Conception d’une poutre en béton armé
📝 Situation du Projet
Le projet concerne la construction d'un immeuble d'habitation R+4 situé à Lyon (Zone sismique modérée, mais étude ici statique). L'ouvrage est conçu en structure béton armé traditionnelle (poteaux-poutres-dalles). La maîtrise d'ouvrage, soucieuse de la pérennité de l'ouvrage et de l'optimisation des coûts, impose une rigueur particulière sur le dimensionnement des éléments porteurs principaux. Vous intervenez sur le plancher haut du 1er étage, qui supporte des charges d'habitation ainsi que des cloisons lourdes.
L'élément spécifique à étudier est la Poutre N04. C'est une poutre isostatique de portée importante qui reprend les charges d'une dalle pleine sur deux appuis simples (poteaux P12 et P13). Le dimensionnement doit impérativement respecter les Eurocodes pour garantir la sécurité à l'État Limite Ultime (ELU) et limiter la fissuration.
En tant qu'Ingénieur Structure Confirmé, vous devez dimensionner les aciers longitudinaux (flexion) de la poutre N04. Vous devrez justifier chaque étape du calcul, de la descente de charges jusqu'au plan de ferraillage final, en optimisant la section d'acier pour des raisons économiques sans compromettre la sécurité.
- Localisation
Lyon (69) - Zone B - Maître d'Ouvrage
SCI Habitat Durable - Lot Concerné
Lot 02 - Gros Œuvre
"Attention à l'enrobage des aciers ! Nous sommes en classe d'exposition XC1 (intérieur sec), mais le client exige une tenue au feu standard. Ne descendez pas sous les valeurs nominales préconisées. Vérifiez bien vos unités lors du calcul du moment réduit."
Les calculs seront menés conformément aux principes de l'Eurocode 2 pour le béton armé et de l'Eurocode 1 pour les actions. Les données matériaux sont issues des standards actuels de la construction résidentielle.
📚 Référentiel Normatif
NF EN 1992-1-1 (EC2)NF EN 1991-1-1 (EC1)L'Eurocode 2 définit les règles de calcul des structures en béton. Il impose des vérifications strictes à l'État Limite Ultime (résistance) et à l'État Limite de Service (fissuration, flèche). L'Eurocode 1 permet de définir les charges d'exploitation selon la catégorie du bâtiment (ici, Catégorie A : Habitation).
[Art. 3.1] BÉTON C25/30
Le choix s'est porté sur un béton de classe C25/30 (résistance caractéristique à 28 jours fck = 25 MPa). Il s'agit de la classe de résistance standard pour les bâtiments d'habitation courante, offrant le meilleur compromis technico-économique. Une classe supérieure (C30/37) n'est pas justifiée ici compte tenu des portées modérées et de l'absence de contraintes d'exposition sévères.
[Art. 3.2] ACIERS FeE500
Les armatures seront de nuance FeE500 (B500B), garantissant une limite élastique de 500 MPa. L'utilisation d'aciers à haute adhérence (HA) est impérative pour assurer une transmission optimale des efforts entre le béton et l'acier, et pour limiter l'ouverture des fissures en service.
[Art. 3.4] ENROBAGE ET DURABILITÉ
Pour garantir la durabilité de l'ouvrage (protection contre la corrosion), un enrobage nominal de 30 mm est imposé. Cette valeur tient compte de la classe d'exposition XC1 (intérieur sec) ainsi que de la tolérance d'exécution sur chantier (Delta-Cdev).
| GÉOMÉTRIE | |
| Portée de calcul (entre nus) | L = 6,00 m |
| Largeur de la poutre | b = 0,20 m (20 cm) |
| Hauteur de la poutre | h = 0,50 m (50 cm) |
| CHARGES LINEIQUES APPLIQUÉES | |
| Charge Permanente (hors poids propre) | g' = 12,0 kN/m |
| Charge d'Exploitation (Q) | q = 9,0 kN/m |
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur | b | 0,20 | m |
| Hauteur | h | 0,50 | m |
| Résistance Béton | fck | 25 | MPa |
E. Protocole de Résolution
Pour dimensionner correctement cette poutre, nous allons suivre rigoureusement la méthodologie des États Limites.
Analyse des Charges (ELU)
Calcul du poids propre et combinaison fondamentale des actions (1.35G + 1.5Q).
Calcul des Sollicitations
Détermination du Moment Fléchissant Maximum (Med) à mi-travée.
Dimensionnement des Aciers
Calcul de la section d'acier théorique (As) via la méthode du Pivot.
Choix du Ferraillage & Vérification
Sélection des barres commerciales, vérification de l'espacement et schéma de principe.
Conception d’une poutre en béton armé
🎯 Objectif
L'objectif de cette première étape est double : d'une part, évaluer précisément toutes les charges gravitaires qui s'appliquent sur la poutre, en n'oubliant aucune composante (notamment le poids propre souvent négligé par les débutants). D'autre part, il s'agit de combiner ces charges selon les règles probabilistes des Eurocodes pour obtenir la charge linéique de calcul à l'État Limite Ultime (ELU), notée \( p_{\text{ELU}} \). Cette valeur servira de base unique pour tout le dimensionnement ultérieur.
📚 Référentiel
NF EN 1990 (Eurocode 0) : Bases de calcul des structures NF EN 1991-1-1 (Eurocode 1) : Actions générales - Poids volumiques, poids propres, charges d'exploitationAvant de se lancer dans les calculs, il faut comprendre la nature des charges. Les charges permanentes (notées G) sont fixes et connues avec une bonne précision (poids du béton, des cloisons, du revêtement de sol). Les charges d'exploitation (notées Q) sont variables et aléatoires (meubles, personnes). L'Eurocode impose de majorer ces charges par des coefficients de sécurité partiels (\(\gamma\)) pour couvrir les incertitudes. On majore davantage Q (\(\gamma_{\text{Q}}=1,5\)) que G (\(\gamma_{\text{G}}=1,35\)) car l'incertitude sur l'occupation d'un bâtiment est plus grande que celle sur le poids des matériaux. L'énoncé nous donne une charge permanente "hors poids propre", ce qui est un piège classique : nous devons calculer nous-mêmes le poids de la poutre en fonction de ses dimensions (20x50 cm) et l'ajouter aux autres charges permanentes.
La combinaison d'actions fondamentale à l'ELU (État Limite Ultime) pour une situation de projet durable ou transitoire est définie par la formule : \( \sum_{j \ge 1} \gamma_{\text{G},j} G_{\text{k},j} + \gamma_{\text{Q},1} Q_{\text{k},1} + \sum_{i > 1} \gamma_{\text{Q},i} \psi_{0,i} Q_{\text{k},i} \).
Dans notre cas simplifié (une seule action variable dominante Q), la formule se réduit à : \( 1,35 G_{\text{max}} + 1,35 G_{\text{min}} + 1,5 Q \). Ici, toutes les charges permanentes sont défavorables, donc on utilise 1,35 partout.
Étape 1 : Données Spécifiques
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Poids volumique du Béton Armé (\(\rho_{\text{ba}}\)) | 25 | kN/m³ |
| Largeur de la section (b) | 0,20 | m |
| Hauteur de la section (h) | 0,50 | m |
| Charge perm. additionnelle (g') | 12,0 | kN/m |
| Charge d'exploitation (q) | 9,0 | kN/m |
Retenez par cœur que le béton armé pèse environ 2500 kg/m³, soit 25 kN/m³. C'est une constante universelle dans le bâtiment. Si vous trouvez une valeur très différente lors d'un calcul de poids propre, c'est qu'il y a une erreur d'unité !
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Calcul du poids propre linéique de la poutre (\(g_{\text{pp}}\)) :Nous calculons le poids d'un mètre linéaire de poutre en multipliant sa section transversale (en m²) par le poids volumique du matériau.
Interprétation : La poutre pèse 250 kg par mètre. Sur une portée de 6m, elle pèse déjà 1,5 tonne à elle seule ! C'est cohérent pour une section 20x50.
2. Calcul de la Charge Permanente Totale (\(G_{\text{total}}\)) :Nous additionnons le poids propre que nous venons de calculer aux charges permanentes (dalle, chape, revêtement) données dans l'énoncé.
Nous appliquons maintenant les coefficients de pondération réglementaires pour obtenir la charge ultime.
Conclusion : C'est cette valeur unique de 33,08 kN/m que nous injecterons dans les formules de RDM pour la suite.
On obtient environ 3,3 tonnes par mètre linéaire de poutre. Vu que la poutre reprend une bande de chargement de dalle importante (probablement plusieurs mètres de large) dans un bâtiment d'habitation, cet ordre de grandeur est tout à fait réaliste. Si nous avions trouvé 300 kN/m (30 tonnes/m), il y aurait eu une erreur manifeste.
Une erreur fréquente chez les étudiants est d'oublier de convertir les dimensions de la section (souvent données en cm) en mètres avant de multiplier par la densité volumique (en kN/m³). Toujours vérifier l'homogénéité des unités : \( \text{m} \times \text{m} \times \text{kN/m}^3 = \text{kN/m} \).
🎯 Objectif
L'objectif est de quantifier l'effort interne maximal de flexion, appelé Moment Fléchissant (\(M_{\text{Ed}}\)), généré dans la poutre par la charge ELU calculée précédemment. Ce moment maximal se situe au point le plus critique de la poutre (généralement à mi-travée pour une poutre isostatique) et déterminera la quantité d'acier nécessaire pour empêcher la rupture par flexion.
📚 Référentiel
RDM Classique (Poutre isostatique sur appuis simples)Nous modélisons la poutre comme une poutre "isostatique", c'est-à-dire posée simplement sur deux appuis, sans encastrement aux extrémités. C'est une hypothèse sécuritaire : si les nœuds sont en réalité partiellement rigides, le moment en travée sera plus faible que ce que nous calculons. Pour ce schéma statique classique sous charge uniformément répartie, le diagramme des moments fléchissants suit une loi parabolique. La valeur est nulle aux appuis (car ils peuvent tourner librement) et maximale exactement au centre de la travée. C'est ce pic de contrainte qui va tenter d'ouvrir des fissures en partie basse de la poutre (zone tendue).
Le moment fléchissant \( M(x) \) est l'intégrale de l'effort tranchant \( V(x) \), lui-même intégrale de la charge \( p(x) \). Pour une charge constante \( p \) sur une longueur \( L \), l'effort tranchant est linéaire et le moment est quadratique (parabolique). La valeur maximale à \( x=L/2 \) se démontre aisément par l'équilibre statique et vaut \( \frac{pL^2}{8} \). C'est sans doute la formule la plus célèbre du génie civil.
Pour une poutre simple de portée L soumise à une charge uniforme p :
Le terme \( L^2 \) est crucial : si vous doublez la portée, vous quadruplez les efforts et donc la quantité d'acier nécessaire !
Étape 1 : Données Spécifiques
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Portée de calcul (L) | 6,00 | m |
| Charge ELU (\(p_{\text{ELU}}\)) | 33,08 | kN/m |
Vérifiez toujours vos unités avant le calcul. Ici la charge est en kN/m et la longueur en m. Le résultat sera donc en \( \text{kN/m} \times \text{m}^2 = \text{kN.m} \). C'est bien une unité de moment (Force x Distance).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Calcul du Moment de Dimensionnement (\(M_{\text{Ed}}\)) :On remplace L par 6,00 m et p par 33,08 kN/m dans la formule fondamentale.
Interprétation : Ce moment de 148,86 kN.m représente la sollicitation maximale que la section de béton et d'acier devra équilibrer à mi-portée.
Pour l'étape suivante (dimensionnement des aciers), les contraintes des matériaux sont données en MPa (MégaPascal), qui équivaut à des MN/m². Pour éviter les erreurs de puissances de 10, il est vivement conseillé de convertir tout de suite le moment en MN.m.
\( 148,86 \, \text{kN.m} = \mathbf{0,149} \, \text{MN.m} \).
Ne confondez surtout pas la charge (en kN) et le moment (en kN.m). Une erreur d'unité à ce stade fausserait tout le ferraillage et pourrait conduire à une poutre sous-dimensionnée (dangereux) ou sur-dimensionnée (anti-économique).
🎯 Objectif
Déterminer la section d'acier théorique (\(A_{\text{s,req}}\)) strictement nécessaire en partie basse de la poutre pour équilibrer le moment de 148,86 kN.m. Il s'agit de trouver combien de cm² d'acier doivent être noyés dans le béton tendu pour empêcher la rupture.
📚 Référentiel
EC2 - Section 6.1 (Flexion simple) et Annexes NationalesNous allons utiliser la méthode du "rectangle de contrainte simplifié". Le principe est le suivant : le béton ne résiste pas à la traction (on le néglige totalement en zone tendue). Seuls les aciers reprennent la traction. En zone comprimée, le béton résiste. Nous devons vérifier l'équilibre des forces internes (Compression du béton = Traction de l'acier) et des moments. Pour cela, on calcule un coefficient adimensionnel appelé "moment réduit" (\(\mu_{\text{bu}}\)). Ce coefficient nous indique à quel point la section de béton est sollicitée. S'il est faible (inférieur à une valeur limite \(\mu_{\text{lu}} \approx 0,371\)), cela signifie que le béton comprimé suffit largement et que nous n'avons besoin que d'aciers tendus en bas. C'est le cas le plus économique et le plus courant (Pivot A ou B).
Le calcul se base sur des diagrammes contrainte-déformation : parabole-rectangle pour le béton et bi-linéaire pour l'acier. On définit :
- \( d \) (hauteur utile) : la distance entre la fibre la plus comprimée (haut) et le centre de gravité des aciers (bas). C'est le levier efficace.
- \( z \) (bras de levier) : la distance verticale entre la résultante de compression du béton et la résultante de traction de l'acier.
- \( f_{\text{cd}} \) et \( f_{\text{yd}} \) : les résistances de calcul (design) des matériaux, obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients de sécurité (\(\gamma_{\text{c}}=1,5\) et \(\gamma_{\text{s}}=1,15\)).
1. Hauteur utile (d) : Distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des aciers tendus.
C'est le levier "efficace" de la poutre.
2. Résistance de calcul du béton (fcd) :
La résistance caractéristique est divisée par un coefficient de sécurité.
3. Moment réduit (\(\mu_{\text{bu}}\)) : Coefficient adimensionnel.
Il permet de savoir si la section de béton est suffisante.
Étape 1 : Données Spécifiques
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Largeur (b) | 0,20 | m |
| Hauteur totale (h) | 0,50 | m |
| Résistance char. béton (fck) | 25 | MPa |
| Limite élast. acier (fyk) | 500 | MPa |
| Moment Ultime (M_Ed) | 0,149 | MN.m |
Pour simplifier la hauteur utile \(d\) en avant-projet, on prend souvent \(d \approx 0,9 \cdot h\). Ici, avec h=50cm, d ~ 45cm. Vérifions cela.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Estimation précise de la hauteur utile (d) :L'enrobage nominal est de 30mm. Pour estimer d, nous devons pré-supposer des diamètres. Prenons des étriers de 8mm et des barres principales de 20mm (standard pour ces charges).
Interprétation : Notre levier efficace est de 45,2 cm. C'est très proche de l'approximation 0,9h (45 cm).
2. Résistance de calcul du béton (\(f_{\text{cd}}\)) :Pour un béton C25/30, \(f_{\text{ck}}=25\) MPa. Coefficient de sécurité béton \(\gamma_{\text{c}} = 1,5\).
Le béton a une résistance de calcul de 16,67 MPa.
3. Calcul du moment réduit (\(\mu_{\text{bu}}\)) :Attention aux unités ! On met tout en MN et m. \(M_{\text{Ed}}=0,149\) MN.m.
On compare : \( \mu_{\text{bu}} = 0,219 < 0,371 \) (limite Pivot B). Pas d'aciers comprimés nécessaires. C'est le cas standard.
4. Calcul du bras de levier (z) :On calcule d'abord le paramètre de hauteur de la zone comprimée \(\alpha\), puis le bras de levier z.
Le bras de levier interne est de près de 40 cm.
5. Calcul de la section d'acier (\(A_{\text{s}}\)) :Acier FeE500, \(\gamma_{\text{s}} = 1,15\), donc \(f_{\text{yd}} = 500 / 1,15 = 435\) MPa.
Il faut donc fournir au minimum 8,67 cm² d'acier.
Pour une poutre de section 20x50 cm (1000 cm²), une section d'acier de 8,67 cm² représente un taux de ferraillage de 0,87%. Pour une poutre courante, on s'attend généralement à un taux entre 0,5% et 1,5%. Nous sommes pile dans la fourchette optimale : ni trop peu (fragile), ni trop (encombrement).
Attention à bien utiliser fyd (résistance de calcul) et non fyk (résistance caractéristique) dans la formule finale.
🎯 Objectif
Convertir la section théorique calculée (8,67 cm²) en une réalité physique de chantier : un nombre entier de barres d'acier disponibles dans le commerce (HA10, 12, 14, 16, 20, 25...), tout en respectant les contraintes géométriques de la poutre (largeur disponible) et les règles d'espacement pour le bétonnage.
📚 Référentiel
Normes de produits sidérurgiques & EC2 (Dispositions constructives)Nous avons besoin de 8,60 cm². Nous disposons de barres standards (HA10, 12, 14, 16, 20, 25). La largeur de la poutre est de 20 cm. En enlevant l'enrobage (3cm x 2) et les cadres, il reste environ 12-13 cm de largeur utile. On ne peut guère mettre plus de 3 barres par lit horizontalement pour que le béton passe bien entre elles.
L'adhérence acier-béton est le mécanisme fondamental du béton armé. Pour qu'elle fonctionne, chaque barre doit être bien entourée de béton. L'Eurocode impose un espacement horizontal libre \( e_{\text{h}} \) et vertical \( e_{\text{v}} \) minimal. Cet espacement doit être supérieur au diamètre de la barre (\( \phi \)) et au diamètre du plus gros granulat (\( d_{\text{g}} \)), généralement 20mm, plus une marge de 5mm.
L'espacement horizontal libre entre barres doit vérifier :
Avec souvent \( k_1 = 1 \) et \( d_{\text{g}} = 20\text{mm} \), la limite est souvent 25 mm.
Étape 1 : Données Spécifiques
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Section requise (\(A_{\text{s,req}}\)) | 8,67 cm² |
| Largeur disponible approx. | 124 mm |
| Diamètre granulat béton (\(d_{\text{g}}\)) | 20 mm |
Privilégiez toujours les gros diamètres en un seul lit (ex: 3 barres de 20) plutôt que beaucoup de petits diamètres (ex: 8 barres de 12). C'est plus facile à ferrailler, le béton coule mieux, et le bras de levier est meilleur.
Étape 2 : Comparaison des Combinaisons Possibles
| Combinaison | Section Totale | Analyse |
|---|---|---|
| 3 HA 20 | 9,42 cm² | Idéal. Un seul lit de 3 barres passe en largeur. Marge de sécurité confortable. |
| 6 HA 14 | 9,24 cm² | Possible, mais nécessite 2 lits de 3 barres. Plus de main d'œuvre. |
| 5 HA 16 | 10,05 cm² | Gaspillage d'acier (trop fort) et nécessite 2 lits (3+2). |
| 3 HA 16 + 3 HA 12 | 9,42 cm² | Mélange de diamètres (complexe à gérer sur chantier). |
Étape 3 : Validation Technique Détaillée
1. Vérification de la Section (\(A_{\text{s,prov}}\)) :Nous vérifions simplement que la section fournie est supérieure à la demande.
Nous sommes en sécurité avec une marge de 8% environ.
Vérification de l'espacement horizontal (\(e_{\text{h}}\)) :Calculons l'espace vide restant entre les barres. Largeur poutre (200mm) - 2 enrobages (30mm) - 2 cadres (8mm) - 3 barres (20mm).
Comparons cet espace à la limite réglementaire (25mm pour granulat standard).
L'espace entre les barres est suffisant pour le passage du gravier du béton.
Le choix de 3 HA 20 est très cohérent. C'est une solution robuste, simple à mettre en œuvre (pas d'enchevêtrement complexe), et qui optimise le fonctionnement mécanique en plaçant tout l'acier le plus bas possible (bras de levier maximal).
Sur chantier, il faudra veiller à ce que les recouvrements (si les barres ne font pas toute la longueur) soient suffisants (environ 50 fois le diamètre, soit 1 mètre ici !) et décalés. Il faut aussi s'assurer que les cales d'enrobage soient bien de 30mm pour garantir la durabilité.
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