Calcul d'un Treillis triangulaire simple
📝 Situation du Projet
Bienvenue au sein du bureau d'études "Structure & Conception", un cabinet renommé spécialisé dans la réhabilitation de bâtiments industriels complexes. Nous avons été mandatés par un client majeur du secteur logistique pour superviser la rénovation structurelle d'un ancien entrepôt de stockage, situé au pied du massif alpin, à 900 mètres d'altitude. Cette localisation géographique n'est pas anodine : elle impose des contraintes climatiques sévères, notamment en ce qui concerne les charges de neige.
Le projet est critique car le maître d'ouvrage souhaite transformer ce bâtiment historique en une plateforme logistique moderne, capable d'accueillir des systèmes de stockage automatisés de grande hauteur. La charpente actuelle, constituée de lourdes poutres en béton armé sur de multiples poteaux intermédiaires, entrave la circulation des nouveaux robots. L'architecte a donc proposé une solution radicale : supprimer tous les porteurs intérieurs et les remplacer par une charpente métallique légère à grande portée. Le choix s'est porté sur une série de fermes triangulées (treillis de type "Ferme Latine"), réputées pour leur excellent rapport poids/résistance et leur capacité à franchir de grandes distances sans appui intermédiaire.
Dans ce dossier, nous nous concentrons exclusivement sur la vérification de la "Ferme F1", l'élément standard qui sera répété tous les 5 mètres le long de la toiture. Les études aérauliques préalables ont identifié un risque d'accumulation de neige par vent dominant, créant une surcharge locale importante au niveau du faîtage (sommet du toit). Votre rôle est déterminant : vous devez valider mathématiquement que cette structure, d'apparence fragile par rapport aux anciennes poutres béton, sera capable de supporter cette charge exceptionnelle sans s'effondrer ni se déformer excessivement.
En tant qu'Ingénieur Structure Calculateur, votre responsabilité est engagée. Vous devez modéliser le comportement mécanique du treillis sous la charge de neige pondérée (ELS). Il ne s'agit pas seulement de trouver un résultat, mais de produire une note de calcul justifiant chaque étape : de l'équilibre global avec le sol jusqu'aux efforts internes dans chaque barre. Vous devrez déterminer si les barres sont tractées ou comprimées (nature de l'effort) et vérifier si la section d'acier proposée (Double Cornière L 50x50x5) est suffisante ou si elle risque la ruine.
"Attention à la nature des sollicitations ! Une erreur de signe sur l'effort normal peut être fatale : une barre dimensionnée pour la traction peut ruiner la structure par flambement si elle est en réalité comprimée. Vérifie scrupuleusement tes projections vectorielles et rappelle-toi que la neige appuie toujours vers le bas !"
📚 Référentiel Normatif & Hypothèses
Le dimensionnement est régi par les normes européennes et des hypothèses simplificatrices pour l'avant-projet.
Eurocode 3 (NF EN 1993) Hypothèse de Navier-Bernoulli Modèle Treillis Parfait (Noeuds Articulés)| Catégorie | Donnée / Variable | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Géométrie | Portée Globale (\(L\)) | 8.00 | m |
| Géométrie | Hauteur Faîtage (\(h\)) | 3.00 | m |
| Matériau | Acier de Construction | S235 | - |
| Matériau | Limite Élastique (\(f_y\)) | 235 | MPa |
| Profilé | Section Barres (Cornière Double) | L 50x50x5 | - |
| Profilé | Aire de Section (\(S\)) | 960 | mm² |
| Chargement | Charge Nodale Neige (\(P\)) | 120 | kN |
E. Protocole de Résolution
Pour garantir la fiabilité de la structure, nous suivrons rigoureusement la méthodologie de la Résistance des Matériaux appliquée aux systèmes articulés.
Analyse Géométrique & Statique Globale
Détermination des caractéristiques géométriques (angles) et calcul des réactions aux appuis (équilibre externe).
Méthode des Noeuds (Isolation du Noeud A)
Calcul des efforts internes dans les barres AC et AB par isolement du noeud d'appui et projection des forces.
Équilibre du Sommet (Noeud C)
Vérification de la cohérence des résultats par l'étude de l'équilibre vertical au sommet de la structure.
Vérification des Contraintes (Dimensionnement)
Calcul de la contrainte normale dans les barres et comparaison avec la limite élastique de l'acier.
Calcul d'un Treillis triangulaire simple
🎯 Objectif
L'objectif fondamental de cette première étape est double et constitue la fondation de tout calcul de structure. Premièrement, nous devons traduire la géométrie architecturale, définie par des dimensions globales (portée et hauteur), en paramètres mathématiques précis et exploitables (angles trigonométriques). Ces angles sont essentiels pour toutes les projections vectorielles qui suivront. Deuxièmement, nous devons résoudre le problème d'équilibre externe : comment la structure interagit-elle avec le sol ? Il est impératif de calculer les réactions aux appuis A et B, qui sont les "réponses" du sol à l'action de la neige. Sans ces valeurs, il est strictement impossible de pénétrer à l'intérieur de la structure pour dimensionner les barres.
📚 Référentiel
Principe Fondamental de la Statique (PFS) Trigonométrie PlaneAvant de se lancer dans les calculs, observons la structure. Nous sommes face à une configuration idéale : une structure symétrique, tant par sa géométrie (triangle isocèle) que par son chargement (charge centrale unique). Cette symétrie est une propriété physique puissante qui doit guider notre intuition : elle nous permet d'anticiper que les réactions aux appuis seront nécessairement identiques et se partageront équitablement la charge totale. Cependant, pour la rigueur absolue de la note de calcul, nous ne nous contenterons pas de cette intuition ; nous démontrerons ce résultat par les équations formelles de la statique. Concernant la géométrie, l'angle \(\alpha\) à la base est la clé de voûte de tous nos calculs futurs : une erreur d'arrondi ici se propagera et s'amplifiera dans toutes les étapes suivantes.
Pour qu'une structure soit immobile par rapport au sol (équilibre), la somme de toutes les forces extérieures et la somme de tous les moments doivent être nulles. Dans le plan (2D), cela se traduit par trois équations scalaires indépendantes :
- \(\sum F_x = 0\) : Pas de translation horizontale.
- \(\sum F_y = 0\) : Pas de translation verticale.
- \(\sum M_{/Point} = 0\) : Pas de rotation autour d'un point quelconque.
📐 Formule A : Calcul de l'angle à la base
Dans le triangle rectangle formé par la demi-portée et la hauteur, la tangente de l'angle \(\alpha\) est le rapport géométrique direct.
📐 Formule B : Équilibre Vertical
La somme des réactions verticales du sol vers le haut (action positive) doit compenser exactement le poids de la neige vers le bas (action négative).
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Demi-portée | \(L/2\) | 4.00 m |
| Hauteur | \(h\) | 3.00 m |
| Charge Neige | \(P\) | 120 kN |
Vérifiez toujours que votre calculatrice est en mode DEGRÉS avant de calculer une arc-tangente. Un angle en radians fausserait tout ! Par ailleurs, notez que pour un triangle 3-4-5 (hauteur 3, base 4), l'hypoténuse vaut exactement 5, ce qui simplifie souvent les cosinus et sinus.
Calculs Détaillés
1. Détermination de l'angle \(\alpha\) :
Nous utilisons la relation trigonométrique tangente dans le demi-triangle rectangle gauche pour trouver l'inclinaison de la toiture.
L'angle à la base est de 36.87°. C'est une valeur précise que nous stockons pour les calculs de sinus (0.6) et cosinus (0.8).
2. Détermination des Réactions aux Appuis (\(R_A\) et \(R_B\)) :
En projetant les forces sur l'axe vertical et en utilisant la symétrie du système, nous déterminons la charge reprise par chaque mur.
Chaque appui reprend exactement la moitié de la charge totale applied. C'est cohérent avec la symétrie.
✅ Interprétation Globale de l'Étape
Nous avons réussi à définir le cadre statique de notre problème. La structure est géométriquement définie (angle de 36.87°) et mécaniquement équilibrée avec l'extérieur (réactions de 60 kN). Ces valeurs sont les conditions aux limites qui vont "charger" notre treillis. Si ces valeurs étaient fausses, tout le dimensionnement interne des barres serait erroné. Nous avons validé l'hypothèse d'absence de poussée horizontale sur les murs grâce à la charge purement verticale et à la symétrie.
L'angle obtenu correspond à un triangle rectangle classique (côtés 3, 4, 5). Cela signifie que \(\cos(\alpha) = 4/5 = 0.8\) et \(\sin(\alpha) = 3/5 = 0.6\). Des valeurs aussi "propres" sont un bon signe dans un exercice académique. De plus, \(60 + 60 = 120\), l'équilibre est respecté.
Attention aux unités ! Une erreur classique est de mélanger des mètres et des millimètres dans les calculs trigonométriques (bien que le rapport soit sans dimension ici). Surtout, ne confondez pas la charge totale (120 kN) avec la réaction par appui (60 kN) dans la suite des calculs.
🎯 Objectif
Nous pénétrons maintenant à l'intérieur de la matière. L'objectif est de déterminer les efforts internes (Traction ou Compression) qui transitent dans les barres pour transmettre la charge des appuis vers le reste de la structure. Nous allons isoler virtuellement le noeud A et écrire que la somme des forces qui s'y appliquent est nulle. Cela nous donnera l'effort dans l'arbalétrier (barre AC) et dans l'entrait (barre AB).
📚 Référentiel
Théorème de l'équilibre local Projection VectorielleImaginez le noeud A comme un anneau infiniment petit. Il est tiré ou poussé par trois acteurs : le sol (réaction \(R_A\) verticale vers le haut), la barre AC (oblique) et la barre AB (horizontale). Pour que l'anneau reste immobile, ces forces doivent s'annuler. La difficulté est que la force de la barre AC est "en biais". Nous devrons donc la décomposer : sa partie verticale doit lutter contre la réaction du sol, et sa partie horizontale va créer un besoin de retenue par la barre AB.
En RDM, on ne connaît pas le sens des efforts à l'avance. On pose donc une hypothèse systématique :
- On suppose que toutes les barres sont en TRACTION (elles tirent sur le noeud, flèche sortante).
- Si le résultat du calcul est POSITIF (+) : L'hypothèse est vraie, la barre est bien tendue.
- Si le résultat est NÉGATIF (-) : L'hypothèse est fausse, la barre pousse sur le noeud, elle est en COMPRESSION.
📐 Formule A : Projection sur l'axe Vertical (Y)
Sur l'axe Y, seules la réaction du sol et la composante verticale de l'arbalétrier interviennent. C'est l'équation à résoudre en premier car elle n'a qu'une inconnue (\(N_{AC}\)).
📐 Formule B : Projection sur l'axe Horizontal (X)
Sur l'axe X, l'entrait horizontal doit compenser la composante horizontale de l'arbalétrier. On utilise le résultat de la première équation ici.
Étape 1 : Hypothèses & Données
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Réaction \(R_A\) | +60 kN |
| Angle \(\alpha\) | 36.87° |
| Sinus \(\alpha\) | 0.60 |
| Cosinus \(\alpha\) | 0.80 |
Ne recalculez pas les sinus et cosinus à chaque ligne. Pour un angle de 36.87°, mémorisez que \(\sin = 0.6\) et \(\cos = 0.8\). Cela évite les erreurs de saisie et rend le calcul mental possible pour vérifier les ordres de grandeur.
Calculs Détaillés
1. Calcul de l'effort dans l'arbalétrier AC (\(N_{AC}\)) :
Nous résolvons l'équation verticale pour trouver l'inconnue \(N_{AC}\). Attention aux signes lors du passage de l'autre côté de l'égalité.
Le résultat est -100 kN. Le signe moins signifie que la barre est en COMPRESSION.
2. Calcul de l'effort dans l'entrait AB (\(N_{AB}\)) :
Nous injectons la valeur trouvée de \(N_{AC}\) (avec son signe négatif !) dans l'équation horizontale.
Le résultat est +80 kN. Le signe plus signifie que la barre est en TRACTION.
✅ Interprétation Globale de l'Étape
Nous avons déterminé la carte d'identité mécanique de notre treillis. Les arbalétriers (barres obliques) subissent une très forte compression de 100 kN : ils doivent être robustes pour ne pas flamber. L'entrait (barre horizontale) subit une traction de 80 kN : il agit comme une corde qui empêche les murs de s'écarter. Ces résultats sont physiquement logiques pour une ferme sur appuis simples chargée gravitairement.
L'effort dans l'arbalétrier (100) est supérieur à la réaction verticale (60). C'est normal car l'arbalétrier est incliné : il doit fournir une composante verticale de 60 tout en "gaspillant" de l'énergie en composante horizontale. C'est l'hypoténuse du triangle des forces.
L'erreur fatale ici est d'oublier le signe "moins" de \(N_{AC}\) (-100) lorsqu'on le reporte dans le deuxième calcul. Si vous mettez +100, vous trouverez un entrait comprimé (-80), ce qui est faux et dangereux pour la conception des assemblages.
🎯 Objectif
Un bon ingénieur doute toujours. L'objectif de cette étape n'est pas de calculer de nouvelles inconnues, mais de vérifier la validité de nos résultats précédents. Nous allons nous placer au sommet de la structure (Noeud C) et vérifier si les efforts que nous avons calculés en bas (A et B) permettent bien de soutenir la charge P appliquée en haut. C'est la "preuve par neuf" de la statique.
📚 Référentiel
Loi de l'Action / Réaction Symétrie AxialeAu noeud C, la situation est critique : c'est là que s'applique la charge P de 120 kN qui veut faire s'effondrer le toit. Les deux arbalétriers (AC venant de gauche, BC venant de droite) arrivent à ce noeud. Nous savons qu'ils sont comprimés à 100 kN. Comme ils sont comprimés, ils "poussent" le noeud C vers le haut. La question est : la poussée combinée vers le haut de ces deux barres est-elle suffisante pour annuler exactement le poids P vers le bas ?
Si un noeud est en équilibre, le polygone des forces (ici un triangle formé par P, \(N_{AC}\) et \(N_{BC}\)) doit se refermer parfaitement. La somme vectorielle doit être nulle : \(\vec{P} + \vec{N}_{AC} + \vec{N}_{BC} = \vec{0}\).
📐 Formule : Équilibre Vertical au noeud C
Attention aux signes : P est vers le bas (négatif). Les vecteurs efforts normaux "sortent" du noeud par convention. Comme \(N_{AC}\) et \(N_{BC}\) sont négatifs (compression), les termes \(-N \cdot \sin\) deviendront positifs (poussée vers le haut).
Étape 1 : Données pour Vérification
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge P | 120 kN (vers le bas) |
| Effort \(N_{AC}\) | -100 kN (Compression) |
| Effort \(N_{BC}\) | -100 kN (Symétrie) |
| \(\sin(\alpha)\) | 0.60 |
Par symétrie, l'effort dans la barre de droite (BC) est strictement identique à celui de gauche (AC). On peut donc simplifier l'équation en écrivant \(2 \times (\text{Composante Verticale Arbalétrier})\).
Calculs de Vérification
1. Somme des forces verticales (\(\Sigma F_y\)) :
Nous additionnons algébriquement toutes les composantes verticales pour voir si le total fait zéro.
Le résultat est 0. L'équilibre est parfait. La poussée verticale cumulée des deux barres (60+60) compense exactement la charge (120).
✅ Interprétation Globale de l'Étape
Cette vérification confirme sans l'ombre d'un doute que nos calculs précédents étaient corrects. La distribution des efforts est cohérente : la charge de 120 kN descend, se sépare en deux flux de compression de 100 kN dans les arbalétriers, et finit par être transmise au sol sous forme de deux réactions de 60 kN. Le boucle est bouclée.
Si vous aviez trouvé une valeur résiduelle (ex: 5 kN), cela aurait indiqué une erreur de calcul ou d'arrondi importante. Ici, le zéro absolu est attendu car nous avons utilisé des valeurs exactes (0.6, 0.8).
Ne confondez pas l'équilibre du noeud C (sommet) avec celui du noeud A (base). Au sommet, il n'y a pas de réaction du sol, seulement l'action des barres et la charge extérieure.
🎯 Objectif
C'est l'étape finale et décisive. Nous avons calculé des forces (Newton), mais le matériau "ressent" des contraintes (Pascal). L'objectif est de vérifier si la section d'acier choisie par l'architecte (les cornières) est capable d'encaisser ces forces sans subir de dommages irréversibles. Nous allons calculer la contrainte de compression dans la barre la plus sollicitée et la comparer à la résistance intrinsèque de l'acier.
📚 Référentiel
Contrainte Normale (Sigma) Critère de Résistance ÉlastiqueQuelle barre devons-nous vérifier ? La réponse est simple : celle qui souffre le plus. L'arbalétrier subit 100 kN alors que l'entrait n'en subit que 80. C'est donc l'arbalétrier qui est le maillon faible potentiel. Nous allons diviser cette force de 100 000 Newtons par la surface de métal disponible (960 mm²). Le résultat sera une pression en N/mm² (MPa) que nous comparerons aux 235 MPa que l'acier peut supporter avant de se déformer définitivement.
La contrainte \(\sigma\) représente l'intensité de la force répartie sur la surface de coupe. \(\sigma = N / S\). Pour que la structure tienne, il faut impérativement que \(\sigma \le f_y\) (limite élastique du matériau).
📐 Formule A : Calcul de la Contrainte
On divise l'effort de dimensionnement (valeur absolue) par l'aire de la section transversale du profilé.
📐 Formule B : Taux de Travail
Si ce ratio est inférieur à 1 (ou 100%), la barre tient. S'il est supérieur, elle rompt ou plastifie.
Étape 1 : Caractéristiques de la Section
| Propriété | Valeur |
|---|---|
| Section d'une cornière | 480 mm² |
| Section totale (2 cornières) \(S\) | 960 mm² |
| Limite élastique \(f_y\) | 235 MPa |
| Effort max (Compression) \(|N_{Ed}|\) | 100 000 N (100 kN) |
L'unité reine en Résistance des Matériaux est le couple (Newton, millimètre). 1 MPa = 1 N/mm². Convertissez toujours vos kN en N (\(\times 1000\)) et vos cm² en mm² (\(\times 100\)) avant de diviser.
Calculs Détaillés
1. Calcul de la contrainte normale \(\sigma\) :
On injecte l'effort maximum (100 000 N) et la surface de la section (960 mm²) dans la formule de la contrainte.
La pression interne dans l'acier est d'environ 104 MPa.
2. Calcul du Taux de Travail (Vérification) :
On compare la contrainte calculée (104.17) à la résistance du matériau (235).
La barre n'utilise que 44.3% de ses capacités en résistance pure. Elle est donc largement dimensionnée vis-à-vis du risque de plastification.
✅ Interprétation Globale de l'Étape
La vérification est positive. Avec un taux de travail de 44%, la section proposée est sécuritaire. Nous avons une marge de sécurité confortable (plus de 2.0). Cela signifie que même si la neige était deux fois plus lourde, la barre ne casserait pas en compression pure. La conception de l'architecte est donc validée sur le critère de résistance des matériaux.
Un taux de 44% peut sembler faible (on pourrait penser à optimiser et réduire la section), mais en construction métallique, on laisse souvent de la marge pour d'autres phénomènes comme le flambement ou les effets du vent.
Attention ! Ce calcul valide la résistance de la section (écrasement), mais pas la stabilité de la barre (flambement). Une barre comprimée élancée peut flamber bien avant d'atteindre sa limite élastique. Dans une note complète, le calcul de l'instabilité (Eurocode 3 - Partie 1.1) serait l'étape suivante obligatoire.
La section est validée.
Voici la synthèse graphique des résultats obtenus. Ce schéma permet de visualiser instantanément le cheminement des efforts dans la structure : la compression (en rouge) descend le long des arbalétriers, tandis que la traction (en bleu) maintient la base.
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