Calcul de l'Effort Tranchant et du Moment Fléchissant
📝 Situation du Projet (Version Avancée)
Vous êtes ingénieur principal chez "ArchiStruct Solutions", un bureau d'études de renommée internationale spécialisé dans les ouvrages d'art légers. La municipalité de "Val-Vert" a commandé une passerelle piétonne emblématique pour relier les deux rives de l'Éco-Parc, mais le cahier des charges a récemment évolué. L'architecte en chef souhaite désormais prolonger la structure au-delà de la rive B pour créer un "Belvédère en Porte-à-faux" audacieux, surplombant directement la cascade du parc. Cette modification architecturale, bien que visuellement saisissante, introduit une complexité statique majeure : l'asymétrie des charges et l'apparition de moments de renversement. L'enjeu est critique : garantir la stabilité absolue de l'ouvrage face aux surcharges de foule lors des événements estivaux, tout en conservant la finesse du profilé métallique exigée par l'architecte pour ne pas dénaturer le paysage classé.
Vous devez dimensionner cette poutre hyper-sollicitée. La présence du porte-à-faux va générer un moment négatif sur l'appui B et soulager la travée centrale, mais complexifie le calcul des réactions et des diagrammes. Vous devrez identifier les zones de cisaillement nul et les pics de moment (positif et négatif).
"Attention : La poutre n'est plus symétrique. Le porte-à-faux change tout ! Ne supposez pas que \(R_A = R_B\). Vous devez recalculer l'équilibre global en prenant en compte le moment généré par la console."
Le système structurel repose sur une modélisation isostatique précise : une rotule parfaite en A (bloquant les translations horizontale \(x\) et verticale \(y\)) et un appui simple roulant en B (bloquant uniquement la translation verticale \(y\)), permettant la libre dilatation thermique de la structure. La partie BC fonctionne en console libre.
Pour cette étude, nous adoptons l'acier de construction standard S235 (limite d'élasticité 235 MPa) et un profilé de type IPE (I à Profil Européen), réputé pour son excellente résistance à la flexion grâce à l'éloignement de la matière (les semelles) par rapport à l'axe neutre. Les charges ont été pondérées selon les Eurocodes (G + Q).
📚 Référentiel
PFS (Statique)RDM (Poutres)| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Portée Principale | \( L_1 \) | 6.00 | m |
| Porte-à-faux | \( L_2 \) | 2.00 | m |
| Charge Répartie (Travée) | \( q \) | 15.00 | kN/m |
| Charge Ponctuelle (Bout) | \( F \) | 25.00 | kN |
E. Protocole de Résolution
La résolution doit se faire par étapes strictes pour ne pas se perdre dans les discontinuités géométriques et de chargement.
Détermination des Réactions d'Appuis
Calculer \(R_A\) et \(R_B\) en isolant le système global et en appliquant le PFS (Somme des Moments en A et Somme des Forces verticales). Attention à l'asymétrie !
Analyse de l'Effort Tranchant V(x)
Définir les zones de coupure (Travée et Console) et établir les équations de \(V(x)\) pour chaque intervalle afin de localiser le cisaillement maximal.
Calcul du Moment Fléchissant M(x)
Déduire les équations de \(M(x)\) par intégration ou bras de levier, et calculer précisément les extremums (Moment positif en travée et négatif sur appui).
Bilan Visuel & Diagrammes
Synthétiser les résultats sous forme de diagrammes cotés (V et M) alignés avec la géométrie pour visualiser les sollicitations critiques.
Calcul de l'Effort Tranchant et du Moment Fléchissant
🎯 Objectif Scientifique
L'objectif fondamental de cette étape est de quantifier précisément les actions mécaniques de liaison (\(R_A\) et \(R_B\)) qui assurent l'immobilité stricte de la structure. Dans un problème asymétrique avec porte-à-faux, ces réactions ne sont pas intuitives : l'appui côté console (B) va subir une surcharge massive due à l'effet de levier, tandis que l'appui opposé (A) pourrait être soulagé, voire soulevé (réaction négative) dans des cas extrêmes. Il s'agit de résoudre l'équilibre statique global avant toute investigation locale.
📚 Référentiel & Normes
Principe Fondamental de la Statique (PFS) Eurocode 0 (Équilibre EQU)Face à une structure isostatique (3 inconnues de liaison dans le plan : \(X_A, Y_A, Y_B\), pour 3 équations d'équilibre), la stratégie la plus robuste consiste à isoler les inconnues une par une. Plutôt que de projeter immédiatement les forces verticales (ce qui donnerait une équation à deux inconnues \(R_A + R_B = \dots\)), nous allons privilégier l'équation des moments. En calculant la somme des moments autour du point A, le bras de levier de \(R_A\) devient nul, ce qui élimine cette inconnue et permet de déterminer directement \(R_B\).
Le moment d'une force par rapport à un point est la capacité de cette force à faire tourner le système autour de ce point. Il est défini par le produit de l'intensité de la force par la distance perpendiculaire (bras de levier) qui la sépare du point de rotation. Par convention, nous compterons ici positivement les moments qui font tourner dans le sens trigonométrique (anti-horaire) ou horaire selon le choix, tant que la cohérence est maintenue. Ici, sens horaire positif pour simplifier la visualisation gravitationnelle.
1. Équilibre des Moments en A (pour éliminer \(R_A\)) :
2. Équilibre des Forces Verticales (vérification) :
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Bras de Levier /A |
|---|---|---|
| Portée \(L_1\) | 6.00 m | - |
| Charge résultante \(Q_{\text{tot}}\) | \(15 \times 6 = 90\) kN | 3.00 m (mi-travée) |
| Charge ponctuelle \(F\) | 25.00 kN | 8.00 m (\(L_1+L_2\)) |
Remplacez mentalement la charge répartie par une force ponctuelle unique équivalente placée en son centre de gravité. Pour une charge uniforme sur 6m, c'est une force de \(q \times L\) placée à \(L/2 = 3m\). Cela simplifie radicalement l'écriture de l'équation des moments.
📝 Calculs Détaillés Pas à Pas
1. Détermination de la réaction RB (Pivot)
Raisonnement : On isole la poutre et on écrit que la somme des moments de toutes les forces par rapport au point A est nulle.
Convention : Un moment est positif s'il fait tourner la poutre dans le sens des aiguilles d'une montre (horaire) autour de A.
- Moment de la charge répartie \(q\) : La résultante est \(Q = q \cdot L_1\). Elle s'applique au milieu de la travée, soit à une distance \(L_1/2\) de A. C'est un poids, donc il fait tourner vers le bas (sens horaire \(\oplus\)).
- Moment de la charge \(F\) : La force \(F\) est située au bout du porte-à-faux, à une distance totale \(L_1 + L_2\) de A. Elle fait aussi tourner vers le bas (sens horaire \(\oplus\)).
- Moment de la réaction \(R_B\) : La réaction est située à une distance \(L_1\) de A. Elle pousse vers le haut pour retenir la poutre, donc elle fait tourner dans le sens inverse (anti-horaire \(\ominus\)).
On résout l'équation simple : \(470 = 6 R_B\).
2. Détermination de la réaction RA
Raisonnement : On écrit l'équilibre vertical global. Tout ce qui descend (Charges) doit être compensé par tout ce qui monte (Réactions).
✅ Interprétation Globale
Les résultats montrent une très forte dissymétrie. L'appui B reprend près de 68% de la charge totale (78.33 kN sur 115 kN). Cela s'explique physiquement : il supporte non seulement sa moitié "naturelle" de la travée centrale, mais il agit aussi comme un point d'appui pour le levier que constitue le porte-à-faux. L'appui A est "soulagé" par le poids en porte-à-faux qui tend à faire basculer la poutre.
Somme des charges descendantes : \(90 + 25 = 115\) kN.
Somme des réactions calculées : \(36.67 + 78.33 = 115.00\) kN.
L'équilibre vertical est parfaitement vérifié. Les ordres de grandeur sont cohérents (plus de charge sur B que sur A).
Attention : Si la charge F au bout du porte-à-faux était beaucoup plus élevée, \(R_A\) pourrait devenir négative. Cela signifierait que la poutre a tendance à se soulever en A. Dans ce cas, un appui simple ne suffirait pas, il faudrait un ancrage capable de reprendre de la traction (soulèvement).
🎯 Objectif Scientifique
L'effort tranchant \(V(x)\) représente la force de cisaillement interne qui tend à "couper" la poutre verticalement à une abscisse \(x\) donnée. Dans une structure avec appui intermédiaire et charges discontinues, la fonction \(V(x)\) n'est pas continue : elle subit des sauts brutaux au droit des forces concentrées. L'objectif est d'établir les équations par morceaux pour localiser le cisaillement maximal.
📚 Référentiel
Théorie des Poutres (Saint-Venant)La poutre présente deux zones distinctes de chargement et de géométrie : la travée entre A et B (\(0 \le x \le 6\)) et le porte-à-faux entre B et C (\(6 \le x \le 8\)). Il est impossible d'écrire une seule équation pour toute la longueur. Nous devons procéder par la méthode des coupures en définissant deux intervalles de validité. Le "saut" de valeur attendu à \(x=6\) correspondra exactement à la réaction d'appui \(R_B\).
Par convention standard (gauche vers droite), l'effort tranchant \(V(x)\) est égal à la somme algébrique des forces extérieures ascendantes moins les forces descendantes situées à gauche de la section de coupure.
Si \(\sum F_{\text{gauche}} > 0\), alors \(V > 0\).
Pour une abscisse x quelconque :
📋 Données d'Entrée
| Zone | Intervalle | Forces à gauche |
|---|---|---|
| Travée | [0 ; 6] m | \(R_A\) et \(q \cdot x\) |
| Console | [6 ; 8] m | \(R_A\), \(Q_{\text{tot}}\) et \(R_B\) |
Pour la deuxième zone (le porte-à-faux), il est souvent plus rapide et moins sujet à erreur de calculer en venant de la droite. Si on regarde à droite, \(V(x) = - \sum F_{\text{droite}}\). Dans notre cas, à droite de la coupure sur la console, il n'y a que la force F vers le bas.
📝 Calculs Détaillés Pas à Pas
1. Équation Zone 1 (Travée AB : \(0 \le x \le 6\))
Raisonnement : On effectue une coupure imaginaire à une distance \(x\) de l'origine A. On fait le bilan des forces verticales situées à gauche de cette coupure.
Convention : Les forces vers le haut sont positives (+), les forces vers le bas sont négatives (-).
2. Valeurs aux bornes de la Zone 1
C'est une équation de droite (forme \(y = ax + b\)). Il suffit de calculer les deux points extrémités.
3. Équation Zone 2 (Porte-à-faux BC : \(6 < x \le 8\))
Raisonnement Astucieux : Plutôt que de traîner toutes les forces de gauche, on regarde à droite de la coupure.
Convention Droite : \(V(x) = - \sum F_{\text{droite}}\). (Attention au signe moins de la formule !).
À droite de la coupure, il n'y a que la force \(F\) qui descend.
✅ Interprétation Globale
Le diagramme de l'effort tranchant montre deux régimes. Une décroissance linéaire classique sur la travée principale, passant par zéro (point de moment max). Puis, une remontée brutale de \(78.33\) kN au niveau de l'appui B, suivie d'un palier constant positif sur le porte-à-faux. La valeur critique pour le cisaillement de l'âme du profilé est \(-53.33\) kN, située juste avant l'appui intermédiaire.
Le saut à l'abscisse \(x=6\) est égal à : \(V_{\text{droite}} - V_{\text{gauche}} = 25 - (-53.33) = 78.33\) kN. Or, \(R_B = 78.33\) kN. La discontinuité correspond parfaitement à la force d'appui. Le modèle est cohérent.
Ne négligez pas l'effort tranchant au niveau des appuis. Même si le moment fléchissant y est souvent nul (appuis d'extrémité), le cisaillement y est maximal. C'est souvent là que les âmes des poutres fines voilent ou se déchirent.
🎯 Objectif Scientifique
Déterminer l'état de flexion de la poutre. Le moment fléchissant \(M(x)\) est directement lié aux contraintes normales (traction/compression) dans le matériau. Contrairement à une poutre simple qui ne subit qu'un moment positif (flexion en "banane"), notre poutre avec porte-à-faux va subir une inversion de courbure : un moment positif en travée et un moment négatif (chapeau de gendarme) au-dessus de l'appui B.
📚 Référentiel
Relation Différentielle d'ÉquilibreNous allons utiliser la relation intégrale qui lie l'effort tranchant au moment. Puisque \(V(x)\) est une fonction affine (degré 1) sur la travée, \(M(x)\) sera une parabole (degré 2). Sur le porte-à-faux, \(V(x)\) est constant, donc \(M(x)\) sera linéaire. La zone la plus critique n'est pas forcément au milieu de la travée, mais potentiellement sur l'appui B à cause de l'effet levier du porte-à-faux.
La dérivée du moment fléchissant par rapport à la position \(x\) est égale à l'effort tranchant (au signe près selon convention). Ainsi, le moment est la primitive de l'effort tranchant. De plus, un extremum local du moment (sommet de la parabole) se trouve toujours là où la dérivée s'annule, c'est-à-dire là où \(V(x) = 0\).
Calcul par intégration de l'effort tranchant :
📋 Données d'Entrée
| Zone | V(x) | Condition Limite |
|---|---|---|
| Travée | \(36.67 - 15x\) | \(M(0) = 0\) (Rotule) |
| Console | \(25\) | \(M(8) = 0\) (Bout libre) |
Pour le moment maximum en travée, ne tâtonnez pas. Calculez l'abscisse exacte \(x_0\) où \(V(x_0)=0\), puis injectez cette valeur dans l'équation de \(M(x)\). C'est mathématiquement infaillible pour trouver le sommet de la parabole.
📝 Calculs Détaillés Pas à Pas
1. Équation du Moment en Zone 1 (Travée)
Raisonnement : Le moment fléchissant est la primitive (l'intégrale) de l'effort tranchant \(V(x)\).
On part de l'équation trouvée précédemment : \(V(x) = 36.67 - 15x\).
Rappels mathématiques :
- La primitive d'une constante \(A\) est \(A \cdot x\).
- La primitive de \(x\) est \(\frac{x^2}{2}\).
Note : La constante d'intégration est nulle car en \(x=0\) (appui A, rotule), le moment est nul.
2. Recherche de la position du Moment Maximum
Le sommet de la parabole (maximum) se trouve là où la pente est nulle, c'est-à-dire là où la dérivée \(V(x)\) s'annule.
3. Calcul du Moment Maximum Positif
On injecte la position trouvée (\(x = 2.444\)) dans l'équation du moment pour trouver sa valeur.
4. Calcul du Moment sur Appui (Moment Négatif)
On calcule la valeur de l'équation à la fin de la zone 1, c'est-à-dire en \(x=6\).
On arrondit à -50.00 kNm (la différence est due aux arrondis intermédiaires).
5. Vérification par le Porte-à-Faux (Zone 2)
Pour valider le calcul, on calcule le moment en B en regardant à droite (le porte-à-faux).
Moment = Force \(\times\) Bras de levier. La force \(F\) fait plier la poutre vers le bas (chapeau de gendarme), donc le moment est négatif.
On retrouve bien -50 kNm. La légère différence (49.98 vs 50.00) est due aux arrondis sur \(R_A\).
✅ Interprétation Globale
La structure subit deux types de flexions opposées. Entre A et B, la poutre fléchit vers le bas (fibres inférieures tendues) avec un pic à 44.82 kNm. Mais au-dessus de l'appui B, elle fléchit vers le haut (courbure inverse, fibres supérieures tendues) avec une intensité de 50 kNm. C'est ce moment négatif qui est le plus fort en valeur absolue.
Le calcul par la gauche (intégrale) donne -49.98 kNm. Le calcul par la droite (bras de levier) donne -50.00 kNm. L'écart est négligeable (< 0.05%), les calculs sont validés. La continuité du moment est respectée.
Le moment dimensionnant est négatif (\(|-50| > |44.8|\)). Cela signifie que pour le dimensionnement de la section (et surtout pour le déversement), c'est la semelle inférieure qui sera comprimée au voisinage de l'appui B. C'est une zone critique pour l'instabilité élastique.
🎯 Objectif Scientifique
Synthétiser les résultats analytiques sous forme graphique. Les diagrammes permettent de visualiser instantanément l'évolution des sollicitations le long de la poutre et de repérer les zones critiques pour le dimensionnement (là où \(V\) est max et là où \(M\) est max).
📚 Référentiel
Conventions de Représentation GraphiqueUn bon diagramme doit aligner verticalement la géométrie de la poutre avec les courbes d'efforts. Cela permet de voir immédiatement que le saut d'effort tranchant correspond à l'appui, ou que le moment max correspond au cisaillement nul.
Schéma de Synthèse : Géométrie & Sollicitations
✅ Interprétation & Cohérence
Les diagrammes confirment tous les calculs précédents :
- Effort Tranchant : Le saut en B correspond exactement à la réaction d'appui \(R_B\).
- Moment : Le pic positif est bien aligné avec le zéro du tranchant. La continuité en B est respectée (-50 kNm).
Laisser un commentaire