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Flèche (ELS) d’une poutre de plancher métallique

Génie Civil : Calcul de la Flèche (ELS) d'une Poutre de Plancher Métallique

Calcul de la flèche (ELS) d'une poutre de plancher métallique

Contexte : Au-delà de la Résistance, le Confort et l'Apparence

Une structure peut être suffisamment résistante pour ne pas s'effondrer (vérification à l'ELU), mais se déformer de manière excessive sous les charges d'utilisation courante. Ces déformations, appelées flèchesDéplacement vertical maximal d'une poutre ou d'un plancher sous l'effet des charges. Une flèche excessive peut causer des désordres (fissures) et un inconfort pour les usagers., sont vérifiées à l'État Limite de Service (ELS). L'objectif de l'ELS n'est pas la sécurité, mais le bon fonctionnement de l'ouvrage et le confort des usagers. Une flèche trop importante peut causer la fissuration des cloisons, des problèmes d'étanchéité, ou une sensation d'insécurité pour les personnes marchant sur un plancher. Cet exercice se concentre sur le calcul de la flèche d'une poutre et sa comparaison aux limites réglementaires.

Remarque Pédagogique : Le dimensionnement d'un élément de plancher est souvent un compromis entre la résistance (ELU) et la rigidité (ELS). Il n'est pas rare qu'une poutre soit assez résistante pour l'ELU, mais qu'il faille choisir un profilé plus grand (plus rigide) uniquement pour respecter les critères de flèche, beaucoup plus stricts.

Objectifs Pédagogiques

  • Distinguer les vérifications à l'ELU et à l'ELS.
  • Calculer les charges de service pour la vérification de la flèche.
  • Appliquer la formule de la flèche pour une poutre sur deux appuis.
  • Comprendre le rôle du module d'Young (E) et du moment d'inertieCaractéristique géométrique d'une section qui représente sa capacité à résister à la flexion. Plus l'inertie est grande, plus la section est rigide et moins elle se déforme. (I) dans la rigidité.
  • Vérifier que la flèche calculée respecte les limites admissibles de l'Eurocode 3.

Données de l'étude

On reprend la poutre de l'exercice précédent : un profilé IPE 300 en acier S235, de 8 mètres de portée, sur deux appuis simples. Elle supporte une charge permanente \(G_k = 10 \, \text{kN/m}\) et une charge d'exploitation \(Q_k = 15 \, \text{kN/m}\).

Schéma de la poutre et des charges
q_ser L = 8.0 m f_max

Données réglementaires et matérielles (Eurocode 3) :

  • Combinaison d'actions à l'ELS (quasi-permanente) : \(G_k + \psi_2 Q_k\)
  • Coefficient de combinaison pour les locaux d'habitation : \(\psi_2 = 0.3\)
  • Limite de flèche pour un plancher : \(f_{lim} = L/250\)
  • Module d'élasticité de l'acier (Module de Young) : \(E = 210,000 \, \text{MPa}\)
  • Pour un profilé IPE 300 : Moment d'inertie selon l'axe fort \(I_y = 8356 \, \text{cm}^4\).

Questions à traiter

  1. Calculer la charge répartie de service (\(q_{ser}\)) à considérer pour le calcul de la flèche.
  2. Calculer la flèche maximale (\(f_{max}\)) de la poutre.
  3. Calculer la flèche admissible (\(f_{lim}\)).
  4. Vérifier si la poutre IPE 300 est adéquate vis-à-vis des déformations.

Correction : Calcul de la flèche d'une poutre de plancher métallique

Question 1 : Charge de Service (\(q_{ser}\))

Principe :
Gk Qk + q_ser (ELS) Gk + ψ2*Qk

Pour la vérification à l'ELS, on n'utilise pas les coefficients de sécurité \(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\). On utilise les charges réelles de service. De plus, on ne considère qu'une fraction de la charge d'exploitation (\(\psi_2 Q_k\)), car on s'intéresse à la déformation à long terme, et il est peu probable que la charge maximale d'exploitation soit présente en permanence.

Remarque Pédagogique :

Différentes combinaisons pour différents usages : L'Eurocode définit plusieurs combinaisons ELS. La combinaison "quasi-permanente" (\(G_k + \psi_2 Q_k\)) est utilisée pour les effets à long terme (fluage, aspect). La combinaison "fréquente" (\(G_k + \psi_1 Q_k\)) sert pour le confort vibratoire. La combinaison "caractéristique" (\(G_k + Q_k\)) est utilisée pour les effets réversibles comme la flèche totale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q_{ser} = G_k + \psi_2 \times Q_k \]
Donnée(s) :
  • \(G_k = 10 \, \text{kN/m}\)
  • \(Q_k = 15 \, \text{kN/m}\)
  • \(\psi_2 = 0.3\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} q_{ser} &= 10 \, \text{kN/m} + (0.3 \times 15 \, \text{kN/m}) \\ &= 10 \, \text{kN/m} + 4.5 \, \text{kN/m} \\ &= 14.5 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas mélanger ELU et ELS : L'erreur la plus grave en conception est d'utiliser les charges de l'ELU (pondérées) pour un calcul de flèche, ou les charges de l'ELS (non pondérées) pour un calcul de résistance. Les deux états limites sont distincts et utilisent des combinaisons de charges différentes.

Le saviez-vous ?

Le coefficient \(\psi_2\) représente la part "quasi-permanente" d'une charge d'exploitation. Pour un plancher d'habitation, on considère que 30% de la charge maximale est présente en permanence (mobilier lourd, etc.). Pour un parking, \(\psi_2\) est nul car on considère qu'il peut être vide sur de longues périodes.

FAQ en rapport avec la question :
Quelle charge utiliser pour la flèche due à la seule charge variable ?

Parfois, on doit calculer la flèche due uniquement à la charge d'exploitation (pour vérifier le confort ou l'effet sur des cloisons fragiles). Dans ce cas, on utilise la combinaison fréquente (\( \psi_1 Q_k \)) ou caractéristique (\(Q_k\)) en fonction de la vérification requise.

Résultat : La charge de service pour le calcul de la flèche est \(q_{ser} = 14.5 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Flèche Maximale (\(f_{max}\))

Principe :
f_max = 5qL⁴ / (384EI)

La flèche d'une poutre dépend de la charge appliquée, de sa portée, mais aussi de sa rigidité. La rigidité est le produit du module d'élasticité du matériau (\(E\)) et du moment d'inertie de la section (\(I_y\)). Pour une poutre sur deux appuis avec une charge répartie, la flèche maximale au centre est donnée par une formule classique de la RDM.

Remarque Pédagogique :

L'influence de la portée : La formule montre que la flèche est proportionnelle à la puissance 4 de la portée (\(L^4\)). Cela signifie que si l'on double la portée d'une poutre, sa flèche est multipliée par \(2^4 = 16\). C'est une relation extrêmement sensible, qui explique pourquoi franchir de grandes portées nécessite des poutres très hautes (avec une grande inertie).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_{max} = \frac{5 \times q_{ser} \times L^4}{384 \times E \times I_y} \]
Donnée(s) :
  • \(q_{ser} = 14.5 \, \text{kN/m} = 14.5 \, \text{N/mm}\)
  • \(L = 8 \, \text{m} = 8000 \, \text{mm}\)
  • \(E = 210,000 \, \text{MPa} = 210,000 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(I_y = 8356 \, \text{cm}^4 = 83,560,000 \, \text{mm}^4\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} f_{max} &= \frac{5 \times 14.5 \times (8000)^4}{384 \times 210000 \times 83560000} \\ &= \frac{2.9696 \times 10^{14}}{6.736 \times 10^{15}} \\ &\approx 44.1 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

La gestion des unités : C'est le point le plus délicat de ce calcul. Pour obtenir une flèche en mm, il est plus sûr de tout convertir en Newtons (N) et en millimètres (mm). Une erreur dans la conversion des puissances (par exemple, de m⁴ en mm⁴) est très fréquente et conduit à des résultats absurdes.

Le saviez-vous ?

Le module d'élasticité (E) est quasiment le même pour tous les aciers de construction (environ 210 GPa). Utiliser un acier plus résistant (S355 au lieu de S235) n'augmente donc pas la rigidité de la poutre et ne réduit pas sa flèche. Pour réduire la flèche, il faut augmenter l'inertie (I), c'est-à-dire choisir un profilé plus haut.

FAQ en rapport avec la question :
Comment calculer la flèche pour d'autres cas de charge ?

Les formulaires de RDM donnent les formules de flèche pour de nombreux cas : charge ponctuelle (\(PL^3/48EI\)), poutre encastrée, etc. Les logiciels de calcul de structure calculent la flèche en intégrant numériquement la courbure le long de la poutre, ce qui permet de traiter n'importe quel type de chargement.

Résultat : La flèche maximale calculée est \(f_{max} \approx 44.1 \, \text{mm}\).

Question 3 : Flèche Admissible (\(f_{lim}\))

Principe :
Portée L ÷ 250

La flèche n'est pas une valeur absolue ; elle est jugée par rapport à la portée de l'élément. Une flèche de 2 cm est inacceptable pour une portée de 2 m, mais peut être tout à fait normale pour une portée de 10 m. Les normes définissent donc des limites relatives, comme une fraction de la portée (L).

Remarque Pédagogique :

Des limites variables : La limite de flèche dépend de l'usage et de la fragilité des éléments supportés. Pour un plancher standard, L/250 est courant. Pour un plancher supportant une cloison fragile, on peut exiger L/400 ou L/500. Pour une poutre de toiture non accessible, une limite de L/200 peut suffire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_{lim} = \frac{L}{250} \]
Donnée(s) :
  • Portée \(L = 8 \, \text{m} = 8000 \, \text{mm}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} f_{lim} &= \frac{8000 \, \text{mm}}{250} \\ &= 32 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat : La flèche admissible pour cette poutre est \(f_{lim} = 32 \, \text{mm}\).

Question 4 : Vérification de la Poutre à l'ELS

Principe :
f_max f_lim f_max > f_lim ⇒ Danger !

La vérification finale consiste simplement à comparer la flèche calculée (\(f_{max}\)) à la flèche limite admissible (\(f_{lim}\)). Si la flèche calculée est inférieure ou égale à la limite, la poutre est jugée suffisamment rigide et la vérification à l'ELS est satisfaite.

Remarque Pédagogique :

La double vérification ELU/ELS : Cet exercice et le précédent illustrent les deux facettes du dimensionnement. Un élément doit être : 1) Assez résistant pour ne pas casser (ELU). 2) Assez rigide pour ne pas trop se déformer (ELS). Les deux vérifications sont indépendantes et obligatoires. Dans notre cas, la poutre IPE 300 était non conforme à l'ELU (résistance) et elle est également non conforme à l'ELS (flèche).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_{max} \le f_{lim} \]
Donnée(s) :
  • Flèche calculée \(f_{max} = 44.1 \, \text{mm}\)
  • Flèche limite \(f_{lim} = 32 \, \text{mm}\)
Calcul(s) :
\[ 44.1 \, \text{mm} \le 32 \, \text{mm} \quad \Rightarrow \quad \text{NON CONFORME} \]
Résultat : La condition n'est PAS VÉRIFIÉE. La flèche de la poutre est trop importante.

Simulation Interactive : Vérification de la Flèche

Faites varier les paramètres pour voir leur influence sur la flèche de la poutre. L'objectif est de trouver un profilé dont la flèche calculée est inférieure à la flèche limite.

Paramètres de la Poutre
Flèche Calculée vs Flèche Limite

Pour Aller Plus Loin : La Contre-flèche

Pour les poutres de très grande portée, il est parfois impossible ou non économique de trouver un profilé assez rigide pour respecter les limites de flèche. Une solution consiste à fabriquer la poutre avec une courbure initiale vers le haut, appelée "contre-flèche". Cette contre-flèche est calculée pour compenser exactement la déformation due aux charges permanentes. Ainsi, une fois chargée, la poutre devient parfaitement horizontale. La vérification de flèche ne se fait alors que pour les charges variables.

Le Saviez-Vous ?

La sensation de "plancher qui vibre" n'est pas directement liée à la flèche statique, mais à la fréquence propre de vibration du plancher. Si cette fréquence est proche de la fréquence de la marche humaine (environ 2 Hz), le plancher entre en résonance et les vibrations sont amplifiées. L'Eurocode impose donc aussi des vérifications de confort vibratoire pour les planchers légers.

Foire Aux Questions (FAQ)

La limite de flèche est-elle une règle absolue ?

Les limites données par les Eurocodes (L/250, etc.) sont des recommandations pour les cas courants. Le maître d'ouvrage (le client) peut tout à fait exiger des critères plus sévères (ex: L/500 pour une salle d'opération ou un laboratoire sensible) ou moins sévères (ex: L/150 pour une passerelle agricole), à condition que cela soit spécifié dans le cahier des charges du projet.

Comment calcule-t-on la flèche d'un treillis ?

Le calcul de la flèche d'un treillis est plus complexe. On ne peut pas utiliser une formule simple. On utilise des méthodes énergétiques (comme le théorème de Castigliano) ou des logiciels qui calculent l'allongement ou le raccourcissement de chaque barre sous l'effet des charges, puis en déduisent le déplacement vertical des nœuds.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour diminuer de moitié la flèche d'une poutre, il faut :

2. La vérification de la flèche (ELS) est principalement liée à des exigences de :

Glossaire

Flèche
Déplacement vertical maximal d'une poutre ou d'un plancher sous l'effet des charges. Une flèche excessive peut causer des désordres (fissures) et un inconfort pour les usagers.
ELS (État Limite de Service)
État au-delà duquel les critères d'aptitude au service d'une structure ne sont plus respectés. Il concerne principalement les déformations, les vibrations et l'aspect.
Moment d'Inertie (I)
Caractéristique géométrique d'une section qui représente sa capacité à résister à la flexion. Plus l'inertie est grande, plus la section est rigide et moins elle se déforme. Elle se mesure en mm⁴ ou cm⁴.
Module de Young (E)
Caractéristique intrinsèque d'un matériau qui mesure sa rigidité, c'est-à-dire sa capacité à résister à la déformation élastique. Pour l'acier, il vaut environ 210 000 MPa.
Calcul de la flèche (ELS) d'une poutre de plancher métallique

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