Méthode des Trois Moments pour Poutre Continue
📝 Situation du Projet
Au cœur du projet de redynamisation urbaine de la municipalité de Val-de-Reuil, vous intégrez le bureau d'études "Ingénierie des Ouvrages d'Art" en tant qu'Ingénieur Structure Senior. Le mandat qui vous est confié est stratégique : concevoir la passerelle piétonne "Horizon", un ouvrage symbolique destiné à reconnecter le parc technologique, poumon économique en pleine expansion, à la zone résidentielle historique, actuellement isolée par la coupure géographique que représentent la rivière l'Eure et la route départementale RD-95.
Le site présente des contraintes fortes : un sol de rive de qualité médiocre imposant de limiter les efforts horizontaux, une exigence architecturale de finesse pour ne pas obstruer la perspective paysagère sur la vallée, et une nécessité économique d'optimiser l'acier mis en œuvre. Face à ces défis, l'architecte a validé une solution technique élégante : une poutre continue hyperstatique sur 3 appuis. Contrairement à une succession de travées simples (isostatiques), la continuité mécanique au-dessus de la pile centrale permet de redistribuer les moments fléchissants, réduisant drastiquement le moment positif en travée et autorisant ainsi une structure plus élancée et aérienne.
Cependant, cette hyperstaticité introduit une complexité majeure : la structure est sensible aux tassements différentiels et génère des moments négatifs intenses sur l'appui intermédiaire, sollicitant la fibre supérieure de la poutre en traction. Votre rôle est crucial : valider mathématiquement la stabilité de l'ouvrage, quantifier précisément ces sollicitations internes par la méthode de Clapeyron, et garantir que le profilé architectural choisi (IPE 400) résistera aux charges d'exploitation maximales définies par l'Eurocode, sans risque de ruine par plastification ou instabilité élastique.
En tant que Responsable des Calculs, vous devez lever l'indétermination statique de la poutre principale. Votre objectif est de déterminer le moment fléchissant sur l'appui intermédiaire via la Méthode des Trois Moments (Théorème de Clapeyron), puis d'en déduire les diagrammes de sollicitations pour valider le dimensionnement du profilé en acier S355.
"Attention, la méthode de Clapeyron suppose une inertie constante sur toute la longueur. Ne négligez pas les signes des moments : un moment négatif sur l'appui B est attendu (fibre supérieure tendue). Vérifiez scrupuleusement les unités lors du calcul des modules de flexion."
Le dimensionnement s'appuie sur les hypothèses simplifiées de la Résistance des Matériaux (RDM) pour les poutres droites (Navier-Bernoulli). Le profilé est considéré homogène, isotrope et élastique linéaire. Les calculs sont menés à l'État Limite Ultime (ELU) pour vérifier la résistance mécanique pure.
📚 Référentiel Normatif & Physique
Eurocode 0 (Combinaisons)Eurocode 3 (Acier)Théorie des Poutres (RDM)📐 Géométrie & Matériaux
- Portée Travée 1 (AB) : \( L_1 = 6.00 \text{ m} \)
- Portée Travée 2 (BC) : \( L_2 = 8.00 \text{ m} \)
- Profilé : IPE 400 (Inertie constante \( EI \))
- Nuance Acier : S355 (Limite élastique \( f_y = 355 \text{ MPa} \))
⚖️ Chargement (État Limite Ultime)
(Inclut Poids Propre + Surcharges Climatiques + Coefficients de sécurité 1.35G + 1.5Q)
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité | Description |
|---|---|---|---|---|
| Longueur Travée Gauche | \( L_1 \) | 6.00 | m | Distance entre appuis A et B |
| Longueur Travée Droite | \( L_2 \) | 8.00 | m | Distance entre appuis B et C |
| Charge Linéique ELU | \( q \) | 20.00 | kN/m | Charge pondérée descendante |
| Module de Flexion Élastique | \( W_{el,y} \) | 1160 | cm³ | Caractéristique de section IPE 400 |
| Inertie de Flexion | \( I_y \) | 23130 | cm⁴ | Rigidité de section IPE 400 |
E. Protocole de Résolution
Pour résoudre ce système hyperstatique de degré 1 (une réaction surabondante par rapport aux équations de la statique), nous allons utiliser une méthode de résolution par les forces (compatibilité des déplacements).
Théorème de Clapeyron
Écriture de l'équation des trois moments à l'appui central (B) pour déterminer l'inconnue hyperstatique \( M_1 \).
Calcul des Réactions
Détermination des réactions d'appuis \( R_A, R_B, R_C \) en isolant chaque travée et en considérant le moment de continuité calculé.
Diagrammes Sollicitations
Tracé des diagrammes de l'effort tranchant \( V(x) \) et du moment fléchissant \( M(x) \) pour identifier les sections critiques.
Vérification Élastique
Contrôle de la contrainte normale maximale par rapport à la limite élastique de l'acier.
Méthode des Trois Moments pour Poutre Continue
🎯 Objectif Scientifique
L'objectif de cette première étape est de lever l'indétermination statique de la structure. Notre poutre repose sur 3 appuis simples, générant 3 inconnues de réaction verticales, alors que le plan ne nous offre que 2 équations d'équilibre utiles (\(\sum F_V = 0\) et \(\sum M = 0\)). Le degré d'hyperstaticité est de 1. Nous devons donc calculer la valeur du Moment de Continuité (\(M_1\)) sur l'appui central B, qui agit comme une "liaison interne" assurant la continuité de la déformée (pente identique à gauche et à droite).
📚 Référentiel Théorique
Théorème de Clapeyron (1857) Théorie des Poutres (Navier-Bernoulli)🧠 Réflexion de l'Ingénieur
Nous abordons le problème par la "Méthode des Forces". Plutôt que de chercher directement les réactions d'appuis, nous cherchons d'abord les efforts internes aux nœuds rigides. L'appui B n'est pas une simple rotule libre ; la poutre ne s'y brise pas. Elle subit une courbure forcée. L'équation de Clapeyron relie les moments sur trois appuis consécutifs (\(M_{i-1}, M_i, M_{i+1}\)) aux charges appliquées. Ici, les appuis de rive A (0) et C (2) sont des rotules d'extrémité, donc les moments y sont nuls : \(M_0 = 0\) et \(M_2 = 0\). Cela simplifie considérablement l'équation.
📘 Rappel Théorique
Pour trois appuis consécutifs \(n-1\), \(n\), \(n+1\) séparant deux travées de longueurs \(L_g\) (gauche) et \(L_d\) (droite), l'équation s'écrit :
Le terme de droite représente les rotations "libres" aux appuis dues au chargement.
📐 Dérivation de la Formule Projet
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Longueur Travée 1 | \( L_1 \) | 6.00 m |
| Longueur Travée 2 | \( L_2 \) | 8.00 m |
| Charge ELU | \( q \) | 20.00 kN/m |
💡 Astuce
Vérifiez toujours l'homogénéité des unités avant de calculer. Ici, tout est en [kN] et [m], le moment sortira donc en [kNm]. Pas besoin de conversion complexe pour cette étape.
9. Calcul Détaillé pas à pas
1. Évaluation du Terme Géométrique (Gauche)
On remplace les longueurs \(L_1 = 6\) m et \(L_2 = 8\) m dans la partie gauche de l'équation.
Le coefficient 28 représente la rigidité géométrique nodale.
2. Évaluation du Terme de Charge (Droite)
On décompose le calcul pour chaque travée avec \(q=20\).
Travée 1 :
Travée 2 :
Total Terme Droite :
La somme des rotations forcées est de -3640.
3. Résolution de l'Équation
On pose l'égalité \(A_{\text{geo}} = B_{\text{load}}\) pour isoler \(M_1\).
Résultat final validé.
✅ Interprétation Globale
Nous avons déterminé que l'appui intermédiaire B encaisse un moment de flexion de -130 kNm. Le signe négatif confirme que la poutre subit une traction sur sa face supérieure au droit de l'appui (effet "chapeau de gendarme"). C'est une valeur pivot qui va piloter la répartition des efforts dans tout le reste de la structure.
⚖️ Analyse de Cohérence
⚠️ Points de Vigilance
Attention aux exposants ! Dans le terme de charge, la longueur est au cube (\(L^3\)). Dans le terme géométrique, elle est à la puissance 1. Une confusion ici fausse totalement le résultat. De plus, n'oubliez pas le signe "moins" dans la formule de droite.
🎯 Objectif Scientifique
L'objectif est de déterminer les forces verticales exercées par les appuis sur la poutre (\(R_A, R_B, R_C\)). Ces valeurs sont indispensables pour dimensionner les fondations, les appareils d'appui (néoprènes) et pour tracer le diagramme de l'effort tranchant.
📚 Référentiel Théorique
Principe Fondamental de la Statique (PFS) Principe de Superposition🧠 Réflexion de l'Ingénieur
Nous allons utiliser le principe de superposition. Pour chaque travée isolée, la réaction réelle est la somme de deux effets :
1. La réaction "Isostatique" (due à la charge externe \(q\) uniquement, comme si la poutre était simplement posée).
2. La réaction "Hyperstatique" (due au couple de continuité \(M_1\) qui "soulage" ou "charge" l'appui).
L'appui central B recevra des charges venant de gauche et de droite.
📘 Rappel Théorique
Pour une barre isolée soumise à une charge répartie \(q\) et des moments d'extrémité \(M_g\) et \(M_d\), l'effort tranchant aux extrémités est donné par :
Le terme \(\frac{\Delta M}{L}\) représente un couple de forces vertical qui équilibre la différence de moments.
📐 Dérivation des Formules de Réaction
📋 Données d'Entrée
| Variable | Valeur |
|---|---|
| Moment \(M_1\) (Appui B) | -130 kNm |
| Charge \(q\) | 20 kN/m |
💡 Astuce
Pour calculer la réaction centrale \(R_B\), ne refaites pas l'isolement complet. Utilisez l'équilibre global de la structure : la somme de toutes les réactions doit être égale à la charge totale descendante.
9. Calcul Détaillé pas à pas
1. Calcul de la Réaction en A (Rive Gauche)
La réaction est la part isostatique (\(qL/2\)) plus l'effet du moment (\(M/L\)).
On arrondit à 38.33 kN.
2. Calcul de la Réaction en C (Rive Droite)
Même principe pour la travée de 8m.
Valeur exacte.
3. Calcul de la Réaction en B (Centrale)
On commence par calculer la charge totale.
On déduit \(R_B\) par soustraction.
L'appui central reprend 63% de la charge totale.
✅ Interprétation Globale
La distribution des réactions n'est pas uniforme. L'appui central est très sollicité (\(177.92\) kN), ce qui est typique des poutres continues. Cela signifie que la fondation de la pile centrale (dans la rivière) devra être beaucoup plus robuste que les culées de rive.
⚖️ Analyse de Cohérence
⚠️ Points de Vigilance
Ne confondez pas le signe du moment avec le sens de la réaction. Le moment est négatif, mais son effet sur les réactions d'extrémité est de "soulever" (donc terme négatif sur la réaction verticale ascendante) et de "charger" l'appui central.
🎯 Objectif Scientifique
Nous connaissons le moment critique négatif sur l'appui (-130 kNm). Mais qu'en est-il au milieu des travées ? La poutre y subit un moment positif ("ventre"). Il est impératif de calculer la valeur exacte de ces maxima locaux pour vérifier le profilé sur toute sa longueur, et pas seulement sur l'appui.
📚 Référentiel Théorique
Calcul Différentiel & Intégral Relations Différentielles RDM🧠 Réflexion de l'Ingénieur
Mathématiquement, le moment fléchissant \(M(x)\) est maximal là où sa dérivée s'annule. Or, la dérivée du moment est l'effort tranchant \(V(x)\). La stratégie est donc d'écrire l'équation de l'effort tranchant \(V(x)\) pour chaque travée, de trouver l'abscisse \(x_0\) où \(V(x_0) = 0\), puis de calculer \(M(x_0)\).
📘 Rappel Théorique
Pour une charge répartie \(q\) constante, la relation différentielle est :
L'effort tranchant varie linéairement (\(V(x) = R - qx\)) et le moment varie paraboliquement.
📐 Dérivation Analytique du Maximum
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Réaction \(R_A\) | 38.33 kN |
| Réaction \(R_C\) | 63.75 kN |
| Charge \(q\) | 20 kN/m |
💡 Astuce
Pour la travée 2, il est beaucoup plus simple de définir l'origine des x en C (de droite à gauche) plutôt qu'en B. Cela permet d'utiliser directement la réaction \(R_C\) et de partir d'un moment nul.
9. Calcul Détaillé pas à pas
1. Travée 1 (A vers B)
On trouve d'abord la position \(x_1\) où l'effort tranchant s'annule.
Puis on calcule le moment en ce point.
Maximum local positif à 1.92m de l'appui A.
2. Travée 2 (C vers B)
On cherche la position \(x'_2\) depuis C.
Calcul du moment max correspondant.
Maximum local positif à 3.19m de l'appui C.
✅ Interprétation Globale
La hiérarchie des sollicitations est claire :
1. Appui B : \(|-130|\) kNm (Dimensionnant)
2. Travée 2 : \(+101.6\) kNm
3. Travée 1 : \(+36.7\) kNm
C'est bien la section au droit de la pile centrale qui sera la plus sollicitée.
⚖️ Analyse de Cohérence
⚠️ Points de Vigilance
Ne confondez pas le moment max isostatique (\(qL^2/8\)) avec le moment max réel. Ici, le moment max de la travée 2 (\(101.6\)) est bien inférieur à l'isostatique (\(20 \times 8^2 / 8 = 160\) kNm). C'est l'effet bénéfique de la continuité.
🎯 Objectif Scientifique
L'étape ultime est de confronter les calculs théoriques à la réalité matérielle. Nous devons vérifier si le profilé choisi (IPE 400 en Acier S355) est capable de supporter le moment fléchissant maximal calculé (\(M_{\text{Ed}} = 130\) kNm) sans subir de dommages irréversibles (plastification).
📚 Référentiel Théorique
Eurocode 3 Partie 1-1 Critère de Von Mises🧠 Réflexion de l'Ingénieur
Nous sommes dans le cas d'une vérification élastique. Nous supposons que la répartition des contraintes dans la section est linéaire (triangle de contraintes). La contrainte normale \(\sigma\) est maximale aux fibres extrêmes (semelles supérieure et inférieure). Le critère de ruine est atteint si cette contrainte dépasse la limite d'élasticité \(f_y\) du matériau.
📘 Rappel Théorique
La contrainte normale de flexion \(\sigma\) est donnée par :
Où \(W_{\text{el}}\) est le module de flexion élastique, caractéristique géométrique propre au profilé.
📐 Dérivation de la Formule de Contrainte
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|
| Moment Max (\(M_{\text{Ed}}\)) | 130 kNm | \(130 \times 10^6\) Nmm |
| Module Flexion (\(W_{\text{el}}\)) | 1160 cm³ | \(1160 \times 10^3\) mm³ |
| Limite Élastique (\(f_y\)) | 355 MPa | 355 N/mm² |
💡 Astuce
Le piège classique est l'unité. Les catalogues profilés donnent \(W\) en \(cm^3\) et les moments sont en \(kNm\). Convertissez TOUT en N et mm pour obtenir directement des MPa.
9. Calcul Détaillé pas à pas
1. Conversion des Unités
Pour obtenir des MPa (N/mm²), il faut convertir le Moment en N.mm et le Module en mm³.
2. Calcul de la Contrainte Maximale
On injecte les valeurs converties dans la formule de Navier.
Contrainte réelle : 112.07 MPa.
3. Calcul du Taux de Travail
On compare cette contrainte à la limite admissible.
Taux de travail : 31.6 %.
✅ Interprétation Globale
Le profilé travaille à seulement 31.6% de sa capacité élastique en flexion. Il est donc très largement dimensionné vis-à-vis de la résistance de section. Ce surdimensionnement apparent est souvent justifié par les critères de flèche (ELS) ou de déversement, qui sont plus restrictifs.
⚖️ Analyse de Cohérence
⚠️ Points de Vigilance
Attention : cette vérification ne concerne que la résistance en section courante. Sur appui, la semelle inférieure est comprimée. Pour un profilé haut comme l'IPE 400, le risque d'instabilité par déversement est majeur et doit être vérifié séparément.
📄 Livrable Final (Note de Synthèse)
Le présent document a pour objet la justification du dimensionnement de la poutre continue sur 3 appuis de la passerelle "Horizon". L'analyse porte spécifiquement sur la vérification de la résistance du profilé métallique IPE 400 (Acier S355) sous les charges pondérées à l'État Limite Ultime (ELU), conformément aux Eurocodes 0 et 3.
- Profilé : IPE 400
- Acier : S355 (\(f_y = 355\) MPa)
- Module \(W_{\text{el},y}\) : \(1160 \text{ cm}^3\)
- Travées : \(L_1 = 6.00\) m, \(L_2 = 8.00\) m
- Charge ELU : 20.00 kN/m
- Modèle : Poutre Continue
| Vérification | Sollicitation (\(S_{\text{Ed}}\)) | Résistance (\(R_{d}\)) | Ratio (\(S/R\)) | Statut |
|---|---|---|---|---|
| Flexion sur Appui B | 130.0 kNm | 411.8 kNm | 31.6 % | ✅ CONFORME |
| Flexion en Travée 2 | 101.6 kNm | 411.8 kNm | 24.7 % | ✅ CONFORME |
| Réaction Max (Pile B) | 177.9 kN | - | - | ℹ️ À Transmettre |
Réserve : Une vérification au déversement et de la flèche (ELS) devra être jointe au dossier final.
DATE : 24/10/24
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