développer une théorie complète pour expliquer le tassement des sols argileux (la théorie de la consolidation), révolutionnant la conception des fondations au début du 20ème siècle.

FAQ (pour lever les doutes)
Le module \(k_s\) est-il identique au module d'Young du sol ?

Non. Le module d'Young (\(E_{\text{sol}}\)) est une propriété intrinsèque du matériau sol, tandis que le module de réaction (\(k_s\)) dépend aussi de la forme et de la taille de la fondation. Il existe des formules pour estimer \(k_s\) à partir de \(E_{\text{sol}}\), mais ce ne sont pas les mêmes grandeurs.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La raideur verticale équivalente de chaque fondation est de \(K_v = 28\,800 \, \text{kN/m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sol était plus meuble avec \(k_s = 15\,000\) kN/m³, quelle serait la nouvelle raideur \(K_v\) en kN/m ?

Question 2 : Déterminer le tassement vertical \(\delta_v\) sous chaque appui

Principe (le concept physique)

Le portique est symétrique et la charge est centrée. La charge totale \(F\) se répartit donc équitablement sur les deux poteaux. Chaque poteau transmet une réaction d'appui verticale \(V\) au sol. Le tassement est simplement cette force divisée par la raideur du ressort qui modélise la fondation, suivant la loi de Hooke (F = kx).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

On distingue le tassement instantané (élastique), qui se produit dès l'application de la charge, du tassement de consolidation, qui se produit sur le long terme dans les sols fins (argiles) par expulsion de l'eau. Le modèle de Winkler représente principalement le tassement instantané.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ce calcul simple illustre une relation fondamentale en ingénierie : Déplacement = Force / Raideur. Comprendre cette relation est la clé pour analyser le comportement de n'importe quelle structure, du plus simple ressort à un pont suspendu complexe.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 fixe des limites pour les tassements afin de garantir l'état limite de service (ELS) de la structure. Un tassement total excessif (généralement > 50 mm) ou un tassement différentiel important peut causer des dommages aux éléments non structuraux (cloisons, façades) et affecter la fonctionnalité du bâtiment.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi de Hooke pour le ressort équivalent :

\[ V = K_v \times \delta_v \Rightarrow \delta_v = \frac{V}{K_v} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le comportement du sol est parfaitement linéaire et élastique (le tassement est directement proportionnel à la charge). On néglige le poids propre du portique et de la fondation, ne considérant que la charge d'exploitation F.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge totale, \(F = 100 \, \text{kN}\)
  • Raideur verticale, \(K_v = 28\,800 \, \text{kN/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Après avoir calculé le tassement en mètres, convertissez-le toujours en millimètres. C'est l'unité standard pour discuter des tassements en géotechnique et cela donne une meilleure intuition de l'ordre de grandeur du déplacement.

Schéma (Avant les calculs)
Compression du ressort équivalent
V = F/2δv = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la réaction d'appui verticale par poteau :

\[ \begin{aligned} V_A = V_B &= \frac{F}{2} \\ &= \frac{100 \, \text{kN}}{2} \\ &= 50 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul du tassement :

\[ \begin{aligned} \delta_v &= \frac{50 \, \text{kN}}{28\,800 \, \text{kN/m}} \\ &\approx 0.001736 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en millimètres pour une meilleure interprétation :

\[ \begin{aligned} \delta_v &\approx 1.74 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Tassement de la Fondation
δv = 1.74 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le tassement est faible (moins de 2 mm), ce qui est généralement acceptable pour ce type de structure. Cependant, même ce petit déplacement vertical peut avoir un impact significatif sur la répartition des efforts internes, car il modifie la géométrie de la structure déformée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de diviser la charge totale par deux. Le tassement est dû à la charge appliquée sur UNE seule fondation. Une autre erreur est de mal interpréter le résultat : 0.0017 m peut sembler négligeable, mais il faut toujours le convertir en mm pour le comparer aux limites admissibles (généralement de l'ordre de 25 mm pour le tassement total).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le tassement est directement proportionnel à la charge appliquée.
  • Le tassement est inversement proportionnel à la raideur du système {sol+fondation}.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La ville de Mexico est construite sur un ancien lac, sur des sols argileux très compressibles. Certaines parties de la ville se sont affaissées de plus de 10 mètres au cours du siècle dernier, créant des défis d'ingénierie uniques pour les fondations des bâtiments.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la charge n'est pas centrée sur la fondation ?

Une charge excentrée crée non seulement une force verticale mais aussi un moment sur la fondation. Cela provoque un tassement non uniforme, appelé basculement ou rotation de la semelle, qui doit être calculé avec une raideur en rotation.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le tassement vertical sous chaque appui est de \(\delta_v \approx 1.74 \, \text{mm}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge \(F\) était de 150 kN, quel serait le nouveau tassement en mm ?

Question 3 : Calculer le moment d'encastrement parfait \(M_{AB}^0\) et \(M_{BA}^0\)

Principe (le concept physique)

Le moment d'encastrement parfait est le moment qui apparaîtrait aux extrémités d'une poutre si ses appuis étaient parfaitement fixes (encastrements parfaits) et bloquaient toute rotation. C'est une étape de base dans de nombreuses méthodes de calcul de structures hyperstatiques, comme la méthode des déplacements.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une poutre de longueur \(L\) soumise à une charge ponctuelle \(F\) en son milieu, les formules des moments d'encastrement parfait sont des résultats classiques de la Résistance des Matériaux. Le moment est négatif à gauche (sens anti-horaire) et positif à droite (sens horaire) par convention.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Comprenez bien que cet état "d'encastrement parfait" est une situation de référence purement théorique. Il ne représente pas la réalité de notre portique, mais il nous donne un point de départ fixe et connu pour quantifier l'effet des rotations réelles qui auront lieu aux nœuds.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules de moments d'encastrement parfait pour divers cas de charge sont tabulées dans les annexes des manuels de Résistance des Matériaux et dans les guides de conception comme ceux associés à l'Eurocode 3 (Calcul des structures en acier).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moments d'encastrement parfait pour une charge centrée :

\[ M_{AB}^0 = -\frac{F \cdot L}{8} \quad \text{et} \quad M_{BA}^0 = +\frac{F \cdot L}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On analyse la traverse AB comme une poutre isolée, dont les appuis A et B sont considérés comme parfaitement encastrés pour ce calcul initial. On suppose que la poutre a une inertie constante et un comportement élastique linéaire.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge, \(F = 100 \, \text{kN}\)
  • Portée, \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les cas de charge courants, il est très utile de mémoriser les formules des moments d'encastrement parfait : \(FL/8\) pour une charge ponctuelle centrée, et \(qL^2/12\) pour une charge uniformément répartie. Cela accélère considérablement les calculs manuels.

Schéma (Avant les calculs)
Poutre sur Appuis Encastrés
FABM_AB=?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} M_{\text{AB}}^0 &= -\frac{100 \, \text{kN} \times 6.0 \, \text{m}}{8} \\ &= -75 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M_{\text{BA}}^0 &= +\frac{100 \, \text{kN} \times 6.0 \, \text{m}}{8} \\ &= +75 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moments d'Encastrement Parfait
-75 kNm+75 kNm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces valeurs de -75 et +75 kNm représentent le point de départ de notre calcul. Dans la réalité, les nœuds du portique vont tourner, ce qui va "relaxer" ces moments. La valeur finale sera différente, mais ces moments parfaits sont essentiels pour quantifier l'effet initial de la charge.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le respect de la convention de signe est primordial. Un moment est généralement considéré comme positif s'il est horaire, et négatif s'il est anti-horaire. Une inversion des signes à cette étape faussera l'ensemble des calculs de redistribution qui suivent.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment d'encastrement parfait est une valeur de référence calculée sur une poutre supposée parfaitement bloquée en rotation à ses extrémités.
  • Sa valeur dépend uniquement du chargement et de la géométrie de la poutre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La méthode de Cross, développée par Hardy Cross dans les années 1930, était une méthode itérative brillante pour résoudre les structures hyperstatiques à la main. Elle consistait à "bloquer" tous les nœuds, calculer les moments d'encastrement, puis à "libérer" et équilibrer chaque nœud un par un, en propageant les effets aux nœuds voisins, jusqu'à convergence.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la formule est-elle FL/8 ?

Cette formule est obtenue par la résolution des équations de la déformée de la poutre (double intégration de M/EI) en appliquant les conditions aux limites d'un encastrement (déplacement nul et rotation nulle aux deux appuis). C'est un résultat fondamental de la RDM.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les moments d'encastrement parfait sont \(M_{AB}^0 = -75 \, \text{kN.m}\) et \(M_{BA}^0 = +75 \, \text{kN.m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge était uniformément répartie avec q = 20 kN/m, quel serait le moment \(M_{BA}^0\) en kNm ? (Formule : \(qL^2/12\))

Question 4 : Calculer la rotation \(\theta_B\) au nœud B

Principe (le concept physique)

La méthode des déplacements consiste à écrire l'équilibre de chaque nœud en fonction des déplacements inconnus (ici, les rotations \(\theta_A\) et \(\theta_B\)). Le moment final en un nœud est la somme du moment d'encastrement parfait et des moments induits par les rotations des extrémités. En écrivant que la somme des moments au nœud B (moment de la traverse + moment du poteau) est nulle, on peut trouver la rotation \(\theta_B\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Chaque barre d'une structure possède une raideur en rotation. Pour une barre de longueur L, la raideur "directe" est \(4EI/L\) (le moment créé à une extrémité par une rotation unitaire de cette même extrémité, l'autre étant fixe) et la raideur "transmise" est \(2EI/L\) (le moment créé à l'autre extrémité).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le cœur de la méthode. On traduit une condition physique (le nœud B ne peut pas tourner librement, il est retenu par la traverse ET le poteau) en une équation mathématique. L'inconnue n'est plus une force, mais un déplacement (la rotation).

Normes (la référence réglementaire)

La méthode des déplacements est une technique d'analyse élastique fondamentale. Les logiciels de calcul de structure (utilisés pour les vérifications selon les Eurocodes) sont basés sur une version matricielle de cette méthode, appelée méthode des éléments finis.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation moment-rotation :

\[ M_{BA} = M_{BA}^0 + \frac{4EI}{L}\theta_B + \frac{2EI}{L}\theta_A \]
\[ M_{BC} = \frac{4EI}{H}\theta_B \]

Équation d'équilibre du nœud B :

\[ \sum M_B = M_{BA} + M_{BC} = 0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Par symétrie de la structure et du chargement, on a \(\theta_A = -\theta_B\). C'est une simplification cruciale qui facilite grandement la résolution. On suppose également que la connexion entre la traverse et le poteau est parfaitement rigide.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(E = 210\,000 \, \text{MPa} = 2.1 \times 10^8 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(I = 3070 \, \text{cm}^4 = 3.07 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)
  • \(L = 6.0 \, \text{m}\), \(H = 5.0 \, \text{m}\)
  • \(M_{BA}^0 = +75 \, \text{kN.m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

L'utilisation de la symétrie (\(\theta_A = -\theta_B\)) est un réflexe à acquérir. Elle permet de passer d'un système de deux équations à deux inconnues à une seule équation à une inconnue, ce qui est beaucoup plus rapide à résoudre manuellement.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre du Nœud B
M_BAM_BCB
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Remplaçons \(\theta_A = -\theta_B\) dans l'expression de \(M_{BA}\) :

\[ \begin{aligned} M_{BA} &= M_{BA}^0 + \frac{4EI}{L}\theta_B + \frac{2EI}{L}(-\theta_B) \\ &= M_{BA}^0 + \frac{2EI}{L}\theta_B \end{aligned} \]

2. Écrivons l'équation d'équilibre du nœud B :

\[ \left( M_{BA}^0 + \frac{2EI}{L}\theta_B \right) + \left( \frac{4EI}{H}\theta_B \right) = 0 \]

3. Isolons \(\theta_B\) :

\[ \begin{aligned} \theta_B \left( \frac{2EI}{L} + \frac{4EI}{H} \right) &= -M_{BA}^0 \\ \theta_B &= \frac{-M_{BA}^0}{2EI \left( \frac{1}{L} + \frac{2}{H} \right)} \end{aligned} \]

4. Application numérique :

\[ \begin{aligned} EI &= (2.1 \times 10^8 \, \text{kN/m}^2) \times (3.07 \times 10^{-5} \, \text{m}^4) \\ &= 6447 \, \text{kN.m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \theta_B &= \frac{-75}{2 \times 6447 \left( \frac{1}{6} + \frac{2}{5} \right)} \\ &= \frac{-75}{12894 \times (0.1667 + 0.4)} \\ &\approx -0.01026 \, \text{rad} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Rotation du Nœud B
θ_B = -0.01 rad
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La rotation est négative, ce qui est cohérent : la traverse "plonge" sous la charge, entraînant une rotation horaire (négative par convention) des nœuds. Cette valeur de rotation est la clé pour déterminer la répartition finale des moments.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est de se tromper dans le calcul des raideurs. La raideur d'une barre dépend de ses conditions d'appuis aux deux extrémités. Ici, pour le poteau BC, on considère l'appui C articulé, la raideur est donc \(3EI/H\), mais pour simplifier on a utilisé \(4EI/H\) comme si l'appui était fixe, ce qui est une approximation courante en pré-dimensionnement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'équilibre d'un nœud s'écrit en disant que la somme des moments des barres qui y arrivent est nulle.
  • La symétrie est un outil puissant pour simplifier les calculs de structures.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premiers ordinateurs, comme le Z3 de Konrad Zuse dans les années 1940, ont été en partie développés pour résoudre les systèmes d'équations linéaires issus des méthodes matricielles de calcul de structures, notamment pour l'aéronautique.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la structure n'était pas symétrique ?

Si la charge ou la géométrie n'était pas symétrique, nous ne pourrions pas dire que \(\theta_A = -\theta_B\). Nous aurions deux inconnues, \(\theta_A\) et \(\theta_B\). Il faudrait alors écrire deux équations d'équilibre (une pour le nœud A et une pour le nœud B) et résoudre le système de 2 équations à 2 inconnues pour trouver les deux rotations.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La rotation au nœud B est \(\theta_B \approx -0.01026\) radians.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau était deux fois plus rigide (I doublé), la rotation \(\theta_B\) serait-elle plus grande ou plus petite en valeur absolue ?

Question 5 : Déterminer le moment final aux appuis et comparer

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons la rotation réelle des nœuds, nous pouvons calculer les moments finaux en injectant cette valeur dans les équations moment-rotation. Cela nous donne la distribution réelle des efforts. La comparaison avec le cas rigide (où \(\theta_B=0\)) met en évidence l'effet de l'interaction sol-structure.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le phénomène de redistribution des moments est fondamental. Une structure hyperstatique possède plusieurs "chemins" pour faire descendre les charges. Si un chemin devient plus flexible (comme un appui qui tasse), les efforts vont naturellement se "reporter" vers les chemins plus rigides. C'est ce qui se passe ici : le moment aux appuis diminue et celui en travée augmente.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape de conclusion qui donne tout son sens à l'exercice. On quantifie l'écart entre le modèle simplifié (appuis parfaits) et un modèle plus réaliste. Cet écart peut être de 20-30% ou plus, ce qui est loin d'être négligeable pour le dimensionnement des poutres et des assemblages !

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (Calcul des structures en acier) exige que le modèle d'analyse (par ex. appuis rigides ou flexibles) soit représentatif du comportement réel de la structure. Ignorer une interaction sol-structure significative quand elle existe n'est pas conforme à l'esprit de la norme.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment final dans la traverse à l'appui B :

\[ M_{BA} = M_{BA}^0 + \frac{2EI}{L}\theta_B \]

Moment final dans le poteau à l'appui B :

\[ M_{BC} = \frac{4EI}{H}\theta_B \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les calculs finaux sont basés sur la rotation \(\theta_B\) précédemment calculée et supposent que toutes les autres hypothèses (matériau élastique, petites déformations) restent valables.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{BA}^0 = +75 \, \text{kN.m}\)
  • \(EI = 6447 \, \text{kN.m}^2\)
  • \(\theta_B \approx -0.01026 \, \text{rad}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une fois \(M_{BA}\) calculé, vous n'avez pas besoin de recalculer \(M_{BC}\) avec sa formule. L'équation d'équilibre du nœud (\(M_{BA} + M_{BC} = 0\)) vous donne directement \(M_{BC} = -M_{BA}\). C'est une excellente vérification.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul des Moments Finaux
BM_BA=?M_BC=?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment final \(M_{BA}\) :

\[ \begin{aligned} M_{BA} &= 75 + \frac{2 \times 6447}{6} \times (-0.01026) \\ &= 75 - 22.05 \\ &\approx +52.95 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

Par équilibre du nœud, \(M_{BC} = -M_{BA} \approx -52.95 \, \text{kN.m}\).

Comparaison avec le cas d'appuis rigides (encastrés) :
Si les appuis étaient parfaitement encastrés, le tassement \(\delta_v\) serait nul. Le calcul serait différent. Dans notre cas, nous avons des appuis articulés sur des ressorts. Le moment à la base des poteaux est nul. Le moment calculé \(M_{BA}\) est le moment au nœud. Comparons au cas d'un portique sur appuis articulés parfaits : le moment aux nœuds serait plus élevé. La flexibilité du sol a donc permis de "soulager" les moments dans les angles du portique.

Schéma (Après les calculs)
Diagramme des Moments Finaux (simplifié)
-53+53+22
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment final au nœud B est de 52.95 kNm. Il est inférieur au moment d'encastrement parfait de 75 kNm. Cela montre que la rotation des nœuds a permis une redistribution des efforts. Une partie du moment a été "transférée" vers le milieu de la travée. C'est le principe même de l'interaction sol-structure : la déformabilité des fondations modifie le comportement global de la structure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes. Une rotation négative (horaire) induit des moments négatifs. Il faut être très rigoureux avec les conventions de signe de la méthode des déplacements pour ne pas faire d'erreur d'interprétation.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment final est la somme du moment d'encastrement parfait et des moments dus aux rotations.
  • La flexibilité des appuis (due au sol) provoque une redistribution des efforts, diminuant généralement les moments aux appuis et augmentant ceux en travée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les très grands ponts, comme le Viaduc de Millau, l'analyse de l'interaction sol-structure est fondamentale. Les fondations des piles, qui peuvent être d'immenses puits ou des groupes de pieux, sont modélisées par des matrices de raideur complexes (ressorts dans toutes les directions) pour prédire avec précision le comportement de l'ouvrage sous l'effet du vent et du trafic.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que la structure est plus "sûre" avec un moment plus faible aux appuis ?

Pas nécessairement. Le moment est plus faible aux appuis, mais il est plus élevé en milieu de travée (\(M_{\text{milieu}} = F \cdot L / 4 - M_B\)). La structure doit être dimensionnée pour l'effort maximal qu'elle subit, où qu'il se trouve. Une analyse réaliste permet de placer l'acier (ou de choisir le profilé) là où il est vraiment nécessaire.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment final au nœud B est \(M_B \approx 52.95 \, \text{kN.m}\). La flexibilité du sol a réduit le moment au nœud par rapport à une hypothèse d'encastrement parfait.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Le moment au pied du poteau (en C) est donné par \(M_{CB} = 2EI/H \cdot \theta_B\). Calculez sa valeur en kNm.

Outil Interactif : Simulateur d'Interaction Sol-Structure

Variez la raideur du sol et la charge pour observer leur impact sur le tassement et les moments.

Paramètres d'Entrée
20000 kN/m³
100 kN
Résultats Clés
Tassement (\(\delta_v\)) (mm) -
Moment au Nœud (\(M_B\)) (kN.m) -
Moment mi-travée (\(M_{milieu}\)) (kN.m) -

Le Saviez-Vous ?

La Tour de Pise ne s'est pas inclinée subitement. Son inclinaison a commencé pendant sa construction au 12ème siècle à cause d'un sol argileux instable sur seulement 3 mètres de profondeur. Ironiquement, les interruptions du chantier sur plusieurs décennies ont permis au sol de se tasser et de se consolider, ce qui a probablement empêché la tour de s'effondrer complètement. C'est un exemple extrême et célèbre d'interaction sol-structure !

Foire Aux Questions (FAQ)

Le module de réaction du sol est-il constant ?

Non, c'est une grande simplification. En réalité, la raideur du sol dépend de la taille et de la forme de la fondation, ainsi que du niveau de contrainte appliqué. Pour des projets importants, on utilise des méthodes plus complexes (éléments finis) qui modélisent le sol comme un milieu continu avec des propriétés élastiques (module d'Young, coefficient de Poisson).

Que se passe-t-il si le tassement n'est pas uniforme ?

C'est ce qu'on appelle le "tassement différentiel". C'est très dangereux pour une structure car cela induit des contraintes internes très importantes (torsion, cisaillement) qui n'ont pas été prévues. C'est une des principales causes de fissures dans les bâtiments et doit être évité à tout prix par une conception de fondations adéquate.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la taille de la semelle (B), la raideur verticale Kv...

  • Ne change pas
  • Augmente

2. Un tassement plus important des fondations tend à...

Interaction Sol-Structure (ISS)
Phénomène par lequel la réponse du sol (tassement) influence le comportement de la structure (répartition des efforts), et vice-versa.
Module de Réaction du Sol (ks)
Propriété du sol qui caractérise sa raideur. Il représente la pression nécessaire pour causer un tassement d'une unité. Unité : Force / Longueur³ (ex: kN/m³).
Tassement
Enfoncement vertical d'une fondation dans le sol sous l'effet des charges. Un tassement excessif ou différentiel peut endommager la structure.
Analyse de l’Interaction Sol-Structure

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