Calcul de la Flexion d’une Dalle en Béton Armé
📝 Situation du Projet
Bienvenue chez "SolidStructure Ingénierie", bureau d'études de renom spécialisé dans les structures complexes. Nous sommes actuellement en charge des études d'exécution pour la construction de l'immeuble "Le Panoramique", un ouvrage mixte R+5 situé en plein cœur urbain, soulevant des défis techniques majeurs en termes de reprises de charges.
Dans le cadre de cette affaire, une attention toute particulière est portée au niveau R+1. Ce niveau a été désigné par la Maîtrise d'Ouvrage pour accueillir la zone des Archives Centrales. Contrairement à des bureaux classiques, cette zone va subir des charges d'exploitation très intenses et permanentes dues au stockage papier haute densité. La structure horizontale est constituée d'une dalle pleine en béton armé de grande dimension, coulée en place sur un réseau de poutres en béton précontraint et de voiles de contreventement. La continuité de service et la maîtrise de la fissuration sont des impératifs absolus.
Vous êtes l'Ingénieur Structure référent sur cette zone critique. Votre responsabilité est d'établir la note de calculs d'exécution pour le panneau de dalle le plus sollicité, repéré D-104. Vous devez non seulement dimensionner les aciers longitudinaux (lits inférieurs) pour garantir la stabilité à l'État Limite Ultime (ELU), mais aussi produire un schéma de ferraillage clair pour les équipes de chantier. Votre analyse devra justifier rigoureusement le comportement mécanique de la dalle (portée simple ou double).
- Projet
Immeuble "Le Panoramique" (Zone Sismique 2) - Localisation Dalle
Niveau R+1 - Aile Nord (Zone Archives) - Technologie
Dalle pleine statique sur 4 appuis rigides
"Attention jeune collègue, l'erreur classique ici serait de considérer cette dalle comme portant dans un seul sens par habitude. Compte tenu du ratio de ses dimensions, vérifiez impérativement le rapport \(L_x/L_y\). De plus, ne négligez pas l'enrobage : nous sommes en intérieur mais la durabilité reste clé. Bon calcul !"
Cette section rassemble toutes les données d'entrée validées lors de la réunion de lancement technique. Chaque choix matériel ou géométrique répond à une exigence précise du cahier des charges.
📚 Référentiel Normatif Applicable
Les calculs seront menés selon les standards européens en vigueur, garantissant la sécurité et l'interopérabilité des études :
Eurocode 2 (EN 1992-1-1) : Calcul des structures en bétonAnnexe Nationale France (NF EN 1992-1-1/NA)[Art. 3.1] BÉTON C25/30 (XC1)
Justification : Le choix s'est porté sur un béton C25/30 car c'est le standard économique et technique pour les planchers intérieurs de bâtiments courants. La classe d'exposition XC1 correspond à un environnement sec (intérieur de bâtiment), ce qui optimise l'enrobage requis.
[Art. 3.2] ACIER B500B
Justification : Utilisation exclusive d'acier Haute Adhérence (HA) de nuance 500 MPa. La classe B garantit une ductilité suffisante (capacité à se déformer avant rupture), essentielle pour la sécurité des occupants en cas de surcharge.
[Art. 4.2] ENROBAGE : \(30 \, \text{mm}\)
Justification : Bien que le minimum théorique pour XC1 soit plus faible, le CCTP impose 30 mm pour garantir une tenue au feu de 90 minutes (REI 90), indispensable pour un bâtiment recevant du public et stockant du papier.
[Art. 5.1] CHARGEMENT "ARCHIVES"
Justification : La charge d'exploitation \(Q = 5,0 \, \text{kN/m}^2\) est très élevée (double d'un bureau standard à \(2,5 \, \text{kN/m}^2\)). Cela reflète la densité extrême du stockage papier (environ \(600 \, \text{kg/m}^3\) compacté) et les rayonnages mobiles prévus.
| GÉOMÉTRIE DU PANNEAU | |
| Portée "petite" (\(L_x\)) | \(4,50 \, \text{m}\) Distance entre nus d'appuis (sens court) |
| Portée "grande" (\(L_y\)) | \(6,00 \, \text{m}\) Distance entre nus d'appuis (sens long) |
| Épaisseur de la dalle (\(h\)) | \(20 \, \text{cm}\) Pré-dimensionnée pour la flèche (\(L/22,5\)) |
| MATÉRIAUX | |
| Résistance Béton (\(f_{\text{ck}}\)) | \(25 \, \text{MPa}\) Résistance caractéristique à 28 jours |
| Limite Élastique Acier (\(f_{\text{yk}}\)) | \(500 \, \text{MPa}\) Limite d'élasticité caractéristique |
📐 Résumé du Chargement à Appliquer
- Poids Volumique Béton Armé : \(25 \, \text{kN/m}^3\) (Donnée physique invariable)
- Charges Permanentes Additionnelles (\(G'\)) : \(1,5 \, \text{kN/m}^2\) (Correspondant à une chape ciment de 5cm + revêtement PVC)
- Charges d'Exploitation (\(Q\)) : \(5,0 \, \text{kN/m}^2\) (Catégorie E1 - Surfaces susceptibles de recevoir une accumulation de marchandises)
E. Protocole de Résolution
Pour dimensionner correctement cette dalle, nous allons suivre une approche méthodique rigoureuse imposée par l'Eurocode 2. Nous partirons de l'analyse des charges pour arriver au plan de ferraillage final.
[Étape 1 : Descente de Charges]
Calcul de la charge surfacique ultime (\(p_{\text{u}}\)) en combinant charges permanentes et d'exploitation (ELU).
[Étape 2 : Sollicitations (Moments)]
Détermination du sens de portée de la dalle et calcul des moments fléchissants maximaux (\(M_x\) et \(M_y\)).
[Étape 3 : Calcul des Aciers]
Calcul de la section d'acier théorique (\(A_{\text{s}}\)) nécessaire pour reprendre le moment de flexion, méthode de la poutre rectangulaire.
[Étape 4 : Choix & Vérification]
Choix des barres commerciales, vérification de la condition de non-fragilité et espacement réglementaire.
Calcul de la Flexion d’une Dalle en Béton Armé
🎯 Objectif
Déterminer la charge surfacique de dimensionnement à l'État Limite Ultime (ELU). Cette étape est fondamentale car elle intègre les coefficients de sécurité réglementaires qui couvrent les incertitudes sur le poids des matériaux et les variations d'usage durant la vie du bâtiment. C'est cette valeur pondérée qui va 'écraser' virtuellement la structure pour vérifier qu'elle tient.
📚 Référentiel
EN 1990 (Bases de calcul)EN 1991-1-1 (Actions sur les structures)Imaginez la dalle comme une balance. D'un côté, la résistance du béton et de l'acier (que l'on minore par sécurité). De l'autre, les charges (que l'on majore). Pourquoi 1.35G et 1.5Q ? Parce que le poids propre G est connu avec une bonne précision (le béton pèse toujours environ 2500kg/m3). En revanche, la charge d'exploitation Q (les archives) est très fluctuante et aléatoire. On applique donc une 'punition' (coefficient) plus sévère de 1.5 sur Q. Notre but est de trouver la charge maximale probable qui a une chance sur un million d'arriver, pour dormir tranquille. De plus, n'oublions pas les charges 'mortes' comme la chape et le carrelage, souvent négligées à tort.
L'État Limite Ultime (ELU) correspond à l'état limite avant rupture. On majore les charges pour prendre en compte les incertitudes. La combinaison fondamentale s'écrit : \( \sum \gamma_G \cdot G_k + \gamma_Q \cdot Q_k \). Ici, \(\gamma_G = 1,35\) (défavorable) et \(\gamma_Q = 1,50\).
📋 Données d'Entrée
- Épaisseur de dalle \(h = 0,20 \, \text{m}\)
- Poids volumique béton \(\rho = 25 \, \text{kN/m}^3\)
- Charges additionnelles \(G' = 1,50 \, \text{kN/m}^2\)
- Exploitation \(Q = 5,00 \, \text{kN/m}^2\)
Vérifiez toujours si l'unité des charges est donnée en \(\text{kN/m}^2\) (surface) ou \(\text{kN/m}\) (linéaire). Ici, tout est ramené au mètre carré. Une erreur classique est d'oublier de convertir l'épaisseur en mètres (20cm = 0.2m) lors du calcul du poids propre.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous procédons par étapes : d'abord isoler le poids de la structure elle-même, puis ajouter les finitions, et enfin pondérer le tout avec l'exploitation.
1. Calcul du Poids Propre (g0)On multiplie le volume d'un mètre carré de dalle par sa densité.
Cela signifie que chaque mètre carré de béton "nu" pèse déjà 500 kg.
2. Calcul de la Charge Permanente Totale (G)On ajoute le poids de la chape et du revêtement de sol.
La charge morte totale est de 650 kg/m².
3. Calcul de la Charge Ultime Pondérée (pu)On applique les coefficients de sécurité (1.35 pour le permanent, 1.5 pour le variable).
C'est la valeur de charge que la dalle doit pouvoir supporter avant rupture. Notez que la part variable (7.50) est presque aussi importante que la part permanente (8.775).
La charge pondérée est environ 3 fois supérieure au poids propre seul. Cela montre l'importance critique de la charge d'exploitation dans ce projet d'archives. Une dalle de logement standard aurait eu une charge beaucoup plus faible (autour de 10-11 kN/m²).
\(16 \, \text{kN/m}^2\) correspond à environ \(1,6 \, \text{tonnes/m}^2\). C'est une valeur élevée mais cohérente pour un local d'archives lourdes sur une dalle béton.
Attention aux unités ! La masse volumique est en \(\text{kN/m}^3\), l'épaisseur en \(m\). Une erreur de conversion (cm vs m) fausse tout le projet d'un facteur 10 ou 100. Assurez-vous aussi d'avoir pris la bonne valeur de Q (5.0 et non 2.5).
🎯 Objectif
Déterminer le comportement mécanique de la dalle (portée 1 sens ou 2 sens) et calculer les moments fléchissants maximaux qui serviront à dimensionner les aciers.
📚 Référentiel
Théorie des Plaques (Méthode de l'Eurocode / Czerny)Une dalle rectangulaire peut se comporter comme une poutre large ou comme une véritable plaque. Tout dépend de sa forme. Si elle est très allongée (comme un couloir), elle ne plie que dans le sens court, car c'est le chemin le plus court pour transmettre les efforts aux appuis. Si elle est carrée ou presque, elle fléchit dans les deux sens (effet de "cuvette"). C'est le rapport \(\alpha = L_x/L_y\) qui tranche. Au-delà de \(0,4\), on considère que les deux sens travaillent. C'est crucial car si on se trompe, on ne mettra pas d'acier dans le sens qui en a besoin !
Une dalle porte dans les deux sens si \(\alpha = L_x / L_y \geq 0,4\). Dans ce cas, les moments se calculent à l'aide de coefficients \(\mu_x\) et \(\mu_y\) qui dépendent de \(\alpha\) et des conditions d'appuis (simplement appuyé, encastré, etc.).
📋 Données d'Entrée
- Petite portée \(L_x = 4,50 \, \text{m}\)
- Grande portée \(L_y = 6,00 \, \text{m}\)
- Charge ultime \(p_u = 16,28 \, \text{kN/m}^2\)
Pour une dalle sur 4 appuis simples (articulés), les coefficients \(\mu_x\) et \(\mu_y\) se lisent directement dans les tables pour \(\nu=0\) (béton fissuré). N'inventez pas ces coefficients, ils viennent de la résolution d'équations différentielles complexes.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Calcul du Rapport de Forme (\(\alpha\))On vérifie le ratio géométrique.
Comme \(0,75 > 0,40\), la dalle porte dans les deux sens. Si on avait trouvé 0.3, on aurait calculé comme une poutre.
2. Détermination des Coefficients \(\mu\)Lecture dans les abaques de Czerny pour \(\alpha=0.75\). Voici les valeurs pour une dalle sur appuis simples (articulée) :
| Rapport \(\alpha = L_x/L_y\) | \(\mu_x\) (Sens \(L_x\)) | \(\mu_y\) (Sens \(L_y\)) |
|---|---|---|
| 0,50 | 0,095 | 0,250 |
| 0,60 | 0,082 | 0,358 |
| 0,70 | 0,070 | 0,516 |
| 0,75 (Projet) | 0,065 | 0,600 |
| 0,80 | 0,059 | 0,683 |
| 0,90 | 0,049 | 0,840 |
| 1,00 | 0,039 | 1,000 |
Notez que \(\mu_y\) n'est pas utilisé directement sur la charge, mais comme un ratio du moment principal.
3. Calcul du Moment Principal \(M_{\text{ux}}\)C'est l'effort maximal qui tente de plier la dalle dans son sens court.
C'est le moment de flexion dimensionnant pour les aciers principaux (le lit le plus bas).
4. Calcul du Moment Secondaire \(M_{\text{uy}}\)C'est l'effort dans le sens long.
Moment dimensionnant pour les aciers de répartition (le lit juste au-dessus).
La dalle subit une flexion biaxiale importante. Le moment principal est toujours orienté parallèlement à la petite portée (\(L_x\)), car c'est le chemin le plus "rigide" pour les efforts. La dalle est comme une planche : elle est plus dure à plier dans le sens court que dans le sens long.
Le moment dans le sens court (\(M_x\)) est environ deux fois plus élevé que dans le sens long. C'est cohérent avec la rigidité plus forte de la petite portée. Les valeurs (21 kNm) sont standard pour ce type de portée.
Le piège mortel ici est d'intervertir \(L_x\) et \(L_y\) dans la formule \(M = \mu p L^2\). C'est toujours la PETITE portée au carré, même pour calculer le moment dans le grand sens. Si vous utilisez \(L_y^2\), vous surestimez dangereusement le moment.
🎯 Objectif
Calculer la section d'acier strictement nécessaire pour équilibrer le moment de flexion principal \(M_{\text{ux}}\) à l'État Limite Ultime. Le béton résiste très bien à la compression mais casse instantanément en traction. C'est le rôle de l'acier de reprendre ces efforts de traction en partie basse de la dalle.
📚 Référentiel
Eurocode 2 - Section 6.1 (Flexion simple)Nous allons dimensionner une section rectangulaire de largeur 1 mètre (bande de calcul). Le principe est de vérifier si le béton comprimé suffit à équilibrer l'effort. Si oui (Pivot A ou B sans aciers comprimés), nous calculons simplement les aciers tendus en partie basse en utilisant le bras de levier interne. On utilise le moment réduit \(\mu_{bu}\) comme un indicateur de "fatigue" du béton. S'il est faible, le béton est à l'aise.
Le dimensionnement à l'ELU repose sur l'équilibre des forces internes : Compression du béton = Traction de l'acier. On utilise le diagramme rectangulaire simplifié pour les contraintes dans le béton.
📋 Données d'Entrée
- Moment \(M_{\text{ux}} = 0,02143 \, \text{MN.m}\) (Conversion en MN pour homogénéité)
- Largeur de bande \(b = 1,00 \, \text{m}\)
- Hauteur \(h = 0,20 \, \text{m}\) / Enrobage \(c = 0,03 \, \text{m}\)
- Béton \(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\) / Acier \(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\)
Ne confondez pas la hauteur totale \(h\) (\(20 \, \text{cm}\)) et la hauteur utile \(d\) (distance de la fibre sup au centre des aciers). C'est \(d\) qui compte pour la résistance !
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Calcul de la Hauteur Utile (\(d\))On retire l'enrobage et la moitié du diamètre de la barre (estimé à 10mm).
On minore les résistances caractéristiques.
On vérifie si le béton tient le choc en compression.
Comme \(\mu_{\text{bu}} < 0,186\) (Pivot A), il n'y a pas besoin d'aciers comprimés. Le béton est très peu sollicité (à peine 5% de sa capacité ultime en flexion), le dimensionnement est piloté par l'acier.
4. Calcul du Bras de Levier (\(z\))On détermine la distance interne entre forces.
Force de traction / Résistance acier.
Une section théorique de \(3,06 \, \text{cm}^2/\text{m}\) est relativement faible. Cela confirme que l'épaisseur de \(20 \, \text{cm}\), choisie pour limiter les flèches, est très confortable pour reprendre les efforts de flexion pure.
Le ratio d'acier est d'environ 0.15%, ce qui est proche du minimum réglementaire. La dalle n'est pas très chargée par rapport à son épaisseur.
Vérifiez toujours que \(\mu_{\text{bu}} < 0,371\) (limite pivot B). Si ce n'est pas le cas, la section de béton est insuffisante ou il faut des aciers comprimés (solution rare et coûteuse pour une dalle).
🎯 Objectif
L'ingénierie ne s'arrête pas à un chiffre théorique. Il faut convertir la section d'acier calculée (\(3,06 \, \text{cm}^2\)) en un choix concret de barres disponibles sur le marché (HA10, HA12...), tout en respectant les règles de disposition (espacement) et de non-fragilité pour garantir la durabilité de l'ouvrage.
📚 Référentiel
Eurocode 2 - Section 9 (Dispositions constructives)Sur le chantier, on ne pose pas des "centimètres carrés", on pose des barres. Il faut trouver un compromis : des gros diamètres très espacés fissurent le béton, des petits diamètres trop serrés empêchent le béton de passer. De plus, il existe une règle d'or : la "condition de non-fragilité". Elle impose de mettre un minimum d'acier pour que, si la dalle fissure, les aciers soient assez forts pour ne pas casser net sous le choc de la prise de charge. C'est un "filet de sécurité".
La section minimale \(A_{s,min}\) assure que la charge de rupture de la section armée est supérieure à la charge de fissuration de la section non armée. On évite ainsi la rupture fragile.
📋 Données d'Entrée
- Section calculée \(A_{s,\text{cal}} = 3,06 \, \text{cm}^2/\text{m}\)
- Résistance traction béton \(f_{\text{ctm}} = 2,6 \, \text{MPa}\) (pour C25/30)
Privilégiez des espacements multiples de \(5 \, \text{cm}\) (15, 20, 25) pour faciliter le travail des ferrailleurs. Un espacement de 17.5 cm est un cauchemar sur chantier !
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Calcul de la Section MinimaleLe filet de sécurité réglementaire.
Comparaison : \(3,06 (\text{calcul}) > 2,23 (\text{min})\). C'est donc le calcul de flexion qui dimensionne nos aciers.
2. Choix des Barres (Sens Lx - Porteur)Nous cherchons une combinaison diamètre/espacement > 3,06 cm²/m.
- Option 1 : HA 10 tous les \(25 \, \text{cm}\) = \(3,14 \, \text{cm}^2/\text{m}\). (Valide, taux de travail 97%).
- Option 2 : HA 10 tous les \(20 \, \text{cm}\) = \(3,93 \, \text{cm}^2/\text{m}\). (Option retenue : robuste, taux de travail 78%, plus de marge).
Besoin théorique \(1,83 \, \text{cm}^2/\text{m}\). Mais attention, le minimum de 2,23 s'applique !
Nous utilisons des HA8 pour respecter la condition de non-fragilité, même si le calcul donnait moins.
Le ferraillage final est constitué d'un treillis inférieur. Les barres principales (HA10) sont en bas, les barres de répartition (HA8) sont posées dessus, le tout formant une maille carrée de \(20 \times 20 \, \text{cm}\). C'est simple, efficace et facile à vérifier.
Les sections réelles (3,93 et 2,51) sont bien supérieures aux besoins théoriques et aux minimums. Le ratio d'acier est d'environ \(0,2\%\), ce qui est standard pour une dalle.
Attention à l'espacement maximal entre barres. L'Eurocode impose généralement \(s_{max,slabs} = 3h\) ou \(400mm\) pour les charges réparties, mais pour maîtriser la fissuration on préfère souvent \(2h\) (soit 40cm ici). Avec 20cm, on est parfaits.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
12 Avenue des Bâtisseurs, 75000 PARIS
Tel : 01.23.45.67.89 | Ref : BET-2024-054
NOTE DE CALCULS & PLAN DE FERRAILLAGE
| Désignation | Valeur / Description | Statut |
|---|---|---|
| 1. Hypothèses & Données | ||
| Matériaux | Béton C25/30 - Acier B500B | VALIDÉ |
| Chargement ELU (\(p_u\)) | \(16,28 \, \text{kN/m}^2\) | - |
| Géométrie (\(L_x \times L_y\)) | \(4,50 \, \text{m} \times 6,00 \, \text{m}\) (\(\alpha = 0,75\)) | - |
| 2. Résultats de Calcul | ||
| Moment Max en Travée (\(M_{ux}\)) | \(21,43 \, \text{kN.m}/m\) | - |
| Section d'Acier Théorique (\(A_{s,cal}\)) | \(3,06 \, \text{cm}^2/\text{m}\) | > \(A_{min}\) |
| 3. Dispositions Retenues | ||
| Ferraillage Sens \(L_x\) (Porteur) | HA 10 @ 20 cm (\(3,93 \, \text{cm}^2\)) | CONFORME |
| Ferraillage Sens \(L_y\) (Répart.) | HA 8 @ 20 cm (\(2,51 \, \text{cm}^2\)) | CONFORME |
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